微专题12　空间几何体的外接球与内切球-2026高考数学大一轮全面复习资料（提高版）学生版

微专题12空间几何体的外接球与内切球长方体切割体的外接球例1(1)(墙角模型)在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为()A.eq\r(6)π B.2eq\r(6)πC.3eq\r(6)π D.4eq\r(6)π(2)(鳖臑模型)(2024·汕头二模)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，则球O的表面积为()A.10π B.25πC.50π D.100π(3)(对棱相等模型)已知平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，若沿对角线AC将△ABC折起到△ACB′的位置，使得B′D＝eq\r(13)，则此时三棱锥B′-ACD的外接球的体积是___________________．补形法适用的三种常见三棱锥：①墙角模型——三条棱两两垂直，如图(1)；②鳖臑模型——四个面都是直角三角形，如图(2)；③对棱相等模型——三组对棱分别相等，如图(3). 图(1) 图(2)图(3)柱体的外接球例2(1)(2024·济南、青岛、枣庄三模)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为()A.4π B.6πC.8π D.10π(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则该直三棱柱外接球的表面积为()A.72π B.114πC.136π D.144π锥体的外接球例3(1)(2024·邵阳二联)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为()A.eq\f(14π,3) B.eq\f(28π,3)C.10π D.5π(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为eq\f(32π,3)，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为()A.3π B.4πC.9π D.12π单面定球心法步骤：(1)定一个面外接圆圆心：如图(1)，在三棱锥P-ABC中，选中底面三角形ABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理2r＝eq\f(a,sinA)定外心).(2)①侧棱相等的三棱锥——如图(1)，PO1⊥底面ABC，则球心一定在直线PO1上(注意不一定在线段PO1上)；在直线PO1上取球心O，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋OOeq\o\al(2,1)，可计算出球半径R.图(1)②侧棱垂直于底面的棱锥——如图(2)，过△ABC的外接圆圆心O1作底面ABC的垂线，球心O在垂线上，过球心O向PA作垂线，垂足为M，则有MA＝OO1＝h，OM＝O1A＝r.计算球半径R：利用OA＝R＝eq\r(r2＋h2)＝OP＝eq\r(r2＋(PA－h)2)，求出h，从而求出Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(实际上h＝\f(1,2)PA)).图(2)台体的外接球例4(1)(2024·南京二模)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为()A.3∶4 B.1∶2C.3∶8 D.3∶10(2)(多选)某正四棱台的上、下底面边长分别为3eq\r(2)和4eq\r(2)，若该正四棱台所有的顶点均在表面积为100π的球面上，则该正四棱台的体积可能为()A.eq\f(70,3) B.eq\f(74,3)C.eq\f(515,3) D.eq\f(518,3)几何体的内切球例5(1)(等体积法)在正四棱锥P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该正四棱锥内切球的表面积是()A.eq\f(4π,7) B.eq\f(24π,7)C.eq\f(36π,7) D.eq\f(72π,7)(2)(独立截面法)(2024·广州冲刺训练(一))已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝4r1＝4，则圆台的体积与球的体积之比为()A.eq\f(7,4) B.eq\f(21,8)C.eq\f(5,2) D.eq\f(63,8)1.内切球等体积法如图，在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PBC＋VO-PCD＋VO-PAD＋VO-PAB，即VP-ABCD＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＋eq\f(1,3)S△PCD·r＋eq\f(1,3)S△PAD·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r，可求出r.2.内切球独立截面法(1)画出过球心和切点的大圆的截面图；(2)在截面中，找到和球半径相关的直角三角形；(3)利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径．配套精练1.若正四面体的表面积为8eq\r(3)，则其外接球的体积为()A.4eq\r(3)π B.12πC.8eq\r(6)π D.32eq\r(3)π2.(2024·唐山二模)已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为()A.5π B.12πC.20π D.80π3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别是3eq\r(3)和4eq\r(3)，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是()A.100π B.128πC.144π D.192π4.(2025·连云港期中)已知圆锥的母线长为13，侧面积为65π，则该圆锥的内切球的表面积为()A.eq\f(100π,9) B.eq\f(4000π,81)C.eq\f(400π,9) D.eq\f(1000π,81)5.(2024·深圳一调)已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为()A.eq\f(28π,3) B.eq\f(40π,3)C.eq\f(56π,3) D.eq\f(112π,3)6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一球面上，若AB＝3，AC＝AA1＝2，∠BAC＝eq\f(π,3)，则此球的表面积为()A.eq\f(40π,9) B.eq\f(40π,3)C.eq\f(32π,3) D.32π7.(2025·邯郸期中)已知球M的直径PQ＝4，A，B，C是球M球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，则三棱锥P-ABC的体积为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),4)C.eq\f(3\r(3),2) D.eq\f(27\r(3),4)8.(2024·合肥一检)已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝2eq\r(3)，平面ABD⊥平面BCD，则该球的表面积是_________________.9.(2024·九江二模)已知一个圆台内接于球O(圆台的上、下底面的圆周均在球面上)，若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为(