专题24.5三角形一边的平行线（第2课时）（高效培优讲义）数学沪教版九年级上册

专题24.5三角形一边的平行线（第2课时）教学目标掌握三角形一边的平行线的性质中间比代换；学会构造平行的七种技巧；掌握重心的概念及性质；重心性质的几何应用。教学重难点1.重点（1）常用构造平行辅助线的作法；（2）比例线段的化简；中间比代换；（3）重心的性质的推导过程；重心性质的应用。2.难点（1）构造平行；（2）综合分析法，比例线段的化简与几何图形的性质综合分析；（3）分类讨论思想。知识点1三角形的重心及其性质证明联结EF.由BE、CF是△ABC的中线，可知EF是△ABC的中位线.∵EF//BC,问题：在图2419中，如果△ABC的另一条中线AD与BE相交于点G',如图2420所示，那么这个交点G'与交点G是否同一个点?2.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.3.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.4.重心的画法：两条中线的交点.【即学即练】【答案】6【分析】本题考查重心的性质，掌握重心的性质是解题的关键．根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求解即可．故答案为：6．

【答案】4【分析】根据重心的性质，进行求解即可．故答案为：4．【点睛】本题考查重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离是中心到对边中点距离的2倍，是解题的关键．【答案】【详解】如图，连接并延长，交于H，故答案为：．【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质以及平行线分线段成比例定理，难度中等，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．【答案】2【分析】本题考查了重心的性质及直角三角形的性质，延长交于点D，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及重心的性质求解即可．【详解】解：如图，延长交于点D，故答案为：2．∴点O是的中点，【答案】2故答案为：2．（利用三角形一边的性质定理推论也可得）知识点2三角形一边的平行线（续）1.三角形一边的平行线的六种解题技巧：①中间比代换法证比例式；②等积代换法证比例式；③等比代换法证比例中项；④平行法证比例式；⑤等比过渡法证线段相等；同分母的中间比代换法。2.构造平行..........②作三角形一边的平行线；③截长补短法；④构造平行四边形..........【即学即练】【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．3．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝．【答案】故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5【答案】C【详解】解：∵F是上的中点，故选：C5．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是(

)【答案】C【分析】利用相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理证明即可；【详解】∵DE∥CF，∴△DEK∽△CFK，∵EK∥AD，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．题型01在梯子型中构造平行【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【答案】【详解】解：过点A作AG∥CD交EF于H，交BC于G，∵AD∥BC∥EF，∴四边形AHFD、AGCD均为平行四边形，∴CG=HF=AD=3，∴BG=BC﹣CG=2，∴EH=BG=，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例，将梯形问题通过作辅助平行线转化为三角形问题是解答的关键．题型01连接两点构造平行 B． C． D．故选：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解 决问题，属于中考常考题型．【变式1】．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．【答案】8【详解】解：连接BG并延长交AC于H，

∵G为ABC的重心，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴BE＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行四边形的判定及性质,平行线分线段成比例定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．题型03作三角形一边的平行线证法二、连接、，【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．(2)求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．题型04截长补短法【答案】4又是中点故答案为：4．【答案】【详解】解：如图，延长、交于点G，【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．题型05作三角形的中位线为中点，【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．A.3:2:1B.5:3:1C.25;12:5D.51:24:10【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．题型06构造平行四边形是的中点，【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．题型07其他辅助线作法【解析】解：如图，连接、，【点评】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段 的比转化为面积的比是解题的关键．【解析】（1）成立．【点评】此题考查平行线分线段成比例定理的运用．题型08三角形一边的平行线—中间比代换【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．【变式1】．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）

【答案】A【分析】抓住已知条件：GE∥BD，GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解.故选：A【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键.【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项．【解析】解：A选项错误，∵点D、点E是AB的三等分点，B选项错误，无法证明；C选项正确，D选项错误，故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系．题型09三角形的重心概念及性质【典例1】．三角形的重心正确的叙述是（）A．三角形三条角平分线的交点B．三角形三条中垂线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条高的交点【答案】C【分析】根据三角形重心定义判断即可得解．【解析】三角形的重心是三角形三条中线的交点，故选：C．【点睛】此题考查了三角形重心，熟记三角形重心的定义是解题的关键．A．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【解析】解：∵是边上的中线，点是重心，故选：C．【答案】/0.6∴点P为的中点，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线段分为两部分是解答本题的关键．题型10：三角形重心的性质的几何应用【答案】/【详解】解：如图，故答案为：．【答案】【详解】解：连接并延长交于点，故答案为：．

【详解】解：延长与交于点，如图所示：

点A关于直线的对称点是点，【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系．一、单选题A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．【详解】解：如图，故选：．2．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是(

).【答案】A【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到==，用AB等量代换CD，得到==；再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得=，由此可判断A选项中的比例是错误的．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，∴==，而AB=CD，∴==；又∵AF∥BC，∴=．故选A．【答案】B【详解】解：如图，连接，∵点是重心，故选：B．4．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥，EF∥CD，那么一定有（

）【答案】BA．5 B．6 C． D．7【答案】B【详解】解：如图，延长交于G，连接，到、的距离h相等，设点A到距离为y故选：B．【答案】D【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可．故选D．二、填空题【答案】【详解】解：如图，延长交于点，连接并延长交于点，故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，看到重心想到证明相似三角形来得到重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是解题的关键．【答案】故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．【答案】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．故答案为：．

【答案】2【详解】解：是重心，故答案为：2．

【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．【答案】2【详解】解：∵PE∥AB，PF∥AC，∵BC＝3EF，答案：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例性质定理及等比性质是解答此题的关键．【答案】故答案为．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【答案】1．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD，故答案为：1．【答案】/0.6∴点P为的中点，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线段分为两部分是解答本题的关键．【答案】或5分别求解即可．故分为以下两种情况：（1）直线垂直平分，此时点与点重合，点与点关于直线对称，根据折叠可得点到的距离与点到的距离相等，故答案为：或5．【详解】解：如图，设交于点Q，∵点F是点A关于线段的“准射点”，【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键．三、解答题【答案】(1)见解析【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．(1)求与的比值．【答案】(1)(2)（2）解：∵是中线，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，重心的性质，三角形的中线，平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【答案】见解析【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．(2)见解析【详解】（1）解：中线，交于点，点为重心，点为重心，【点睛】本题考查的知识点是重心的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握重心的性质．若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过