幂函数教学设计

2.3.1幂函数【教学三位目标】1.知识与技能通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想.2.过程与方法使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到掌握研究幂函数性质的一般方法.3.情感、态度、价值观通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。【教学重点】幂函数的概念、图像和性质.【教学难点】将函数图像的感性认识上升到理性认识，归纳概括成函数的性质.【教学方法与手段】自主探究，合作交流，借助多媒体【教学基本流程】从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→应用举例和课堂练习→小结与作业【教学过程设计】（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=W元P是W的函数（y=x）(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2S是a的函数（y=x2）(3)如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3S是a的函数（y=x3）(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=a是S的函数（y=）(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=t-1V是t的函数（y=x-1）问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数(powerfunction)，其中x为自变量，a为常数。注意:幂函数的解析式必须是的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2y=（x+1）2y=x2+1是否为幂函数）【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）不妨也找出典型的函数作为代表：y=xy=x2y=x3y=y=x-1让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减。问题五：所有图像都过哪些点，为什么？学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？学生反应：当0<x<1时，指数小的图像在上方，当x>1时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.教师活动：在0<x<1内任取个x值，例如a，肯定有o<a<1,此时联系到指数函数的单调性，有指数小的函数值越大，同样，当x>1时，指数大的函数值就大.【总结】幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：函函数性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0，+∞){x︱x≠0}值域R[0，+∞)R[0，+∞){y︱y≠0}单调性增(-∞,0)增[0，+∞)减增增(-∞,0)减（0+∞)减奇偶性奇偶奇非奇非偶奇公共点（1,1）【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.（三）新知应用【练习1】证明幂函数y=在[0，+∞)上是增函数证明：（定义法)证法二：任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2；即所以教师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2)幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断【练习2】已知一个函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。解：依题意,得解方程,得m=2或m=-1检验:当m=2时,函数为符合题意.当m=-1时，不合题意,舍去.所以m=2【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化.【练习3【练习3】如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知k分别取四个值-1、1、1/2、2，则相应图象依次为:________解题思路：一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。那么C4<C3<C2<C1,所以本题所对函数图像依次为C4、C2、C3、C1。【设计意图】增强学生对新知的应用能力，并学会从图像中找规律，更好的解题。（四）课堂小结，归纳提升（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.（五）课后作业，巩固训练P79习题2.3：1