2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷01【新高考八省专用测试范围：人教A版选修二、三全部】（全解全析）

2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷01

（新高考八省专用）

（考试时间：120分钟分值：150分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无

效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版2019选择性必修二+选择性必修三。

5.难度系数:0.65o

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知数列｛0“｝满足,其前“项和为邑，贝”26=（）

n+〃

113「26

A.—B.—C.—

272727

【答案】c

［分析］根据裂项相消法求前n项和为S”,从而可得S26的值.

1__]__i_

【详解】因为q

/+〃〃(〃+1)n〃+1

11111J__n

所以=&+&+/+…+%1—+——I------——F•+-L=i--L

22334nH+1n+\Z7+1

故ST26

27

故选：C.

2.若随机变量X的分布列如下表，表中数列｛夕〃｝是公比为2的等比数列，则E（X）=（）

X123

PAPi夕3

【答案】D

【分析】根据等比数列通项公式用月表示。2、。3,再结合概率和为1求出R，最后根据期望公式计

算成X).

P2=P1X22T=2P-31

【详解】已知数列｛P0｝是公比为2的等比数列，可得A=Ax2-=4A.

因为随机变量X的所有概率之和为1,即。1+。2+。3=1，将2=2P1，。3=4。1代入可得：

A+2A+4A=1,合并同类项得70=1,解得

根据离散型随机变量的期望公式E(X)=lxpI+2*02+3*p3,把22=2月，A=4A,代入可

得：

E(X)=lx；+2x(2xg)+3x(4x；)

1412

=—十一十一

777

_1+4+1217

―7-T*

故选：D.

3.若从小明、小红、小刚等6名同学中选出3名同学分别到45。三个班级进行学习经验分享，则

小明、小红、小刚三名同学不去A班，且小刚不去3班分享学习经验的概率为()

2132

A.—B.—C.-D.—

3455

【答案】D

【分析】基本事件总数为“=A：=120,利用分步乘法原理结合排列组合求出符合条件的方案数，从

而可求出概率.

【详解】从6人中选3人排列共有A：=120种，由题意得

去A班的方案有：C；=3种；

去B班的方案有：C；种；去C班的方案有：C；种；

所以，满足条件的方案数是：C；C；C；=48.

482

所以所求概率是西=不

故选：D.

4.已知函数“X）的图象在点（2J。））处的切线/的方程为G-y+2=0,且点（1,〃7）在/上,

〃?+/'（2）=-4，贝1］。=（）

A.3B,-3C.4D.-4

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义结合题设条件，列出方程组，求解即得.

’2”/(2)+2=0a=-3

a-m+2=0m=-l

【详解】依题意，■加+/（2）=-4'解得,

/(2)=-4

（（2）=。H2)=-3

故选：B.

5.学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判,

一名助理裁判1,一名助理裁判2,一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员,

共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的

条件下，第四裁判员是男生的概率为（）

,55r55-330一3

A.—B.—C.D.一

73744394

【答案】A

【详解】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判

中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式

得结果.

【分析】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数：

先从4名女生中选出一名担任主裁判，有4种选法，再从剩下12人中选出3人分别担任不同的助理

裁判以及第四裁判，

注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有（A：?-A；）种选法，

故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为4（A：?-A；）,

第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数:

先从4名女生中选出一名担任主裁判，有4种选法；

再从9名男生中选出一名担任第四裁判，有9种选法；

最后从剩下11人中选出2人分别担任不同的助理裁判，有A：种选法，

故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为4X9A],

因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下，

4x9A：9x11x1099055

第四裁判员是男生的概率为4（A：「A112X11X10-6=国=方

故选：A.

6.足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱.为推广足球运动，某学校成立了足球社团，

社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，

接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接

到.记开始传球的人为第1次触球者，第"次触球者是甲的概率为即6=1.给出下列2个结论:

①月=；,②综＞4.则下列说法正确的是（）

A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立

C.①②都成立D.①②都不成立

【答案】A

【分析】根据给定条件，直接求出鸟；求出片,Ei的关系，再求出通项公式，进而作差判断.

【详解】由乙或丙传球给其他两个人，得勺=；，①正确；

依题意，第〃次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人，

有3的概率将球传给甲，于是尺=：（1一4i）=一1以|+；，月-；=一1（&-；），

乙ZZ2323

而月一1:=?;,因此优「学1是以（2为首项，1为公比的等比数列，

则匕即月=，；尸+,则G=|-（T+3唱,

3134311

4o=_不与+不=_不*：^+5,[＞片0，②错误.

222Izozzjo

故选：A

7.某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共

同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1

名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（）

A.72B.54C.48D.36

【答案】D

【分析】根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解.

c2rl

【详解】将4名研究生助理分成3组,有七种方法,再将3个组分配到3个实验室有十、A；=36

A；A；

种方法.

故选：D.

8.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由

转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起,

每层与其外一层球面的间距构成首项为1mm、公差为4mm的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内

层的半径之差为190mm,则该鬼工球的层数为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前”项和公式建立方程，进而求解鬼

工球的层数

【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项%=1"机、公差d=4机机的等差数列.设该鬼工球

的层数为"，

由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前〃项和，即邑=190mm.

根据等差数列前〃项和公式J,

n72

将q=1,d=4,S"=190代入可得：„xl+0zl）x4=19O,SP2n-n-190=0

2

19

得到々=10,%=-5（因为层数〃为正整数，所以舍去）.

该鬼工球的层数为10.

故选：B.

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

A.已知数据再,2,…，/的极差为6,方差为2,则数据3%+1,3芍+1，…,3再0+1的极差和方差分

别为18,18

B.一组数网,々,…,x/xeN"）的平均数为。，若再插入一个数。，则这”+1个数的方差变大

C.若随机变量X~45,£|,则尸（X=2）=£

D.若随机变量X~N（4,/）,且P（X22）=0.8,贝|P（X>6）=0.2

【答案】AD

【分析】利用极差和方差的性质可判断A选项；利用平均数和方差的计算公式可判断B；利用独立

重复试验的概率公式可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项.

【详解】对于A选项，数据占,%2,…,占0的极差为6,则数据3再+1,3工2+1,…,3尤10+1的极差为3*6=18,

数据X］，z，…,占0的方差为2,则数据3尤1+1,3尤2+1,-、3占0+1的方差为32><2=18,故A正确;

对于B选项，由题意可知q=+…%,若再插入一个数。，则平均数变为

n

x+x-\-----\-x+a_an+a_

x2n=­ci即平均数不变,

H+1n+1

而原来的数据的方差为『=（二”）一+（纪•）土,+（士功:,

n

同理可算得新数据的方差为2=（西一。『+（马一。『+…+（为--+（">=Q<S2,所以方差会

〃+1n+1

变小，故B错误;

对于C选项,若随机变量X~8故C错误;

对于D选项，若随机变量X~N（4,"），且尸（X22）=0.8,

则尸(X>6)=1-尸(X46)=l-尸(X22)=l-0.8=0.2,故D正确.

故选：AD.

10.已知〃X）=（2-X『=%+%工+°2尤2+…+%必，则下列描述正确的是（）

A.偶数项的二项式系数和为128B./（T）除以5所得的余数是1

C.同+同+|。3〔+…+同=38D.2a2+3a3+,—卜8a§=-8

【答案】AB

【分析】根据奇数项和偶数项的二项式系数的关系判断A的真假；利用二项式定理探索余数问题判

断B的真假；利用赋值法判断C的真假；利用导数的运算，结合赋值法可判断D的真假.

【详解】对A：根据二项式系数的性质可得，所有项的二项式系数和为2&=256,并且奇数项的二

项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，均为二=2?=128,故A正确；

2

对B：因为/(-1)=38=94=(10-1)4=C>104-C>103+C^X102-C>10+C^=10Z:+1,所以/(-I)

除以5所得的余数是1.故B正确；

对C：因为旬，a2,%，。6，。8均为正数，4，%，。5，。7均为负数，令X=-l,贝I」：

3‘=a。—q+%—%+%—+%—%+&=|+1+|"2|+'',+|"8|，

8

再令尤=0得：flo=2,所以周+也|+…+|%|=38-28,故C错误；

对D：因为(x)=—8(2—x)=%+2a[X+3%厂H—,+8agX，,

令尤=0得：％=-8x2,=-1024；

令x=1得：-8=%+22+3%+…+8g.

所以2a2+3%+…+8%=-8-4=1016,故D错误.

故选：AB

11.设函数/(x)=x(x-a)2,a*。，则()

A.当°=3时，〃X)有极大值4B.当a=3时，f(x+3)>f(x)

C.当°>1时，/(a2+a)>/(2a+l)D.当a<-l时，/(a2+a)>/(2a+l)

【答案】AD

【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可求解极值判断A,举反例即可求解B,

根据函数的单调性即可求解C,利用作差法，结合不等式的性质即可求解D.

【详解】由/(x)=x(x-a)2,a片0可得/'(x)=(3x-a)(x-a),

当。=3时,f(x)=(3x-3)(x-3),当x>3或x<l时，/'(">0J(x)在(3,+e),(-叱1)单调递增,

当1〈尤<3/(x)<0J(x)在(1,3)单调递减,故当x=l时，/⑺取极大值4,故A正确，

ITr,r(\/八2宜1riJl八7114/1112525,

对于B,当。=3时，/(x)=x(x-3),取》=彳，则/彳+3=3*5=三,y%=3X7=^,此时

ZyZ/ZzoyZyZ4o

+故B错误，

对于C,当0>1时，a2+a>a,2a+l>a,且当时，/'(x)>0,此时〃x)在(a,+00)单调递增,

但由于。2+々-(2.+1)=/_々_1,故与2a+l的大小关系不确定，因此无法判断

/(/+a)>〃2a+l),C错误，

对于D,f(a2+a)-/(2a+1)=+aja4-(2a+l)(“+l)~=(a+1)[苏-(2a+l)(a+1)],

当a<-l时，a+lvO"<0,2a+l<0,故(2a+l)(a+l)>0,因此

2

/(a+a)-f(2a+l)>0,所以/■(1+0)>42°+1),故D正确，

故选：AD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.★(x-2y)5的展开式中//的系数为(用数字作答).

【答案】-10

【分析】将问题转化为求的展开式中x与的系数，然后利用(x-2y)s的展开式通项求出含

的系数，即可得解.

【详解】《(》-2田5的展开式中了3/的系数等价于(工一2田5的展开式中/〉的系数，

而(x-2»的展开式的通项为心=C*5Y(_2»=(-2)*CyV,O<左W5,左eN,

令后=1得(》-2城的展开式中了5的系数为(一2)匕=-10,

即:(x-2y)5的展开式中//的系数为TO.

故答案为：-10

13.已知随机变量X~N(0Q2),若尸(0VXW3)=0.35,则尸(XW-3)=.

3

【答案】0.15/三

【分析】根据正态曲线的对称性，结合正态分布的概率表示，可得答案.

【详解】因为尸(X23)=P(XV-3),

所以尸(X4-3)=尸(X23)二尸(XNO)-尸(04X43)=0.5=0.35=0.15.

故答案为：0.15.

14.已知。>1,若对于,,不等式g-x+山3xV—!+Ina恒成立，则a的取值范围为____.

_3)3xae

【答案】

【分析】先利用同构法将题设不等式转化为;+ln(3x)V—!+ln(ae，)，再构造函数

JXCtQ

/(x)=1+lnx,(x>l),利用导数与函数单调性的关系得到3xWae3x

从而将问题转化为，T对

1\4丫

XWk+引恒成立，，再次构造函数g(M=g求得最值即可得解.

【详解】不等式，一x+ln3x+lnq,可化为~^-+ln(3x)+lnq+x=-^—+ln(qe"),x>—,

3xaex3xaexaexv73

1y—1

^/(x)=-+lnx,(x>l),则/'〈xh7-NO,

所以/(x)在(1，+s)上单调递增,

x,

因为。>1，-~^所以3x»l,>P»_i,贝Uae">l,

所以不等式］+ln(3x)W—!+ln(ae，)，即为〃3x)V/(ae)

JXCIQ

3x$+℃)恒成立,

3x<aex,即aN二对xw

e

令g(x)=当,则g，(x)=3(l：x),

ee

当时，g,(x)>0,即g(x)单调递增，

当xw(l,+8)时，g,(x)<0,即g(x)单调递减,

3

.•.g(x)<g(l)=-,则士，即。的取值范围为-,+00

eee

故答案为：:+°°;

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知数列｛4“｝的前"项和为"，且2S,+3-3%=0,„eN,.

(1)求｛为｝的通项公式；

3"

⑵若2=求数列低｝的前〃项和加

(%+1)(%+1+1)'

【答案】(1)。“=3"

【分析】(1)首先利用〃22时，。“='-，7求得a"=3%_「进而得到数列｛/｝为公比为3的等比

数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可；

(2)根据裂项相消求和计算即可.

【详解】(1)由2s“+3-3%=0,

可得〃=1时，2S]+3—3%=0,

解得〃1=3,

〃22时，2S〃_]+3-3%_i=0,又2s〃+3-3%=0,

a

两式相减可得2a〃=2Sn-2sl=3。〃-3-^n-\+3,

即有4=3。〃一1,

数列｛&｝是首项为3,公比为3的等比数列，

所以%=3"；

3〃3〃1(11)

(2)数列也｝满足=(%+1).用+1)=(3"+1乂3馍+1)二113"+1-3用+J'

1<111111V1f1

所以"匕-历+历一云+…+3”+1-3用+1卜5173向+J•

16.(15分)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知

甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分,

现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.

(1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获

得奖励，请说明理由：

⑵丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57

人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量Z〜Nk",(y2),贝|j-a<x<，+b)六0.6827；P(//-2cr<X<〃+2cr)«0.9545；

P(〃一3b4X4〃+3b)a0.9973.

【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解

(2)乙所说为假

【分析】(1)由且〃=171,计算b,求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比

较即可；

(2)假设乙所说为真，由〃=201计算求出尸(X2〃+3b)=0.0013<0.005,利用小概率事件即

可得出结论.

【详解】(1)甲能够获得奖励，理由如下：

设此次闯关活动的分数记为X~NJ,/).

57

由题意可知〃=171,因为琬=0.0228,

且尸(X>〃+2b)="(〃一2,X4M+2叽l_0；545®228,

所以〃+2。=351,则b=351；71=90；而黑=o」6,

口\-P(Li-(y<X<1-0.6827

且尸(X>〃+cr)=——7----------------1=---«0.1587<0.16,

可知前400名参赛者的最低得分高于4+。=261,而甲的得分为270分,

所以甲能够获得奖励.

(2)假设乙所说为真，则4=201,

/、1-P(ti-2a<X<£/+2CT)1-0,9545

P(X〃+2。)=——--------------2=―«0.0228,

57351—1

而^^=0.0228,所以。=凹于上二75,从而〃+3b=201+3x75=426<430,

工,、1—尸(〃—3bKXW〃+3b)1-0.9973

而P(X2月+3b)=--------------------------------L=——-——X0.0013<0.005,

所以X2〃+3b为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但

却又发生了，所以可认为乙所说为假.

17.(15分)已知函数〃x)=x2+(2-a)x-alnx(aeR),g是〃x)的一个极值点.

⑴求。的值；

(2)若直线>=丘与/(x)的图象相切，求才的值.

【答案】(1)。=1;(2)2.

【分析】(1)对函数求导，根据极值点求得。=1,注意验证结果即可;

（2）若直线V=履与〃x）的切点为（加，症+〃7-ln〃7）,应用导数的几何意义求该点处的切线方程,

进而得至打_加2_In加=0旦左=（2%_D（加+1）,并应用导数研究零点求得巾=1,即可得.

【详解】（1）由题设r（x）=2xq+2-a且x＞0,又广=2x—2Q+2—a=3-3a=0,

出2

所以a=l,此时/(x)=x2+x-lnx,则/⑺=2x—+]=—[(x+l),

区间（0,；）上/'（x）＜0,/（x）单调递减，区间（；,+◎上/'（x）＞0,/（x）单调递增,

所以!是〃x）的极小值点，故。=1;

（2）由题设，若直线_V=履与〃x）的切点为（私疗+"_lnM，则/'（加）=◎"?1）（7"+1）,

m

故切线方程为,一（m2+m-Inm）=一D（冽+9.（％一加）,即y=^H一］）（加+D%_加2+］一］口机，

mm

显然V=融与》二色上电”土加2+1—in机是同一条直线，所以1_加2_也冽=0,

m

12.1

令y=l一加2—111加且冽＞0,贝!jy'=-2m=———...＜0,

mm

所以y=1-/2一in机在（0,+oo）上单调递增,又加=1时＞=1一1一lnl=0,

综上，1一冽之一in冽=0有唯一根为加=1,

所以左=(2"L1)(〃Z+1)=2.

m

18.（17分）某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下:

日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日

第X天12345

参观人数了2.22.63.15.26.9

（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合了与x的关系，请用相关系数「加以说明（保留小数点

后两位）；（若讨＞。-75,则认为V与x的线性相关性很强），并求出了关于x的线性回归方程;

（2）校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校

的概率分别为:、1i且出学校与进学校选择相同门的概率为选择与入校不同两门的概率

2633

各为假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月

1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差.

55_5_______

附：参考数据：2毛％=72,WX=55,y=4,Zv；=95.86,V158.6~12.59.

i—1i=lz=l

，xiyi-nxy

参考公式：回归直线方程y=Bx+a,其中石二月-----二—，a=y-bx.

£xf-nx

Z=1

n__

^x^-nxy

相关系数，=I〃i_屋_.

、口-康\归号。

V/=iV«=1

【答案】（1）“0.95,说明见解析，$=L2x+0.4

（2）分布列见解析，E（X）=1,D（X）=~.

【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出厂的值，即可得出结论；再将数据代入

最小二乘法公式，求出令、£的值，即可得出回归直线方程;

（2）利用全概率公式求出每个人从2号门出校园的概率均为5，由此可知X〜利用二项

分布可得出随机变量X的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出E（X）、D（X）的值.

-1+2+3+4+555

【详解】（1）依题意,x=----------=3,而\王弘=72,Zx；=55,y=4,

5i=lZ=1

5___

±x,%-5孙

72-5x3x41212

则厂=i=l«0.95

S'7总鼠-57,55-5x3?J95.86-5x4?7158.612.59

i=li=l

因为r。0.95>0.75时线性相关程度高，所以了与x线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合.

5___

,Zw_5xy

i=l72-5x3x4

b二=y-bx=4-1.2x3=

2=1.2,a0.4,

(Xxi2-5Jx55-5x3

Z=1

因此，回归方程为$=L2x+0.4.

（2）记“甲从2号门出学校”为事件A,“甲从1号门进学校”为事件B,

“甲从2号门进学校”为事件C,“甲从3号门进学校”为事件D,

由题意可得P（8）=；，P（C）=:，P（0=,

io

P[A\B）=P（A\D）=~,P（A\C）=-,

由全概率公式得：P（A）=P（BA+CA+DA）=P（BA）+P（CA）+P（DA）

=尸⑷尸（/⑶+P（C）尸（z|c）+尸⑷尸（乖）f泊+；H，

同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为:,

X为4人中从2号门出学校的人数，则丫~台［4,：

27

尸(X=l)=C；

64

542712_3

尸(X=2)=C；

256128256-64

P(x=W，

故X的分布列为：

X01234

8127273