2025年九年级中考数学复习：圆周角定理综合题典型题型

2025年九年级中考数学复习

圆周角定理综合题典型题型

1.如图1,是VABC的外接圆，A3为。。的直径，过点C作。//AB,交。。于点，

点E在的延长线上，ZC£A=ZG4D.

⑴求证：CE是0。的切线；

(2)如图2,若NCE4=2ND43,04=4,求弧即的长.

2.如图，VABC内接于0。，相是0。的直径，CE是0。的切线，。是0。上的一点，CELAD,

垂足为点E,A8与CD相交于点尸.

C

⑴求证：CO平分4CD；

⑵若A£=4,AB=9,求AC的长.

3.如图，A3是。。的直径，点C为0。上一点，连结AC,BC,作/CAB的角平分线AD

交。。于点。，交BC于点E,连结交BC于点八

(1)求证：AC//OD-

⑵若DR=2,sinB=-,求跖的长.

4.如图，AB是0。的直径，点C是0。上一点，C尸为0。的切线，弦仞〃CP,。。的延

长线交CP于点尸，连接AC,BC.

(1)求证：ZABD=2NBDC；

(2)若切＞=3P3=6,求A£)的长.

5.如图，VA2C内接于O。A3是。。的直径，连接"，点E是BC延长线上一点，CD是

。。的切线，连接网＞并延长交A8于点尸，且CD=DE.

(1)求证：EF±AB；

(2)若tanB=GBE=6,BF=3AF,求AC的长.

6.如图，点c在以A3为直径的°。上，过点。作的垂线交AC于点交。。于点E,

交过点C的切线于点尸.

试卷第2页，共6页

A

⑴求证：DF=CF；

(2)若。。半径为5,AC=3A/10,求的长和tanF的值.

7.如图，以VA2C的边为直径的0。交AC边于点D.交BC边于点E,连接如，AE相

交于点，连接C£

(1)求证：^BAE+ZCBD=ZCAB；

(2)若3CE=-1BE,CF=5,求°。的半径.

8.如图，VABC中，AB=4&。为AB中点，ZBAC=ZBCD,cosZADC=©O>^ACD

(1)求即和2C的长；

⑵利用尺规作图，过点A作线段。垂线，交。于点E,保留作图痕迹；

⑶求。。的半径.

9.定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐

角称为该三角形第三个内角的“张望角”.

⑴如图1,点。在BC的延长线上，4是VABC中NA的“张望角”，求证：Z/=|zA；

(2)如图2,VA5c内接于。。，点。在2C的延长线上，点E在AC上，连接EA,EC,EA=EC,

连接班，点尸在AC上，AF=BF,连接质,连接CP并延长交3E的延长线于点/,求证:

4是NABC中ZBAC的“张望角”;

⑶如图3,在(2)的条件下，若AC是0。的直径，过点/作AC的垂线，点G为垂

足，IG交AF于点H,若切=5,BC=1,求却的长.

10.小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1,0。的直

径CD垂直弦于点E,且CE=8,DE=2.

(1)复习回顾：求A3的长.

⑵探究拓展：如图2,连接AC,点G是BC上一动点，连接AG,延长CG交A5的延长

线于点尸.

①当点G是8c的中点时，求证：ZG4F=ZF；

②如图3,连接OF,BG,当VCW为等腰三角形时，请直接写出3G的长.

11.如图，是O。的直径，点。E均在O。上，皿。=2/亚加，点C在AB的延长线上，

ZC=ZABD,连接BE.

试卷第4页，共6页

D

(1)求证：CE是。。的切线；

⑵若所=2,EF=4U,求。。半径的长.

12.如图，四边形ABCD内接于0。，AB为。。的直径，点。为8。的中点，过。作。。

的切线，分别交神，钉的延长线于点E,F.

(1)求证：EFLAF；

(2)若点G为。。上一点且位于A8下方，cosZBGD=-,AD=4,求8E的长.

⑴求证：DE是。。的切线；

⑵若NC=30。，CD=12,求。。的直径.

14.已知如图，AB为。。的直径；C为。。上一点，4OC=120。，点D为BC的中点，连

接AD,交OC于点G,延长交。。于点E,连接BE,OD.

(1)求证：ZADO=ZCBE.

(2)若AB=4,求AG的长.

15.如图，A8与0。相切于点5,A0交0。于点0,A。的延长线交0。于点。，E是BCD

上不与5,。重合的点，ZA=30°.

⑴求即的大小；

(2)若点尸在A8的延长线上，且AF=2AB,求证：时与。。相切.

试卷第6页，共6页

《2025年九年级中考数学复习-圆周角定理综合题典型题型》参考答

案

1.(1)证明见解析

⑵兀

【分析】(1)连接”，如图所示，设=由平行线性质、圆周

角定理及直径所对的圆周角是直角得到相关角度关系，再等量代换即

可得到“CE=9O。，进而得证；

(2)连接。。、即，如图所示，设〃钻=人由题意，结合等腰三角形

性质、圆周角定理及平行线性质求出相关角度，再由直径所对的角是

直角，得到+=M=解得分=22.5。，进而由圆周角定理求

出NBOD=2NBAD=2/3=45。,最后由弧长公式代值求解即可得到答案.

【详解】(1)证明：连接”，如图所示：

ZCDA=ZDAB=a,

AC=AC,

■-ZABC=ZCDA=a,ZCOA=2ZCDA=2a,

•••A5为0。的直径，

ZACB=90°,贝lj在Rt^ABC中，ZCAB+ZB=ZCAD+2a=90°,

VZCEA=ZCAD,

答案第1页，共30页

ZCEA+2a=90°,贝lj在ACOE中，ZCEO+ZCOE=90°,gpZOCE=90°,

:.OCLCE,

・••oc是。。的半径，

是0。的切线；

(2)解：连接加、BD,如图所示:

设NZM3=/7,贝UNCEA=2NZ)AB=2分,

:.ZCAD=ZCEA=2/3,

\'OA=OD,

,AADO=ADAB=/3

BD=BD,

:.ZDCB=ZDAB=/3,

•・,CD//AB,

：.ZCBA=ZDCB=J3,

・・・DC=DC,

:.ADBC=ACAD=2/3,

:.4OBD=4OBC+/DBC=(3+2(3=3(3,

AB为。。的直径，

ZADB=9Q°,贝ljZDAB+ZABD=邛=90°,

解得夕=22.5。，

/./BOD=2ZBAD=20=45°,

答案第2页，共30页

v0A=4,

:.l.=—x27tx4=7t

BD360

【点睛】本题考查圆综合，涉及切线的判定、平行线性质、圆周角定

理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟记圆的相关性质是解决

问题的关键.

2.(1)见解析

(2)AC=6

【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相

似三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，角平

分线以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键.

(1)利用切线性质和圆的半径相等所带来的等腰三角形性质，通过

角度等量代换证明角平分线.进行解答即可；

(2)通过证明AACESAABC,利用相似三角形对应边成比例来计算AC的

长度.

【详解】(1)证明：・••CELAD,

.-.ZE=90°,

•••CE是0。的切线，

:.ZOCE=90°,

:.ZOCE+ZE=180°,

:.OC//DE,

:.ZD=ZOCD,

\OB=OC,

答案第3页，共30页

:"B=NOCB=/D,

.\ZOCB=ZOCD,

.•・CO平分4CQ；

(2)解：・・•峰是。。的直径,

:.ZACB=90°.

・・・ZOCE=ZACO+ZACE=90°,ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

.\ZACE=ZOCB,

•,­ZB=ZOCB,

:.ZACE=ZB

又丁ZACB=ZAEC=90°,

:.AACE^AABC,

.AEAC

'~AC~~AB'

AC2=AE-AB=4x9=36.

：.AC=6.

3.(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)先利用角平分线的定义得到NG4D=4S，根据等边对等

角得出/胡。=〃，推得〃=/GW,根据平行线的判定方法得至I」结论；

(2)先根据圆周角定理得到ZAC3=90。，再根据平行线的性质得

ZACB=ZOFB=90°,根据垂径定理得到CF=防，结合锐角三角函数的定

义可求出8=5,求得O尸=3,AB=10,根据勾股定理求出防=4,即可

得出BC=8,根据锐角三角函数的定义可求出AC=6,根据相似三角形

答案第4页，共30页

的判定和性质即可求出所的长.

【详解】（1）证明：•••A。平分/BAC,

/.ZCAD=ZBAD,

;OA=OD,

/.ZBAD=ZD,

：.ZD=ZCAD,

：.AC//OD；

(2)解：•••AB是。。的直径,

/.NAC6=90。，

*/AC//OD,

/.ZACB=ZOFB=90°,

：.CF=BF,

,.OF3

中,sinB==—,

OB5

又,:OB=OD,OF=OD-DF=OD-2,

.OD-23

OD~'5"

OD=5,

/.OF=3,AB=2OD=10,

在RtAOFB中，BF=y]OB2-OF2=^52-32=4，

：.BC=89

在RtA4BC中，sinB=——=—,

AB5

/.AC=6,

*/AC//OD,

答案第5页，共30页

・•△ACE°°^J)FE,

•DFEF

**~AC~~CE9

EF=1,

【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，等

边对等角，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三

角形，勾股定理等.熟练掌握圆的相关定理和相似三角形的判定与性

质是解题的关键.

4.(1)见解析

(2)8

【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和

性质，平行线的性质，熟练利用上述性质是解题的关键.

(1)连接"，利用切线的性质可得NOCP=90。，再证明

ZP=180°-ZADB=90%可得0c〃小，利用圆周角定理即可解答；

(2)证明/BCS'C，利用相似三角形的性质求角度即可.

【详解】(1)证明：如图，连接”，

•「CP为。。的切线,

/.ZOCP=90°,

答案第6页，共30页

•A5是O。的直径,

/.ZADB=9Q°.

*/AD//CP,

ZP=1800-ZADB=90°,

/.ZP+ZOCP=180°,

/.OC//DP,

ZABD=ZBOC.

*：ZBOC=2ZBDC,

/.ZABD=2ZBDC；

(2)解：VBD=3PB=6,

/.PD=S,PB=2,

NOCP=90。,

/.ZOCB+ZBCP=90°.

丁AB是。。的直径，

，ZACS=90。，

ZOBC+ABAC=90°.

*/OB=OC,

/.ZOBC=ZOCB,

/.ZBAC=Z.BCP=ZBDC,

•.・ZP=ZP,

/.APBCS^PCD,

•PCPB

•*PD-PC?

答案第7页，共30页

PC=YPB-PD=4,

BC=y]PC2+PB2=2非,

ZACB=NP=90°,ABAC=ZBCP,

APBCS.CBA,

.PBBC

••BC-ABJ

AD=\lAB2-BD2=8.

5.(1)证明见解析

(2)273

［分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，

圆周角定理的应用，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键.

(1)由CD是。。的切线，得到NOCD=90。，进一步得到々+4=90。，即

可得出结论；

(2)由tanB=VL得到ZB=60。，进一步得到NE=ZA=30。，再通过解直

角三角形即可求解.

【详解】(1)证明：是。。的切线，

ZOCD=9Q°,

ZOCB+ZDCE=90°.

VOB=OC,CD=DE,

ZB=ZOCB,NE=ZDCE,

ZB+ZE=90°,

：.ZBFE=90°,BPEF±AB.

答案第8页，共30页

(2)解:tanB=73,

ZB=60°,

EFLAB,

ZBFE=90°,

丁AB是。。的直径，

/.404=90°,

/.ZE=ZA=3Q°,

BE=6,

BF=-BE=3

2

BF=3AF,

AF=1,AB=AF+BF=4,

AC=ABsinB=2y/3.

6.(1)见解析

53

⑵tanF=-

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也

考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理.

(1)连结OC,先根据切线的性质得到NOb=90。，再利用ZAOF=90。和

ZA=ZOC4得到NDCF=ZADO,然后根据对顶角相等得到NCDF=NDCF,

从而有结论；

(2)先根据圆周角定理得到48=90。，则利用勾股定理可计算出

2C=M,再证明AAODSAACB,利用相似比可求出。。=；,在口△无尸中，

设CF=x,则利用勾股定理得到52+/=联+；解方程得到CP

答案第9页，共30页

的长，然后根据正切的定义求解.

【详解】（1）证明：连结OC,如图

W为O。的切线，

/.OC1CF,

/.ZOCF=90°,

BPZOCA+ZDCF=90°,

OF±AB,

/.ZAOF=90°,

/.ZA+ZADO=90°9

*：OA=OC,

ZA=ZOCA,

ZDCF=ZADO,

*.*ZADO=ACDF,

/./CDF=/DCF,

DF=CF；

(2)解：・.・AB是O。的直径

:.ZACB=90°=ZAOD

・・・。。半径为5

AB=10

答案第10页，共30页

22

・•・在RtZWC中，BC=AB-AC=^102-（3A/10）2=M

ZA=ZA

在△AQD和AACB中ZAOD=ZACB

.△AOD^AACB

.OPAO

.0D_5

••回—3M，

CF-DF=x,贝UOb=OD+O77=g+x,

在RtAOCF中,0C2+CF2=OF2,

:.52+x2+,

解得x=g,

ACF=y,

OC53

.•.在RtZ\OCF中，tan=CF=20=4

T

7.⑴见解析

(2)5+|遥

【分析】(1)根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知可推出

ZCAE=ZCBD,然后根据N54E+N。场=NG4B即可证明结论；

(2)由直径所对的圆周角为直角，ZADB=ZAEB=90。,设加=x,则

CD=|oF=|%,在段段£)尸中利用勾股定理，即可求得X,不妨设CE=a,

BE=2a,接着禾lj用sinNC4E=sinNCBr>,得到隼=*=芸，得到AC=/,

BF=ayl25-a2,接着利用防2+m2=台广，求得。，最后在RtAADB中利用

勾股定理求得”，最后得到半径.

答案第11页，共30页

【详解】（1）解：・・・NC4E和NC5。为劣弧QE所对的圆周角,

:"CAE=/CBD,

・••ZBAE+ZCAE=ZCAB,

/.NBAE+NCBD=ZCAB.

（2）解：・・・的是。。的直径,

..ZADB=ZAEB=90。，

.\ZCDF=90°,

设叱=x,则。/=]孙

在RtZ\CDF中，CF=5,

222

CD+DF=CF,艮|][1力+无2=52,

解得x=4,（负值已舍去），

33

.\DF=4,CD=-DF=-x4=39

・.,NCAE=/CBD,

sinZCAE=sinZCBD,

.CECDEF

CE=^BE,不妨设CE=a,BE=2a,

ZAEB=ZADB=90°,

EF=ylCF2-CE2=525一/，

a3yj25-a2

"AC"3a"BF-'

：.AC=a2,BF^asJ25-a2,

•:EF?+BE?=BF2,

（，25-a?/+（2«）2=（ad25—a2丫,

答案第12页，共30页

25-4+4Q2-Q?(25-4)，

不妨设/=x，

/.25-x+4x=x(25-x),

x=11±4^6,

a2=11±4A/6,

vAC>CD,AC=a2,

：,AC=a1=11+476(舍去11-4布)，

a=2\/2+\[?>,

AD=AC-CD=11+4A/6-3=8+4>/6,

BF=a125-a2=(272+旬)也5-11-4#=(2近+圾(26-6=3瓜+2,

BD=BF+Z)F=3A/6+2+4=3A/6+6,

AD2+BD2=AB2,

(8+4炳2+(376+6)2=AB2,

AB=10+5y/6,

，半径为：5+g卡.

【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，解直

角三角形，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

8.(1)BD=2贬,BC=4

(2)见解析

⑶。。的半径为"

【分析】本题主要考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直

角三角形等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.

答案第13页，共30页

（1）证明△BACSABCD,即可得出答案；

（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线傻即可；

（3）连接C。并延长交0。于点尸，连接转,在RtAA匹中，求出AE,

设CD=x,则=CE=x-\,运用勾股定理求出8=2,AC=242,

解直角三角形求出第=然即可得解.

【详解】（1）解：VZBAC=ZBCD,ZB=ZB,

小BACsABCD,

.BC_BA

••茄―茄，

,:AB=4E,。为48中点，

BD=AD=2版,

.BC4近

••运=正’

ABC=4（负值舍去）；

（2）解：如图，AE即为所作:

（3）解：连接CO并延长交。。于点尸，连接AF,

在RtAAED中，cosZCDA=—=—

AD4

答案第14页，共30页

・/AD=2^2,

/.DE=1,

AE=^AEr-DEr=41,

,/ABACS/CD,

生=丝=0.

CDBC'

设CZ)=x,贝(jAC=&x,CE=x-\,

在RUACE中，AC2-CE-=AE2,

解得，占=2,x2=-4(舍去),

/.CD=2,AC=20,

公FC和ZADC都是AC所对的圆周角，

/.ZAFC^ZADC,

,/cr为。。的直径，

/.ZC4F=90°,

sinZAFC=—=sinZCDA=—=—,

CFAD4

:.CF2

7

o。的半径为印

9.(1)见解析

(2)见解析

⑶*华

【分析】(1)根据题中“张望角”的定义和角平分线的定义得到

〃BC=^ZABC,ZICD=^ZACD,结合三角形的外角性质可得结论；

答案第15页，共30页

(2)先根据圆周角定理和角平分线定义可得即平分/4BC,再根据圆

周角定理，结合圆内接四边形的性质可证明C/平分ZACD,进而根据

“张望角”的定义可得结论；

(3)连接A/,EF,先证明当ffiF(AAS)得到ZF=AF,进而证明

△ACF四△由F(ASA)得至==5,过尸作而，如于在MD上截取

on

MN=CM,连接M,FN,证明AMWFSA丽g,求得班=0/=3,BF=y,

CI=3,过/作/KLa)于K,IK=BK=y,在Rt4CK中，由勾股定理求

得片进而可求解.

【详解】(1)证明：・.一是VABC中々的“张望角”，

BI,Q分别是-4BC,ZACD的平分线

ZIBC=-ZABC,ZICD=-ZACD

22

VZACD=ZA+ZABC,ZICD=//+ZIBC

ZZ=ZICD-ZIBC=-ZACD--ZABC=~(ZACD-ZABC}=-ZA

222''2

.-.ZZ=-ZA.

2，

(2)证明：•：EA=EC,

EA=EC,

:.ZABE=ZEBC9

即皿平分-4BC,

•・•AF=BF，

:.ZBAF=ZACF,

丁四边形ABC厂内接于。。,

.\ZBAF+ZBCF=1SO0,

答案第16页，共30页

♦・・/FCD+/BCF=180。，

:.ZBAF=ZFCD,

.\ZACF=ZFCD,

即C7平分ZACD,

.•)是NABC中NBAC的“张望角”；

(3)解：连接山，EF,

・.・N/是NABC中NBAC的“张望角”,

ZBAC=2ZBIC,

,/ZBEC=ZBAC,

/.ZBEC=2/BIC,又NBEC=NBIC+NECF,

/.ZBIC=ZECF=ZEAF,艮|]/ETF=/FAF,

•.・EA=EC,

••EA=EC，

/.ZCAE=ZEFA,

四边形ACFE内接于00,

ZEFI=Z.CAE=Z.EFA,又EF=EF,

：.AAEFmMEF(AAS),

IF=AF,

丁AC是。。的直径，IG±AC,

ZABC=ZAFC=ZHFI=ZAGH=90°,又ZAHG=ZIHF,

I.NGAH=ZHIF,即ZCAF=ZHIF,

“CF丝△田F(ASA),

答案第17页，共30页

/.CF=FH=5,

过尸作于在MD上截取肱V=CM,连接所，FN,则五M垂直

平分CN,

CF=FN=5,

/.ZFCM=ZFNM,

设ZECF=ABIC=a,贝|ZBFC=2a,

「以平分ZABC,ZABC=90°,

ZIBC=45°9

AFNM=Z.FCM=ZIBC+ZBIC=45°+cr,

/.ZCFM=ZNFM=45°-a9

：.ZBFN=2cr+2(45°-a)=90°,

ZFMN=ZBFN=9Q09又/FNM=ZBNF,

/.ANMFS处JFB,

.FN_MN_MF

•・而一俞一赤’

7

设MN=CM=x,又Be、,

5_x

•*-Z+2x5,解得了=3(负值已舍去),

3

，MN=CM=3,

•*.FM=YIFN2-MN2=A/52-32=4,

由冷篝得则“年

•AF=BF,

/.BF=AF=IF="

3

答案第18页，共30页

2035

CI=CF+IF=5+—=—

33

过/作于K,则Rt/BK是等腰直角三角形,

/.IK=BK,

7

设IK=BK=y,则CK=A^_5C=y_1

在RtZJCK中，由/片+CK2=CL得/一J

解得y=?（负值已舍去），即BK=/K=?,

.，.BI=y/2BK=.

3

图3

【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理,

圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，相似三角形的判定与性质，全

等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质，等腰三角形

的判定与性质，解一元二次方程等知识,涉及知识点较多，综合性强，

熟练掌握相关知识的联系与运用是解题的关键.

10.(1)8

(2)①见解析；②BG的长为半或4括-20

【分析】(1)先求得。。的直径为10,再利用垂径定理求得=

在RCOAE中，利用勾股定理即可求解;

(2)①连接DG,由点G是8C的中点，推出NGA尸=/。，根据等角的

答案第19页，共30页

余角相等即可证明结论成立；

②分两种情况讨论，当CF=CD=10和止=CD=1。时，证明AFGBs△网g

利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】（1）解：连接以，如图1,

;的直径。垂直弦于点E,且CE=8,DE=2,

:.CD=CE+DE=10,AE=BE,

OA=OD=-CD=5,OE=OD-DE=3,

2

在RtZkOAE1中，AE=y/oA2-OE2=752-32=4,

AB=2AE=8；

(2)解：①证明：连接DG,如图，

图2

丁点G是BC的中点，

•*.BG=*G,

...ZGAF=ZD,

:0。的直径CD垂直弦AB于点E,

NCGD=NCEF=90°,

答案第20页，共30页

/.ZF=90°-NDCG=ND,

ZGAF=ZF；

②当CF=CD=10时，

RtACEF中,EF=^CF2-CE1=V1O2-82=6,

BF=EF—BE=2,

AE=4,CE=8,

AC=A/42+82=475,

ZFGB=180°-NBGC=ZFAC,

：.AFGBSAFAC,

.BGBFBG_2

••就=而，R即n砺=正

当Db=C£>=10时,

图3

在RtADEF中，EF=RDF。-DE?=V102-22=4底,

在RtACEF中，CF=^CE'+EF2=,+(4厨=4y/10,

BF=EF-BE=446-4,

同理△FG5SAR4C,

：.BA-里,即与=",

ACCF4A/54A/10

I.BG=4百-20.

答案第21页，共30页

综上，BG的长为W或4g-2五.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定

和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件.

11.⑴见解析

(2)y

【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的

判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解

此题的关键.

(1)连接。E,则/8OE=2/班巴结合题意得出=证明

△ABDSQCE,结合圆周角定理可得NOEC=403=90。，即可得证；

⑵连接皿证明△碎—得出黑嚏，器噜，结合。3

得出=代入数据计算即可得解.

【详解】(1)证明：如图：连接OE,则4。石=2/及圮，

NDAO=2NBDE,

ZDAO=ZBOE,

ZC=ZABD,

/.AABD^/JJCE,

/.ZADB=ZOEC,

答案第22页，共30页

:A3是。。的直径，

/.ZOEC=ZADB=90°,

TOE是0。的半径，

.••CE是0。的切线；

(2)解：如图，连接班,

贝ljZA=ZBED,

;ZA=ZBOE,

：.ZBED=/BOE,

ZBEF=ZBOE,/EBF=/OBE,

/.^OBE^^EBF,

•EBOBOBEB

''BF~BE，0E~EF9

"：OB=OE,

EB=EF,

,:BF=2,EF=JTi,

.A/TT_OB

,,丁忑V

；.0B=,即°。半径的长为*

12.⑴见解析;

⑵成=1.

答案第23页，共30页

【分析】(1)连接。CAC,可得"AC=NG4E,然后根据等边对等角证

明OC〃Ab,再由切线的性质得到OCLEP，再由平行线的性质即可求证;

(2)先由圆周角定理得到ZBGD=/BM),连接8D,则ZAT®=90。，解

RtA4D3中，AB=|AZ)=10,贝|OC=OB=；A2=5,证明/C0E=/&4D,解

S25

RSCOE中，求得OE=]OC=M，再由3E=OE-O3即可求解.

【详解】(1)证明：连接",AC,

BC=CD，

.\ZFAC=ZCAE

•,­OA=OC,

.\ZCAE=ZACO,

:.ZFAC=ZACO,

:.OC//AF

・・・£/切OO于C,

/.OC.LEF9

ZOCE=90°

:.ZF=ZOCE=90°,

:.EF±AF；

(2)解：・・・“GD、/历⑦都是所对的圆周角,

:"BGD=/BAD

连接加，

答案第24页，共30页

・.,池是。。直径,

:,ZADB=90°,

AD_2

,AB"5

AD=4,

/.AB=-AD=10,

2

?.OC=OB=-AB=5

2

•・,点。是8。的中点,

:,ZCOE=ZBAD

or2

在R3COE中，cosZCOE=—=-,

OE=-OC=—

22

2515

:.BE=OE-OB=——5

2~2

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，圆周角定理,

等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键.

13.(1)见解析

(2)43=8/

【分析】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理,解直角三角形.

(1)由三角形中位线定理求得8〃AC,推出N£DO=90。，据此可证明

DE是。。的切线；

答案第25页，共30页

(2)先求得AD的长，再证明△OAD是等边三角形，据此求解即可.

【详解】(1)证明：连接

C

丁是直径，

.•。是的中点.

・••。是BC的中点,

：.OD//AC.

.•./AED+/EDO=180。.

*.*DEJ.AC,

ZAED=90°.

.•./EDO=90。,

石是。。的切线；

(2)解：连接AO,

•••A5是。。的直径,

:.ZADB=90°,

是直角三角形,

答案第26页，共30页

；ZC=30°fCD=12,

AD=CDtan30°.

...==

3

丁OD//AC,

.\ZC=ZODB=30°.

*/OB=OD,

.\ZB=ZODB=30°.

:.AAOD=60°.

*/OA=OD,

••△AO。是等边三角形,

：.OA=OD=AD=46.

AB=8\/3・

14.（1）见解析

（2）当

【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得4CL3C,再结合圆周角定

量得AC〃OD,再根据两直线平行内错角相等得NC4D=WO,再由圆

周角