2023-2025北京高三一模数学汇编：向量的数量积（人教B版）

2023-2025北京高三一模数学汇编

向量的数量积（人教B版）

一、单选题

1.（2025北京丰台高三一模）在平行四边形4BCD中，E为边8c上的动点，。为外接圆的圆心，

2DO=DA+DB.且|方==则D6DE的最大值为（）

A.3B.4C.6D.8

2.（2025北京门头沟高三一模）已知向量£,否满足问=5,5=（3,4）,且。,♦的夹角为『则，』卜（）

A.5A/2B.55/3C.5D.10

3.（2025北京房山高三一模）已知向量1=（x,l）,B=（l,-2）,若）工不，则归-彼卜（）

a/s

A.2B.V5C.—D.VlO

2

4.（2025北京顺义高三一模）已知平面向量B满足口=2,加=（1,0）,囚-可=5,则（）

A.6B.3C.-4D.-2

5.（2024北京朝阳高三一模）在A/8C中，AB=AC=2,BC=26，点?在线段8C上.当苏.而取得最

小值时，PA=（）

6.（2024北京西城高三一模）已知向量或反C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长

7.（2024北京海淀高三一模）已知向量2,5满足⑷=2,3=（2,0）,且区+加=2,则母［〉=（）

7T7C27r5兀

A.-B.—C.—D.—

6336

8.（2024北京门头沟高三一模）在A/8C中，48=4,ZC=3,且|而+就卜|赤-就则君.比=

（）

A.16B.-16C.20D.-20

9.（2024北京丰台高三一模）已知向量［满足后=（后1）,^=2a（AeR）,且鼠B=l，贝i］2=（）

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A.；B.yC.2D.4

、、.----►1/---------►----------\UULUUUlfl

10.（2024北京延庆高三一模）已知正方形ABCD的边长为2,点P满足/P=式/C+疝?），则"./C=（）

A.4B.5C.6D.8

11.（2023北京朝阳高三一模）如图，圆£为V/5C的外接圆，AB=4,AC=6,。为边8c的中点，则

AD-AE=（）

12.（2023北京延庆高三一模）。为坐标原点，点A,B的坐标分别为（-1,3）,贝tanN/O5等于（）

A.1B.-1C.—D.一些

55

13.（2023北京顺义高三一模）如图，在矩形A8CD中，AB=4AD=l，点尸为CO的中点，贝!）

75ADB+^PDB=（）

3

A.0B.一

2

C.eD.2V3

14.（2023北京东城高三一模）已知正方形/BCD的边长为2,P为正方形/8C。内部（不含边界）的动点,

且满足莎・丽=0,则赤.丽的取值范围是（）

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

15.（2023北京平谷高三一模）向量b,己在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则m-B）C=（）

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A.-4B.4C.2D.-8

二、填空题

16.（2025北京西城高三一模）设平面向量Z=（-U）,3=（-2,1）,"=（x,y）,且『|=5,则使得向量刃二与

°共线的一组值x=,y=.

17.（2025北京东城高三一模）已知向量£花,工在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长

为1,贝ljcos<3,">=；[a-b^-c=.

18.（2025北京海淀高三一模）已知向量£=（2,0）,W=l,则「+囚的最大值为；£+5与2的夹角

的取值范围是.

19.（2025北京石景山高三一模）设备=。,1）,|就卜石，益.数=0,则瓯卜.

20.（2024北京房山高三一模）如图.已知矩形NBCO中，AB=4,4D=2,M,N分别是8C,CD的中

点，则而.而二.

21.（2024北京东城高三一模）设向量1=（1,优）/=（3,-4）,且£i=同可，则加=.

22.（2023北京门头沟高三一模）在边长为4的正三角形V/3C中，点尸是边8c上的中点，则

AB-AP=.

23.（2023北京丰台高三一模）已知正方形/BCD的边长为2,则荏.就=.

三、未知

24.（2023北京门头沟高三一模）已知非零向量£,b，贝与否共线”是“团-行目同一愀”的（）

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A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

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参考答案

1.C

【分析】根据题意确定44BD为直角三角形并求出线段的长，然后以DA,DB为基底去计算DO^DE的值

即可.

【详解】由29=方+丽可知。为4S的中点，又因为。为△A3。外接圆的圆心，

所以△48。为直角三角形，DA1DB,所以万不砺=0，

又因为|万5卜网=2所以阿,4所以£）3=25

又因为£为边BC上的动点，所以赤=2前,Xe[0,l]

DO-DE=|■（而+DB＞（DB+BE）=^（DA+DB）-（DB+ABC）

1►►*,•1,2►21I12I1•12

=3（DA+DB）・（DB-入DA）=3（DB-ADA）=-（^DB\-平4）

=1（（2V3）2-42）=|（12-42）=6-2A,

因为2e[0』，所以一24e[-2,0]即6-24e[4,6]

所以DO.DE的最大值为6.

故选：c

2.C

【分析】运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可.

【详解】由题意得W=弄=5,

\^-b\=而_斤=#|2-2而+1

=-2同忸卜0$三+忸]=15?-2x5x5xg+5?=5.

故选：C.

3.D

【分析】先由向量垂直的坐标表示求出Z，然后再由模长的计算可得.

【详解】若）工3，则l'x-2'l=0Px=2,

即。=（2,1）,

又问二石书，

卜-可=,卜-卜）=4a°-质鬲+尸=J5+5=y/10.

故选：D.

4.D

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【分析】根据数量积的运算律，建立方程，可得答案.

【详解】由刃=(1,0),则恸=/116=1,

由悔一*\(2力『=乩2一4遍+片=5,

则4x22-471+1=25,解得H-2.

故选：D.

5.B

【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得用的坐标，即可求解.

【详解】如图，以8c所在直线为x轴，以2C的垂直平分线建立V轴，建立平面直角坐标系，

所以5(-V3,o),C(V3,0),设P(x,o),

则方二(—x,l),P5=(-V3-x,0),

贝I］互5.丽=f(x)=9+瓜=x3

4

当x=_Yl时，方.而取得最小值，止匕时方=

2

故选：B

6.A

【分析】建立坐标系，依次求得1-*=(1,-3),c=(2,l),借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.

【详解】

如图，建立平面直角坐标系.由图可知，c=OC=(2,l),

a-b=AD-AB=BD=OD-OB=(3,-1)-(2,2)=(1,-3),

i^c-(a-^)=lx2+(-3)xl=-l.

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故选：A.

7.C

【分析】将|£+加=2两边同时平方，将条件带入计算即可.

【详解】由已知|Z|=2，W=2,

,rr2rrrrrr

所以（a+bx）=a2+2b-a+b2=4+2x2x2xcos〈a,力+4=4,

得cos〈a1〉=—g,又〈Q,B〉E[0,兀],

——27r

所以〈a,6〉=?".

故选：C.

8.B

【分析】将|在+%|=|9-园两边平方，即可得到在.就=0,再由数量积的运算律计算可得.

【详解】因为|益+二卜|益-就所以（万+*『=（方-二『，

即疝.派•配+农2=疝2_2配+疝2，

所以方•/=0，即方_L就，

^VXABBC=AB-[AC-AB^=ABAC-AB2=0-42=-16.

故选：B

9.D

【分析】用彳表示出向量）的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案.

【详解】-：a-b=\,

30»

又"=彳痴=（旧），

1）；0

.-2311

..a.b=—I—=1，

22

/I=4.

故选：D.

10.C

【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进

行求解即可.

【详解】建立坐标系如图，正方形N8CO的边长为2,

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则4(0,0),C(2,2),0(0,2),可得就=(2,2),而=(0,2),

点?满足方=g(就+而)=(1,2),所以箫.就=lx2+2x2=6.

故选：C.

11.B

—►1>—►

【分析】由中点关系可得4O=5(/B+4C),利用E为V/BC的外接圆的圆心，可得

AE-AB=1|2B|2=^-X42=8,同理可得次：太/=18,即可得出结论.

—►1—►—►

【详解】由于。是边的中点，可得4。=5(48+4。)，

・・・E是VABC的外接圆的圆心，

AE-AB=\AE\\AB\cosZBAE=-^42=8，

____._____»1_____.、

同理可得4EZC=5|4C|=18,

ADAE=-(AB+AC)AE=-定存」下.％」x8/xl8=11.

22222

故选：B

12.B

【分析】利用向量的夹角公式可得cosZ4O3,进而确定tan/ZO5.

【详解】由已知点A,B的坐标分别为(2,-1),(-1,3),

则况=(2,-1),砺=(-1,3),

OAOB2x(—1)+(—1)x3V2

所以cos/4O5=

22222

可忤|^2+(-1)J(-l)+3'

又4OBe[0,%],所以N/OB=1,tan//OB=—l,

故选：B.

13.B

【分析】利用向量的线性加减法法则运算与数量积公式运算即可求解.

【详解】DADB+APDB

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=DA-(DA++CB)

=DA2+DA-AB-DA-AB-DA2+-AB2+-DA-AB

22

22

=ljg+1^4.Z8=l|Z8|+1|n?|.|Z8|-cos^

——y/iH—xlx-\/3x0=—

222

故选：B.

14.D

【分析】通过建立合适的直角坐标系，设尸（X/）,得到户的轨迹方程，最后得到苏.而的表达式，根据函

数单调性即可得到其范围.

【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；

则［(-1,0),8(1,0),C(l,2),£>(-1,2),

设尸(xj),则尸4=(T-x,r),PB=(l-x,-y),

贝I］莎.丽=_(1—/)+>2=0,

BPx2+y2-1,则》2-1=-/，其中0<y<1,

贝I］丽=(l,y_2),而=(x+l,y_2),0<y<l

则炉丽-1+(y-2)2=-/Hy-2)2=Yy+4《0,@,

故选：D.

15.A

【分析】将£，b，之平移至同一个起点并构建直角坐标系，写出相关向量的坐标，再应用向量数量积的坐

标表示求m-3）］.

【详解】将Z，b，之平移至同一个起点位置，如下图。点位置，建立直角坐标系xOy,

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则a=(2,2),b=(2,0),1=(-l,-2)>所以。一B)•己=(0,2)-(-1,-2)=-4.

故选：A

16.-4(答案不唯一，填3也对)3(答案不唯一，第一空填-4,则第二空填3,第一空填3,

则第二空填-4)

【分析】由条件根据向量的模的坐标公式，向量共线的坐标表示列方程求x,了的关系，由此可得结论.

【详解】因为『|=5,c=^x,y),

所以yjx2+y2=5,即x?+y2=25,

因为3=(-2,1),c=(x,y),所以否-c=(-2-x,l-y),

又向量g二与£共线，2=(-1』)，

所以-2-x+[_y=0,

所以x=-y-l,

所以(-了-1『+/=25,

所以P=3或y=-4,

故答案为：-4；3(答3；-4也对)

17.—0

2

【分析】根据网格写出向量的模，再平移向量)求出与的夹角的余弦值，应用向量的数量积公

式求解即可.

【详解】平移向量"与3共起点，易看出各I的夹角为45。，

；-oy/^2,

cos<b,c>=cos45=;

2

|5|=V5,|K|=V2,|c|=1,

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的夹角的余弦值cos=V，瓦)的夹角为45°,

(d,-b\c=a-c-b-c=151P|cos@?>,4|cos,)

=y/5xlx-V2xlxcos45°=0.

5

故答案为：号；o.

2

八兀

18.3；0,-.

6

【分析】根据不等式|々+,4同+同，即可直接求得B+,的最大值；设3=(cos0,sin0),将£+刃与£的夹角

余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围.

【详解】由题可知，同=2,故卜+44同+园=2+1=3,当且仅当口B同向时取得等号，故归+可的最大值

为3；

不妨设B=(cos。,sin。),。G[0,2TI),满足忖=1；

则3+B=(2+cosdsin。),|s+=.^(2+cos0)2+sin20=j5+4cos。,展仅+5)=4+2cos6,

设g+B与G的夹角为夕，则，£[0,可，

U]||Q万•(5+B)4+2cos6cos^+21/----------4

则cosB=-——=----/—=/=-V4cos。+5I,，

同1+b2xj5+4cos9J4cos夕+54j4cos0+5

________3

令/=j4cos8+5e[l,3],故卜大+胃，

根据对勾函数的单调性可知，>=/+；在(1,6)单调递减，在(班,3)单调递增，

又当f=6时，cos/3=—,当f=l或3时，cos/?=l,故cos£eg/，又£e[0,兀],故/e.

22JL6」

故答案为：3；0,^.

O

19.出

【分析】先求出卜@=亚，由莉・数=0可得进而结合勾股定理求解即可.

【详解】由万=(1,1),得画="不=也，

因为血•就=0，所以万_L及S即/3_L3C,

所以国=拒司—|=J5-2=j.

故答案为：V3.

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20.—6

【分析】用石、刀作为一组基底表示出痂，丽，再根据数量积的运算律计算可得.

【详解】依题意翔二次+两=而+,友'^」AL,

22

1^N=^C+CN=AD+-CD=AD--JB,

22

所以萩.丽=（益_；万）]万+

1-21-----23----，

=——AB+-AD+—ABAD

224

1421c23e兀,

-——x4+—x2