2025年中考数学最值高频考点训练60题（全国）含答案解析

中考最值高频考点训练60题

明考情-知方向

中考几何最值问题综合性强，常结合对称、旋转、勾股定理、圆的性质等知识，以下是近年常考题型:

(1)将军饮马问题(最短路径)

(2)垂线段最短

(3)动点轨迹型

(4)旋转/翻折型

(5)隐圆模型(定角对定边

(6)费马点问题

(7)胡不归

(8)阿氏圆

热点题型解读

一、单选题

1.如图，在RtZiABC中，ABAC=90°,AB=3,8c=5,点P为BC边上任意一点，连接24、将P4沿方

向平移至CQ,连接4Q、PQ,则当PQ取得最小值时，BP的长为()

2.如图，^AOB=60°,点P是N40B内的定点且。P=2板，若点M、N分别是射线。4、OB上异于点。的动

点，则△「“可周长的最小值是()

B,

/P

N,

OM■A

3A/3

A.6B.3D.乎

3.如图，在四边形/ROC中，乙4=乙。=90。，AC=DC=3fBC=5,若点M,点N分别在43边和CO边上

运动，且4M=DN,连接MN,则MN的最小值为（）

4.如图，直线y=y+3与x轴、y轴分别交于4B两点，点P是以C（l,0）为圆心，1为半径的圆上任意一点,

连接P4P8,则面积的最小值是（）

5.如图，等腰三角形4BC的底边BC长为8,面积是48,腰4C的垂直平分线EF分别交AC,4B边于£,F

点.若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则aCDM周长的最小值为（）

6.如图，△力BC中，^ACB=90°,AC=6,BC=8,线段DE长是5,且两个端点D、E分别在边AC,BC

上滑动，点M、N分别是DE、4B的中点，求MN的最小值（）

A

A.2B.2.5

7.如图，AB=AC=12,ABAC=120°,AD1P是力B中点，过点P作PQIIBC交ZD于点0.

M,N在线段BC上，且MN=3b,则PM+QN的最小值是（

A.V39

8.如图，在正方形ABC。中，AB=2,点E是4B边的中点，点尸是4。边的上任意一点，将线段EF绕点E顺

时针旋转90。得到EG,连接BG,则AEBG周长的最小值为（）

A.3B.2+V2C.1+V5D.2

9.如图，A,B为。。上两点，N力。B=90。，C为。。上一动点（不与4B重合），。为AC的中点.若。。

的半径为2,贝加。的最大值为（）

二、填空题

10.如图，抛物线y=/—4与x轴交于/,2两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点,

点Q是线段尸2的中点，连接。0则线段。。的最小值是.

11.如图，在矩形ABCD中，AB=15,AD=6,E,尸分别是48和DC上的两个动点，M为BC的中点，则

DE+EF+FM的最小值是.

12.如图，在直角△A8C中，ZT=9O。，AC=6,BC=8,AB=10,D、E、尸分别是AB、BC、AC边上

的动点，则DE+EF+D尸的最小值是.

13.如图，四边形力BCD是边长为2的正方形，£是平面内一点，AE^AB,将EB绕点£顺时针方向旋转90。

得到线段EF,连接2F.贝必F长的最小值为

14.如图，在Rt△力BC中，ABAC=90°,AB=5,AC=12,点。是BC上的一个动点，过点D分别作DM14B

于点M,DNLAC于点、N,连接MN,则线段MN的最小值为.

15.如图，在正方形ABCD中，4B=2,点E,尸分别在边力B,BC上，AE=BF,连接DE与4尸交于点G,连

接BG,则8G的最小值为.

16.如图，在Rt△力BC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.如果D,E分别为BC,上的动点，那么力D+DE

的最小值是.

17.如图，在矩形ABCD中，4D=5,4B=3g,点£在边4B上，AE：EB=1:2,在矩形内找一点尸，使

得乙BPE=60°,则线段DP的最小值为.

18.已知，如图点/是直线y=—x—6上任意一点，点8在以M(—3,3)为圆心1为半径的圆上，以为底

边作等腰直角△ABC(/、B、C按逆时针顺序排列)，连接OC,则OC的最小值是.

19.如图，△4BC中，ABAC=90。，AB=4,AC=3,点D,E分别在边AB,BC上运动，且BD=CE,连接

AE,CD,则力E+CD的最小值为.

A

20.如图，在△ZBC中，乙4cB=90。，Z-B=30°,动点M、N分别在BC、ZB上，且AN=2BM>0,连接

AM,CN.若4C=1,贝!JCN+22M的最小值为_

A

匕

M

21.如图，直角三角形4BC中，乙4cB=90。，NB=30°,48长为4,射线CDIIA8,点E为射线CD上一点,

过点E作EF1BC于点F,连接4E,点M为2E中点,贝IMF的最小值为___.

CE

二

AB

22.如图，在矩形A8CD中，AB=6,AD=8,AE=BE,F是BC一动点,△EB'F是由△EBF沿直线EF翻

折得到，连接所。，则夕。的最小值是_

AD

V

BFC

23.如图，M是正方形力BCD边CD的中点，尸是正方形内一点，连接线段8尸以8为中心逆时针旋转90。

得到线段BQ,连接MQ.若AB==4,MP=1,则MQ的最小值为_________

DMC

24.如图，在△力BC中，N4CB=90。，AC=BC=3,。是平面内一点，BD=1,连接CD.将线段CD绕点

C顺时针旋转90。，得到线段C。，连接B。，贝/。的最大值为,最小值为.

25.如图所示，在扇形OAB中，乙4。8=90。，半径04=4,点尸在与上，且而=2而.点C、。分别在

线段。4、OB上，CD=4,E为CD的中点，连接EF.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF

取最小值时，BD的长为.

26.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=4V3,E,尸分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE,则4F+24E

的最小值是.

27.如图，已知BC14B,BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接4E,D点在2B延长线上，且CE=2BD,

则2E+2CD的最小值为

28.已知，在△ABC中，乙4cB=30。,，点尸是△4BC内一动点，则

P4+PB+PC的最小值为

29.如图，48为半圆0的直径，点C在半圆上一动点(与A、B不重合).将△ABC绕点A逆时针旋转60。

得△力DE,连接BE.若。4=1,贝UBE的最小值为.

D

30.如图，矩形4BCD中，AB=2,BC=3,点£是4B的中点，点厂是BC边上一动点.将△BEF沿着EF

翻折，使得点2落在点所处，若点尸是矩形内一动点，连接PC、PD,贝/3，+鱼。。+。。的最小

值为.

31.如图，在平面直角坐标系中，M(6,3),N(10,0),4(5,0),点P为以。4为半径的圆。上一动点，则

PM+步N的最小值为.

32.如图，在△ABC中，乙4cB=30°,47=4,。为BC上的一个动点，以BD为直径的圆。与4B相切于点

B,交4。于点E,贝UCE的最小值为____.

OD

33.如图，正方形力BCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,尸为4B边上的一个动点，连接EF,以EF

34.如图，边长为4的等边△力BC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段MB绕点3逆时

针旋转60。得到BN,连接AN,HN.则在点“运动过程中，Z&4N的度数是,线段HN长度的最小

值是.

35.如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0,—1),直线y=—3+4与x轴、y轴分别交于点/、B,

P是直线4B上的一个动点，贝UPC长的最小值为.

36.如图，在平行四边形力BCD中，ZC=135°,AB=2,AD=3,点H,G分别是CD,BC上的动点，连接

AH,GH.若E、尸分别为4"、GH的中点，贝|EF的最小值是.

BGC

37.如图，在△48C中，44=45°,AABC=60°,AB=14,BDLAC,点E、尸、G分另I」是4。、BD、BC上

的动点，且BF=DE,则乎石尸+双；的最小值为

A

38.如图，在直角三角形ABC中，乙4cB=90。，AC=3,BC=4,点M是边4B上一点（不与点4B重合）,

作ME14C于点E,MF1BC于点F,若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是.

A

39.如图，正方形4BCD的边长为4,M,N为线段BC上的两个动点，BM=CN,4M交对角线BD于点E,

连接CE,交ON于点尸，连接BF,则线段BF的最小值为.

BMNC

40.如图，在等边△ABC中，48=8仃，点E在BC边上，且BE=g，点F为48边上一点，连接EF,在EF

的右侧作NFEP=60。，S.EP=2EF,连接4P,贝幺P的最小值为.

A

41.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以4为圆心，2为半径画圆，E是。4上一动点，P是BC上的一

动点，则PE+PD的最小值是.

42.如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,。为BC边上一动点，将△ABD沿2D翻折得到

AAPD,点3的对应点为点尸，连接CP,则CP的最小值为.

A

B"'DC

43.如图，在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,尸是对角线4C上的动点，连接BF,将直线BF绕点尸顺时针

旋转使NBFE=NBC4,且过2作BE1EF,连接4E,则4E最小值为.

44.如图，在等腰△力中，NR4c=120。，AB=AC=4,点P是B4延长线上的一个动点，过点P分别作

PE18C于点E,。尸14。于点尸，连接EF,贝怩F的最小值为,

45.如图，在Rt^ABC中，^ACB=90°,AC=4,BC=3,点。为△ABC内一动点，且满足CD=2,则

7

的最小值为

46.如图，RtZiA8C中.乙4cB=90。,AC=BC=2,D、E分别是/5,/C上的动点.且BD=2AE,则CD+2BE

的最小值为

47.如图，4B为。。的直径，C为半圆2B上的一动点，以BC为边向。。外作等边△BCD（点。在直线AB

的上方），连接。D.若。。的半径为2,则线段。。的最大值为

48.如图，在△ABC中，4C=5、4B=4、BC=3,。是平面内一点，CD=1,连接4。、£为AD的中点,

连接8E,贝UBE的最小值为,最大值为.

C

49.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(1,0),0),C(1+a,0)色＞0),点9在以。(3,4)为圆

心，1为半径的圆上运动，且始终满足NBPC=90。，则a的最大值是.

50.如图，凸四边形A8CD中，力B=4C,N84C=90。.若4。=3a,CD=4,则对角线8。的最大值为

A

52.如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC=6,过点。作DE12C于点E,DF1BC交边4B于

点F,连接EF,则△DEF的面积最大值为.

53.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为2,动弦力B=2,C是2B的中点，直线=—%—3

与%轴交于E,与y轴交于D,连接EC和。C,则△ECD的面积的最大值为.

1O

54.如图，抛物线y=5/一X一5的图象与X轴交于点/,B,与y轴交于点C,顶点为D,以4B为直径在x

轴上方画半圆交y轴于点E,圆心为/,尸是半圆上一动点，连接DP,点0为DP的中点.则线段BQ的

最大值为.

55.已知抛物线y=-—(%-l)(x-9)与x轴交于4B两点，对称轴与抛物线交于点C,与x轴交于点D,OC

的半径为2,点G为。C上一动点，点尸为4G的中点，则DP的最大值为.

三、解答题

56.问题探究:

(1)如图1,在△48C中，Z.B=30°,。是48边上的点，过点。作。E18C于E,则而的值为；

(2)如图2,在等腰直角△ABC中，ZXBC=90°,AC=5V2,。是边BC的中点，若P是4B边上一点，试

求：PD+孚4P的最小值；

(3)如图3,△ABC为等边三角形，。为4c中点，连接BD,以BD为斜边向上作等腰Rt△BD”，M为线段

1

BD上的一个动点，连接HM,若CO=2,则当HM+/M取最小值时，SAHMD-.

57.如图，E是正方形2BCD外一点，连接E4EB,使△ABE是等边三角形，M为对角线B。（不含B点）上

任意一点，乙EBN=45°,BN=BM,连接EN、AM、CM.

⑴如图所示，与_____互为全等三角形（写出一组即可）.

⑵探究并回答下列问题：

①当M点在何处时，2M+CM的值最小；

②当M点在何处时，2M+8M+CM的值最小，并说明理由；

③当AM+BM+CM的最小值为4g+8时，请直接写出正方形48CD的边长.

58.如图，在矩形4BCD中，AB-2,4。=2怖，点E为边4。上一动点，以CE为边向右作直角三角形CEF,

1

使Z_CEF=90。，NCFE=30。，连接BE,BF,求BE+^BF的最小值.

59.如图，抛物线丫=52+取+5与乂轴交于力，B两点，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴x=3与

经过点4的直线y=kx-1交于点。，与久轴交于点E.

⑴求抛物线的表达式；

(2)若在抛物线上存在点M,使得是以4。为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标;

1

⑶以点B为圆心，画半径为2的圆，P为QB上一个动点，请求出PC+寸2的最小值.

60.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2,点。、E分别为线段AB和BC上的动点，BE=42AD,求

4E+&CD的最小值.

A

中考最值高频考点训练60题

明考情-知方向

中考几何最值问题综合性强，常结合对称、旋转、勾股定理、圆的性质等知识，以下是近年常考题型:

(1)将军饮马问题(最短路径)

(2)垂线段最短

(3)动点轨迹型

(4)旋转/翻折型

(5)隐圆模型(定角对定边

(6)费马点问题

(7)胡不归

(8)阿氏圆

热点题型解读

一、单选题

1.如图，在RtZiABC中，ABAC=90°,AB=3,8c=5,点P为BC边上任意一点，连接24、将P4沿方

向平移至CQ,连接4Q、PQ,则当PQ取得最小值时，BP的长为()

【答案】C

【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质,

得知。P最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再根据S”B。=SAB°C得到OP'的长度，继而

得到PQ的长度，从而即可得解.

【详解】解：4BAC=90°,AB=3,BC=5,

AC='BC2—AB2=4,

四边形4PCQ是平行四边形,

PO=QO,CO=AO

・；PQ最短也就是P。最短，

••・过。作BC的垂线。P，，垂足为P,连接B。,

•••垂线段最短，

即初xOP'=^ABx40

'：C0=AO=2,BC=5,AB=3

0P=9，

则PQ的最小值为20P，=w=2.4,

...CP'=70c2一op2=J22-(I)2=I，

o17

BP'=BC-CP'=5--=

・•・当PQ取得最小值时，BP的长为手.

故选：c.

2.如图，N40B=60。，点P是乙2。8内的定点且。P=2值，若点M、N分别是射线。4、OB上异于点。的动

点，则△PMN周长的最小值是()

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质勾股定理，熟练

掌握相关知识点是解题的关键.

作点P分别关于。4。8的对称点C,D,连接CD分别交O4OB于点M,N,

得到MP="C,NP=ND,OD=OC=OP=2V3,4BOP=LBOD,AAOP=AAOC,继而得到

NP+MP+MN=ND+MC+MN=CD,此时△PMN的周长最小，过点。作OH1CD于点H,得到

ZOCH=乙ODH=1(180°-乙COD)=30°,得出OH=遮，根据勾股定理求出CH=3,得到CD=6,即

可得到答案.

【详解】解：如图，作点P分别关于O4OB的对称点C,D,连接CD分别交。4。8于点M,N,

•••MP=MC,NP=ND,OD=OC=OP=2®乙BOP=乙BOD,乙AOP=zXOC,

•••NP+MP+MN=ND+MC+MN=CD,

/.COD=乙BOP+乙BOD+/.AOP+/.AOC=2/.AOB=2X60°=120°,

此时△PMN的周长最小，

过点。作0Hle。于点H,

•••CH=DH,乙OHD=AOHC=90°,

•••OD=OC,

:•乙OCH=乙ODH=|(180°-4COD)=30°,

OH=|ot=[x2V3=V3,

•••CH=70c2一OH2=3,

•••CD=2CH=6,

PMN周长的最小值是6,

故选：A.

3.如图，在四边形ABDC中，乙4=4。=90。，AC=DC=3,BC=5,若点点N分别在AB边和CD边上

运动，且2M=DN,连接MN,则MN的最小值为()

A

D

A.3B.萼C.4D.喑

【答案】B

【分析】作ABAC的平分线交BC于点O,连接DO/D,OM,ON,4。交BC于点?通过证明三角形全等、

相似，利用全等三角形、相似三角形的性质及勾股定理，最后得结果.

【详解】解：如图：作NR4c的平分线交8C于点O,连接。。/D,OM,ON,AD交BC于点、F.

1

贝此BA。=乙。4c=万乙BAC=45°,

在Rt△ABC^Rt△DBC^,

-AC=DC,BC=BC,

・•.Rt△ABC=Rt△DBC(HL),

•••Z-ACB=Z-DCB,

在△AOC和△DOC中，

•・•AC=DC^ACB=乙DCB,CO=CO,

・••△/OCW2XDOC(SAS),

・•.AO=DO,/LOAC=乙ODC=45°,

Z.BAO=Z-ODC,

在△OMZ和△OND中，

•・•AM=DN,乙BAO=乙ODC,OA=OD,

・•.△OMA=△ON。(SAS),

OM=ON,Z.AOM=乙DON,

•••乙MON=2LAOM+乙AON,乙AOD=乙AON+乙DON,

・•・乙MON=^AOD,

.丝=”

X'OAOD'

:AMONMAOD,

.MN__OM

''~AD一~0A"

过点。作。El48于E,

则OEIIAC,

OEBs^CAB,

OE_BE

''~CA~~BA"

.OE__

"'CA-BA'

OF

tanZ-BAO=—AE=1,

OE=AE,

•・.AB=7BC2-AC2="52—32=4,

OE4-OE

,•-T—4，

12

OE=AE=

OA='OE2+旃=苧，

在和△DCF中，

•・•AC=DC^ACB=乙DCB,CF=CF,

.-.AXCF=ADCF(SAS),

/.AFC=乙DFC,AF=DF,

•••Z-AFC+^DFC=180°,

・••/.AFC=90°,

••・AF1BC,

^AABC=-AC=6,

S^ABC=^BC^AF=^AF=6,

12

.・.AF=DF=

24

・•.AD=AFDF=y,

—,OM7、万

・••.MN=^jr=?OM,

-----5

・•・当。M取最小值时MN的值最小,

•:点O为定点，

・♦・当。MlAB时。M的值最小，

OE1AB,

OM的最小值为。E的值，

...MN=?x畀与，

•••MN的最小值为岑

故选：B.

4.如图，直线y=/+3与％轴、y轴分别交于4B两点，点P是以C(l,0)为圆心，1为半径的圆上任意一点,

连接P4PB,则△P4B面积的最小值是()

【答案】A

【分析】作于H交O。于E、F,当点P与E重合时，△P4B的面积最小，求出EH、4B的长即可解

决问题.

【详解】解：直线y=+3与x轴、y轴分别交于4B两点，

令％=0,则y=3,令y=0,则%+3=0,

解得，%=-4,

・••4(-4,0),8(0,3),

：.OA=4,OB=3,且乙4。8=90°,

：.AB=5,

.…cOB3…cOB3

：.s\nZ-OAB=—=tanZ.OAB=—=-

AB5OA4

如图所示，作C”14B于“交。。于E、F,过点“作HG1久轴于点G,

.'.AC=1—(—4)=5,

在RtzXACH中,sin/CA”=sin/OAB=穿=I，

.-.CH=3,

■.EH=3-1=2,

当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=/X5X2=5,

故选:A.

【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、锐角三角形函数的计算、一次函数的性

质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问

题.

5.如图，等腰三角形4BC的底边8c长为8,面积是48,腰力C的垂直平分线EF分别交4C,4B边于E,F

点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长的最小值为()

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解

题的关键是掌握轴对称的性质.

连接4D，根据EF是线段2C的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点4故4D的长为CM+MD

的最小值，由于aABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，故2D18C,根据三角形的面积公式求出2。

的长，即可求解.

【详解】连接2。，4。与EF的交点为M,

A

C点与4点关于直线EF对称，

CM+MD=AD,

此时△COM周长最小，

•・•△ABC是等腰三角形，。是BC的中点，

AD1BC,

•••BC长为8,面积是48,

：.AD=12,

•••△CDM周长最小=AD+CD=12+4=16,

故选：C.

6.如图，△4BC中，AACB=90°,AC=6,BC=8,线段DE长是5,且两个端点D、E分别在边AC,BC

上滑动，点M、N分别是DE、48的中点，求MN的最小值（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接CM、CN,

由勾股定理求得4B=10,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CN=5,CM=2.5,当C、M、N在同一

直线上时，MN取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出C、M、N三点在同一直线上时，MN取最

小值是解决此题的关键.

【详解】解：如图，连接CM、CN,

在△48C中，^ACB=90°,

由勾股定理得：AB=7AC2+BC2=V62+82=10,

•.,乙4cB=90。，点M、N分别是DE、4B的中点，

CN=gx10=5,CM=»E=|x5=2.5,

••・当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，

・•.MN的最小值为：5-2.5=2.5,

故选：B.

7.如图，AB=AC^12,ABAC=120°,4。148交8。于点。，P是4B中点，过点P作PQ||8C交4。于点。.

MN在线段BC上，且MN=3g,则PM+QN的最小值是（）

【答案】A

【分析】作点尸关于BC的对称点尸，过点〃作MEIINQ交PQ于点£,连接PF,BF,EF,MF,根据勾股定

理得到力。=48，BD=8V3,根据平行线的性质得出乙4PQ=NB=30。，再利用勾股定理得出

AQ=QD,求出PQ=4K,证明△EMX三△（?人「得到ME=QN,由此PM+QN=MF+ME,当尸,

M,£三点共线时，PM+QN的值最小，即线段EF的长，证是等边三角形，PF=BP=，B=6,

利用勾股定理求出EF.

【详解】解：作点P关于的对称点凡过点M作MEIINQ交PQ于点£,连接P£8F,EF,MF,作

EX1BC,QYIBC,

•MB=AC=12,/^BAC=120°,

;/B—Z-C=30°,

-AD1ABf

・•.BD=2AD,

/.122+AD2=BD2,即122+AD2=(2/0)2,

.\AD=4百\BD=8百\

.PQIIBC,

：.Z.APQ=AB=30°,

・・・P是PB中点,

：.AP=^AB=6,

设AQ=a,则PQ=2a,

.,.62+a2=(2a)2,

••.a=2V3,即ZQ=2V3,

・•.DQ=AD-AQ=4V3-2^3=2g,PQ=4K，

：.AQ=QD,

-MEWNQ,

・"MX=乙QNY,

-PQIIBC,

：.EX=QY,

在△EMX和△QNY中，

(AEMX=Z.QNY

\z-EXM=乙QYN

(EX=QY

...△EMX=△QNY,

.'.ME=QN,

.-.PM+QN=MF+ME,当凡M,E三点共线时，PM+QN的值最小，即线段EF的长，

■.BP=BF,^ABC=乙CBF=30°,

.•.△BPF是等边三角形，

■,PF=BP=^AB=6,

-：EQ=MN=3V3,

■■-PE=V3,

■.-Z.FPE=90°,

■■■EF=7PE2+PF2=V3+62=V39-

故选：A.

【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质,

熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键.

8.如图，在正方形2BCD中，AB=2,点E是4B边的中点，点F是4。边的上任意一点，将线段EF绕点E顺

时针旋转90。得到EG,连接BG,则AEBG周长的最小值为（）

A.3B.2+V2C.1+V5D.2

【答案】C

【分析】过点G作MN||BC,分别交AB,CD于点M,N,连接CG,CE,先证出根据全等三

角形的性质可得MG=/E=1,从而可得MG=NG,再证出△BMGw△CNG,根据全等三角形的性质

可得BG=CG,从而可得aEBG的周长为BE+EG+BG=1+EG+CG,然后根据两点之间线段最短可

得当点E,G,C共线时，EG+CG取得最小值，最小值为CE,由此即可得.

【详解】解：如图，过点G作MNIIBC,分别交ZSCD于点M,N,连接CG,CE,

•・•在正方形ZBCD中，48=2,点E是边的中点，

乙

：.BC=AB=2,BE=AE=lfAA=Z.ABC=BCD=90°,AB||CD,

・・・四边形8CNM是矩形，

；.MN=BC=2,BM=CN/BMG=乙CNG=90°,

：.£.EMG=90°,

由旋转的性质得：EG=FE,^FEG=90°,

.'.Z.AEF+^MEG=90°,

又•・•乙4=90°,

.'.Z.AEF+^AFE=90°,

；ZMEG=AAFE,

在△MEG和中，

(AEMG=Z.A=90°

］乙MEG=Z.AFE,

IEG=FE

・•.△MEG=△AFE(AAS),

,.MG=AE=1,

：.NG=MN-MG=1,

.•.MG=NG,

在△BMG和△CNG中，

fBM=CN

\^BMG=Z.CNG=90°,

IMG=NG

.•.△BMGw^CNG(SAS),

；.BG=CG,

・•.△EBG的周长为BE+EG+8G=1+EG+CG,

由两点之间线段最短可知，当点E,G,C共线时，EG+CG取得最小值，最小值为CE='BC?+BE2=逐,

△EBG周长的最小值为1+V5,

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与

性质等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

9.如图，A,B为。。上两点，^AOB=90°,C为。。上一动点（不与4B重合），。为力C的中点.若。。

的半径为2,则的最大值为（）

【答案】A

【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接C。，取4。的中点E,连接

根据中位线的性质可得DE=*。=1,再利用勾股定理求得BE,根据三角形边长关系可得

DB<DE+BE,即可解答，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，连接CO,取4。的中点E,连接DE,BE,

•・•乙AOB=90°,

BE=yJOE2+BE2=V5,

根据三角形边长关系可得BE-DE<BD<BE+DE,

.­■BD的最大值为BE+DE=V5+1,

故选：A.

二、填空题

10.如图，抛物线y=*2—4与支轴交于48两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点,

点Q是线段尸3的中点，连接则线段。。的最小值是.

【答案】V5—1

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，连接

AC.EB,设4C的延长线交OC于E,先求出点4(-2,0),点8(2,0),点C(0,-4),由此得OQ是△的2的

中位线，则OQ=9P,因此当4P为最小时，OQ为最小,根据点与圆的位置关系可知4E为最小，然后

再求出4E的长即可得出OQ的最小值.

【详解】解：连接设4C交OC于£,如图所示:

对于抛物线y=X2-4,当x=0时,或x=2,

二点4(—2,0),点点C(0,—4),

：.OA=OB=2,OC=4,

••・点。是BP的中点，

；.0Q是△ABP的中位线，

.■.OQ=^AP,

.•.当4P为最小时，0Q为最小，

根据点与圆的位置关系可知：点/到OC上各点的距离中，&E为最小，

・•・当点尸与点£重合时，0Q为最小，最小值为豺岳，

在Rt^CMC中，由勾股定理得：AC=VOA2TOC2=2V5,

•；OC的半径为2,

：.AE=AC-CE=245-2,

■■■^AE=V5—1,

”0Q的最小值为逐一1.

故答案为：y/5—1.

11.如图，在矩形4BCD中，AB=15,AD=6,E,厂分别是AB和DC上的两个动点，”为BC的中点，则

DE+EF+FM的最小值是.

【答案】15四

【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，作点。关于2B的对称点ZT,作点M关于CD的

对称点连接。D'E,FM1,则所求的最小值即为。即，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：作点。关于4B的对称点。，作点加■关于CD的对称点连接。D'E,FM',

则DE+EF+FM=D'E+EF+FM'>D'M',

二当。，E,F,眩在同一条直线上时，所求的DE+EF+FM最小，最小值即为。州的长,

•矩形48CD中，AB=15,AD=6,

：.AB=CD=15,AD=AD'=BC=6,

过点M作20的垂线，交40的延长线于点“，则四边形DCM7/为矩形,

：.HM'=AB=15,

为BC的中点，AD=BC=6,

：.MC=CM'=DH^3,

■.HD'=AD+AD'+DH=6+6+3=15,

・•・D'M'=7HD，2+HM，2=V152+152=15V2,

.■.DE+EF+FM的最小值是15位.

故答案为：15五.

12.如图，在直角△A8C中，NC=90。，AC=6,BC=8,AB=10,D、E、尸分别是AB、BC、AC边上

的动点，则DE+EF+DF的最小值是__.

【答案】9.6

【分析】本题考查了轴对称一路径最短问题，作。关于直线4c的对称点M,作D关于直线BC的对称点

N,连接CM,CN,CD,DN,DM,EN,FM.,推出乙DCN+=180。，可得M、C、N共线，由

DF+DE+EFDM+DE+EN,DM+DE+EN>MN,可知F、E、M、N共线时，且CD1AB时，

DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD,求出CD的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键.

【详解】解：如图作。关于直线4C的对称点M,作。关于直线BC的对称点N,连接CM,CN,CD,DN,

DM,EN,FM.

.-.CD=CM=CN

■■■/.MCA=Z.DCA,乙BCD=ABCN,NBCD+NACD=90°,

NDCN+NDCM=180°,

•••M、C、N共线，

DF+DE+EF=FM+EF+EN,

•••FM+EF+EN>MN,

二当F、E、M、N共线时，且CD14B时，DE+EF+尸。的值最小，最小值=2CD,

CD1AB,

•••AB-CD=BC,AC,

CD=4.8

・•.DE+EF+OF的最小值为9.6.

故答案为：9.6.

13.如图，四边形2BCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE=AB,将EB绕点E顺时针方向旋转90。

得到线段EF,连接力F.则4F长的最小值为

【答案】2V2-2

【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，

证明三角形相似是解题的关键.

通过证明△ABFsaOBE,可得=则当点E在AC上时，OE有最小值为2—夜，即4尸的最

小值为2四-2.

【详解】解:如图，连接AC,BD,交于点。，连接OE,BF.

AB——

cosZ-ABO=V2B0=2,

BO=AO—y/2,

•・・将绕点E顺时针方向旋转90。得到线段EF,

•♦.BE=EF,乙BEF=90。,

••・乙EBF=乙EFB=45°,

RF.一

BF=茄旃=&BE,

•••Z-FBE=Z-ABO,

•••Z-ABF=Z-OBE,

k7ABBFr-

又***~on=~RP=V2,

DUDC

.♦.△ABF〜△OBE,

AFr-

■■AF=420E,

■■■AB=AE—2,

当点E在4C上时，OE有最小值为2—V2,

・••力产的最小值为2四—2.

故答案为：2e—2

14.如图，在Rt^4BC中，Z,BAC=90°,AB=5,AC=12,点。是BC上的一个动点，过点。分别作DM14B

于点M,DNJ.AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为.

【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DM4N是

矩形，可得MN=AD,根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题.

【详解】解：；NB4C=90。，BA=5,AC=12,

-BC=7AB2+\C2=13,

-：DMLAB,DNLAC,

.-./.DMA=乙DNA=4BAC=90°,

四边形OMAN是矩形，

■.MN=AD,

.•.当ADIBC时，力D的值最小，

此时，△48。的面积=33*2。=28。*4。，

••.MN的最小值为詈

故答案为：5.

15.如图，在正方形28CD中，4B=2,点E,尸分别在边AB,8C上，AE=BF,连接DE与4F交于点G,连

接BG,贝/G的最小值为.

cFB

【答案】V5-1/-1+V5

【分析】要想求出BG的最小值，要把它转化到△BGM中，并且M取力D的中点，运用直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半，求出GM的长度，根据勾股定理求出8M的长度，根据三边关系

BG+GM>BM,即可得到BG的最小值.

【详解】解：取an的中点M,连接BM,GM,

则DM=AM=^AD=^AB=1,

■■-BM=>MM2+482="2+22=