2025年中考数学突破几何最值问题

2025广东中考数学专题突破

几何最值问题

广东中考数学中《几何最值》部分主要考向分为四类:

将军饮马（每年选考1〜2题，3〜6分）

-：费马点（每年选考1〜2题，3〜6分）

三：胡不归模型（每年选考1〜2题，3〜6分）

四；"阿氏圆"模型（每年选考1〜2题，3〜6分）

五：隐形圆（每年选考1〜2题，3〜6分）

题型一：将军饮马

鼠

题型二：费马点

回

蛔题型三：胡不归模型

幅

题型四；“阿氏圆”模型

题型五：隐形圆

考向一：将军饮马

模型一：两定一动模型

模型作法结论

_z,

■,/

X

PA+PB的最小值为AB

BB

当两定点八、B在直线/异侧时，在直线连接八B交直线/于点P,点P

/上找一点P,使%+PB最小.即为所求作的点.

—1—

BB

,A

J\Z/p11,

1;//

1/

1zPA+PB的最小值为AB'

当两定点A、B在直线/同侧时，在直线B'

/上找一点P,使得力+PB最小.作点B关于直线/的对称点B',

连接AB，交直线/于点P,点P

即为所求作的点.

.A尸4-尸目的最大值为

B

一一一,

*1P1

当两定点A、B在直线/同侧时，在直线

连接AB并延长交直线/于点P,

/上找一点P,使得|PA-尸却最大.

点P即为所求作的点.

.A

1

P:

川-尸目的最大值为AB1

BB

当两定点八、B在直线/异侧时，在直线作点B关于直线/的对称点

连接并延长交直线/于点P,

/上找一点P,使得用最大.点P即为所求作的点.

.A

B•

尸A-尸身的最小值为0

1

当两定点A、B在直线/同侧时，在直线连接AB,作AB的垂直平分线

/上找一点P,使得-PB\最小.交直线/于点P,点P即为所求

作的点.

模型二：一定两动模型

模型作法结论

-2-

/»A

0O\J

\、）EPCD周长的最小值为P'P"

0BP"

分别作点P关于。4OB的对称

点P在蜘。B内部，在OB边上找点D,点P'、P",连接P'P",交OA.

OA边上找点C,使得回PCD周长最小.OB于点C、。，点C、D即为所

求.

1

/X、1-B

PD+CD的最小值为P'C

、7

0Bp'

点P在蜘。B内部，在OB边上找点D,作点P关于OB的对称点产，过

OA边上找点C,使得PD+CD最小.。作P'CSOA交。B于。，点C、

点。即为所求.

1.如图，RtABC中，ZC=90°,AC=4,3C=3,点尸为AC边上的动点，过点尸作P。，AB于点。，则依+正。

20

C.5D.T

2.如图，"的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点尸是M上的任意一点，PA±PB,且以、依与了轴分

别交于A、B两点，若点A、点5关于原点O对称，则A3的最小值（）

-3-

3.如图所示，在一MC中，ZABC=68°,平分/ABC,P为线段上一动点，。为边A3上一动点，当AP+P。

的值最小时，NAP3的度数是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

4.如图1,正方形A3CD中，点E是3c的中点，点尸是对角线AC上的一个动点，设AP=x,PB+PE=y,当点

P从A向点C运动时，y与X的函数关系如图2所示，其中点以是函数图象的最低点，则点M的坐标是（）

A.（4后,3君）B.（20,3石）C.（36,2&）D.（3宕,4夜）

5.如图，凸四边形ABCD中，NA=90o,/C=90o,NO=6（）o,AO=3,AB=5^,若点M、N分别为边CD,A。上的动

点，则BMN的周长最小值为（）

考向二：费马点

“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：

（1）当三角形三个内角都小于120。的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将"不等三爪图"中三条线

段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

-4-

（2）当三角形有一个内角大于120。时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60。三构造等边三角形今将"不等三爪图"中三条线段转化至同一直线上）利用两点之间线段最短求解问

题

模型展示：如图，在回ABC内部找到一点P,使得PA+PB+PC的值最小.

当点P满足EIAPB=EIBPC=EICPA=120。，则PA+PB+PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，回ABC中，最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。。

最值解法：以回ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：

将回APC边以A为顶点逆时针旋转60。，得到AQE,连接PQ,贝腼APQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE

6.如图，在.ABC中，ZG4B=90°,AB=AC=1,尸是—46C内一点，求R4+P3+PC的最小值为

7.如图，在R/HABC中，SBAC=90。，A2=AC,点尸是AB边上一动点，作尸。aBC于点。，线段上存在一点

—5—

当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，贝UPD=

8.如图，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的

最小值为.

9.如图，四边形ABCD是菱形，AB=6,且财BC=60°,M是菱形内任一点，连接AM,BM,CM,则AM+8M+CM

的最小值为

10.如图，蜘BC中，E1BAC=30。且AB^AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为2a,贝!|BC=

考向三：胡不归模型

模型展示：

如图，一动点P在直线外的运动速度为1/1,在直线MN上运动的速度为M2,且以＜1/2,A、B为定点，点C在

直线MN上，确定点C的位置使任+些的值最小.

%乂

-6-

B

MN

ACBC_1I,K

匕hXIK

即求BC+kAC的最小值.

构造射线A。使得sinEia4A/=k,CH/AC=k,CH=kAC.

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BHSAD交MN于点C,交AD于"点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC

最小.

最值解法:在求形如"%+kPB"的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段,将"%+kPB"型问题转化为"%+PC"

型.

11.如图，在4Ase中，ZBAC=90°,ZB=60°,=4,若。是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

12.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+fcr+3的图像与x轴交于A、C两点，与无轴交于点C（3,0）,若

P是x轴上一动点，点。的坐标为连接P£»,则四PD+PC的最小值是（）

—7—

i—32/r-

A.4B.2+2V2C.2A/2D.—+—A/2

13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点2(0,-3),

若尸是x轴上一动点，点。(0,1)在y轴上，连接P。，则行PD+PC的最小值是()

32

A.4B.2+20C.2拒D.-+-72

14.如图，在AABC中，ZA=90°,ZB=6Q°,AB=2,若。是3C边上的动点，贝I2AD+OC的最小值（）

A.273+6B.6C.6+3D.4

15.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=4lx2x-G的图象与x轴交于点A,C两点，与y轴交于点2,

22

对称轴与X轴交于点。，若尸为y轴上的一个动点，连接PO,则：尸3+尸。的最小值为()

——8——

3G

A.c.73D.-V3

~T~4

考向四：“阿氏圆”模型

模型展示：如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k(心1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.

(1)角平分线定理：如图，在回ABC中，AD是团BAC的角平分线，则——=——.

ACDC

S

正明.ABD_BDsABxDEAB^AB=DB

'S贯JCD'S.cn~ACxDF~AC'AC一DC

(2)外角平分线定理：如图，在13ABe中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则任=阚.

ACDC

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则回ACDEEAED(SAS),CD=ED且AD平分回BDE,则一=—,

DEAE

即丝=型.

ACDC

接下来开始证明步骤:

MAPA

如图，PA：PB二k,作回APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，一=——=k,故M点为

MBPB

定点，即回APB的角平分线交AB于定点；作回APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理,

-9-

——=——=k,故N点为定点，即回APB外角平分线交直线AB于定点；又回MPN=90。，定边对定角，故P

NBPB

点轨迹是以MN为直径的圆.

模型最值技巧：

计算PA+k.PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得Q4+左.PB的值最小，解决步骤具体如下：

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,0B

OP

②计算出这两条线段的长度比〃=左

OB

0Cpc

③在0B上取一点C,使得——=k,即构造EIPOMEBBOP,则——=k,PC=k,PB

OPPB

④则以当A、P、C三点共线时可得最小值

16.如图，在R/0ABC中，EIACB=90。,CB=1,AC=9,以C为圆心、3为半径作回C,尸为团C上一动点，连接AP、

BP,则的最小值为（）

C.4+9D.2V13

17.如图，正方形ABCD的边长为4,3的半径为2,P为8上的动点，则忘PC-PD的最大值是

-10—

D

18.如图所示的平面直角坐标系中，40,4),3(4,0),「是第一象限内一动点，OP=2,连接AP、BP,贝|加+^4尸

的最小值是

19.如图所示，ZACB=60°,半径为2的圆。内切于—ACS.尸为圆。上一动点，过点P作尸M、PN分别垂直于

/ACB的两边，垂足为/、N,则PM+2PN的取值范围为.

20.如图，在［。中，点A、点3在。上，ZAOB=90°,Q4=6,点C在Q4上，且OC=2AC,点。是08的中

点，点又是劣弧A3上的动点，则CW+2DM的最小值为.

A

OD

考向五：隐形圆

模型一：定点定长作圆

模型探究：如图，在平面内，点A为定点，点8为动点，且长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB

长为半径的圆.

/Y--、、、\

【推广】在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹.[1

模型二：定弦定角作圆

模型探究：若已知定弦A8,定角/C,要确定顶点C的运动轨迹，需分三种情况:

(1)如图①，在中，当/C<90。时，点C的轨迹为优弧前方；

(2)如图②，在。。中，当/C=90。时，点C的轨迹为半圆；

(3)如图③，在。。中，当NC>90。时，点C的运动轨迹为劣弧协.

常见张角计算(关键定圆心):

模型三：四点共圆

（1）如图①、②，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有A、B、C、。四点共圆

2）如图③若则A、B.C,D四点共圆.

如图④固定线段AB同侧若I3P=E]C，贝ijA、B,C、P四点共圆.

图④

21.如图，正方形ABCD的边长为4,点E是正方形ABCD内的动点，点P是BC边上的动点，且ZEAB=ZEBC.连

结AE,BE,PD,PE,则PD+PE的最小值为（）

A.2屈-2B.475-2C.40-2D.2715-2

22.如图，四边形ABCD为矩形，AB=3,3C=4.点尸是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点.ZADM=ZBAP,

则的最小值为（）

-13-

AD

B

512r—3/_

A.-B.-C.V13——D.J13-2

252

23.如图，在放ABC和R"AD石中，ABAC=ZDAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.连接8。，CE,将回ADE绕

点A旋转一周，在旋转的过程中当/DBA最大时，0ACE的面积为（）.

A.6B.6&C.9D.972

3

24.如图，在平面直角坐标系中，直线＞分另IJ与x轴、y轴相交于点A、B,点、E、尸分别是正方形OAC。

的边O。、AC上的动点，且D£=AF,过原点。作垂足为“，连接H4、HB,贝k/f钻面积的最大值

13+50

C.6+3夜

2

-14-

25.正方形ABC。中，AB=4,点£、尸分别是C。、BC边上的动点，且始终满足。E=C凡DF、AE相交于点G.以

AG为斜边在AG下方作等腰直角"HG使得她HG=90。，连接8”.则8"的最小值为（）

C.V10-V2D.Vw+V2

基础训练

一：单选题

26.如图，矩形A3cD,AB=6,BC=3,点E是边AB上的动点，点尸是射线BC上的动点，S.BF=2AE,连接

AF,CE.若gAF+CE=m,则加的最小值为（）

A.35/2B.35/5C.6^/2D.675

27.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AO=4,点E是矩形A3CD内部一动点，且ZBEC=90。，点尸是A3边上一

动点，连接尸。、PE,则PD+PE的最小值为（）

C.10D.4A污-2

28.如图，E为正方形ABC。边AD上一点，AE=1,DE=3,P为对角线即上一个动点，则R4+PE的最小值为

()

C

-15—

A.5B.472C.2V10D.10

29.如图，等腰三角形A3C的底边BC长为6,腰AC的垂直平分线所分别交边AC、AB于点E,F,若D为BC

边的中点，M为线段E尸上一动点，若三角形CDM的周长的最小值为13,则等腰三角形A3C的面积为（）

A.78B.39C.42D.30

30.如图，正方形A8CD的边长为4,点M在QC上，且。M=l,N是AC上一动点，则。N+MN的最小值为（）

A.4B.4亚C.2^/5D.5

培优训练

一、单选题

31.如图，Rt^ABC中,ABIBC,AB=8,BC=6,尸是ABC内部的一个动点，满足=则线段

CP长的最小值为（)

A-7B.2C.2屈-6D.2屈-4

32.如图1,在菱形ABC。中，AB=6,SBAO=120。，点E是BC边上的一动点，点P是对角线3。上一动点，设

的长度为X,PE与尸C的长度和为y,图2是y关于x的函数图象，其中H（°,6）是图象上的最低点，则a+6

的值为（）

图1图2

-16—

A.7A/3B.6A/3+3C.8A/3D.3省+6

33.如图，正方形ABC。的边长是4,点E是。C上一个点，且。E=l,P点在AC上移动，则PE+P。的最小值

是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

34.如图，在咫AABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=3cm.。是BC边上的一个动点，连接AD,过点C作CE_LAD

于E,连接BE,在点。变化的过程中，线段班的最小值是（）

A.1B.V3C.2D.6

35.如图，在R/EL4BC中，EIC=9O。，AC=6,BC=8,点P在边AC上，并且CF=2,点E为边BC上的动点，将回。£产

沿直线