+圆锥曲线的光学性质的应用基础练-2026届高三数学一轮复习

第八章平面解析几何数学模型4圆锥曲线的光学性质的应用模型解读应用专练第1题[填空题][人A选必一P140阅读与思考变式]

题目：圆锥曲线具有丰富的光学性质,在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上.(如图1).如图2,已知F1为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>A.圆B.椭圆C.双曲性D．抛物线

变式1[填空题]

题目：圆锥曲线的光学性质应用非常广泛,如图所示,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率e=5,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中变式2[选择题]

题目：如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>A.65B.375C.2变式3[解答题]

题目：已知椭圆C的焦点在x轴上,长轴长与短轴长的比为2:1,焦距为23.P为椭圆上任意一点,过点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PA、PB，A,B分别为切点,直线AB(1)求椭圆C的标准方程;(2)求△MON(3)过点Q(0,1)的两条直线l1，l2分别与椭圆C相交于不同于点Q的D，E两点，若l变式4[选择题]

题目：抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图,从抛物线y2=4x的焦点F发出的两条光线a,b分别经抛物线上的A,B两点反射,已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60∘,则两条反射光线a′A.233B=83c.4第2题[选择题]

题目：抛物线有如下光学性质:平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线经过抛物线的焦点.过点P22,5且平行于y轴的一条光线射向抛物线C:x2=4y上的A点,经过反射后的反射光线与CA.72B.9C.36D.第3题[填空题]

题目：圆锥曲线光学性质(如图1所示)在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2,一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆C与双曲线C∗构成,一光线从左焦点F1发出,依次经过C∗与C的反射,又回到点F1历时m秒;若将装置中的C∗去掉,则该光线从点F1发出,经过C两次反射后又回到点F1历时n秒.若C与第4题[多选题]

题目：用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后,集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中,对称轴与x轴重合,顶点与原点重合.若抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,一条平行于x轴的光线l1从点M射入,经过C上的点A(x1,y1)反射,A．C的准线方程为xB.yC.若点M(2,1D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线l2第5题[填空题]

题目：应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是,镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.其中,一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,其中F2同时又是抛物线的焦点,第6题[选择题]

题目：智慧的人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质,比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线,探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线F2P斜率为−3,且F2P和反射光线A.6+24B.2C.2第7题[解答题]

题目：圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质,这些性质均与它们的焦点有关如:从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上,经过反射后通过椭圆的另一个焦点;从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上,经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览,其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质,此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图,椭圆与抛物线均关于x轴对称,且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点,F1,F2为椭圆C2的焦点,同时F1也为抛物线C1的焦点,其中椭圆的短轴长为23,在F2处放置一个光源,(1)求抛物线C1(2)若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔,再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切,求此时的线段Q(3)在(2)的条件下,求线段PQ的长.第8题[选择题]班级物理社团同学在做光学实验时,发现了一个有趣的现象:从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质,解决下面问题:已知椭圆C的方程为x225+y212=1，其左、右焦点分别是A.153B.54C:32第9题[选择题]抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线x2=4y中,一平行于y轴的光线l1射向抛物线上的点M,反射后反射光线经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点N,再反射后又沿平行y轴方向的直线l2射出.则直线l1A.4B.2C.8D.16第10题[填空题]椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:现有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程x28+y26=1;点

第1题答案：A解析：设椭圆右焦点为F2，过F1作切线l的垂线，垂足为H。由椭圆光学性质，反射光线过F2，且|F1H|⋅|F2H|=b2（椭圆切线性质）。又因O变式1答案：arctan解析：双曲线离心率e=5，即ca=5，c=5a，b=26a。设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线定义m变式2答案：B解析：由tan∠CAB=−125，得cos∠CAB=−513。设|AB|=13k，|AC|=5k，|BC|=12k。由|BD|2=|AD|⋅|BD|，得|BD|=|AD|，即D为AB变式3解：(1)长轴长与短轴长比为2:1，即2a=2×2b，a=2b，焦距2c=23故椭圆C的标准方程为x设P(x0,y0)，圆O的切点弦AB方程为x0x+y0y故△MON面积最小值为(3)设D(x1,y1)，E(x2,y2)，直线DE方程y=kx+变式4答案：D解析：抛物线y2=4x焦点F(1,0)，入射光线与x轴夹角60∘，方程为y=±3(x−1)。联立y=3(第2题答案：D解析：平行于y轴的光线过P(22,5)，与抛物线x2=4y交于A(22,2)。抛物线焦点F(0,1第3题答案：5解析：设椭圆离心率e1，双曲线离心率e2=3e1，椭圆长轴2a1，双曲线实轴2a2。光线经椭圆反射路程为4a1（两次反射），经双曲线和椭圆反射路程为2a2+第4题答案：AD解析：A.抛物线y2=4xB.设A(y124,y1)，BC.M(2,1)，入射光线y=1，交抛物线于A(1D.直线AO方程y=4y1x，与准线x=−1交于N(−1,−4第5题答案：y解析：△NF1F2中，∠NF2F1=45∘，tan∠NF1F2=14，面积10。设|NF2|=第6题答案：D解析：入射光线F2P斜率为−3，与反射光线PE垂直，故反射光线斜率为33，∠F2PE=90∘。设|PF2|=m，|PF1|=n，由双曲线定义n−第7题解：(1)椭圆短轴长2b=23，b=3。光线经椭圆两次反射路程为4a=8，a=2(2)设Q(x,y)，抛物线反射光线平行于x轴，故Q纵坐标与入射点纵坐标相同，由抛物线定义|(3)P在椭圆上，Q在抛物线上，坐标分别为(0,3)和第8题答案：C解析：椭圆x225+y212=1中，a=5，切线l的垂线m为P点的法线，