2025年人教版八年级数学下册期末复习：二次根式（易错重难点5大题型38题）解析版

专题01二次根式(考题猜想，易错重难点5大题型38题)

强型大宗合

验型大通关

__________________________

题型一：利用二次根式的性质化简(易错)

1.(23-24八年级下•江西赣州•期末)若x<3,化简”-6x+9+|4-x|,小杰的解答过程如下:

解：原式="(X-3)2+(4-X)第一步

=x-3+4-x第二步

=1第三步

⑴小杰的解答从第一步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：

(2)请你写出正确的解答过程.

【答案】⑴二，=|n|=—a^a<0)

(2)7-2x

【知识点】利用二次根式的性质化简

【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

（1）根据二次根式的性质解答即可；

（2）根据二次根式的性质进行化简即可.

【详解】（1）解：小杰的解答从第二步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:

V?=同=<0）；

（2）\]x2-6x+9+14-x|

=d(x-3)2+(4—x)

=3—x+4-x

=7—2%.

2.（23-24八年级下•安徽蚌埠•期末）观察下列等式，解答下面的问题:

⑴根据上述规律猜想：若〃为正整数，请用含〃的式子表示第〃个等式，并给予证明;

（2）利用（1）的结论计算]2022+^—+

V2024V2023

【答案】⑴、鼠工=（〃+1）/工（〃为正整数）；证明见解析

Vn+27Vn+2

(2)1

【知识点】异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简

【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的加减运算,

（1）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第〃个等式，然后根据二次函数的性质进行证

明;

（2）利用（2）中的规律得到原式=2023、「工lx向西-2022、匚匚x05万，然后根据二次根式的乘法

V2024V2023

法则运算.

【详解】（1）Jn+—=（n+l）.p^（"为正整数）

证明：左边卜（"+2）+1但苴,

Vn+2Vn+2

期为正整数，

团左边=（n+1）.—--=右边,

1勺〃+2

团猜想成立.

(2)原式=2023.-2022

2024

=2023-2022

=1.

3.（22-23八年级下•安徽阜阳・期末）当。=2024时，求a+Jl-2a+/的值,如图是小亮和小芳的解答过

程:

解：原式=a+vtl-a)2

解:原式=a+d(l-a)2

=a+a-1

=2a~1

小亮当。=2024时,原式=4047.小芳

（1）_的解法是错误的;

⑵错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：

(3)当a=2时，求.Ja1-6a+9+|1-4的值.

【答案】（1）小亮

(2)当。<0时，J7=—a

(3)2

【知识点】利用二次根式的性质化简

【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键.

（1）根据二次根式的性质分析即可;

（2）根据二次根式的性质分析即可;

（3）先根据二次根式的性质化简，再把。=2代入计算即可.

【详解】（1）解：回。=2024,

团1—a<0,ci—1>0,

回〃+11-2〃+4

=a+J(l-a)

=<3+<3—1

=2a-l

当a=2024时,

原式=2?20241=4047,

回小亮的解法是错误的.

故答案为：小亮；

（2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当。＜0时，=

故答案为：当时,V?=—a；

(3)*：a=2,

\a-3=-l<0,l-a<G.

原式=+|1-43|+(Q-1)=3-a+a-1=2.

4.（23-24八年级下•河南信阳・期末）小石根据学习〃数与式〃积累的经验，想通过〃由特殊到一般〃的方法探

究下面二次根式的运算规律.

下面是小石的探究过程，请补充完整:

⑴具体运算，发现规律.

特例4：=4后,

特例5：,）5--=______（填写运算结果）.

V26

⑵观察、归纳，得出猜想.

如果”为正整数，用含〃的式子表示上述的运算规律为：

⑶证明你的猜想.

【答案】（1）5旦

xZo

⑶证明过程见详解

【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索

【分析】本题主要考查数的变化规律，二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简是解题的关键.

(1)根据材料提示的二次根式的计算方法进行计算即可求解；

(2)根据(1)中计算的结果进行推测即可；

(3)运用二次根式的性质进行化简计算即可求解.

团"为正整数，

回左边=:'=右边,

V/r+1

5.(22-23八年级下•辽宁葫芦岛•期末)先化简再求值：当。=-3时，求a+—+〃的值•甲、乙两人的

解答如下：

甲：原式=a+=a+(1—a)=1；

乙：原式=o+J(1_q)~=o+(a-1)=2cl-1=-7.

(1)的解答是错误的，错误的原因是

(2)若。=一9,计算—+/的值.

【答案】⑴乙，去绝对值时，没有判断的正负情况

(2)1

【知识点】利用二次根式的性质化简

【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质必=问.

(1)利用二次根式的性质值=时，化简求值即可得到答案；

(2)利用二次根式的性质化简求值即可得到答案.

【详解】(1)解：•.•。=一3,

/.1—〃>0,

:・原式=a+J(l_q)2

=6Z+|1—

=Q+(1—

—a+1—a

=1,

，乙的解答是错误的，错误的原因是：去绝对值时，没有判断1-a的正负情况；

故答案为：乙；去绝对值时，没有判断1-。的正负情况；

(2)解：

1—a>0,

.•.原式=〃+血—〃)2

=6Z+|1—

=Q+(1—a)

=a+1—a

=1.

6.(23-24八年级下•河南驻马店•期末)有这样一类题目：将及±26化简,如果你能找到两个数私“，使

7772+712=aMmn=4b>则将a±2〃=/±2加7变成(〃?±九)2,然后开方，从而化简Ja±2扬.

例如：化简3-2直.

解：3-2^=^(>/2)2-272+1=^(V2-1)2=72-1.

仿照上例化简下列各式：

(1)“+26;

(2),9-46.

【答案】⑴石+1

⑵-2

【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简

【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关

键.

（1）根据完全平方公式把4+26化为（若『+2退+F,然后利用二次根式的性质计算；

（2）根据完全平方公式把9-4石化为（石了一2x2有+2,然后利用二次根式的性质计算.

【详解】（1）解：4+26

=73+25/3+1

="国+26+1]

=’（用if

=-\/3+1.

（2）解：/9-46

=，5-46+4

=司一2x2君+2

=《下一2）

=y/5-2.

7.（23-24八年级上•湖南邵阳•期末）阅读下列解题过程

例：若代数式“.-以+]”31的值是2,求。的取值范围

解：原式,

当.<1时，原式=（1一々）+（3—a）=4—2a=2,角军得a=l（舍去）;

当时，原式=（々-1）+（3-司=2=2,符合条件；

当Q>3时，原式=（〃-1）+（〃—3）=2々-4=2,解得々=3（舍去）.

回。的取值范围是l«aW3.

上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：

(1)当时，化简：^/(«-2)2+7(0-4)2=.

⑵解方程：J(a+1)2+“a-5『=10.

【答案】(1)2

(2)。的值为-3或7

【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程、利用二次根式的性质化简

【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程.掌握二次根式的性质，绝对值的性质是

解题的关键.

(1)根据题意可确定。-2>0,a-4<0,从而化简二次根式的性质即可；

(2)由阅读材料可知小a+1)2+J(〃—5)2=,+1+,_5|,再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可.

【详解】(1)解：当时，♦—2>0,«-4<0,

团=Q—2+4—Q=2.

(2)解：原式=卜+1|+|〃-5],

当av-l时，原式=-a-l-a+5=-2a+4=10,解得。=一3,符合条件；

当一1V〃W5时，原式=a+l—a+5=6wl0,舍去；

当a>5时，原式=〃+1+〃-5=2，-4=10,解得。=7,符合条件.

回。的值为-3或7.

8.(24-25八年级上•湖南怀化•期末)阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题

化简：(j2-3x)-|l-x|.

解：隐含条件2-3xN0,

2

解得光(§，

回1一%>0,

团原式=(2-3x)-(1-x)=2—3x—1+x=1—2x

【启发应用】

(1)按照上面的解法，试化简J(x-兀)2-(^/ny(结果保留兀)

【类比迁移】

(2)实数a,。在数轴上的位置如图所示，化简：+-\b-a\

-------------1----------------------------1---------1------------->

a0b

(3)已知a,b,c为VABC的三边长.化简：J(a+b+c)~+J(a-b-c)--J(b-a-c)-+

【答案】(1)兀-3；(2)a.(3)4b

【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、实数与数轴

【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题

关键.

(1)先根据二次根式的被开方数的非负性可得xW3,从而可得尤-兀<0,再利用二次根式的性质进行化

简即可得；

(2)先根据数轴的性质可得。<0(反问)例，从而可得a+b<0,b-a>0,再利用二次根式的性质进行化简

即可得；

(3)先根据三角形的三边关系可得a+6>c,a+c>b,b+c>a,a>0,^>0,c>0,从而可得

a+b+c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0,再利用二次根式的性质进行化简即可得.

【详解】解：(1)隐含条件3-xNO,

解得x<3,

Sx-7t<0,

13_(j3-x)

=|x-7t|-(3-x)

=71—x—3+x

=71—3;

(2)由数轴可知，a<0(b忖网,

^\a+b<O,b—a>Of

回V?-+-|Z7-tz|

=M_|t7+Z?|_(b_a)

=­u—

=-3,+a+6-b+a

二a・

(3)回为VABC的三边长，

06Z+Z?>c,a+c>b,b+c>a,a>0,b>0,c>0,

回a+Z?+c>O,ci—h—c<0,h—a—。<0,c—h—a<0,

回不(a+b+c)+-b-c)—J(b-a-c)+J(c-b-a)

_h_c|一|Z?_a_c|+|c_h_

=62+Z?+c+(h+c—a)—(a+c—Z?)+(a+Z?—c)

=a+b+c+b+c-a-a-c+b-\-a-3t-b-c

=4b.

题型二：二次根式的计算与最值（易错）

9.（24-25八年级上•北京顺义•期末）阅读下面材料:

1+A/6

我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如:=布+a.类彳以的把

^7—A/6(币-晌(币+瓜)

分子中的根号化去就是分子有理化，例如：将一尺史谭丁分子有理化可以用

来比较某些二次根式的大小，例如：比较近和#-百的大小，可以先将它们分子有理化如下：

•\/y—A/6=—j=——j=,y/6—5/5=—J=--^=,因为ypj+,所以A/7—~.

请根据上述材料，解决下列问题：

⑴把下列各式分子有理化：

①A/3--J1=;②逐一6=;

（2）比较-而和JH■一3的大小，并说明理由；

⑶将式子GR-G1分子有理化为,该式子的最大值为

,1?

【答案】（1）①及7r②右耳

⑵A-Ev/T-3,理由见解析

2L

⑶后+Q,母

【知识点】分母有理化、二次根式有意义的条件

【分析】（1）根据阅读材料中的分母有理化即可；

（2）根据阅读材料中的分母有理化即可;

（3）根据阅读材料中的分母有理化即可;

本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键.

（石+&）（省-夜）一（3）2

【详解】（1）解：①73-72=—1，

A/3+A/2V3+V2一昌0

M+础正一石）（⑹，那『

②4』2

石+6斯+6一国6

12

故答案为:

6+6'V5+A/3；

（VB-VH）（^+7TT）2（VH-质（而+拘_2

（2）解：由而-E=A/1T-3=

a+而9+而'7TT+V9丁十囱，

又回岳+E>VH+®，

22

0VB+Vii<V1T+79'

回屈-&lv&T-3,

（｛X+1+Jx-1）（Jx+1—y/x—l）

（3）角军：Jx+1-Jx-l=

>/x+1+y]x—1

Jx+1+yjX-1

X+1—X+1

Jx+1+y/X—1

2

Jx+1+—1'

X+l>0

回

x-l>0'

0X>1,

2有最大值美=后，即，¥+1-Jx-l有最大值及,

团当％=1时,

Jx+1+Jx-1

2

故答案为:，\/2.

Jx+1+dx—1

10.（24-25八年级下•湖南益阳•期末）阅读材料1：

在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数。、b,都有a+b22而，当且

仅当〃二人时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.

例如：在1>0的条件下，x+->2jx-1=2,当且仅当％=，1时，即％=1时等号成立，从而x+11有最小值

XXxx

2.

阅读材料2：

我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如.?=1+:，当分式的分母次数小于分子

的次数时，也有类似的变换，如:

X2+2x+3X2+2X+1+20+1)2+2(x+1)22,2

---------=------------=----------=-----—+---=(x+l)+----，

x+1x+1x+1x+1x+1X+1

■?+x-l/2-2X+I+3X-3+1_(X-1)2+3(X-1)+1

(2)=(x-l)+3+—=(x-l)+—+3

x—1x—1x—1x—\x—1

请根据阅读材料解答下列问题:

9

⑴若X为正数，则X+—的最小值为，此时，犬=；

X

(2)若x为正数，则的最小值为,此时，x=:

X

⑶求下列分式在给定的X的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的X的值.

x2+4x+4

(%>-1)

x+1

②厂一丁。＞2)

x-2

【答案】⑴6,3

(2)2后，夜

(3)①x=0时，原式有最小值4,②x=3时，原式有最小值5

【知识点】二次根式的应用、分式化简求值

【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题

的关键.

9~9Q

(1)由题意可得工+―的最小值为2Ijx?=2x3=6,此时x==，计算即可得解；

XvXX

(2)由题意可得匕匚=%+2的最小值为2/=20,此时x=2,计算即可得解；

XXVXX

(3)①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解.

【详解】(1)解：团对于任意的正数db,者B有a+6»2而，当且仅当。=力时等号成立,

回无为正数，则xH—的最小值为2jx・—=2x3=6,此时x=—,

xVxx

解得：%=3或%=-3(不符合题意，舍去);

(2)解：团对于任意的正数db,都有Q+Z?22疝，当且仅当〃=〃时等号成立,

团X为正数，则=x+2的最小值为2,[1=2夜，此时，X」

XXVXX

解得：X=叵或x=-叵(不符合题意，舍去)；

22

xxUTJzTx%+4x+4f+2%+1+2%+2+1(x+1)+2(x+1)+1

(3)解：-----：=------------------=-----------------

x+1x+lX+1

=(x+l)+」一+2乜/(尤+1).」一+2=4

x+1Vx+1

当且仅当x+l=」7时取等号，得(x+iy=l

x+1

兄+1=1或x+1=—1,即x=0或x=—2,

又,

.•.当％=0时取等号，即1=。时，原式有最小值4.

^2^%2—x—1X2—4x+4+3x—6+1(x—2)2+3(x—2)+1

x—2尤一2x—1

=(x-2)+—^—+3>2j(x-2)•——+3=5

x—2yx-2

当且仅当x-2=一二时取等号，得2)2=1

x-2

X—2=1或x—2=-1,即x=3或x=l,

又%>2,

团当x=3时取等号，即x=3时，原式有最小值5.

11.(23-24八年级下•贵州安顺•期末)阅读理解：若〃>0,b>0,由(。-扬)>0,得a+b之，当

且仅当时取到等号.利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值.

4

例如：已知无>0,求式子x+-的最小值.

X

4.—4I~~4

解：令。=无，b=~,贝lj由a+,得x+—W2j;r—=4,

XX\X

4

当且仅当％=—时，即正数％=2时，式子有最小值，最小值为4.

x

请根据上面材料回答下列问题：

墙

/彳////////

花园

9

(1)当x>0时，当且仅当％=时，式子力+一的最小值为(直接写出答案)；

x

⑵如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米，篱笆

周长指不靠墙的三边之和)，这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少

米？

【答案】⑴3,6

⑵长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米

【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简

【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用.

(1)根据材料提供的信息解答即可.

(2)设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y(0<y〈20)米，则旧=50,

J=—,所以所用篱笆的长为［卫+2x)米，再根据材料提供的信息求出型+2x的最小值即可.

xVx)x

Q____QIG

【详解】(1)解：令a=x,b=-,则由a+b>14ab,得x+->2,x-=6,

xxVx

9_

当且仅当％=—时，即正数尤=3时，式子有最小值，最小值为6,

x

故答案为：6.

(2)解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为X米，则平行于墙的一边为y(0vy<20)米,

则xy=50,

50

回y=——

X

回所用篱笆的长为［工+2,米，

回竺+2x22但>2x=20,当且仅当竺=2x时，竺+2x的值最小，最小值为20,

X\XXX

Elx=5或x=—5（舍去）.

国这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米.

12.(22-23八年级下•北京大兴・期末)【阅读材料】小华根据学习"二次根式"及"乘法公式”积累的经验，通

过“由特殊到一般"的方法，探究"当0>0、>>0时，疝与的大小关系

下面是小单的深究过程：

①具体运算，发现规律：

当a>0、b>0时，

特例1：若a+6=2,则2^/aF<2；

特例2：若。+6=3,则2族43；

特例3：若a+b=6,则2而46.

②观察、归纳，得出猜想：当。>0、b>0时，+

③证明猜想：

当。>0、/?>0时，

团=a-2\!ab+Z?>0,

^a+b>2ab+a+b>2\[ab,

^\2y/ab<a+b.

当且仅当a=b时，2>J~ab=a+b.

请你利用小华发现的规律解决以下问题：

⑴当x>0时，尤+工的最小值为

X

2

(2)当％<0时，-x--的最小值为;

X

⑶当％<0时，求三士生2的最大值.

X

【答案】⑴2

(2)2A/2

⑶-26+2

【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算

【分析】(1)直接由题中规律即可完成；

2

(2)当xvO时，-x>0,—->0,则可由题中规律完成；

x

(3)原式f+2x+g变形为X+”,由x<0,计算出(_x)+[_q的最小值，即可求得X+9的最大值,

XXkX)X

则最后可求得原式的最大值.

【详解】(1)解：当x>0时，X,均为正数，

X

由题中规律得：x+i>2.O=2,

xVx

当且仅当X=L即％=1时，T=2,

X

团当x>0时，X+—的最小值为2；

x

故答案为：2；

2

(2)解：当xvO时，—x>0,—>0,

由题中规律得：

当且仅当-％=-

XX

2

回当时，—的最小值为2后;

X

故答案为：2后;

x2+2x+6x22x6.6

（3）解:0-------------------1------1——=X+2d——=

xXXXX

团当xv0时，一%>0,—>0,

兀

当且仅当一%—,即X=—^6时，—X—=2y/6,

XX

回(―x)+[—]N2A/6,

^x+—<-2^/6,

x

回％H----F2W-2A/6+2

Xf

%2+2X+6

B<-2V6+2,

X

当且仅当x=-后时，x?+2x+6的最大值为_2几+2,

X

团当x<0时，1+2x+6的最大值为-26+2.

X

【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规

律中两个字母均为正数，在使用时要注意.

题型三：二次根式与规律探究（难点）

13.（22-23八年级下•内蒙古巴彦淖尔•期末）观察下列各式:

⑴根据你发现的规律填空：、5+工==

⑵猜想》+士=______n>2,〃为自然数），并通过计算证实你的猜想.

Vn-1

【答案】（1）J詈；5

(2)n,证明见解析

【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算

【分析】（1）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解;

（2）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解.

【详解】（1）解:

故答案为:

二，证明过程如下,

（2）解：n.

Vn-1

【点睛】本题主要考查二次根式的运算及性质，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则是解

题的关键.

14.（23-24八年级下•江苏苏州・期末）观察下列等式:

⑴请你根据上述规律填空：、5+工=

⑵①把你发现的规律用含有"的等式表示出来：卜总

②证明①中的等式是正确的，并注明”的取值范围.

【答案】（1）5后

②证明见解析；（"为大于1的自然数）

【知识点】用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简

【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解

决本题的关键.

(1)仔细观察从上式中找出规律即可；

(2)①归纳总结得到一般性规律，写出即可；

②利用二次根式的性质及化简公式证明即可.

【详解】(1)解：根据前3个式子，可得/5+』=5、号;

故答案为：5、三;

②证明：等式左边=痴+4)=＜工="工=右边,〃为大于1的自然数.

Yn—1vn—1\n—1

15.(23-24八年级下•江苏盐城•期末)观察下列等式：

,3

10

解答下列问题:

(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式:

⑵用含"(〃为正整数)的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明.

【答案】⑴

【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简

【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识.

22

(1)根据2=仔+1，5=2+1,10=3+1,得出第⑤个等式中分母应为9+1=26,根据规律得到答案;

(2)根据2=仔+1，5=22+1,10=32+1,17=42+1,得出规律》+1,从而得到答案.

【详解】(1)解：由第①个等式「1=上，得卜土=lx后

由第②个等式R=2点，得后三:2。

由第③个等式Fl=3信得|—=3岳

回第⑤个等式应为:

(2)解：第1个等式中分母为2=俨+1，

第2个等式中分母为5=22+1,

第3个等式中分母为10=32+1,

第4个等式中分母为17=4?+1,

得第〃个等式中分母为应为：»2+1

团第〃个等式为:

回左边=右边.

16.(22-23八年级下•安徽安庆・期末)观察以下等式:

第1个等式：

23

第2个等式：

3舟^^

第3个等式：

4秒口I，

第4个等式：

按照以上规律，解决下列问题:

⑴写出第5个等式：

(2)写出你猜想的第〃个等式(用含〃的式子表示)，并证明.

【答案】(1)5

⑵见解析

【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算

【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；

（2）把上面发现的规律用字母〃表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到

左右相等便可.

【详解】（［）解：根据题目中前4个等式，

可以发现式子的变化特点，

（2）解：猜想的第〃为正整数）个等式为%,证明如下:

Vn+1Vn2+1

等式右边为n————L产+…叵

Vn2+lVn2+ln2+lVn2+l\n2+

因为等式左边为心匚匚，

Vn2+1

所以等式左边等于等式右边，

即“7二一》一二「

【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意,发现式子的变化特点，写出相应的等式,

并证明猜想的正确性.

17.（22-23八年级下•湖北恩施•期末）（1）填空：、口=亚，/=-----，--------

（2）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式；

（3）用含〃的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确.

【答案】（1）拽；（2）.足=述；.值=述；（3）规律：/〃+」—=但也运（〃为正

25\77，84「Vn+2n+2

整数）；证明见解析

【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算

【分析】（1）根据二次根式的性质即可解答；

（2）根据二次根式的性质可知后续两个式子为朽=6A/7[A772

（3）根据二次根式的性质化简J〃+—匚=（〃+1）向2即可解答.

Vn+2n+2

【详解】解:⑴得朋,旧Y考

»

故答案为1竽;

（77+l）V^+2（见为正整数），理由如下:

（3）解：规律=

n+2

□+1)2_J(〃+l)2+

国左边

n+2J〃+2n+2

国(〃+l)J〃+2(>+l)5/〃+2

n+2n+2

回左边=右边，

©J“+，=gl）向^（〃为正整数）.

Vn+2n+2

【点睛】本题考查了根据二次根式的性质探索规律，掌握二次根式的性质是解题的关键.

18.（22-23八年级下•湖北随州•期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：

居=2532岛

第1个等式：,验证：

3=3.l27_

第2个等式：验证：［

抵=4"

第3个等式：验证:

⑴请写出第4个等式，并验证;

⑵按照以上各等式反映的规律，猜想第n-l个（〃为正整数，且w>2）等式，并通过计算验证你的猜想.

【答案】（1小+捺

,见解析

I——，见解析

⑵W号="n-1

【知识点】用代数式表示数、图形的规律、异分母分式加减法、二次根式的混合运算

【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解并验证即可解答;

（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，把等式左边的式子进行整理即可验证.

【详解】⑴解：第4个等式：卜〉

验验:

验证:

【点睛】本题主要考查了分式的运算、二次根式的性质、数字的变化规律等知识点，要求学生通过观察数

字，分析、归纳并发现其中的规律是解题的关键.

19.（22-23八年级下•云南红河•期末）阅读下列内容，解答问题：

如图，在中，ZACB=90°.

当“=1,6=2时，c=不；

当。=2,6=4时，c=2A/5；

当。=3,6=6时，c=3下.

⑴根据以上规律信息，请直接写出a与b以及a与c之间的数量关系.

⑵已知°=石-1,求满足（1）中条件的的值.

【答案】（1）6=2。，c=y/5a

（2）4

【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法

【分析】（1）根据题干中的规律即可得；

（2）根据（1）中的数量关系，代入计算即可得.

【详解】（1）解：由题意可知，b=2a,c=45a.

（2）解：由（1）可知，b=2a,c=亚（1,

a=A/5-1>

=1+石）4

=|5一1|

=4.

【点睛】本题考查了数字类规律探索、二次根式的乘法，正确发现规律是解题关键.

20.（23-24八年级下•广东韶关•期末）观察以下等式：

第1个等式：+-⑷=/+1

第2个等式：（0+1）（3-夜）=2&+1

第3个等式：（6+川4-@=3g+l

按照以上规律，解决以下问题：

⑴写出第5个等式；

⑵试用含〃（〃为自然数，且的式子表示你猜想的第〃个等式，并证明其正确性.

【答案】⑴51）（6-灼=5岔+1；

（2）（6++1-6）=〃«+1,理由见解析.

【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法

【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键.

（1）根据所给等式可得答案；

（2）首先写出第"个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可.

【详解】（1）解：第1个等式：（&+1）（2一⑷=6+1,

第2个等式：（点+1）（3-点）=2四+1,

第3个等式：（6+1）（4-若）=3月+1,

第4个等式：（"+1）（5-6）=4/+1,

第5个等式：（石+1）（6-⑹=5君+1.

（2）解：根据题意，第见个等式为：++1-后）=〃«+1,理由如下：

（Vn+1）（H+1-Vn）=ns/n+n+y[n+1—n-Vn=ny/n+l,

I3(A/Z?+1)(M+1-A/?7)=n-Jn+1.

21.（23-24八年级下•安徽合肥•期末）观察下列等式，解决下列问题:

第一个等式:

第二个等式:

第三个等式:

⑴第四个等式为：.

⑵请用正整数＞2）来表示含有上述规律的第n个等式，并证明.

【答案】（明同=5庐

V24V24

（2）、/^=%「三；证明见解析

Vn-1N几一1

【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简

【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索;

（1）根据题目规律直接得出答案即可;

（2）由题意得第一个等式为：、。?二=人「工，然后根据二次根式的性质化简证明即可;

Vn-1\n—1

准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键.

【详解】（1）解：由题意得第四个等式为:

（2）第〃个等式:

22.（23-24八年级下•江苏泰州•期末）嘉嘉根据学习"数与式"积累的活动经验，想通过"特殊到一般”的方法

探究二次根式的运算规律.下面是嘉嘉的探究过程：

（1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整;

⑵【归纳猜想】若〃为正整数，用含〃的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立;

⑶【应用规律】嘉嘉写出一个等式+t=;（a,b,c均为正整数），若该等式符合上述规律，则

da2+济—2c1的值为

【答案】⑴/+1

6

⑵+士，证明见解析

⑶&

【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规

律.

（1）根据前3个的规律即可得出答案;

（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证;

（3）利用（2）中的规律进行求解即可.

【详解】（1）解：由题意得：等式④:

（2）解：若〃为正整数，用含〃的代数式表示上述运算规律为=(n+1).—^,

I勺"+2

证明如下：等式左边=产2彳+1=/（〃+?=.+］）「^=右边;

（3）解：回U=（a,b,c均为正整数），

回b=a+2,C=Q+1,

^V^2+&2-2C2

=J/+(a+2)2-2(a+i)2

+a2+4〃+4-2(/+2a+1

=y/2•

23.(23-24八年级下•辽宁鞍山•期末)观察下列各式并解答问题：

Tl222~\42,V2232M366'$3?4'一寸144—12……

⑴计算：卜看++；

⑵按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含〃的等式表示，〃为正整数).

【答案】喘

(2)Ji+3+r^="+“：(”为正整数)

7n(n+1)n(n+1)

【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简

【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简，

(1)总结规律，按规律解答；

(2)根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论.

【详解】⑴解：回斤n*

rr~~1rIi232iin

?V+10r+nr-V102xll2-lio

n2+n+1

(2)解：根据(1)得到

n(n+1)

证明：1-i------T-H------------------

Vn25+1)2

_/n2(n+l)2+(n+l)2+n2

»(〃+1)2

ln2(n+l)2+2n(n+l)+l

X/(〃+i)2

_几(几+1)+1

n(n+l)

n2+n+1

n(n+1)

24.(23-24八年级下•山东泰安・期末)@Xi=^i+1+J-=|=1+J_;

L

⑴写出Z=

⑵猜想：X”=

(3)由以上规律，计算%+N+鼻HI--^2023_2024的值.

【答案】⑴T

1I

⑵+n(n+l)；

⑶―2024,

【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索

【分析】(1)观察已知等式找到规律，即可求解;

(2)根据规律直接得出结果即可;

(3)利用(2)中结论及有理数的混合运算进行计算即可;

本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键.

【详解】(1)1•①玉=J1+4+]=3=IH——；

1V12I221x2

e111711

②X?=JlT——7~—=1H-----；

2V223262x3

3242123x4

0=1+

204x5

(2)①不

I22221x2

1+一工」;

②3=

223262x3

123x4

rii心+1)+11i

"1n2("+1)2+w(a+l)；

,1,11

由(可得匕(4

(3)2)=1+川+、=1+-n-----n-+771-

Xy+/+玉+....+“2023—2024

l+」11+1+」+…+1+11+]+~20124

~-2024

122320222023

11j__£1111

=(1+1+…+1)+-----------1----2-0-2-4----

1~22~32022202320232024

=2023+1----—2024

2024

1

2024

题型四：分母有理化(重点)

25.(22-23八年级下•安徽铜陵・期末)观察下列各式:

(V2+l)(>/2-l)=l,

(A/3+V2)(73-A/2)=1,

("+6)("-百)=1,

依据以上呈现的规律,计算：卷+4友+石片+2而马而

【答案】9

【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化

【分析】先把七+—+八+一.+/^里边的每一项分别分母有理化,再把所得结果计

算出来即可求出最后答案.

1111

【详解】解・—r=一+-r=——/=+-r=——k+・••+[=——1=

■A/2+I石+&向^^