2025年人教版八年级数学下册知识手册

初二数学

下学期专题知识手册

目录

专题一勾股定理

知识精讲...............................................2

习题专练...............................................11

答案点拨...............................................14

专题二平行四边形

知识精讲................................................19

习题专练................................................26

答案点拨................................................28

专题三数据的分析

知识精讲................................................19

习题专练................................................26

答案点拨................................................28

知识精讲

专题一相交线与平行线

知识精讲

一、知识网络图

二、勾股定理

1.勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两

直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么/+〃=。2.

要点诠释：

①勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

②利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的

线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了

解决问题的目的.

2222222

③理解勾股定理的一些变式：a=c-b,b=c-a,c=[a+b^-2ab.

2.勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.

图(1)中SjE/gAFTNQ+b)3=J必，所以

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中5后*%4Kp=c'必,所以/="'+川・

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

43=妇华地=26B+*'，所以『+从=已

3.勾股定理的作用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性

质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为新的线段.

三、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

3

如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+/=°2,那么这个三角形是

直角三角形.

要点诠释：

①勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

②勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个

三角形是否为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如C）.

（2）验证0?与/+〃是否具有相等关系.若02=/+〃，则aABC是NC

=90°的直角三角形；若，#/+〃，则^ABC不是直角三角形.

要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时,

此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.

3.互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把

其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题

也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为

假命题.

4.勾股数

满足不定方程X2+/=Z2的三个正整数，称为勾股数，显然，以X、户Z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41-

如果反。是勾股数，当/为正整数时，以如从、以为三角形的三边

长，此三角形必为直角三角形.

要点诠释：

①〃2—1,2%/+1是自然数）是直角三角形的三条边长；

②2〃2+2〃,2〃+1,2〃2+2〃+1（〃是自然数）是直角三角形的三条边长；

③加2加2+“2,2加〃（m>〃是自然数）是直角三角形的三条边

长.

习题专练

一、单选题

1.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）.

A.三内角之比为1：2：3B.三边长的平方之比为1：2：3

C.三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：5

2.如图，RtZ^ABC中，ZC=90°，CD_LAB于点D,AB=13,CD=6,

贝IJAC+BC等于（）.

A.5B.5而C.13V13D.975

3.如图，已知直角梯形ABCD中,AD〃BC,AB±BC,AD=2,BC=DC

=5,点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，ZXAPD中边AP上

的图为（）.

A.—V17B.—>/17C.—Vl7D.3

171717

二、填空题

4.小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm,40cm,50cm

的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）.

5.已知，如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形OABC

是矩形，点A、C的坐标分别为A（10,0）、C（0,4）,点D是OA

的中点，点P在BC边上运动，当AODP是腰长为5的等腰三角形时,

点P的坐标为

6.如图所示，在AABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,

BC=,

A

三、解答题

7.如图所示，已知D、E、F分别是AABC中BC、AB、AC边上的点，

且AE=AF,BE=BD,CF=CD,AB=4,AC=3,—求：Z\ABC的

CD2

面积.

8.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6加，8m.现在

要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8加为直角边的直角三

角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

7

答案点拨

答案点拨

一、单选题

1.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为1：2：3B.三边长的平方之比为1：2：3

C.三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：5

【答案】D；

【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30

度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；

B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；

C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；

D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直

角三角形，故不正确.

故选D.

2.如图，RtZ^ABC中，ZC=90°,CD_LAB于点D,AB=13,CD=6,

贝IJAC+BC等于（）

A.5B.5而C.13V13D.975

【答案】B；

【解析】+5C）2=AC2+BC2+2AC-BC=AB2+2AB-CD

=169+2X13X6=325.

3.如图,已知直角梯形ABCD中,AD/7BC,AB±BC,AD=2,BC=DC

=5,点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上

的高为（）

A.—B.—、/IVc.D.3

171717

【答案】c；C

【解析】如图，过D点作DE_LBC于E,贝ijDE二AB,AD=BE,EC=BC

-BE=3,在RtZXCDE中，DE=&匚手=%延长AB至F,使AB=BF,

连接DF,交BC于P点，连接AP,这时候PA+PD取最小值，•.）0〃

BC,B是AF中点，，BP=L。-：.在RQABP中，AP=

2

?=拒•

二、填空题

4.小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm,40cm,50cm

的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）.

【答案】能；

【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm,

根据题意，得X2=502+402+3（）2=5000,

70=4900,

因为4900<5000,所以能放进去.

5.已知，如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，四边形OABC

是矩形，点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA

的中点，点P在BC边上运动，当AODP是腰长为5的等腰三角形时,

点P的坐标为.

yf

C---------------1

0DAx

【答案】(3,4)；(2,4)；(8,4)

【解析】以0为等腰三角形的顶点，作等腰三角形因为04=5,

Pi//i=0C=4,所以由勾股定理求得。乜=3,所以外(3,4),同理，以D

为以。为等腰三角形的顶点，可求出6(2,4),6=(8,4).如图所示.

6.如图所示，在AABC中，AB=5,AC-13,BC边上的中线AD=6,

BC=.

【解析】延长AD至I]M,使DM=AD,易得△ABD^ZkMCD.Z.CM=AB

=5AM=2AD=12

在△ACM中52+122=132^CM-+AM2=AC2：.NAMC=90。在前△

DCM中CD=JCM、DM?=打+6?=国BC=2CD=2761.

三、解答题

7.如图所示，已知D、E、F分别是AABC中BC、AB、AC边上的点，

且AE=AF,BE=BD,CF=CD,AB=4,AC=3,—求：ZkABC的

CD2

面积.

【答案及解析】

解：些=3,设BD=3X,则CD=2X,由AE=AF,BE=BD,

CD2

CF=CD,即AF=3—2x,AE=4-3x,

3—2%=4—3x,解得x=l.BC=3x+2x=5

又,:32+42=52,AC-+AB2=BC2

：.ZkABC是直角三角形，ZA=90°.

8.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6加，8m.现在

要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8加为直角边的直角三

角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

【答案及解析】

解：在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6

由勾股定理得：AB=10,扩充部分为Rt2\ACD,扩充成等腰AABD,

应分以下三种情况.

①如图，当AB=AD=10时，可求CD=CB=6得4ABD的周长为32加.

②如图，当AB=BD=10时，可求CD=4

由勾股定理得：AD=,得AABD的周长为(20+4君)加.

③如图，当AB为底时，设AD=BD=x,则CD=x—6,

由勾股定理得一年得9D的周长为师

知识精讲

专题二平行四边形

知识精讲

一、知识网络图

二、平行四边形

1.平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平

行四边形ABCD记作“口ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.

要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为

邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四

对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

2.平行四边形的性质

（1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

（2）角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

B

（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

要点诠释：

①平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的

性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相

等关系或倍半关系.

②由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

③利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答

时应联系三角形三边的不等关系来解决.

3.平行四边形的判定

边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.

边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;

对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：

①平行线间的距离都相等；

②等底等高的平行四边形面积相等.

4.三角形的中位线

(1)连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

(2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边

的一半.

要点诠释：

①三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量

关系.

②三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而

每个小三角形的周长为原三角形周长的L每个小三角形的面积为原

2

三角形面积的L

4

③三角形的中位线不同于三角形的中线.

5.平行线间的距离

(1)两条平行线间的距离定义：两条平行线中，一条直线上的任意

一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是

指垂线段的长度，是正值.

(2)平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、

唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间

的任何两条平行线段都是相等的.

(3)平行四边形的面积：

平行四边形的面积=底＞＜高；等底等高的平行四边形面积相等.

三、矩形

1.矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：

矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形

首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

2.矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

(1)矩形具有平行四边形的所有性质；

(2)矩形的对角线相等；

(3)矩形的四个角都是直角；

(4)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：

①矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意

直线可将矩形分成完全全等的两部分.

②矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别通过对边中点的直线).

对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).

③矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而

矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等;

从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分

且相等.

3.矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

（3）有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角

线相等”都能判定平行四边形是矩形.

4.直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

要点诠释：

①直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是

直角三角形，对一般三角形不可使用.

②学过的直角三角形主要性质有：A.直角三角形两锐角互余；B.直角

三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；C.直角三角形中30。所

对的直角边等于斜边的一半.

③性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

四、菱形

1.菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边

相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条

件.

2.菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

(1)菱形的四条边都相等；

(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

(3)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，

对称轴的交点就是对称中心.

要点诠释：

①菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可

将菱形分成完全全等的两部分.

②菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底X

高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).

实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘

积的一半.

③菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算

问题.

18

3.菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

(3)四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判

定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

五、正方形

1.正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形,

又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等

的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

2.正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

(1)边一一四边相等、邻边垂直、对边平行；

(2)角一一四个角都是直角；

(3)对角线一一A.相等，B.互相垂直平分，C.每条对角线平分一组

对角；

(4)是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角

线的交点是对称中心.

19

要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角

线将正方形分为四个等腰直角三角形.

3.正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再

证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩

形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).

(1)有一个角是直角的菱形是正方形；

(2)一组邻边相等的矩形是正方形；

(3)对角线相等的菱形是正方形；

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形；

(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

(6)四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

4.特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为:

20

5.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

①若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

②若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

③若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

习题专练

习题专练

一、单选题

1.如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点，点R是CD边上的定

点。点E、F分别是AP,PR的中点。当点P在BC上从B向C移动时,

下列结论成立的是（）.

A.线段EF的长逐渐变大；B.线段EF的长逐渐减小;

C.线段EF的长不改变；D.线段EF的长不能确定.

2.如图，ZXABC的周长为26,点D、E都在边BC上，NABC的平分线

垂直于AE,垂足为Q,ZACB的平分线垂直于AD,垂足为P.若BC=10,

则PQ的长是（）.

A.1.5B.2C.3D.4/

D

3.如图，矩形ABCD的周长是2Qcm,以AB、CD为边向外作正方形ABEF

和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形

ABCD的面积是（）.H|~~|G

F|RHD

A.21cm2B.16cm2C.24cm2D.9cm2

二、填空题EBC

4.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线BD折

*

叠，那么图中阴影部分的面积是

夕匕--------

22

5.如图所示，在〃ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别

交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABMZ/kCDN；②AM=；AC；

③DN=2NF；@SAAMB.其中正确的结论是.(只填序

6.如图,在四边形ABCD中,ZADC=ZABC=90°,AD=CD,DPLAB于P.若

四边形ABCD的面积是18,则DP的长是

三、解答题

7.如图1,在AABC中，AB=AC,NABC=a,D是BC边上一点，以AD

为边作AADE,使AE=AD,ZDAE+ZBAC=180°.

(1)直接写出NADE的度数(用含a的式子表示)；

(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,

①如图2,若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；

②如图3,若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF.

答案点拨

答案点拨

一、单选题

1.如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点，点R是CD边上的定

点。点E、F分别是AP,PR的中点。当点P在BC上从B向C移动时,

下列结论成立的是（）

A.线段EF的长逐渐变大；B.线段EF的长逐渐减小；

C.线段EF的长不改变；D,线段EF的长不能确定.

【答案】C；

【解析】由三角形中位线定理，EF长度为AR的一半.

2.如图，ZkABC的周长为26,点D、E都在边BC上，NABC的平分线

垂直于AE,垂足为Q,ZACB的平分线垂直于AD,垂足为P.若BC=10,

则PQ的长是（）

A.1.5B.2C.3D.4

【答案】C；

【解析】解：：BQ平分NABC,BQ±AE,，4BAE是等腰三角形,

同理ACAD是等腰三角形，

•••点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），

APQ是4ADE的中位线，

•.,BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16,

24

.*.DE=BE+CD-BC=6,

.•.PQ=1DE=3.

2

故选：C.

3.如图，矩形ABCD的周长是20cm,以AB、CD为边向外作正方形ABEF

和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形

A.21cm2B.16cm2C.24cm2D.9cm2

【答案】B；

2_z-o

【解析】设两个正方形的边长分别为X，人根据题意得：.二

x+y=10

则/+/+29=100,,解得9=16.

二、填空题

4.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线BD折

叠，那么图中阴影部分的面积是.

25

【答案】

16

【解析】由折叠的特性可知NDBC'=ZDBC,由AD〃BC得NADB=N

DBC,因此NDBC'=ZADB,故BE=DE.可设AE=x,贝ljBE=4一q

在RtZXABE中，由勾股定理可得/52+NE2=BE2,即32+/=（4—x『，

解得x=:，BE=，.因此阴影部分的面积为:x，3=^j.

XX2816

5.如图所示，在〃ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别

交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABMZ/XCDN；②AM=；AC；

③DN=2NF；@SAAMB=|sA^c.其中正确的结论是.（只填序

号）

ED

BFC

【答案】①②③；

【解析】易证四边形BEDF是平行四边形，△ABMZZXCDN.①正

确.

由口BEDF可得NBED=NBFD,Z.ZAEM=ZNFC.又：AD〃BC.Z.Z

EAM=ZNCF,又AE=CF,AAME^ACNF,Z.AM=CN.由FN〃

BM,FC=BF,得CN=MN,Z.CN=MN=AM,AM=jAC.Z.②正确.

FN为ABMC的中位线，BM=2NF,AABM^ACDN,贝ljBM=DN,Z.DN=

2NF,.•.③正确.

AM=；AC,...S-MB=；S~BC，.•.④不正确.

26

6.如图，在四边形ABCD中，ZADC=ZABC=90°,AD=CD,DPLAB于P.若

四边形ABCD的面积是18,则DP的长是.

D

【答案】3圾;

【解析】解：如图，过点D作DELDP交BC的延长线于E,

VZADC=ZABC=90°,，四边形DPBE是矩形，

VZCDE+ZCDP=90°,ZADC=90°,Z.ZADP+ZCDP=90°,

Z.ZADP=ZCDE,

VDPXAB,Z.ZAPD=90°,ZAPD=ZE=90°,

'NADP=NCDE

在AADP和ACDE中，ZAPD=ZE，

,AD=CD

AADP^ACDE(AAS),

.,.DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,

矩形DPBE是正方形，

/.DP=^/18=3V2.

故答案为：3^2-

三、解答题

7.如图1,在AABC中，AB=AC,NABC=a,D是BC边上一点，以AD

为边作使AE二AD,ZDAE+ZBAC=180°.

(1)直接写出NADE的度数(用含a的式子表示)；

(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,

①如图2,若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；

②如图3,若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF.

BDD

图2

解：(1)•.•在AABC中，AB=AC,NABC=a,AZBAC=180°-2a,

VZDAE+ZBAC=180°,Z.ZDAE=2a,

VAE=AD,

Z.ZADE=90°-a；

(2)①证明：•••四边形ABFE是平行四边形，

AB//EF.NEDC=NABC=a,

由(1)知，ZADE=90°-a,

Z.ZADC=ZADE+ZEDC=90°,Z.ADXBC.

VAB=AC,

.*.BD=CD；

②证明：VAB=AC,NABC=a,...NC=NB=a.

•••四边形ABFE是平行四边形，，AE〃BF,AE=BF.

ZEAC=ZC=a,

由（1）知，ZDAE=2a,，NDAC二a,?.ZDAC=ZC.

，AD二CD.

,.,AD=AE=BF,

，BF=CD.

.*.BD=CF.

知识精讲

专题三数据的分析

知识精讲

一、算术平均数和加权平均数

1.平均数：一■般地，对于〃个数石、x2>X3、…，我们把'(占+9+当+…+x”)

n~

叫做这〃个数的算术平均数，简称平均数，记作已计算公式为：

X=—(X[+x+x+•••+x).

n2'3n

要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的

集中趋势.

①当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数a附近上、下波动

时，一般选用简化计算公式元=亍+。.其中亍为新数据的平均数，a为

取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.

②平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的

变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的

影响.

2.加权平均数：若〃个数芭、/、…X"的权分别是叱、叫、…、wn,则

西”+生丝+…+4叫叫做这〃个数的加权平均数.

“+叫+~+%

要点诠释：

①相同数据X,的个数叱叫做权，W越大，表示X,的个数越多，“权”

就越重.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.

②加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简

便运算.

30

二、中位数和众数

1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排

列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中

位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数

据的中位数.

要点诠释：

①一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组

数据中.

②由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众

数.

要点诠释：

①一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止

一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.

②众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

三、平均数、中位数与众数的联系与区别

1.联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其

中以平均数最为重要.

2.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会

引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数

来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据

排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数

据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来

描述.

四、极差、方差和标准差

1.极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据

的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差=最大值一最小值.

要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值

的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.

2.方差：方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差s2的

2222

计算公式是：S=—[(^[-x)+(x2-x)+...+(x„-x)].

n~

要点诠释：

①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动

越大；方差越小，数据的波动越小.

②一组数据的每一个数都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新

数据的方差不变.

③一组数据的每一个数据都变为原来的左倍，则所得的一组新数据的

方差变为原来的公倍.

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号S表示，即：

32

3

S—.J—[(X.—x)+(xa-x)'+--•+&-x)’]

」；标准差的数量单位与原数据

一致.

五、极差、方差和标准差的联系与区别

1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数.

2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较

大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，

稳定性也越小；反之，则稳定性越好.所以一般情况下只求一组数据

的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

六、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的

平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.

要点诠释：

①如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都

应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

②用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.

样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所

付出的代价.

33

习题专练

习题专练

一、单选题

1.已知一组数据2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据

的中位数是（）.

A.2B.2.5C.3D.5

2.8名学生在一次数学测试中的成绩为80,82,79,69,74,78,x,

81,这组成绩的平均数是77,则x的值为（）.

A.76B.75C.74D.73

3.某小学校足球队22名队员年龄情况如下：

年龄（岁）1211109

人数41062

则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（）

A.11,10B.11,11C.10,9D.10,11

二、填空题

4.数据1、2、4、4、3、5、1、4、4、3、2、3、4、5,它们的众数

是—、中位数是—、平均数是.

5.给出一组数据：23,22,25,23,27,25,23,则这组数据的中

34

那么“科创社团”成员年龄的中位数是岁.

三、解答题

7.学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区

的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质

和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表：

选手表达能力阅读理解综合素质汉字听写

甲85788573

乙73808283

（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25,请计算乙的平均成

绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；

（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们

2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一

成绩看，应选派谁.

35

8.甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图:

平均成中位数/众数/环方差

绩/环环

甲a771.2

乙7b8C

(1)写出表格中a,b,c的值;

(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练

成绩.若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？

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答案点拨

答案点拨

一、单选题

1.已知一组数据2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据

的中位数是（）.

A.2B.2.5C.3D.5

【答案】B；

【解析】由众数的意义可知x=2,然后按照从小到大的顺序排列这

组数据，则中位数应为出=2.5.

2

2.8名学生在一次数学测试中的成绩为80,82,79,69,74,78,x,

81,这组成绩的平均数是77,则x的值为（）.

A.76B.75C.74D.73

【答案】D；

80+82+79+69+74+78+X+81

【解析】由题意=77,角军得x=73.

8

3.某小学校足球队22名队员年龄情况如下:

年龄（岁）1211109

人数41062

则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（）

A.11,10B.11,11C.10,9D.10,11

【答案】B；

【解析】解：年龄是n岁的人数最多，有io个人