2025年高考数学加练半小时-专题6第52练子数列问题

第52练子数列问题1．(★★)已知数列{an}满足an＝(1)问数列{an}是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列是等差数列，并求数列{}的通项公式．(1)解由题意可知，a1＝＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)，所以a1＝1，a2＝＋eq\f(2,2)＝2a1＋1＝3，a3＝＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)a2＋eq\f(1,2)＝5，a4＝＋eq\f(4,2)＝2a2＋2＝8，因为a3－a2＝2，a4－a3＝3，a3－a2≠a4－a3，所以数列{an}不是等差数列．又因为eq\f(a2,a1)＝3，eq\f(a3,a2)＝eq\f(5,3)，eq\f(a2,a1)≠eq\f(a3,a2)，所以数列{an}也不是等比数列．(2)证明方法一因为对任意正整数n，＋2n，所以＝eq\f(1,2)，eq\f(a2,2)＝eq\f(3,2)，所以数列是首项为eq\f(3,2)，公差为eq\f(1,2)的等差数列．从而对∀n∈N*，＝eq\f(3,2)＋eq\f(n－1,2)，a2n＝(n＋2)·2n－1，所以数列{}的通项公式是＝(n＋2)·2n－1(n∈N*)．方法二因为对任意正整数n，＋2n，得－(n＋3)·2n＝2[－(n＋2)·2n－1]，且－(1＋2)×21－1＝a2－3＝0，所以数列{－(n＋2)·2n－1}是每项均为0的常数列，从而对∀n∈N*，＝(n＋2)·2n－1，所以数列{}的通项公式是＝(n＋2)·2n－1(n∈N*)．2．(★★)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，an>0,3a2＋2a3＝a4，S5＝13a3＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)记数列{an}中不超过正整数m的项的个数为bm，求数列{bm}的前100项和T100.解(1)由3a2＋2a3＝a4，得3a2＋2a2q＝a2q2，因为an>0，则q>0，则q2－2q－3＝0，解得q＝3，又S5＝13a3＋4，即eq\f(a11－35,1－3)＝13a1·9＋4，所以a1＝1，所以an＝3n－1.(2)由题设及(1)得b1＝1，且当3n－1≤m<3n时，bm＝n，即b1＝b2＝1，b3＝b4＝…＝b8＝2，b9＝b10＝…＝b26＝3，b27＝b28＝…＝b80＝4，b81＝b82＝…＝b100＝5，所以T100＝1×2＋2×6＋3×18＋4×54＋5×20＝384.3．(★★)已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若，，…，，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，k1＝1，k2＝5，令bn＝2nkn＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设数列{an}的公差为d，由题意可知，a1＝A1＝4，a4＝A2＝4＋6＝10，所以a4＝4＋(4－1)×d＝10，解得d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.(2)设等比数列，，…，，…的公比为q，则q＝＝eq\f(a5,a1)＝eq\f(12,4)＝3，所以＝4·3n－1，又＝2kn＋2，所以2kn＋2＝4·3n－1，kn＝2·3n－1－1，所以bn＝2nkn＋2n＝4n·3n－1，所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1，3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4(n－1)·3n－1＋4n·3n，相减得－2Tn＝4×30＋4×31＋4×32＋…＋4·3n－1－4n·3n＝eq\f(41－3n,1－3)－4n·3n＝－2(2n－1)·3n－2，所以Tn＝(2n－1)·3n＋1.4．(★★)(2024·淄博模拟)已知公差为d的等差数列{an}和公比q>0的等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，a2＋b3＝8，a3＋b2＝9.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn.解(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b3＝1＋d＋q2＝8，,a3＋b2＝1＋2d＋q＝9，))且q>0，解得d＝3，q＝2，∴an＝3n－2，bn＝2n－1.(2)由已知得数列{cn}为b2，b3，b5，b6，…，当n为正偶数时，Sn＝[b2＋