【课件】解析几何中的度量问题2说课课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

解析几何中的度量问题高中数学选择性必修第一册（人教B版）第二章教学阐释CONTENTS目

录教学内容解析1教学目标设置2学生学情分析3教学策略分析4教学过程设计5教学内容解析1教学内容解析线段和角是欧氏几何中两个基本的图形，因此距离和角度是欧氏几何中两个基本的度量,刻画距离和角度是平面解析几何的基本任务.

度量“线段”“角”的工具方法有：解三角形（正余弦定理），向量工具（向量的夹角、模长公式等），两点间距离公式和斜率公式.引入坐标法之后，借助于解析几何中两个重要公式：两点的斜率公式和两点间的距离公式，可以度量线段和角.这两个公式在平面解析几何的学习中具有基础地位，它们是几何图形代数化的起点和重要工具.因此“解析”的核心就是利用坐标法将几何问题代数化来解决问题.笛卡尔坐标理论建立在两个观念基础之上：一个是坐标理论，另一个是将含有两个变量的等式看成是一条曲线方程的理论.在直线、圆、圆锥曲线的学习过程中，学生已经基本感知到利用平面上两点间距离公式和斜率公式可以将几何图形的几何特征用代数表达，进而可以得出曲线方程.通过求解联立不同曲线的方程所得方程组，可以解决曲线位置关系问题，同时求解出交点的坐标，又可以进一步研究弦长、距离、面积等一系列的度量问题.从教材内容的角度：本节课是解析几何大单元的延伸探究内容，是从度量的角度对坐标法的再认识再升华，也是对解析几何问题解决方法的进一步深入探究，重点解决如何简化代数运算上.旨在解决解析几何中的度量问题过程中，让学生进一步体会坐标法中对线段和角的度量是基础，同时感受解析几何中的运算是建立在几何背景下的运算，学会用几何的眼光观察、分析几何要素的基本关系来简化运算，从而进一步落实数形结合的思想.教学目标设置2教学目标设置平面解析几何本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系;运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想.教学目标设置【教学提示】

在平面解析几何的教学中，应引导学生经历以下过程:首先，通过实例了解几何图形的背景，例如，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用;进而结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题，例如，两点决定一条直线，椭圆是到两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹等;再结合具体问题合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题;最后，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题.应充分发挥信息技术的作用，通过计算机软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系.在教学中，可以组织学生收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.教学目标设置【学业要求】1、能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程:

根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.2、能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题.重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.1.体会利用两点间距离公式和斜率公式，可以将解析几何中的度量问题化归为对线段和角两个基本图形的度量的过程；教学目标教学目标设置2.学会用代数、几何等手段化简解析几何中的代数运算，进一步体会数形结合思想.学生学情分析3学生概况知识基础高二学生已经初步掌握了本章的基础知识，有了研究解析几何中度量问题的直接经验优势不足具备结合几何图形直观获得解题思路，会用“坐标法”研究解析几何中的轨迹问题以及长度（距离）、面积、角度等简单的度量问题.但解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算，对于较为复杂灵活的问题，学生缺少“以形助数”的意识，缺乏用几何眼光观察、分析几何图形要素及其之间基本关系的能力.学生学情分析利用图形的几何特征及图形间的关系来简化计算教学难点教学学情分析教学策略分析4

问题引领

感受研究思路学生主体教师主导教学策略分析

1．站在大单元的高度组织内容.通过精心设计的“问题串”，引导学生回顾平面几何的学习历程，确定平面解析几何的研究对象是平面几何图形，刻画距离和角度是平面解析几何的基本任务.在此基础之上通过具体实例引导学生从“数”和“形”两个角度进行分析，抓住解析几何问题首先是几何问题这一核心，帮助学生形成完整的认知结构.

问题引领

构建框图

感受研究思路

变式训练

提升整体感知

深化数学思维目标学生主体教师主导教学教学策略分析

2．基于学习力的视角组织教学活动.根据现阶段学生学习的实际能力和学生的思维特点及认知基础，运用引导发现和讲练结合的方法，提出问题让学生分析、思考和交流，在巩固知识的同时促进学生逻辑推理能力、数学运算能力、数学构造能力的提升.3．通过变式训练，让学生体会数形结合的双向转化过程，数学知识的变化与统一，深化数学思维.教学过程设计5代数几何熔一炉1乾坤变幻坐标书2图形百态方程绘曲线千姿计算求3教学过程设计代数几何熔一炉本图片可以更换成你自己的图片或视频本图片可以更换成你自己的图片或视频体会价值复习回顾明确任务提升认知

【设计意图】通过复习回顾明确平面几何研究的是平面图形的性质，关系和规律.线段和角是欧氏几何中两个基本的图形，因此距离和角度是欧氏几何中两个基本的度量,刻画距离和角度是平面解析几何的基本任务.代数几何熔一炉本图片可以更换成你自己的图片或视频本图片可以更换成你自己的图片或视频体会价值复习回顾明确任务提升认知

【设计意图】引导学生总结出对线段的度量，可以解决面积、周长等问题，对角度的度量，可以进行平行、垂直等关系的判定.

基于两者之上，可以研究全等、相似等更多样化的平面几何问题.代数几何熔一炉本图片可以更换成你自己的图片或视频本图片可以更换成你自己的图片或视频体会价值复习回顾明确任务提升认知

【设计意图】

同时引导学生总结出在高中学习基础之上，如何度量“线段”“角”的工具方法，如：解三角形（正余弦定理）、向量工具（向量的夹角、模长公式等），两点间距离公式和斜率公式.代数几何熔一炉本图片可以更换成你自己的图片或视频本图片可以更换成你自己的图片或视频体会价值复习回顾明确任务提升认知

【设计意图】

这两个公式是建立在“坐标”之上的，让学生明确通过坐标系，可以把几何中的基本元素——点与代数的基本对象——数（有序数对或数组）对应起来，从而平面几何中两个基本的度量——距离和角度，可以借助于公式得到代数表达.

提升学生对几何问题代数化，用代数的方法解决几何问题的认知，同时帮助学生明确“坐标法”——是我们解析几何研究问题的基本方法.乾坤变幻坐标书【设计意图】通过这道题的解答让学生总结坐标法解题的一般步骤，培养学生归纳、总结、反思的学习习惯；同时让学生感受：平面解析几何的研究对象是平面几何图形，刻画距离和角度是平面解析几何的基本任务.感悟形数的对立与统一，探索解几研究的一般路径.并从形和数两个角度重新认识曲线与方程，渗透数形结合思想，建立统一观.建立范式探索路径复习回顾感悟思想乾坤变幻坐标书平面内到两个定点的距离之比等于定值（大于零且不等于1）的点的轨迹为圆，该圆最早是由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出，所以我们称为“阿氏圆”.引入“阿波罗尼斯圆”，介绍数学史.阿波罗尼奥斯所著《圆锥曲线论》一书，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，像“阿氏圆”“极点极线”等问题都出自于本书.

自从笛卡儿引进坐标系以来，为了阐明阿波罗尼奥斯的结果，借助于坐标系，利用两点间距离公式和斜率公式把平面几何中的两个基本图形用代数的形式表达，从而把几何性质转化为代数问题来研究，由此便产生了解析几何.乾坤变幻坐标书【设计意图】在教学中适当地介绍数学发展的历史，可以让学生从历史的角度审视自己学习的知识，感悟自己所学知识的意义以及文化价值，落实课标中有关渗透数学文化的要求.图形百态方程绘，曲线千姿计算求【设计意图】回顾解析几何的研究对象、研究方法.复习解析几何的内容，明确直线、圆、圆锥曲线，是将几何特征代数化，用代数的方法解决几何问题（坐标法），而在此过程中，对于线段的度量和角的度量是转化问题的核心.我们发现每一个几何对象都有与之对应的方程，在同一坐标系下写出两条不同曲线的方程，对它们联立所得的方程组求解，根据解的个数我们可以判断两条曲线的位置关系，求解出方程组的解便可以得到两条曲线的交点坐标，进而解决更多的解析几何问题.悟透通法精选例题灵活转化一题多变本环节精选例题，一题多变，在几何问题与代数问题灵活转化的过程中，形数融通，悟透通法，进一步感悟解几研究的一般路径．图形百态方程绘，曲线千姿计算求悟透通法精选例题灵活转化一题多变

【设计意图】本题以学生熟悉的图形为载体，研究两条直线的垂直，思维入口宽，解题方法多．主要想让学生再次认识到坐标法是研究解析几何问题的核心方法，它是基于点与坐标、直线与方程的对应，通过代数运算研究几何图形的性质．图形百态方程绘，曲线千姿计算求【设计意图】

以椭圆与直线相交求所得弦长为例，利用韦达定理整体代入可以简化计算.以求抛物线的焦点弦长为例，利用抛物线的几何特征表示弦长可以简化计算.图形百态方程绘，曲线千姿计算求【设计意图】从这里可以看到，运用坐标法不仅可以将几何问题通过代数方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系起来.初步体会借助几何直观、适当设元（参数方程）可以简化计算.图形百态方程绘，曲线千姿计算求【设计意图】解析几何解决度量问题时必要的运算是不可避免的，如何能突破运算难点是非常关键的.由于解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以引导学生先用几何的眼光观察,分析清楚几何图形的要素及其之间的基本关系，再用代数语言表达，而且在运算过程中要时