2025年高考数学加练半小时-专题2第8练函数的奇偶性、对称性与周期性

第8练函数的奇偶性、对称性与周期性一、单项选择题1．(★)(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝x3＋x－1，若f(lgm)＝eq\f(1,2)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,m)))等于()A．－1B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D．－eq\f(5,2)答案D解析由f(x)＝x3＋x－1，可得f(－x)＋f(x)＝－2，又f(lgm)＝eq\f(1,2)，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,m)))＝f(－lgm)＝－2－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,2).2．(★)(2023·襄阳模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(－3)＝0，则不等式f(x－1)>0的解集为()A．(－3,3)B．(－∞，－2)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,2)D．(－∞，－3)∪(0,3)答案B解析根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)上单调递减，又由f(－3)＝0，则f(3)＝0，则函数f(x)的草图如图所示，若f(x－1)>0，则有x－1<－3或0<x－1<3，解得x<－2或1<x<4，即不等式f(x－1)>0的解集为(－∞，－2)∪(1,4)．3．(★★)(2023·南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减，设a＝f(2)，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b答案D解析由f(2－x)＝f(x)，可知f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝f(2)＝f(0)，又因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以f(－1)<f(0)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即c<a<b.4．(★★)(2024·宜春模拟)函数f(x)＝ex＋4－e－x(e是自然对数的底数)的图象关于()A．直线x＝－e对称 B．点(－e,0)对称C．直线x＝－2对称 D．点(－2,0)对称答案D解析由题意f(－2e－x)＝e－x－2e＋4－e－(－2e－x)＝e－x－2e＋4－e2e＋x，它与f(x)之间没有恒等关系，相加也不为0，A，B均错，而f(－4－x)＝e－4－x＋4－e－(－4－x)＝e－x－e4＋x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称．5．(★★)(2023·贵阳模拟)已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x－1，则f(2024)等于()A．－2B．－1C．0D．2答案B解析根据题意，函数f(x－1)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x＝－1，又由函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，则有f(－x)＝f(－2＋x)，f(－x)＝－f(x＋2)，联立得f(x＋2)＝－f(－2＋x)，则f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数是周期为8的周期函数，所以f(2024)＝f(253×8)＝f(0)＝－1.6．(★★)(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则使不等式f(x＋1)<f(2x)成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－2，－1)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案D解析由|x|－1>0得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f(－x)＝lg(|x|－1)＋2－x＋2x＝f(x)，故f(x)为偶函数，而y＝lg(|x|－1)，y＝2x＋eq\f(1,2x)在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f(x＋1)<f(2x)可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x＋1|<|2x|，,|x＋1|>1，,|2x|>1，))解得x>1或x<－2.二、多项选择题7．(★)下列函数中，为奇函数的是()A．y＝2x－2－xB．y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)C．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0))D．y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋1)＋x))答案ACD解析对于A，设f(x)＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)，定义域为(1，＋∞)，所以为非奇非偶函数；对于C，作出函数的图象，如图实线部分所示，根据图象可知，为奇函数；对于D，设f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋1)＋x))，定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln1＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．8．(★★)(2024·福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(2,3)时，f(x)＝|2x－5|，则下列结论正确的有()A．函数f(x)的周期为2B．函数f(x)在区间(－1,0)上单调递增C．f(1)＝0D．f(2023.5)＝0答案ACD解析因为函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，故函数f(x)是周期函数，周期为2，故A选项正确；由奇函数性质得，函数f(x)在区间(－1,0)与(0,1)上的单调性相同，由函数的周期性得函数f(x)在(0,1)上的单调性与在(2,3)上的单调性相同，因为x∈(2,3)时，f(x)＝|2x－5|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－2x，2<x<\f(5,2)，,2x－5，\f(5,2)≤x<3，))易知f(x)在(2,3)上不单调，故B选项错误；由函数f(x)在R上的奇偶性、周期性可得f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)，联立解得f(－1)＝f(1)＝0，故C选项正确；由函数的周期性得，f(2023.5)＝f(1.5)＝－f(0.5)＝－f(0.5＋2)＝－f(2.5)＝0，故D选项正确．9．(★★)(2023·石家庄模拟)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称B．函数f(x)的周期为1C．f(2021)＝0D．f(2022)＝0答案AC解析∵函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数，∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)，f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故A正确；∵函数f(2x＋1)(x∈R)的周期为2，所以f(x)的周期为4，故B错误；∵函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，∴f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝0，故C正确；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D错误．10．(★★★)(2023·泉州模拟)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．现已知函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x－1)＋a，则下列说法正确的是()A．函数y＝f(x＋1)－2a为奇函数B．当a>0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增C．若方程f(x)＝0有实根，则a∈(－∞，0)∪[1，＋∞)D．设定义域为R的函数g(x)关于点(1,1)中心对称，若a＝eq\f(1,2)，且f(x)与g(x)的图象共有2024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2024)，则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x2024＋y2024)的值为4048答案ACD解析对于A，因为f(x＋1)－2a＝a(x＋1)＋eq\f(1,x)＋a－2a＝ax＋eq\f(1,x)，所以y＝ax＋eq\f(1,x)是奇函数，故A正确；对于B，因为f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(5,2)a＋2，f(2)＝3a＋1，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－f(2)＝1－eq\f(a,2)，当0<a<2时，f(x)在(1，＋∞)上不单调递增，故B错误；对于C，令f(x)＝ax＋eq\f(1,x－1)＋a＝0，显然x≠－1，所以a＝eq\f(1,1－x2)，因为1－x2∈(－∞，0)∪(0,1]，所以eq\f(1,1－x2)∈(－∞，0)∪[1，＋∞)，故C正确；对于D，由A可知，当a＝eq\f(1,2)时，f(x)关于点(1,1)中心对称，且g(x)关于点(1,1)中心对称，所以这2024个交点关于点(1,1)对称，故(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x2024＋y2024)＝(x1＋x2＋…＋x2024)＋(y1＋y2＋…＋y2024)＝2024＋2024＝4048，故D正确．三、填空题11．(★★)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________.答案2解析∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx，且函数f(x)为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意．12．(★★★)(2023·潍坊模拟)已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x＋2)是偶函数，当x∈[2,3]时，f(x)＝3－x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝________.答案0解析函数f(x＋1)是奇函数，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，即f(2－x)＝－f(x)，函数f(x＋2)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，即f(4－x)＝f(