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文档简介
3.3利用导数研究函数的极值与最值(精练题组版)
题组一无参函数的极值(点)
1.(24-25甘肃)函数〃x)=lnx-'的极大值为()
1,
A.—yB.0C.eD.1
e
2.(2025,陕西)已知函数〃x)=x2-8x+61nx+l,则的极大值为()
A.10B.-6C.-7D.0
3.(2024湖北)已知函数了。)=2",(加比-?6是自然对数的底数),则的极大值为()
A.2e-lB.--C.1D.21rl2
e
4.(2025高三・全国•专题练习)已知函数/(无)=x2(lnx-l)-2ax.当。=0时,求/O)的极小值.
5(2025•青海海东•二模)函数/(尤)=(2/-3彳)1+1的极小值是.
6(2025•陕西宝鸡•二模)若函数/(x)=4siiir+女o&x的极大值点为与,则siiUo=.
7.(2025•湖北武汉•二模)已知函数"x)=Ma+lnx),曲线V="力在点但/⑻)处的切线与y=4x-1平行.
(1)求。的值;
(2)求〃尤)的极值.
8(24-25高三下•湖南永州•开学考试)已知函数/(x)=lnx-依,其中。为非零常数.
⑴当a=l时,求〃x)的单调区间;
(2)若函数“力的图象在点处的切线斜率为-1,求f(x)的极值.
9.(2025•辽宁抚顺,模拟预测)已知函数〃x)=(x2_3x+a)e'+》的图象与>轴相交于点A,的图象在点A
处的切线方程为2x+y-l=0.
(1)求。,6的值;
⑵求函数“X)的单调区间和极值.
题组二导函数与极值的图像关系
1.(24-25四川广元•阶段练习)如图是y=/(x)的导函数/'(X)的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是
A.当x=-l时,取得极大值B.在上是增函数
C.当x=l时,元)取得极大值D.在[T2]上是增函数,在[2,4]上是减函数
2.(2024浙江)若x=-l为函数/(X),的一个极值点,则下列图象一定不可能为函数的是()
3.(2024•贵州黔南•一模)三次函数/(%)=加+加+4+』的图象如图所示.下列说法正确的是()
B.a<0fb>0,c<0,6?<0
C.a>0,b<0,c<0,6?<0D.Q〉0,b>Q,c<0,d<0
4(2025高三下•全国•专题练习)(多选)函数y=〃x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示,下列命题中正确的
是()
A.-3是函数y=/(x)的极值点B.y=/(x)在区间(―3,1)上单调递增
c.-1是函数y=/(x)的最小值点D.y=/(x)在尤=0处切线的斜率小于零
5.(24-25高三下•重庆・开学考试)(多选)已知函数/(X),xe[-a,a]的图象是一条连续不断的曲线,设其导数
为了'(X),函数ga)=(d-x)(⑺的图象如下,则下列说法正确的是()
A./(x)在x=-l处取最大值B.x=l是4%)的极大值点
C./(x)没有极小值点D.尤=1可能不是导函数/'(x)的极大值点
6.(2024吉林长春•期中)(多选)已知定义在R上的可导函数“X)和g(x)的导函数_f(x)、g'(x)图象如图
所示,则关于函数Mx)=g(x)-/⑺的判断正确的是()
A.有1个极大值点和2个极小值点B.有2个极大值点和1个极小值点
C.有最大值D.有最小值
7(2024重庆)(多选)设函数在R上可导,其导函数为尸(x),且函数y=(lr)尸(x)的图象如图所示,
A.函数在(2,+8)上为增函数B.函数/(X)在(-2,1)上为增函数
C.函数有极大值/⑵和极小值〃1)D.函数“X)有极大值/(-2)和极小值“2)
8.(2025江苏)(多选)已知函数的导函数/'(X)的图象如图所示,则下列选项中正确的是()
A.函数/'(X)在x=l处取得极大值B.函数在x=-l处取得极小值
C.〃x)在区间(-2,3)上单调递减D.的图象在x=。处的切线斜率小于零
9(2024海南)(多选)如果函数>=/(无)的导函数y=/(x)的图象如图所示,则以下关于函数y=/。)的判断
A.在区间(2,4)内单调递减B.在区间(2,3)内单调递增
c.x=-3是极小值点D.x=4是极大值点
题组三已知极值(点)求参数
1.(23-24高三上•陕西•阶段练习)若函数/(x)=x3-依?+4x-8在x=2处取得极小值,则。=()
A.4B.2C.-2D.-4
InY
2.(2025•贵州)函数〃无)=依+丁+1在x=l处取得极值0,贝()
b
A.0B.JC.1D.2
3(24-25高三上•广东潮州•期末)已知函数”无)=;x2-(i+q)x+ainx在x=a处取得极大值,则实数。的取值
范围为()
A.(-oo,l)B.(0,1)C.(l,+oo)D.[l,+oo)
1
4.(2025•吉林长春•一模)已知函数〃%)=%(%-49的极大值为二,贝!!〃=()
16
3223
A.——B.——C.-D.—
2334
5.(23-24天津滨海新期中)函数/(x)=4d—以2一2以+2在1=1处有极小值—3,则b—a的值等于()
A.0B.-2C.-4D.6
6.(2024•宁夏银川•一模)若函数/(%)=(炉-办-2)e"在犬=-2处取得极大值,则/(%)的极小值为()
A.-6e2B.-4eC.-2e2D.-e
7.(2024海南)已知/(尤)=依3-2尤2+法+。2(。涉eR)在彳=1处的极大值为5,贝1]。+》=()
A.-2B.6
C.—2或6D.-6或2
8(2025山东聊城•期中)函数八力=二+依2-笈+/在彳=2时有极小值一4,那么b-a的值为()
A.6B.6或32C.2或42D.6或30
9.(24-25陕西榆林•期末)已知函数/(x)=x(x-a)2在尤=1处取得极大值,则实数a的值是.
10(23-24湖北武汉•期中)已知函数〃尤)=blnx+Nr+2依+“2-3。在x=l处取得极小值则2的值为_____.
22a
题组四已知极值点的个数求参
1.(2024四川成都•期中)已知/(力=-3尤3+(1_〃7.2_尤+2没有极值,则实数机的取值范围为()
A.(0,2)B.(-oo,0)U(l,+oo)
c.[0,2]D.(-oo,0]u[2,+oo)
2.(23-24江苏无锡•阶段练习)已知函数〃x)=gx3-皿2+〃7X+9在R上无极值,则实数机的取值范围为()
A.(-oo,0)5L+°°)B.(f0)[1,+<»)c.0,1]D.(0,1)
3(2024•重庆•模拟预测)若函数=有极值,则实数。的取值范围是()
B-心c/TD.(1
A.<0°58
4h
4.(2024,广东佛山•二模)若函数〃x)=alnx+;+?(。片0)既有极大值也有极小值,则下列结论一定正确
的是()
A.«<0B.b<0C.ab>—lD.a+b>0
3
5.(2025•吉林•模拟预测)若函数〃尤)=alnx+‘-尤既有极大值也有极小值,则实数。的取值范围为()
X
A.:0,2月B.卜8,—
C.-00,一-2A/3)D.(26,+oo)
6.(24-25高三上•湖北武汉•阶段练习)已知函数〃引=炉+6江+办-1在区间(1,2)上有极值,则实数。的取值
范围是()
A.-8,-4A/3]B.(-8,-45/3)
--7,-4⑹
uD.(-8,-7)
7.(2025湖北)已知函数〃x)=xlnx-加则,"⑺有两个极值,,的一个必要不充分条件是()
A.—1VG'<c1B.—<Q<0C.—VQ<0D.0<Q<
422
8(2025高三・全国•专题练习)已知函数〃同=25皿(3+:10>0)在(0g
上仅有一个极值点,且/
则。的值为()
15102
A.6D.D__r__n
433
9.(24-25高三上•安徽马鞍山•期末)设函数〃x)=sin(s-T(0>O),若/⑺在(0,?上有且只有2个零点,
a,在,,a+
且对任意实数上存在极值点,则。的取值范围是()
B-[?3.C.(3号D.
A.
10.(24-25高三上•天津•期中)已知函数"X)=2cos+£(O>0)在(0,兀)有且仅有2个极小值点,且在
上单调递增,则①的取值范围为()
一5291「5111<17291<171T
A.—B.—5VC.—D.u不
_26J|_23J(66」v63_
11(2025・四川成都•二模)若函数/(x)=e“']n(x+l)有极值,则。的取值范围为()
A.(-<x>,0)u(e,+oo)B.(-co,0)u(e2,+oo)
C.u(l,+«)D.(-8,-1)
12(2025•上海•模拟预测)设0为常数,〃x)=sin((yx+j,若且函数、=/(尤)在区间上恰
有一个极小值点,无极大值点,则。的值为.
13(2025高三・全国・专题练习)已知函数/(x)=xlnx+办2有两个极值点石,马&<N),则实数a的取值范围
是.
14.(2025高三・全国•专题练习)若函数/(x)=ex-依2一x有两个不同的极值点,则实数。的取值范围为.
15(2025•江苏苏州•模拟预测)已知函数/(幻=丁-3/+6+2,若f(x)在(-M)有唯一的极值点且为极大值点,
则a的取值范围为.
题组五无参函数求最值
1JTJT
1.(24-25江苏无锡•期中)已知函数/(无)=]尤-cosx,xe,则f(x)的最小值为.
2.(2025江苏)函数〃x)=F,尤e[0,4]的最小值是.
3(2025浙江)函数/(尤)=$3一人+4在[0,3]上的最大值与最小值之和为.
4.(2024湖南长沙■阶段练习)函数〃x)=flnx的最小值为.
5(2025高三・全国•专题练习)已知函数小尸血竟广,则函数在上的最大值为.
6.(24-25高三下•四川雅安•开学考试)函数〃x)=26sinx(cosx+l)的最大值为
题组六已知最值求参数
1.(2024・四川)函数=-sinx,若/(x)在(0看)上有最小值,则实数a的取值范围是
2.(2025•四川)若函数[2,尤<°的最小值是一2,则实数m的取值范围是______
2X3-3X2,X>0
fe"r>0
3.(2024•浙江温州•一模)已知函数/")=3,八的值域为R,则实数。的取值范围为_______
lx—3兄+a,%WU
4.(24-25IWJ二下,广东)已知函数/(X)=f+2x+cos(x+l)+〃的最小值是—3,贝!]。=.
5.(2024•广东河源•模拟预测)已知函数/(犬)=3-111¥+(1-⑻尤-Inm的最小值为0,则机=.
6(2025湖北•阶段练习)若函数"x)=2x+*+31nx在(a,2-3a)内有最小值,则实数”的取值范围是.
X
7.(2024・上海・三模)若函数/(力=。丁+3%在(。,。+2)上存在最小值,则实数。的取值范围是.
8.(2025福建)已知〃x)=$3-X在区间,6-根2)上有最小值,则实数机的取值范围是.
9.(2024•河南南阳•一模)已知函数/■(x)=3x2-21nx+(a-l)x+3在区间(1,2)上有最小值,则整数。的一个取
值可以是.
tzx-1x<--J
10.(2025河南)已知awo,若函数/(尤)=,、,;、।有最小值,则实数。的最大值为.
11.(2024浙江)若函数+在区间(q-4,a)上存在最小值,贝壮的取值范围是.
12.(2024,广西南宁•一模)已知函数/(x)=(x-l)e,+加的最小值为-1,则实数。的取值范围为.
13(2025・广东)已知函数/(x)=x(e"T-2a)-lnx的最小值为0,则。的值为.
14(23-24高三上•山东潍坊•阶段练习)已知函数/(X)=⑪-(。+3)丁在区间卜1,1]上的最小值为-3,则实数a
的取值范围为
题组七导数的综合运用
1.(24-25高三上•安徽宣城•期末)函数=-2alnx+2>-1),若/(x)NO恒成立,则热■的最
小值是()
11e1
A.-B.—C.-D.—
e2e22
2(24-25高三下•河北沧州•阶段练习)(多选)已知函数/(x)=e2,-2依-1,则下列说法正确的是()
A.若曲线y=在点(。,/⑼)处的切线方程为y=2x,则a=l
B.若a=l,则函数f(无)在(。,+8)上单调递增
C.若aAe?,则函数在[1,+°°)上的最小值为a-alna-1
D.若/(x"0,则a=l
3(24-25高三上・甘肃武威・期末)(多选)已知函数/(x)=xe,,则下列说法正确的是()
A.的值域为g,+s]
B.x=-l是的极小值点
C.若/(zAxjlnXj=1,则%工2=1
D.若过点尸(。,0)的曲线y=/(x)的切线有且仅有两条,则a的取值范围为-4)5。,+8)
4(2025高三・北京・专题练习)已知函数〃力=加-(a+2)x+lnx.
⑴当a=l时,求曲线y=〃x)在点处的切线方程;
(2)当a>0时,函数〃x)在区间[l,e]上的最小值为一2,求a的取值范围;
5.(2025安徽)已知/(x)=-:依2+x-ln(l+x),其中a>0.
(1)若x=3是函数的极值点,求。的值;
(2)求〃x)的单调区间;
(3)若〃x)在[。,")上的最大值是0,求。的取值范围.
3.3利用导数研究函数的极值与最值(精练题组版)
题组一无参函数的极值(点)
1.(24-25甘肃)函数〃x)=lnx-'的极大值为()
1,
A.—yB.0C.eD.1
e
【答案】D
【解析】因为广⑴="1■-4,令r(x)>o,得o<x<『时;令((无)<0,得了>/,
xe
2
所以当X=/时,函数F(无)取得极大值/(e2)=Ine2-马=1.
故选:D.
2.(2025,陕西)已知函数7'(x)=x2—8x+61nx+l,则的极大值为()
A.10B.-6C.-7D.0
【答案】B
【解析】函数〃x)的定义域为(0,+"),-(力=2=8+£=2(尸1).-3),
XX
令(尤)=。,解得X=1或X=3,故
X(oa)1(L3)3(3,+oo)
/'(X)>0=0<0=0>0
小)单调递增极大值单调递减极小值单调递增
所以的极大值为〃1)=-6,故选:B.
3.(2024湖北)已知函数了(x)=2d是自然对数的底数),则/'(x)的极大值为()
e
A.2e-\B.--C.1D.2ln2
e
【答案】D
【解析】广(》)=空的」,故广⑻」,故"x)=2加X-,
xeee
21
令广(x)=二一>0,解得:0<x<2e,令/'(x)<0,解得:X>2e,
xe
故/(x)在(0,2e)递增,在(2e,m)递减,
二.x=2e时,f(x)取得极大值2历2,故选:D.
4.(2025高三・全国•专题练习)已知函数/(%)=无2(111¥-1)-2〃%.当。=0时,求/(%)的极小值
【答案】
【解析】当4=0时,函数/(%)=%2(1旧-1)定义域为(0,+8),
求导得尸(x)=2x(…)+户2即-;)’
当0<x<五时,f'(x)<0,
当x>加时,尸(无)>0,
所以函数在(0,而)上递减,在(6,+8)上递增,
所以当尤=6时,f(x)取得极小值/(公1
5(2025•青海海东二模)函数/(尤)=(2元2一3x)e"i的极小值是.
【答案】-F
【解析】函数/(x)=(2尤2-3x)e"i的定义域为R,求导得r(x)=(2V+x_3)e"i=(2x+3)(x-l)e*+i
33
由f'(x)<0,得一]<x<l;由:(无)>0,得了<一]或x>l,
因此当了=-^时,A©取得极大值,当尤=1时,/(x)取得极小值,
所以函数/⑺的极小值为/6=-e2.
故答案为:-e2
6(2025,陕西宝鸡•二模)若函数〃x)=4sinx+3cos的极大值点为与,则situ*
4
【答案】y/0.8
【解析】由函数/(x)=4sinx+3co,
求导可得:(x)=4cosx-3sinx=5—cosx-二sinx
令sin0=一,cos0=一,则/'(无)=5cos(x+0),
,
由题意可得f(^))=5cos(j;0+^)=0,
7171
由函数y=cosx可知当XW--+2fai,-+2far(keZ)时,cosx>0,
当xw^+2k7t,n+^+2kn(ksZ)时,cosx<0,且与为函数/(x)的极大值点,
__JIJI
则可得入。+0=万+2而(左wZ),解得/=万一0+2E(左wZ),
(7T)44
所以sin%=sin匕一。+2Ej=cos°=g.故答案为:
7.(2025•湖北武汉二模)已知函数〃x)=Ma+lnx),曲线y=/⑺在点(e1(e))处的切线与y=4x-l平行.
(1)求”的值;
(2)求“X)的极值.
【答案】(1)2⑵极小值为无极大值.
e
【解析】(1)因为/(x)=x(a+lnx),%>0.所以/'(x)=a+lnx+x-,=lnjr+Q+l,x>0.
由题意/'(e)=4=>lne+a+l=4=>a=2.
(2)因为/(%)=无(2+lnx),%>0.所以—(x)=lnx+3,x>0.
由/'(%)>。nlnx+3>0x>e-3;由/'(%)<0nlnx+3<0=^>0<x<e-3.
所以函数“X)在(0,1)上单调递减,在(e7+8)上单调递增.
所以当天=1时,函数取得极小值,且/(5)=尸12+(-3)]=-:.
8(24-25高三下•湖南永州•开学考试)已知函数/(x)=lnx-依,其中a为非零常数.
⑴当。=1时,求〃x)的单调区间;
⑵若函数“X)的图象在点(1J⑴)处的切线斜率为-1,求“X)的极值.
【答案】⑴单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(L”)
(2)极大值为-ln2-1,无极小值
【解析】(1)当。=1时,/(力=山彳-彳定义域为(0,+8),
又广(x)=、-l=T,当0<尤<1时,尸⑺>。;当无>1时,(⑺<0;
所以在(。,1)上单调递增,在(1,+«)上单调递减;
即/(%)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,仪);
(2)因为:(x)=J,所以[⑴=1—a=—l,解得a=2,
11_9Y
所以/(%)=如无一2x,则广⑺=-2=——,
xx
当o<x<;时,r(x)>o;当尤〉;时,r(%)<o;
所以/(X)在(og[上单调递增,在1;,+s]上单调递减;
所以/(x)在x=;处取得极大值,且极大值为=-In2-1,/(x)无极小值.
9.(2025・辽宁抚顺•模拟预测)已知函数/(司=(炉-3x+a)e"+b的图象与y轴相交于点A,〃尤)的图象在点A
处的切线方程为2x+y-l=0.
⑴求。,6的值;
(2)求函数“X)的单调区间和极值.
【答案】(1)。=1,b=0;
(2)单调递增区间为(-8,-1)和(2,+8),单调递减区间为(-1,2);极大值,极小值一e2;
【解析】(1)由已知可得广(x)=(2x-3)e*+(尤2-3尤+a)e'=(尤2-x+a-3)e"
因为直线2x+y-l=0的斜率为一2,所以尸(。)=。—3=—2,所以。=1.
令2x+y-l=0中x=0得y=l,故2(0,1),
Xf(0)—a+b,所以。+6=1,所以6=0.
(2)函数“力的定义域为(ro,+00).
由(1)知〃彳)=(*2-3x+l)e*,f'(x)=(X2-X-2)ex=(x+1)(x-2)ex,
令[(无)=0,解得x=T或x=2,
由广(无)>。得函数〃X)的单调递增区间为(---1)和(2,+8);
由广⑺<。得函数”X)的单调递减区间为(-1,2)
所以当x=T时,函数/(X)取得极大值/(-1)=*;
e
当x=2时,函数/(力取得极小值42)=^2.
题组二导函数与极值的图像关系
1.(24-25四川广元,阶段练习)如图是y=/(x)的导函数/⑺的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是
A.当x=-l时,取得极大值B.〃尤)在上是增函数
C.当x=l时,/⑺取得极大值D.〃x)在[T2]上是增函数,在[2,4]上是减函数
【答案】D
【解析】根据导函数/'⑺的图象可知,
当xe(-2,—l)u(2,4)时,r(x)<0,当xe(—l,2)54,5)时,/(力>0,
可知fM在(-2,-1),(2,4)内单调递减,在(-1,2),(4,5)单调递增,
所以当x=-l时,/(x)取得极小值,当x=2时,/(%)取得极大值,当x=4时,/(%)取得极小值,
故ABC错误,D正确.
故选:D.
2.(2024浙江)若x=-l为函数〃同e,的一个极值点,则下列图象一定不可能为函数的是()
【解析】由于(〃尤)/)'=(尸(x)+〃x))/,g(x)=r(%)+/(%),
则x=—l为函数八同,的一个极值点等价条件为:g(-l)=0,
且g(x)在x=-l的左右两侧取值异号.
对于选项A,7'(-1)=0,/(-1)=0,g(-l)=o,
.目.g(x)在*=-1的左右两侧取值可能异号,图象可能为函数〃x)的图象.
对于选项B,尸(-1)=0,/(-1)=0,g(-l)=0,且g(x)在x=T的左右两侧取值可能异号,图象可能为函数
/(X)的图象.
对于选项c,f,(-l)>o,/(-1)<0,g(-1)=0,在x=-l的左右两侧可取异号,故可能符合条件.
对于选项D,r(-l)>0,/(-1)>0,因此g(-l)wo,不满足条件.
故选:D.
3.(2024•贵州黔南•一模)三次函数/(工)=加+加+5+4的图象如图所示下列说法正确的是(
d>0B.a<0,b>0,c<0,6?<0
C.a>0,b<0,c<0,d<0D.a>0,b>0,c<0,d<0
【答案】D
【解析】函数/(%)=♦+於+c%+d,求导得f(%)=Sax?+2bx+c,
观察函数图象,得函数/(%)有异号两个极值点玉,々,且玉<-2<。<々<2,
函数/(%)在(^0,^),(^2,+(30)上单调递增,在(国,工2)上单调递减,=f(0)<0,排除A;
f九(-2))==⑵na+-44"bc+c><。0,",QU,,得八0,排除c;
由一2£&,%2),2£。2,+°°),得则
由不等式又4+2法+。>0的解集为(-8,%)(x2,+oo),得3々>。,即〃>0,排除B;
又占,马是方程30^+26尤+c=0的二根,x,x=—<0,则c<。,选项D符合题意.
23a
故选:D
4(2025高三下•全国•专题练习)(多选)函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示,下列命题中正确的
A.-3是函数y=/(x)的极值点B.y=/(x)在区间(-3,1)上单调递增
C.-1是函数y=/(x)的最小值点D.y=/(x)在尤=0处切线的斜率小于零
【答案】AB
【解析】根据导函数图象可知:当xe(T»,-3)时,尸(力<0,在3,1)时,广(耳20,.•.函数y=f(x)在(—,―3)
上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故B正确;
则-3是函数y=〃x)的极小值点,故A正确;
♦在(-3,1)上单调递增,不是函数y=的最小值点,故C不正确;
函数丫=/(%)在工=。处的导数大于0,.-.切线的斜率大于零,故D不正确.
故选:AB
5.(24-25高三下•重庆•开学考试)(多选)已知函数/'(x),xe[-a,4的图象是一条连续不断的曲线,设其导数
为广⑺,函数8⑺式/-%)/⑴的图象如下,则下列说法正确的是()
A./(尤)在x=T处取最大值B.x=l是的极大值点
C./(x)没有极小值点D.尤=1可能不是导函数((x)的极大值点
【答案】ACD
【解析】当-aVx<-l时,g(x)>0,%2-x>0,
•・"'(x)>0,函数“力单调递增,
同理可得:当-!<x<。时,/(无)<。,函数/(X)单调递减,
所以x=-l为函数"%)的极大值,
当0<x<l时,/(力<。,函数/(X)单调递减,
当1<』时,r(x)<。,函数/⑺单调递减,
所以函数“X)在(-U)上单调递减,
从而“X)在x=-l处取最大值,且没有极小值点,故A,c正确,B错误;
又0<x<l和1cxWa时,f,(x)<0,
g⑴=0,而dr在》=1时等于0,所以广⑴不一定等于0,
当了")=0时,x=l是导函数/'(X)的极大值点,
当了'⑴力。时,x=l不是导函数/''(%)的极大值点,所以D正确.
故选:ACD.
6.(2024吉林长春•期中)(多选)已知定义在R上的可导函数“X)和g(x)的导函数/'(X)、g'(x)图象如图
所示,则关于函数〃(x)=g(x)-/⑺的判断正确的是()
A.有1个极大值点和2个极小值点B.有2个极大值点和1个极小值点
C.有最大值D.有最小值
【答案】BC
【解析】根据f'(x),g'(x)的图象可得,y=/(x)与y=g'(x)的图象有三个不同的交点,
设这些点的横坐标依次为占,%,W,满足占<马<当,其中%=。.
由图可知,当X<X]时,即〃(x)=g〈x)—尸(x)>0,
故函数Mx)在(-8,苍)上单调递增,
当X]<x<0时,g[x)<r(x),即〃(x)=g〈x)——(x)<0,
故函数无⑺在⑶0)上单调递减,
当0<无时,g,(x)>/,(x),BPh'[x)=g'(x)-f'(x)>0,
故函数Mx)在(0,W)上单调递增,
当x>当时,g'(x)<f'(x),即〃(x)=g,(x)—r(x)<0,
故函数h(x)在(玉,+8)上单调递减.
综上所述,函数九(“分别在x=%,尤=巧时取得极大值,在X=O时取得极小值,
即函数人(力有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确,A项错误;
因Xf一8时,/©)的趋近值未知,x->+8时,人⑺的趋近值也未知,故无法判断函数的最小值能否取得,
但因函数/z(x)分别在X=X],X=w时取得极大值,
故可取/(百)与/(三)中的较大者作为函数的最大值,故C项正确,D项错误.
故选:BC.
7(2024重庆)(多选)设函数“X)在R上可导,其导函数为广(%),且函数y=(lr)/'(x)的图象如图所示,
则下列结论中一定成立的是()
A.函数在(2,+8)上为增函数B.函数在(-2,1)上为增函数
C.函数〃可有极大值”2)和极小值/⑴D.函数〃“有极大值〃-2)和极小值“2)
【答案】AD
【解析】由图可知当x>2时(l-x)/'(x)<。,所以((无)>。,
当l<x<2时。_"(司>0,所以尸(力<°,
当—2<x<l时(l-x)/'(x)<0,所以((无)<0,
当x<-2时(〜)[(x)>0,所以尸(x)>0,
所以f(x)在(2,e)上为增函数,在(1,2)上为减函数,在(-2,1)上为减函数,
在(-j-2)上为增函数,故A正确,B错误,
则/■(x)在x=-2处取得极大值,尤=2处取得极小值,
即函数“X)有极大值/(-2)和极小值〃2),故C错误,D正确.
故选:AD
8.(2025江苏)(多选)己知函数的导函数/'(无)的图象如图所示,则下列选项中正确的是()
A.函数/'(X)在尤=1处取得极大值B.函数/(力在x=-l处取得极小值
C.”外在区间(-2,3)上单调递减D.””的图象在x=0处的切线斜率小于零
【答案】CD
【解析】对A,根据r(x)的图象可得:“X)在(-2,3)上单调递减,
故)⑴不是“X)的极大值,故A错误;
对B,根据了'(X)的图象可得:在(—,-2)上单调递增,在(-2,3)上单调递减,
故〃-1)不是“X)的极小值,故B错误;
对C在(-2,3)上,r(x)<0,
\外q在区间(-2,3)上单调递减,故C正确;
对D,根据r(x)的图象可得:r(o)<o,
即/(X)的图象在X=。处的切线斜率小于零,故D正确.
故选:CD.
9(2024海南)(多选)如果函数>=/(尤)的导函数y=/(x)的图象如图所示,则以下关于函数y=/(x)的判断
正确的是()
A.在区间(2,4)内单调递减B.在区间(2,3)内单调递增
C.%=-3是极小值点D.x=4是极大值点
【答案】BD
【解析】A.函数y=/(x)在区间(2,4)内r(x)>0,则函数单调递增;故A不正确,
B.函数W'(x)在区间(2,3)的导数为Ax)>0,
y=/(尤)在区间(2,3)上单调递增,,B正确;
C.由图象知当x=-3时,函数广⑴取得极小值,但是函数>=/(尤)没有取得极小值,故C错误,
D.x=4时,f'(x)=0,
当2cx<4时,f\x)>0,T(x)为增函数,4<x,
此时/'(x)<0此时函数y=/(x)为减函数,
则函数y=/(无)内有极大值,x=4是极大值点;故。正确,
故选:BD.
题组三已知极值(点)求参数
1.(23-24高三上•陕西・阶段练习)若函数〃x)=d-"2+4x-8在x=2处取得极小值,贝1]。=()
A.4B.2C.-2D.-4
【答案】A
【解析】由题意可得尸(力=3/-26+4,贝|/'(2)=3x22—4q+4=。,解得a=4.
当q=4时,/'(x)=3厂-8x+4=(x-2)(3x-2),
当x<2(或x>2时,尸(x)>0,则/(x)在2(-8,:),(2,+M单调递增,
当;<x<2时,/'(无)<0,则/(无)在(§⑵单调递减,
所以,函数/(力=三—G?+4X—8在x=2处取得极小值,此时a=4.
故选:A
Inv
2.(2025・贵州)函数〃尤)=依+丁+1在x=l处取得极值0,则。+6=()
b
A.0B.JC.1D.2
【答案】A
r/(l)=a+l=0
【解析】尸(司=。+《,所以,1C,解得a=T,6=l,
bx/(l)=a+-=0
经检验,a=T,b=l满足题意,所以a+6=0.故选:A
3(24-25高三上•广东潮州•期末)已知函数〃元)=;x2-(i+q)x+ainx在x=a处取得极大值,则实数a的取值
范围为()
A.B.(0,1)C.D.[1,-K»)
【答案】B
【解析】因为函数=-(l+a)x+alnx,(x>0)
贝U尸(切7一(1+4)+三=(*一?(1),令_f(x)=O得了=。或x=l,
当aWO时,x=。不在函数/(x)的定义域内,不符合条件;
当a>0时,若。>1,在(0,1),(a,-H»)±//(x)>0,/(x)单调递增,在(1,。)上/'(x)<0,/(x)单调递减,此
时了=。为/(%)的极小值,不符合;
若。=1,在(0,+功上/'(x)NO,“X)单调递增,不存在极值,不符合;
若0<4<1,在(0,4),(1,+8)上/。)>0,“X)单调递增,在(a,l)上/(x)<o,“X)单调递减,此时x=a为
“X)的极大值.
故选:B
1
4.(2025•吉林长春•一模)已知函数/⑺=x(%-〃9)的极大值为;7,则〃=()
16
3223
A.——B.——C.-D.-
2334
【答案】D
【解析】由题意,/(x)=x(x-<2)2=x3-2tzx2+a2x,
贝ijfr(x)=3x2-4ax+a2=(3%—〃)(元—々),
令/'(x)=0,解得x或』,
当a>0时,/(x)在[一双l],(七+8)上满足/(同>0,/(%)单调递增,
在1,Q上满足〃x)<0,小)单调递减,
所以“X)在x=?处取得极大值,乂父=彳吟-42="=上,解得“=',
3\3J3327164
当。<。时,〃尤)在(一8,<2),上满足/'(x)>o,/(x)单调递增,
在、,。上满足"x)<0,/(X)单调递减,
所以/⑴在X=。处取得极大值,/⑷=OHJ,不符合题意,
当4=0时,f(x)=3x2>0,在R上单调递增,无极值,不符合题意,
综上所述,〃二;3
4
故选:D.
5.(23-24天津滨海新•期中)函数/。)=4尤3-依2-2及+2在》=1处有极小值-3,则力一a的值等于()
A.0B.-2C.-4
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