2024-2025学年江苏省高一数学下册《平面向量》题期末综合复习

20242025学年度江苏省高一下学期《平面向量》专题期末综合复习

酉笈知识精讲.<

一、考点概述

1、向量的基本概念：包括向量的定义、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等。

2、向量的线性运算：加法、减法、数乘运算，以及它们的几何意义和运算律。

3、向量的数量积：定义、几何意义、运算律，以及数量积与向量夹角、模的关系。

4、向量的坐标表示：向量的坐标运算，向量平行与垂直的坐标表示，向量模的坐标公式。

5、向量的应用：用向量解决平面几何问题、物理问题等。

二、易错点分析

1、概念理解错误：如对零向量的方向、单位向量的模等概念模糊。零向量方向是任意的，单位向量模长

为lo

2、运算错误：向量运算律的错误应用，例如向量乘法不满足结合律。在进行向量线性运算和数量积运算

时，易出现符号、系数等计算错误。

3、夹角问题：求向量夹角时，要注意向量的方向，夹角范围是［0,\pi］。若两向量起点不同，需平移至同起

点再求夹角。

4、忽略特殊情况：在讨论向量平行或垂直问题时，要考虑零向量的特殊情况。零向量与任意向量平行。

三、二级结论总结

1.极化恒等式平行四边形模式：a-b=^才—仁―百

证明：不妨设AB=a,AD=b,贝l|AC=a+6,DB=a-b

|AC|=AC=（a+b^=忖+2〃.匕+忖①

=DB—二,『一2〃•力+②

上面两式相减，得:=:才—q------------极化恒等式

2.极化恒等式之矩形大法

如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和瓦）交于点O,尸为平面内任意一点，有以下两个重要的向

量关系：®PA2+PC2=PB1+PD2；②PAPC=PBPD.

证明：①连接P0,根据极化恒等式a2+b2=2[(^)2+(亨)J可得PA2+PC2=2(P02+苧)=PB2+

PD2；

②根据极化恒等式9•b=(半丫一(早了，可得无-PC=PO2-^=PB-PD

3、鸡爪定理

已知P,N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，贝P,N三点共线”的充要条件

是“存在实数力，使得AP=XA〃+(1-X)AN”.此结论往往称为向量的鸡爪定理.

【证明】先证充分性.若AP=XAM+(1-4)AN,

贝I]=AP-AN=-AN^,

即NP=/LNM，NP〃NM，故M，尸，N三点共线.

再证必要性.若M,P,N三点共线，则存在实数几，使得NP=XM0,

IPAP-AN=A(AM-AN),AP=-AN)+AN,mAP=AAM+(1-A)AN.

综上知，结论成立.

4.等和线定理

平面内一组基底应，协及任一向量0P',。「'=2次+〃彷(九〃GR),若点P在直线43上或在平

行于AB的直线上，则4+〃=晨定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)

线.

(1)当等和线恰为直线时，左=1；

(2)当等和线在O点和直线AB之间时，ke(0,1)；

(3)当直线45在。点和等和线之间时，Ae(l,+8)；

⑷当等和线过O点时，k=0；

⑸若两等和线关于。点对称，则定值4,左互为相反数；

(6)定值"的变化与等和线到。点的距离成正比

5、三角形“四心”的向量表示

(1)三角形四“心”向量形式的充要条件

设O为A45C所在平面上一点，角A,&C所对边长分别为a*,c,则

__、2__.2__»2.

(1)O为AABC的外心oOA=0B=0COAOBOC

^\\=\\=\\=z—sin—/I.

(2)O为AABC的重心oOA+OB+OC=0.

(3)。为AABC的垂心==

(4)O为AABC的内心oaOA+6Q3+cOC=0.

②PG=g(PA+PB+PC)OG为AABC的重心，特别地PA+P8+尸。=0o尸为AABC的重

心；

③PA.PB=PB.PC=PC•PAoP为AABC的垂心；

④向量2(-^-+-^)(2w0)所在直线过AABC的内心(是ABAC的角平分线所在直线)；

\AB\|AC|

⑤I而I正+1前I⑸+1无I丽=6o尸AABC的内心

6.奔驰定理

奔驰定理：设。是ZVWC内一点，ABOC,AAOC,AAOB的面积分别记作枭，品，Sc则

SAOA+SBOB+SCOC=O.

奔驰定理推论：x-O4+y0B+z-0C=0,则

①S&B0C：S^COA：S^AOB=l-^h\y\'\z\

x

②SABOC_IIs“oc_IyIS”OB_Iz

f1

SXABCIx+y+zlS*ABCIx+y+zlS“BC\x+y+z

四、解题策略

1、向量运算问题：可根据向量的运算法则，将向量用已知向量表示，再进行运算。若已知向量坐标，可

直接利用坐标运算求解。

2、向量夹角与模的问题：求夹角可利用公式及向量平行与垂直问题:

结论.几何表示.坐标表示.

模，a|=yja-a一I«I=VX2+/.

数量积.a-b=\a\\b\cos3.ab=x1x2+y1y2.

cos0-Qb«cose二,咐+产

夹角.

M+.旧+4

的充要条件.a-b=0^中2+%%=0・

。〃6的充要条件.a=ZA(〃w0).%丫2_芍%=°.

|a®4als|（当且仅

1X1X2+必力Jx；+y；-（X；+只。

的关系,当〃〃方时等号成立）.

3、向量应用问题：解决平面几何问题时，先将几何问题中的线段转化为向量，再利用向量的运算和性质

求解；解决物理问题时，要明确向量在物理中的实际意义，如力、速度、位移等都是向量，根据物理情境

建立向量模型求解。

考点一：向量的线性运算

12

例1、如图，在VABC中，已知==尸是线段AZ）与BE的交点，若AP=MA3+〃AC，

则m+n的值为（）

【答案】C

【解析】如图，过。作直线。尸〃BE,交AC于尸，则F右F=胃BD=彳1，

ECBC3

...EF=-EC=--=—

3326

AE_6APAE6,__八6/inA-、

---=---=—AP=—AD=—（xAB+yAC）,

~AF~1ADAF777

又B,D,C三点共线，.•.无+y=l,

故机+〃=4（x+y）=4

故选：C

考点二：向量的数乘运算

例2、已知VABC所在平面内一点。满足r>A+r>B+：r>c=o,贝”△ABC：SOBD

【答案】5

【解析】如图，取A3的中点尸，则D4+O8+』OC=2OF+』DC=0,

22

故。=4£>尸，故C、D、尸三点共线,

CFCD+DF「

故心ABC：S^ABD==5,

DFDF

变式：已知“与。为非零向量，OA=a+b,OB=2a-b,OC=Mi+〃b,若A,8,C三点共线，则

2/1+〃=

【答案】3

【解析】由题意知，A氏C三点共线，^AB=a-2b,BC=(A-2.)a+(ju+l)b,

且AB,BC共线,

1=左（彳一2）

故不妨设AB=kBC,（ZwO）,则

-2=妖〃+1），

所以4-2="，解得"+〃=3,

—2

故答案为：3.

考点三：三点共线定理(鸡爪定理)的应用

例3、如图所示，在VA3C中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E点直线交边A3,AC于

N两点,设AB=A,AM，AC=piAN,（M,N与点、B,C不重合）

A

BDC

⑴证明：X+4为定值；

（2）求）匚+一二的最小值，并求此时的2,〃的值.

X+1〃+2

【解析】（1）因为AD是边BC边上中线，，所以AD=；（A3+AC）.

又E是AD的中点，AB=AAM,AC=JuAN,

所以AE=，AO=LA8+1AC=4AM+2A2V.

24444

因为E,M,N三点共线，所以，与=1且彳>0,〃>0

44

所以2+〃=4,即N+〃为定值；

（2）由（1）%+//=4=>2+1+//+2=7

=¥2+心+1占2+2］小工」,

当且仅当经=且土|，即2=:，〃=1时，等号成立・

所以之=!•,〃=!■时，~~—：+——r的最小值上.

22A+1//+，7

考点四：向量的数量积运算

例4、设48,AC是两个不共线的向量，是在8c上的投影向量，则下列结论正确的是（）

2222

A.ABBD=BDB.AC-AD=AD^C.BDDC=ADD.AC-CD=CD

【答案】B

如图，由题意可设

对于A,由数量积的定义可得区4?8£＞BD＞故A错误；

对于B,根据向量数量积的定义得ACAD=kcHA4cos/CAZ)=AD2,故B正确；

对于C,设画|=狐|凶=〃，贝IJ瓦"DC-mn，由于即可以为任意正数，故C错误；

对于D,由数量积的定义可得C4?CDCD2＞故D错误；

故选：B.

.12

变式1、已知△ABC是边长为1的正三角形，AN=]NC,P是5N上一点且AP=MA5+§AC,则APA3=

()

219

A.—B.—C.—D.1

993

【答案】A

11uuintun2tunQUULT

【解析】由AN=—NC,^AN=-AC,^AP=mAB+-AC=mAB+-AN

34991

Q1

而尸，员N三点共线，则根+§=1,即加=§,

12

所以”=§AB+,AC,

(12\122

所以APAB=-AB+-ACAB=-+-xcos60°=-.

(99J999

故选：A.

变式2、向量a,b满足问=2,忖=4,向量&与。的夹角为年，则°.k+刀=()

A.0B.8C.4+4行D.4一46

【答案】A

忖=向量与的夹角为寺,

【解析】因为a=2,4,ab

所以。2=

所以

故选：A.

考点五：向量的模、向量的夹角

例5、已知平面向量a,6,|《=2，W=退，且6-(a-b)=0.

(1)求a与b的夹角。的值；

(2)当卜-几。|取得最小值时，求实数2的值.

【解析】⑴由人("6)=0州=石，可得a/=b2=3，

八a，bV3兀

又同)ri=2,所以cosO=mw=《-,又0V8V7I,所以。=z；

(2)因为夕6=〃=3,同=2,

所以1_砌=技+(询2一2脑力=7422-62+3一+|>^|

考点六：向量的投影、投影向量.

例6、已知向量a,b满足问=也卜卜2夜.

7T

(1)若向量。力的夹角为求40的值；

⑵若卜+“4,求M-2目的值;

⑶若a，(a+6),求”在。方向上的投影向量.

【解析】(1)a-t>=|a||i)|cos^=5/2x2\/2x^-=2.

(2)由|a+。/=〃+2〃+/?2=16,得〃.》=3，

所以|a-2b|2=a2-4a-Z2+4Zj2=2-4x3+4x8=22.i^|a-2/>|=V22.

(3)由题意得〃•(〃+8)=。，即〃2+〃.0=0，得。2=_2，

〃,b—21,

所以“孙〜二所二万四二一1因为“山可。，^，所以9=?’

.br-271bb

。在日方向上的投影向量：acosa,&^=V2xcosyx-^==--

考点七：极化恒等式的应用

例7、.如图，已知正方形ABCD的边长为4,若动点尸在以A3为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含

边界)，则尸CPD的取值范围为()

DC

H

A1--------------------]B

A.(0,16]B.[0,16]C.(0,4)D.[0,4]

【答案】B

【详解】取CO的中点E,连接PE,如图所示，

DEC

E

A[----------------------]B

所以尸E的取值范围是羊，AE,即[2,2君],

-2

又由PCPD=(PE+ED)■(PE+EC)=PE=PE2--4，

4

所以尸。尸£>e[0,16].

故选：B.

变式、在边长为2的正方形A3CD中，M为3C的中点,点E在线段A3上运动，则ECEM的取值范围

是()

A.[0,4]B.[2,6]C.[0,3]D.[2,4]

【答案】B

【详解】以A为坐标原点，分别以AB,AD为x轴，y轴，建立直角坐标系,

则C（2,2）,M（2,1）,设E（私0）,04-42,

贝ljEC.£M=（2-%,2）一（2—m,l）=（2-my+2,

因为0VmW2,所以0W2-〃zW2,

EC-EM=（2-nif+2^\2,6\.

考点八：三角形四心在向量中的应用

例8、已知点尸是ABC所在平面内一点，下列命题正确的是（）

A.若PA+P8+PC=0，则点尸是ABC的重心

B.若点P是J1BC的外心，则=

C.若PA-PB=PB-PC=PC-PA,则点P是一ABC的垂心

（、

AnAr

D.若点尸是A3c的垂心，则AP=2।~i——+i~i——（AGR）

|AB|COSB|AC|COSC

【答案】ACD

【详解】对于A,取BC,C4,AB的中点RE/,

贝UPB+PC=2PD,PC+PA=2PE,PB+PA=2PF,

因为PA+P3+PC=0，所以PA=-2PZ），即点尸在中线AD上；

同理可得点P在中线BE,C尸上，所以点P是，ABC的重心，A正确.

对于B,设M为A2的中点，因为点尸是4ABe的外心，所以

AP-AB=^AM+MPyAB=AM-AB+MPAB=^AB^,B不正确.

对于C,因为尸4依=尸2.尸。，所以PR（PA-PC）=PB-C4=0,

即点P在AC边上的高线上，同理可得点尸也在ABIC边上的高线上,

=-|BC|+|Bd=O,即।1I。1BC.

1111".cosB|AC|cosC^

/、

AnAC

因为点尸是ABC的垂心，所以APLBC,所以।—i——+1।-------//AP,

|AB|cosB|AC|COSC

(\

AR八。

所以存在XeR,使得AP=2।-i------+i_i--------,D正确.

|AB|COSB|AC|COSC

故选：ACD.

考点九：奔驰定理在向量中的应用

例9、ABC所在平面上一点P满足尸A+=（加＞0,%为常数），若4AB尸的面积为6,则ABC的面

积为（）

A.6B.9C.12D.24

【答案】C

【详解】取AC的中点。，贝卜PA+PC=〃zAB（相＞0,加为常数），

/.mAB=2PO，

.•.C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，

故SABC=2SABP=12.

c

变式、设M为一ABC内一点，且A〃=!A8+JAC,贝hABM与41BC的面积之比为（

45

1145

A.—B.-C.—D.一

5499

【答案】A

【详解】如图所示，

团点M是团ABC所在平面内一点，且满足AM=!AB+：AC,

45

以AD,AE为邻边作平行四边形ADME,延长EM交BC与F,AE^^AC,

则EF//AB,则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比,

SAE1

所以rA=BMk=丁

故选：A

考点十：平面向量范围与最值问题

例10、如图，在梯形AB8中，AB//CD,AB=2CD,瓦F分别为AB,CE的中点，G是线段3c上的动点.

(1)若CG=gB,求证：AEG三点共线；

JT

(2)^AD=CD=1,ZDAB=—,求AG・EG的最小值.

2

【解析】(1)由题意知，AG=BG-BA=-BC-BAf

AF=BF-BA=-(BC+BE)-BA=-BC+-BE-BA=-BC+-BA-BA=-BC--BA

2222424

4

所以=

所以AF,G三点共线；

71

(2)在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,AD=CD=1,/DAB=-,

3

TT

易得8C=l,NABC=g,

设3G=28C(04X41),

解法一：所以EG=8G-BE=/18C-LBAAG=8G-BA=48C-BA,

2

所以EG.AG/XBC-JBAIOBC-BAQ'CZ—ONBA.BC+JBAZ=22-1A+2=G--^+—>—,

I2J222(4)16—16

3

当且仅当a==时，等号成立，

4

所以AG-EG的最小值为多23；

16

解法二：因为3C=5A+AD+DC=—2AE+AD+AE二A。—AE1，

所以AG=A5+5G=2AE+；l5C=2AE+；l(A。—AE)=(2—X)AE+2A。，

EG=EB+BG=EB+ABC=AE+A(AD-AE)=(l-A)AE+AADf

所以AG・EG=(2—2)(1—；l)+/l2+[(2—X).2+"l—%)](AE-AO)

3I22323

=/l2——A+2=|Z——+—>—,

2411616

323

当且仅当人小，等号成立，所以.EG最小值为商

解法三：以E为坐标原点建立如图所示坐标系,

则A(—l,0),5(1,0),C

、

设G(x。,%),则"=5-1,%),叱=CL也

~2,~2

7

由于BG=/IBC，因止匕（升一1,%）=2

f1有)

解得,G--2+1,^2

因止匕AG=[-』2+2,且2],EG=[—工2+1,迫2

(22)122J

^AG«EG=f--2+2¥--2+l>|+-22=22--2+2=f2-->|+—>—，

(2人2)4214)1616

当且仅当彳==3时，等号成立，

4

所以AG-EG的最小值为孑23.

16

变式、在VABC中，P为AB的中点，。在边AC上，3。交CP于R,且|A0|=2|0C|,设A8=“,AC=b.

⑴用°,6表示4尺；

(2)|a|=2,\b\=l,(a,b')=60°,求sinZARB；

（3）若//在3c上，且出,8c设同=2,同=l,6=.a,6.,若耳，求匹虫的范围.

_33_|CB|

【解析】（1）因尸，凡C共线，则存在丸使尸R=4PC，

贝i|（AR-AP）=/l（AC-AP）,整理得AR=（l-/l）AP+/lAC=1^a+X匕.

由B,民。共线，则存在〃使8R=〃8O,

贝||（题_朔=〃（40_码，整理得AR=（1一〃）+〃AO=（1一〃）a+.

1-A,L1

------=1—//X=—

22

根据平面向量基本定理，有口

〔3尸I4

则AR=—a+—b.

42

13

(2)由(1),AR=—aH—b,BR=—b——a,

4224

,123213

则=---a——=——,+-a-b

41644IV1644~2

ARBRA/21

则cos〈AR,B电=网.网

(3)由(1)知PR=；PC,则AC=］尸C=万］6一5a

由C〃,CB共线，设CH=kCB=k(AB-AC)=k(a-b),k>Q.

又RHLBCnRH-BC=(RC+CH}BC=Q.

则

-3

JK——

—5kT----F2k—\ci'b=0—5k-----F22k—cos3=0cos=____2

2I42I43,

4)1--

2

3

15k~21

712兀八iinI719

因Oe则cosJe贝卜片-----<-=>Z:e

i'T,

24^--2428

2

CH19

所以

CB4?28

M专项提升

一、单选题

1.（2324高一下•江苏常州•期末）已知AABC的顶点A(L2),8(4,2),C(3,4),则cosA=()

A.；B.-C.显D.3

2425

2.（2324高一下•江苏南通•期末）已知向量〃=（一2,4）,Z?=（l,x）,若〃〃〃，则|。|=（）

A.6~B.6

C.2百D.4百

2

3.（2324高一下•江苏盐城•期末）已知向量1=（2,x）,b=（3x6）,则“尤=2〃是〃〃///?〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2324高一下•江苏•期末）已知平面向量a与b满足：。在。方向上的投影向量为!在。方向上的投

4

影向量为。，且同=2,则忖=（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2324高一下•江苏南京・期末）向量〃与Z?不共线，AB=a+kbAC=ma-b（匕加wR）,若AB与AC

共线，则左，相应满足（）

A.k+m=GB.k-m=OC.km-^-l=OD.km-l=O

6.（2324高一下•江苏常州•期末）已知向量”和。满足同=4,忖=2,向量a4在向量。上的投影向量

为ja,则卜一可=（）

A.3B.2百C.4D.12

7.（2324高一下•江苏徐州・期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段

圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为"勒洛三角形在如图所示的勒洛三角形中，已知4?=2，点尸在AC

上，且NP3C=45。，则（）

C.4-20D.2A/2-4

8.（2324高一下•江苏无锡•期末）设点。是VA3C所在平面内一点：①若AO=g（A2+AC）,则点。是

边BC的中点；②若A£»=2AB_AC，则点。在边8C的延长线上；③若AD=xAB+yAC,且x+y=^，

1ABAC

则△5CD是VABC面积的一半；④若=z।~।-------+1~i---------，则直线仞一定过VABC的内心.则

3^|AB|cosB|AC|COSC^

上述说法正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、多选题

9.（2324高一下•江苏南京•期末）已知向量a=（6,sine）,〃=（cos。/），0<^<7L,下列说法正确的是

()

A.若a_Lb，则tan0=—A/3

B.。与5一定不是平行向量

C.卜+耳的最大值为20

D.若同="忖，且b在。上的投影向量为-乎“，则”与％的夹角为胃

10.（2324高一下•江苏淮安・期末）如图，设3,0y是平面内相交成，，角的两条数轴，其中ee]o弓，

华92分别是与无轴，y轴正方向同向的单位向量，若。=旄；+”2,则有序数对（x,y）叫做向量。尸在夹角

uuuUllUUUIU

为。的坐标系xOy中的坐标，记为。尸=（无,y）⑷.已知0P=（1，D（马，°°=（一1』）（百则（）

UUUL

A.OPOQ=0B.\OP\=4^

umu

C.△。尸Q为等腰三角形D.尸0=（-2,0）与

11.（2324高一下•江苏无锡・期末）"费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题

是："在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出

了解答，当VABC的三个内角均小于120。时，使得NAO8=/BOC=NCOA=120°的点。即为费马点；当

VABC有一个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（）

A.正三角形的费马点是正三角形的中心

B.若P为VABC的费马点，且PA+PB+PC=Q,则VA3C一定为正三角形

C.若丫45（?三边长分别为1,6,2,则该三角形的费马点到各顶点距离之和为S

冗

D.VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZA=-,bc=2,若点尸为VABC的费马点,

2

贝|夫4-尸2+尸3・尸。+尸。・尸4=一立―

9

三、填空题

12.（2324高一下•江苏常州•期末）已知。=（2,4）,6=（3,y）,且。〃（a+匕），则实数，=

13.（2324高一下•江苏无锡•期末）已知向量a,6的夹角为g,且同=2,忖=1,贝电+豆b卜.•

14.（2324高一下•江苏盐城•期末）已知梯形ABCD中，ZBAD=90,AB//CD,AB=3,AD=6,DC=1,

若BH=2BC，CE=ACD，2e[0,l],则AE.AH的取值范围为.

四、解答题

15.（2324高一下•江苏常州•期末）在平面直角坐标系尤0y中，已知点4（3,3）,8（1,5）,P（l,2）,“为直

线O尸上的动点.

⑴若四边形APBQ是平行四边形，求点。的坐标；

（2）求的取值范围.

16.（2324高一下•江苏南京•期末）已知|a|=7I,|6|=1,4与b的夹角为45。.

⑴若2a+36与幻-6共线，求实数/的值；

⑵求|4+2向的值;

⑶若向量（2a-劝）与（%-36）的夹角为锐角，求实数2的取值范围.

17.（2324高一下•江苏无锡•期末）在直角梯形ABCD中，已知AB〃CD,/DAB=90，AB=2AD=2CD=2,

点尸是2C边上的中点，点E是CD边上一个动点（含端点）.

（1）若。E=；DC,求AC，E尸的夹角的余弦值；

⑵求EA-EF的取值范围.

18.（2324高一下•江苏苏州•期末）如图，在平行四边形ABCE＞中，已知A=5，AB=2,AD=1,E为

线段AB的中点，尸为线段2C上的动点（不含端点）.记BF=mBC.

（1）若m=5,求线段环的长;

(2)若根=；,设A8=xCE+yOF,求实数x和y的值；

⑶若CE与交于点G,AG//EF，求向量G百与GF的夹角的余弦值.

19.(2324高一下•江苏徐州・期末)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意

相邻三点都不共线的有序整点列A(m：4，4，4,4与8(77)；与，B,其中7亚3,

B2,B3,n

若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②AA+JBjB],其中i=l,2,3,n-1,则称A(〃)

与3(〃)互为正交点列.

⑴求A(3)：A。』)，4(4,-A,4(6,1)的正交点列8(3)；

(2)判断44)：A(0,0),4(1,2),4(0,4),4(1,6)是否存在正交点列8(4)?并说明理由；

(3)证明：Vn>5,“wN,都存在整点列A(〃)无正交点列.

参考答案

1.C

【分析】求出ABAC的坐标，由夹角公式可求得结果.

【详解】依题意得AB=(3,0),AC=(2,2),

UUUlUUU,—

/tunmr、ABsAC6V2

则cos(A5,AC)二ULM=1111=---------=------

IAB|gAC|3xj4+42'

故选：C.

2.B

【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.

【详解】因为所以〉宓，即(一2,4)="1户)=(—2,4)=(4/1)

-2=2J2=-2

所以4=xA\x=-2,所以6=(1,-2)

所以|b|==非,

故选：B.

3.A

【分析】根据向量平行得出无，再结合充分不必要条件判断即可.

【详解】因为用/区,可得2x6=3xxx,尤2=4,x=±2,

贝Ux=2是°/功的充分不必要条件.

故选：A.

【分析】根据投影向量的定义，先由b在。方向上的投影向量为a，可得第6=4,再根据。在6方向上的

投影向量为!运算求解即可.

【详解】因为6在“方向上的投影向量为a，且同=2,

a-b\Y

即Q=4，

a-br4r1r

又因为。在〃方向上的投影向量为b=b=-b,

\b\\b\4

可得M、16,即W=4.

故选：D.

5.C

【分析】根据向量平行的结论可以直接得到答案.

【详解】因为〃与人不共线，且AB与共线，贝lA3=4AC，

即L7],即bn+l=0.

故选：C

【分析】先由向量在向量。上的投影向量求出入人然后求解卜-可即可.

3

【详解】因为向量立-B在向量&上的投影向量为

4

(。一力•〃33i-123

所以I|2=1,所以(〃—。＞。=引。=4x16=12,

\a\44114

所以万=12,得。/=4，

所以,=7(«-^)2=-2。2+片=716-2x4+4=273,

故选：B

7.A

【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解.

【详解】如图，以8为坐标原点，2C所在直线为X轴，垂直于3c方向为y轴，建立平面直角坐标系,

因为|82|=|A8|=2,ZPBC=45，

所以尸(2cos45,2sin45),即尸(0,&),

且3(0,0),C(2,0),4(1,质,

所以AB=(—1,一近),AC=(1.-73),BP=(72,V2),CP=(近-2,也),

所以AC—8尸•CP=—1+3—(4一2五)=20—2.

故选：A.

8.C

【分析】根据中线的性质即可判断①，根据向量的运算得到30=C3,即可判断②,

根据三点共线的性质即可判断③，根据垂心的性质及数量积公式即可判断④.

【详解】AD=-(AB+AC\,即

2、72222

即BD=OC，即点。是边BC的中点，故①正确；

AD=2AB~AC，AD-AB=AB-AC，即=

即点。在边CB的延长线上，故②错误；

AD=xAB+yAC,且x+y=/,

故2AO=2xAB+2yAC,且2x+2y=l,

设AM=2AD，贝UAM=2xAB+2yAC，且2x+2y=l,

故M,民C三点共线，且AM=2AD，

即△BCD是VABC面积的一半，故③正确.

设BC的中点为

ABBCACBC

ADBC=-=1(-|BC|+|BC|)=O,

31网cosB+|AC|COSCI3、।11'>

即ADSBC,故AO过VABC的垂心，故④错误；

故选：C

9.ABD

【分析】根据a/=0判断A,由平行向量的坐标表示判断B,根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C,

根据投影向量的定义及夹角公式判断D.

【详解】对于A：若£_1_/?,则a/uA/^cose+sineuO,所以tan6=-白，故A正确；

对于B：因为sindcos，=；sin2，wA,所以a与。一定不是平行向量，故B正确；

对于C：因为6=(若+cosO,sind+l),

所以+.J(退+cos6)+(sin6+以='5+4sin<9+^

所以当6=2时|。+5|取得最大值，最大值为3,故C错误;

a-baa-b友a-b_V2

对于D：b在〃上的投影向量为丁厂1=7"工d----------Cl所以而=

同\a\同44

所以cos(a,6)=肯自=后**=后><一£=一¥，

\a\\b\同I4J2

又0«.力)<兀，所以,涉〉=,,故D正确.

故选：ABD

10.ABD

LILU111UUUU111U

【分析】由已知可得OP=q+e2,OQ=-el+e2,根据向量的数量积运算与线性运算依次判断各选项即可.

TT1

【详解】由题可知1=^21=1,e,-e2=lxlxcosy=-,

UUUUUULlttl11U

OP=G+4，OQ——q+4,

uimuum111rliiru>2注2.

对A：OP-OQ=(^+e2)•(-^+e2)