第40讲　直线的方程及位置关系-2026高考数学大一轮全面复习资料（提高版）学生版

第八章解析几何第40讲直线的方程及位置关系链教材夯基固本激活思维1.(人A选必一P54例1改)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()(第1题)A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k22.(人A选必一P57练习T1改)已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A.3x＋2y－1＝0 B.3x＋2y＋7＝0C.2x－3y＋5＝0 D.2x－3y＋8＝03.(人A选必一P77练习T3改)已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A.eq\r(2) B.2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋14.(人A选必一P72练习T3改)已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是()A.4x－3y＝0 B.4x＋3y＝0C.3x－4y＝0 D.3x＋4y＝05.(人A选必一P61例2改)(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是()A.2 B.－1C.－2 D.1聚焦知识1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_________________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围是_________________．2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝_________________．(2)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝___________________．3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式__________________不含直线x＝x0斜截式_________________不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_________________平面直角坐标系内的直线都适用4.两条直线平行与垂直的判定(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔___________________．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔___________________．特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．5.三个距离公式(1)点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝___________________．(2)点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝___________________．(3)线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝___________________．6.常用结论(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．(2)对于直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0：“两直线平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．研题型素养养成举题说法直线的方程例1(1)已知直线l的斜率为eq\r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为()A.y＝eq\r(3)x＋2 B.y＝eq\r(3)x－2C.y＝eq\r(3)x＋eq\f(1,2) D.y＝－eq\r(3)x＋2(2)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为()A.5x－2y－5＝0 B.2x－5y－5＝0C.5x－2y＋5＝0 D.2x－5y＋5＝0求直线方程的两种方法：(1)直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．(2)待定系数法：设所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数．变式1(1)过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_________________．(2)(多选)若直线l经过点(4，－2)，且l与坐标轴围成的三角形面积为2，则l的方程可能是()A.x－y－2＝0 B.2x＋y－6＝0C.x＋y－2＝0 D.x＋4y＋4＝0两直线的位置关系例2(多选)设a为实数，直线l1：ax＋2ay＋1＝0，l2：(a－1)x－(a＋1)y－4＝0，则()A.当a＞0时，l1不经过第一象限B.l1∥l2的充要条件是a＝eq\f(1,3)C.若l1⊥l2，则a＝－3或a＝0D.l2恒过点(2，2)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．变式2若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：x＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值有()A.2个 B.3个C.4个 D.5个距离问题例3(1)已知经过点P(2，2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1，0)到直线l的距离等于eq\r(5)，则a的值是()A.－eq\f(1,2) B.1C.2 D.eq\f(1,2)(2)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3eq\r(2) B.2eq\r(2)C.3eq\r(3) D.4eq\r(2)使用距离公式时应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x，y的系数化为对应相等．变式3(1)已知直线l过点P(3，4)，且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为_________________.(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则eq\f(c＋2,a)的值为_________________．对称问题视角1点(或直线)关于点对称例4-1已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，直线l关于点A对称的直线l′的方程为_________________．视角2点关于直线对称例4-2已知点P在直线y＝x＋3上，点A(1，0)，B(3，0)，则|PA|＋|PB|的最小值为()A.eq\r(10) B.5C.eq\r(42) D.2eq\r(13)视角3直线关于直线对称例4-3已知直线l1：3x－4y－4＝0关于直线l2的对称直线为y轴，则l2的方程为_________________．对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．随堂内化1.(2024·开封二模)若直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，eq\f(a,b)＝()A.2 B.eq\f(1,2)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)2.(2024·西安期末)(多选)已知a＞0，b＞0，直线l1：x＋(a－2)y＋1＝0，l2：bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则下列选项中正确的是()A.0＜ab≤1 B.eq\r(a)＋eq\r(b)≤2C.a2＋b2≤2 D.eq\f(b,a)＋eq\f(2,b)≥33.在x轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，4)和P为顶点的三角形的面积为10，则点P的坐标为___________________．4.已知两点A(－4，8)，B(2，4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为__________________．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1.(2024·岳阳三模)直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是()A.(3，2) B.(2，3)C.(3，－2) D.(2，－3)2.若两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为()A.a＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B.a＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)C.a＝－6，d＝eq\f(\r(5),3) D.a＝6，d＝eq\f(\r(5),3)3.(人A选必一P80T15)若□ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0，l4：2x＋y＋1＝0，则□ABCD的面积为()A.9 B.12C.15 D.184.(2024·湖北八市联考)设直线l：x＋y－1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(13),6)，则k的值为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.2二、多项选择题5.已知直线l过点P(1，2)，且点A(2，3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是()A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0C.3x＋2y－7＝0 D.2x＋3y－7＝06.已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsinα－y＋1＝0，则()A.当m变化时，l1的倾斜角不变B.当α变化时，l2过定点C.l1与l2可能平行D.l1与l2不可能垂直7.已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“W直线”．下列直线是“W直线”的是()A.y＝x＋1 B.y＝2C.y＝eq\f(4,3)x D.y＝2x＋10三、填空题8.(2024·天津卷)若圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为___________________．9.已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝___________________．10.已知点A(1，2)，B(a，b)，C(c，d)，若A是直线l1：ax＋by＋1＝0和l2：cx＋dy＋1＝0的公共点，则直线BC的方程为___________________．四、解答题11.设直线l1：2x－y＋3＝0和直线l2：x＋y＋3＝0的交点为P.(1)若直线l经过点P，且与直线x＋2y＋5＝0垂直，求直线l的方程；(2)若直线m与直线x＋2y＋5＝0关于点P对称，求直线m的方程．12.已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1)求证：不论m为何实数，直线l过定点；(2)过(1)中定点M作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程．13.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)求点P(1，2)到直线l距离的最大值及此时直线l的方程；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值及此时直线l