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文档简介

2019年陕西赛区高中数学联赛预赛试题〔有答案〕

为了方便同学们复习，提高同学们的复习效率，对这一年的学习有一

个更好的稳固，本文整理了高中数学联赛预赛试题，具体内容请看下文。

第一试

填空题：（每题8分，共80分）要求直接将答案填在题中的横线上.

L集合，假设非空集合满足：中各元素都加4后构成的一个子集，中

个元素都减去4后也构成的一个子集，那么.

答案：

2.两条直线，，设函数的图像与、分别交于点A、B,函数的图像与、

分别交于点C、D,那么直线AB与CD的交点坐标是

答案：

3•对于正整数，假设、，当最小时，我们称为的最正确分解，并规定.

例如，12的分解有121,62,43,其中43为12的最正确分解，那么.关于,

有以下四个判断：

其中，所有正确判断的序号是.

答案:②、④

4.为等腰直角三角形，，且，，假设

，那么的面积等于.

答案：1

5.在正四面体ABCD中,AO平面BCD,垂足为O.设M是线段A。上一点，

且满足，那么.

答案:1

6.如图l,Rt的三个顶点都在给定的抛物线上，且斜边AB//x轴，那么斜

边上的高.

答案：

7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相

应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以

700元为首项、以为公差的等差数列,那么参与这项游戏活动获得奖金的期

望是元.

答案：500

8.设、是两个不同的质数，那么被除的余数是.

答案：1

9.定义在R上的函数满足：，且对于任意的，都有.那么不等式的解集

为.

答案：

10.从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到500m以

外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.运

输车辆一次最多只能运三根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料

工地，那么运输车总的行程最小为

m.

答案:14000

第二试

一、（此题总分值20分）

在中，，且.

⑴求角A的大小和边的长；

⑵假设点P在内运动（含边界），且点P到三边距离之和为d,设点P到边

BC、CA的距离分别为，试用表示d,并求d的取值范围.

答案：

二、（此题总分值20分）

在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆经过坐标原点，且分别与轴、

轴交于点（不同于原点）.

⑴求证：的面积为定值；

（2）设直线与圆相交于不同的两点，且，求圆的标准方程.

答案：

三、（此题总分值20分）

如图2,锐角内接于圆，过圆心且垂直于半径的直线分别交边于点

设圆在两点处的切线相交于点.

求证：直线平分线段.

证明：如图4,过点作的平行线，分别交延长线于点，那么

令那么

所以单调递增.

所以.

于是，，即.

故整数的最大值为13.

五、(此题总分值30分)

对于任意的正整数n,证明:

证明：记

先证明：对任意，有.

事实上，

因为单调递增，所以.

故

再证明：对任意，有.

当时，，不等式成立.

当时，

⑴

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