2025年天津市南开区中考二模考试数学试题 （解析版）

2024-2025学年度第二学期阶段性质量监测（二）

数学学科试卷

本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分.试卷满分120分.考试日间100

分钟.答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定个置粘贴

考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.

第I卷（选择题共36分）

注意事项：

1.每题选出答案后，用25铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.计算15+（-22）的结果是（）

A.-13B.7C.-7D.13

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了有理数的加法运算.根据有理数的加法运算法则解答即可.

【详解】解：15+（-22）=-7.

故选：C

2.在一些美术字中，有的字母既是轴对称图形又是中心对称图形.下列4个字母中，既可以看作是轴对称

图形又可以看作是中心对称图形的是（）

b

ANI

cdE

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对

各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，

那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个

图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D^是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意，

故选：B.

3.光的速度约为300000km/s,数据300000用科学记数法表示为（）

A.3x108B.0.3x109C.30X104D.3xl05

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1＜忖＜10,

“为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同，当原数绝对值210时，”是正整数；当原数的绝对值＜1时，”是负整数.

【详解】解：数据300000用科学记数法表示为3x105,

故选：D.

4.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

B.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图.根据从左面看到的图形是左视图即可求解.

【详解】解：根据题意得：它的左视图是

故选：C

5.已知“，〃为两个连续的正整数，且加〈病＜〃，则加+〃的值是（）

A.9B.11C.13D.15

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键.估算出二7〈庖＜8即可求

得加，〃的值，然后将其代入根+八中计算即可.

【详解】解：v49＜51＜64,

.・.7＜后＜8，

/.m=7,〃=8,

/.根+〃=7+8=15,

故选：D

6.计算1—J^xsin45°的值为（

A.1B.Oc.1-V2D.1-屈

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了实数混合运算.代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的乘法运算法则，计算

即可求解.

【详解】解：1-axsin45。

=1——正

2

=1-1

=0.

故选：B.

7.计算士2+'的结果等于（）

x—33—x

2x—13x—3

C.--------D.--------

xx-3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查同分母的分式加法，根据同分母的分式加法运算法则求解即可.

【详解】解：红

x—33—x

_3x-63

x—3x—3

3x—6—3

x—3

_3（x-3）

x—3

=3,

故选：A.

7,2i

8.点4（%,%）,6（々,%），。（七，%）都在反比例函数丁=工^（左为常数）的图象上，且

X

玉＜0＜%2＜%3，贝U%，＞2和%的大小关系是（）

A.B.%＜为＜%C.D.当

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，由-42—1<（）可得出反比例函数丁=二丁，的图像在

第二，四象限，结合反比例函数图像即可得出答案.

【详解】解：•••—/—]<0,

_42_1

反比例函数y的图像在第二，四象限，

%；<0<x2<x3,

；.%〉0,0<y2<y3,

则为<%<%，

故选D

9.若。,6是方程式—2025%+1=0的两个实数根，则下列结论正确的是（）

2025

A.a+b=------B.a+b——2025

2

C.ab=lD.ab=—l

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键.一元

二次方程q?+法+c=0（aw0）有两根X1,,则玉+%=-2,石-5=£,然后代入数值进行计算,

aa

即可求解，

【详解】解：是方程必_2025%+1=0的两个实数根，

,-2025,1,

a+b~----------=2025,ab=-=1,

11

故选：C.

10.如图，将VABC绕点A逆时针旋转108°得到VADE，点瓦。的对应点分别为点。,石，连接

5R5D与AC相交于点若AB=AC,且N8AC=36°.则下列结论错误的是（）

E

A.ZE=72°B.AB=AD

C.AD//BCD.BD=AE+CF

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理.利用旋转的性质结合等边对等角，求得

相关角的度数，再逐一判断即可.

【详解】解：：=ZBAC=36°,

：.ZABC=ZC=18。°-36。=建。,

2

由旋转的性质得AABC^AADE,

：.AB=AC=AD=AE,ZDAE^ZBAC=36°,ZABC=NC=ZADE=/E=M,

故选项A、B结论正确，不符合题意；

:旋转角为108°,

.-.ZBAD=108°,

,/AB=AD,

：.ZADB=ZABD=1(180°-108°)=36°,

ZCBD=72°-ZABD=36°,

/.ZCBD=ZADB=36°,

：.AD//BC,故选项C结论正确，不符合题意；

•：ZADB=36°,ZDAF=ZBAD-BAC=12°,

：.ZDFA=180°-72°-36°=72°,

DF=AD=AE,

在VBCF中，VZCBF=36°<ZC=72°,

BF>CF,

...BD=DF+BF>AE+CF,

故选项D结论错误，符合题意；

故选：D.

11.如图，在VA3C中，AB=AC,CB=U,S^c=48.按照如下尺规作图的步骤进行操作:

①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，圆弧与AB，AC分别相交于。，后两点；

②分别以点。，石为圆心；以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E：

2

③作射线AF,AF与3c相交于点G；

④分别以AC为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N；

2

⑤作直线MN.在直线MN上任意取点尸，连接CRGP.

则△CPG周长的最小值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握尺规作图的方

法和步骤是解题的关键.

由作图方法得平分ZBAC,垂直平分AC,利用三角形面积公式得到AG=8,再由线段垂直

平分线的性质得到AP=CP,根据△CPG周长=CP+PG+CG=AP+PG+6NAG+6,得到当点

A,P,G共线时，AP+PG有最小值，即△CPG周长最小，AP+PG=AG^8,进而可以解决问题.

【详解】解：连接AP,由作图方法得AF平分/5AC,垂直平分AC,

•：AB=AC,AF平分/RAC,

/.AG±BC,BG=CG=-BC=-xl2=6,

22

•,=48,

-BCAG=-x12AG=48,

22

AG=8,

：MN垂直平分AC,

:.CP=AP,

/.△CPG周长=CP+PG+CG^AP+PG+6>AG+6,

当点A,P,G共线时，AP+尸G有最小值，即△CPG周长最小,

此时AP+尸G=AG=8,

△CPG周长的最小值为8+6=14,

故选：A.

12.如图，正三角形ABC的边长为1,。是线段3c上一点，过。作A3边的垂线，垂足为点G.

有下列结论：

4

①当点。在线段3c上时，AG的长可以为不；

②当点。为线段5c中点时，△G3。的面积达到最大值，最大值为走;

32

③点。在线段3c上有两个位置满足面积为走.

64

其中，正确结论的个数是（）

D.3

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、解直角三角形和二次函数的性质，根据等边三角形

4

的性质的AB=BC=1,NB=6O。，①若AG的长为二，则可求BG、BD、和G。的长，进一步求

得AD=，4G2+£）G2，结合点D的位置判断A。是否在其范围内即可；②设BG的长度为了,则5。的

长度为2x,DG=瓜,即△G3。的面积@x2,结合二次函数的性质即可知当％=工时，△GB。的

22

面积有最大值为正，故②错误；③若△G3。的面积为走，求得x即可.

864

【详解】解：•••正三角形VABC的边长为1,

.•.45=80=1,4=60。，

①若AG的长为则BG的长为（，30的长为：，的长为|,GD的长为手，

那么，AD=VAG2+DG2==半，

•・•£>是线段3C上一点，

2

•・・金典<1，

25

4

••.AG的长可以为二，故①正确；

②设BG的长度为无，则的长度为2x,

•••DGLAB,

•.DG=BGtan60o=6x，

.­.AGBD的面积=工BG・DG=-xx瓜=—x2>

222

是线段3C上一点，

0<%<—

2

.•.当％=工时，△G6。的面积有最大值为：立=走，故②错误；

2208

③若△G5。的面积为且，贝U走解得x="（负值已舍），故③错误；

642648

故选：B.

第n卷（非选择题共84分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在答题纸中对应的横

线上）

13.在一个不透明的袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出一

个球，取出红球的概率为则袋中白球的个数是.

【答案】8

【解析】

O1

【分析】此题考查了概率公式的应用.设有白球X个，根据概率公式得：4=:，解得X的值即可.

【详解】解：设有白球x个，

Q1

根据题意得：4=!,

8+尤2

解得：x=8,

经检验x=8是原方程的解，

故答案为：8.

14.计算2a—（a—2）的结果为.

【答案】a+2##2+a

【解析】

【分析】本题考查了整式的加减.先去括号，再合并同类项，即可作答.

【详解】解：2a—（a—2）=2a—a+2=a+2,

故答案为：a+2.

15.计算（4+近）（4-近）的结果等于.

【答案】9

【解析】

【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可.

【详解】解：（4+近）（4—"）

=42-（V7）2

=16—7

=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此

题的关键.

16.若一次函数y=-x+6（b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以为.（写出一个

即可）

【答案】1（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的6的可能值即

可.

【详解】解：•••一次函数y=-x+b的图象经过第一、二、四象限，左=—1,

b>Q,

故答案是：1（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数丁=丘+人（左为常数，左工0）,当左>0时,

y随x的增大而增大；当上<0时，y随x的增大而减小.当6>0,图象与y轴的正半轴相交，当》<0,

图象与y轴的负半轴相交，当6=0,图象经过原点.

17.如图，在中，NACB=90°,点。为边的中点，CD=叵,AC=4BC,过点。

2

悴DELCD,垂足为点。，DE与AC相交于点E.

A

CB

（1）线段AC的长为；

（2）延长E。到点F，使平分ZACF,则线段AE的长为.

【答案】①.4②.竺

8

【解析】

【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角.

（1）根据直角三角形斜边中线的性质求得=20=旧，再利用勾股定理列式计算即可求解；

（2）根据直角三角形斜边中线的性质求得CD=A£>,得到NACD=NA,推出cosNACD=cosA,据

此列式计算即可求解.

【详解】解：（1）：/4。8=90°,点。为A3边的中点，CD=^^

2

AB=2CD=717，

,?AC=4BC,

.•.设3C=x,则AC=4无，

由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即必+(4x『=(,

解得X=±1,

ABC=\,AC=4；

故答案为:4；

(2)・・・NACB=90。，点。为AB边的中点，

CD=AD，

・•・ZACD=ZA,

:.cosZACD=cosA,

生=£即^4,

CEAB不二而

17

解得。石二一

8

1715

・•・AE=AC-CE=4—-,

88

故答案为：--

8

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A5c均为格点，0。为VA3C的外接圆.

（1）的直径长为

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点尸和点Q,使得点尸为AC的中点；使得点。在线

段A3上，且NCQB=45°.简要说明点尸，点。的位置是如何找到的（不要求证明）

【答案】①.765②.分别取AC,AB与格线的交点E、O,连接0E并延长交圆与点P,则点尸

即为所求；取格点G、H,连接GH交于Q,连接。。，则点。即为所求.

【解析】

【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，90度的圆周角所对的弦是

直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键.

（I）根据勾股定理分别求出AC,BC,AB的长，根据勾股定理的逆定理可得NAC5=90°,从而得到。。

的直径为AB；

（2）分别取AC,A6与格线的交点E、O,连接OE并延长交圆与点尸，则点P即为所求；取格点G、

H,连接GH交于。，连接则点。即为所求.

【详解】解：（1）根据题意得：AC=^62+42=2^-BC=打+2?=岳，

AB=V72+42=而,

AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

OO的直径为AB，

即。。的直径长为相.

故答案为：^65；

（2）如图所示，分别取AG与格线的交点E、O,连接OE并延长交圆与点尸，则点尸即为所求；

根据网格的特点可得O、E分别是A3、AC的中点，则点。是圆心，由垂径定理可得点尸为AC的中点；

如图所示，取格点G、H,连接GH交于。，连接则点。即为所求；

可证明人406648。〃，则整=普=|_；则加=宜至，5Q=史至；

BQBH355

过点C作CTLAB于T,由（1）可得sinNA3C=4^=拽，cosZABC^—=—，

AB5AB5

则5T=亨，=则TQ=3Q—5T=^^,

则CT=QT,则有NQ25=45。；

c

故答案为：分别取AGAB与格线的交点E、。，连接OE并延长交圆与点P,则点P即为所求；取格点

G、H,连接G3交A3于。，连接C。，则点。即为所求.

三、解答题(本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

3(x—l)<5x+l①

19.解不等式组I7三请按下列步骤完成解答.

[2x-l<7®

-5-4-3-2-1012345

(1)解不等式①，得；

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)原不等式组解集为.

【答案】(1)x>-2

(2)x<4

(3)见详解(4)-2<x<4

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组.

(1)按照一元一次不等式的解法即可得；

(2)按照一元一次不等式的解法即可得；

(3)根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得；

(4)结合数轴，找出两个不等式解集的公共部分即可得不等式组的解集.

【小问1详解】

解：3(]-1)<5]+1

去括号得：3x-3<5x+l,

移项，合并同类项得：-2x<4

化系数为1：x>-2

【小问2详解】

解：2%-1<7

移项，合并同类项得：2x<8

化系数为1：%<4

【小问3详解】

解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下：

，，，［..............］，>［小问4详解］

-5-4-3-2-1012345

解：不等式组的解集为：—2<xK4.

20.某交警大队为了解一路口的某个时段来往车辆的车速情况，随机调查了。辆车的车速(单位:

km/h),根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.

图①图②

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)填空：。的值为,图①中m的值为,统计的这组车辆速度数据的众数和中位数

分别是和.

(2)求统计的这组车辆速度数据的平均数：

(3)已知该路口限速60km/h,即车速超过60km/h为超速.若该路口此时段每天来往车辆约500辆，请

根据样本数据估计每天会有多少辆车超速？

【答案】(1)40,12.5,56km/h,54km/h

(2)53.5km/h

(3)50辆

【解析】

【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由样本所占百分比估计总体的数量，求中位数，众

数，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先根据条形统计图得车辆总数为40,再结合速度为56km/h的车辆有10辆，且为最多，得出众数，

根据一共调查的车辆数为40,中位数排在第20和21位之间，即可作答.

（2）根据平均数的公式列式计算，即可作答.

（3）结合样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答.

【小问1详解】

解：依题意，。=7+5+8+10+6+4=40,

a%=9x100%=12.5%，

40

则速度为56km/h的车辆有10辆，且为最多,

A这组车辆速度数据的众数为56km/h,

:一共调查的车辆数为40,

中位数排在第20和21位之间,

则7+5+8=20,7+5+8+10=30>21

52+56=54(knVh)

...这组车辆速度数据的中位数为54km/h；

故答案为：40,12.5,56km/h,54km/h

【小问2详解】

解：由（1）得一共调查的车辆数为40,

44x7+5x48+8x52+10x56+6x60+4x64

=53.5(km/h),

40

...统计的这组车辆速度数据的平均数为53.5km/h；

【小问3详解】

4

解：依题意，一x500=50（辆）,

40

•••根据样本数据估计每天会有50辆车超速.

21.点AB,C在。。上，AE切。。于点与。。相交于点歹,4石〃。5,ZOCE=30°,弦

AB=3丘.

ci）如图1,若AC为直径，求/的大小和线段AE的长;

（2）如图2,若求线段AE和Eb的长.

【答案】(1)ZB=45°,AE=2g

(2)AE=-,EF=3-^-

22

【解析】

【分析】本题考查圆的基本性质、切线性质、垂径定理、锐角三角函数、矩形的判定与性质、等腰三角形的

性质、平行线的性质等知识，涉及知识点较多，难度一般，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

(1)利用切线性质和平行线的性质得到ZAOB=ZG4E=90°,利用等腰三角形的性质求得

ZB=45°,OA=OB=3,在RtZ\C4E中，解直角三角形即可求解；

(2)如图2,延长80交C尸于”，根据切线性质和平行线的性质得到

ZAOH=ZOAE=ZAEH=90°,进而证明四边形AEHO是矩形得到AE=OH,EH=OA=3,

ZOHE=90°,利用垂径定理得到EH=CH,在RLAOHC中，解直角三角形求得CH=—，

2

3

OH=~,进而可求解.

2

【小问1详解】

解：切。。于点A,AC为直径，

/.ZC4E=90°,

AE//OB,

：.ZAOB=ZCAE=90°,

VOA=OB,AB=3®，

ZB=1(180°-ZAOB)=45°,0A=0B=^AB=3,

在RtAOLE中，AC=2(M=6,NOCE=30°,

•••AE^AC-tanZOCE=6tan30°=273;

【小问2详解】

解：如图2,延长80交CF于H,

AB

H

图2

•；AE切。。于点A,

ZOAE=90°,

•：AE//OB,CE//AO,

：.ZAOH=ZOAE=ZAEH=90°,

四边形AEHO是矩形，

/.AE=OH,EH=OA=3,ZOHE=90°,

：.FH=CH,

在中，OC=3,NOS=30°,

/.FH=CH=OCcos30°=3x—=,OH=C>Csin30°=3x-=-,

2222

33Fi

AE=-,EF=EH—FH=3—-—

22

22.如图1,ABC,。是在同一平面内的四地.A地在8地的北偏东53°方向，A3两地相距10km.C

地位于8地的正东方向与A地的正南方向的交汇处.。地位于A地的正南方向，还在C地的正北方向.

图1图2

（1）请直接用含有三角函数的代数式表示线段AC和3C的长：AC=,BC=；

（2）如图2,E地与A,3,C,D四地在同一平面内，E地位于。地的正西方向，且E地位于A地的南偏

西30。方向，而B地位于E地的南偏西63。方向.设石，。两地的距离为x（单位：km）.

①填空：用含有x的式子表示线段AD的长为（结果保留根号）；

②求E,。两地的距离（结果取整数）参考数据：sin53°»0.8,cos53°»0.6,tan63°®2,A/3®1.7.

【答案】(1)10sin37°km；10cos37°km

(2)①也xkm②2km

【解析】

【分析】本题主要考查解直角三角形，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.

(1)直接根据直角三角形边角关系求解即可；

(2)①根据角的正切值求解即可；

②过点E作EH,BC于点、H,利用锐角三角函数的定义求解即可.

【小问1详解】

解：根据题意得，/ABC=37。，ZC=90°,AC=10km,

,1•—=sinZABC,—=cosZABC,

ABAB

：.AC=ABsinZABC=10sin37°km,BC=ABcosZABC=10cos37°km

故答案：10sin37°km；10cos37°km；

【小问2详解】

解：①在RtAADE中，ZDAE=30°,ED=xkm,

FD

VtanZDAE=——，

AD

Y

二•tan30°-.......,

AD

AD=V3xkm，

故答案为：；

②过点E作E”18c于点H,则四边形CDEH是矩形,

EH=CD,HC=ED=xkm

在RtZkABC中，ZBAC=53°,AB=10km,

：.——=cosABAC,

AB

AC=AB-cosABAC=10cos53°«10x0.6=6km,

/.EH=CD=6-V3x-（6-1.7）km;

同理可得，BC=8km,

=（8-x）km,

BH

在RtZ^BEH中，——=tanNBEH,

EH

o_y

-=tan63°二2,

6-1.7%

4

解得，x=----~2,

2.4

即两地的距离为2km.

23.已知学生宿舍、文具店、图书馆依次在同一条直线上，文具店距离宿舍1km,图书馆距离宿舍

4km.张强从宿舍出发，匀速骑行0.5h到图书馆，在图书馆中查阅资料停留了一段时间；接着他匀速骑

行0.3h到达了文具店，在文具店停留了0.2h购买文具；最后，他又匀速骑行O.lh回到宿舍.下图中了

（单位：h）.表示张强离开宿舍的时间，V（单位：km）表示张强离宿舍的距离.图象反映了这个过程

中张强离宿舍的距离与张强离开宿舍的时间之间的对应关系.

请根据相关信息，回答下列问题:

（1）填表:

张强离开宿舍的时间（单位：

0.51.82.32.42.6

h）

张强离宿舍的距离（单位：

410

km）

（2）填空：①文具店到图书馆的距离为km；

②张强在图书馆查阅资料停留的时间为h；

③当0<x<2.3时，请直接写出丁关于x的函数解析式.

（3）当张强离开宿舍1.8h时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到

达宿舍，那么，张强从图书馆回宿舍的途中（2〈尤<2.6）,两人相距0.5km时，张强离开宿舍的时间为一

h.

8x（0<x<0.5）

【答案】（1）见详解（2）①3②L5③y=<4（0.5<xW2）

-10x+24（2<x<2.3）

（3）2.1或2.3或2.5

【解析】

【分析】本题考查了函数图象，求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题

的关键.

（1）理解题意，认真分析函数，即可填表；

（2）①根据图书馆与宿舍的距离减去文具店与宿舍的距离得出文具店到图书馆的距离为3km；

②理解题意，得张强在图书馆查阅资料停留的时间为1.5h；

③结合函数图象，设OWxVO.5时，>关于x的函数解析式为丁=豆，代入数值得y=8x（0WxW0.5）,

当0.5<xW2时，y=4；设2<xW2.3时，,关于》的函数解析式为V，把（2,4）,（2.3,1）分别

代入y=m+n,得y=-10x+24,即可作答.

（3）先求出李明距离宿舍的距离了和张强离开宿舍的时间x之间的函数解析式为y'=-5%+13,再进行分

类讨论，根据两人相距Q5km列出一元一次方程，进行作答即可.

【小问1详解】

解：依题意，结合图象，

•1,0.5<1.8<2

此时张强在图书馆，距离宿舍的距离4km,

V2.3<2.4<2.5

此时张强在文具店，距离宿舍的距离1km,

张强离开宿舍的时间（单位：h）0.51.82.32.42.6

张强离宿舍的距离（单位：km）44110

【小问2详解】

解：依题意，04-l=3（km）

即文具店到图书馆的距离为3km,

故答案为：3；

②结合图象，得2—0.5=L5（h）,

A张强在图书馆查阅资料停留的时间为L5h；

③依题意，设OVxVO.5时，y关于x的函数解析式为丁=红，

把（0.5,4）代入y=依，得4=0.5左，

解得左=8,

y=8x（0<x<0.5）；

当0.5<x<2时，y=4；

设2<xW2.3时，y关于%的函数解析式为y=M+〃，

把（2,4）,（2.3,1）分别代入丁=如+〃，

4=2m+n

得1,

1=2.3m+n

m=-10

解得〈》

n=24

y=-10x+24（2<x<2.3）,

8x（0<x<0.5）

故y=<4（0.5<xV2）.

-10x+24（2<x<2.3）

【小问3详解】

解：由图象得张强离开宿舍再回到宿舍，一共花了2.6h,

设当设L8WxW2.6时，李明距离宿舍的距离y'和张强离开宿舍的时间x之间的函数解析式为

y'=px+q,

•••当张强离开宿舍1.8h时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿

舍，

...李明距离宿舍的距离y和张强离开宿舍的时间尤之间的函数图像经过点（1.8,4）,（2.6,0）,

L8p+q=4

代入解析式子得：\

2.6p+q=0

p=-5

解得:

a=13

即李明距离宿舍的距离y'和张强离开宿舍的时间x之间的函数解析式为y'=-5x+13,

①当2<xW2.3时，由（2）得：此时y=-10x+24（2<xW2.3）,

则|y—=］（—10x+24）—（―5尤+13）|=卜5x+11|=0.5,

解得：为=2.1,%=2.3,

②当2.3<xV2.5时，由图可知：此y=l(2.3<xW2.5),

则|y-y|=|l-(-5x+13)|=|5x-12|=0.5,

解得：%=2.3（舍去），X?=2.5

③当2.5〈为<2.6时，

•.•当尤=2.5时，两人相距0.5km,

...当2.5<x<2.6时，两人相距小于0.5km,

综上：张强从图书馆回宿舍的途中（2〈X<2.6）,两人相距0.5km时，张强离开宿舍的时间为2.1h或

2.3h或2.5h.

故答案为：2.1或2.3或2.5.

24.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，的顶点4（6,0）,NA50=90°,的顶点

C（—2,0）,"CO=90°,且ZSAO=ZD=30°.

图1图2

（1）填空：如图1,点8的坐标为,点D的坐标为

（2）将Rt△QDO沿水平方向向右平移，得到Rt△C'。'。，点C。,。的对应点分别为C',。'。'，设

OO'=t,^C'D'O'与RtzXABO重叠部分的面积为S.

①如图2,当边D'C'与50相交于点E,边D'O与相交于点且RsC'。'。与重叠部

分为五边形时，用含有/的式子表示S,并直接写出/的取值范围;

Q

②当—<%<4时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

3

【答案】（1）［,］代］，'2,26）；

⑵①S=一鸣2+5后一鸣3*4；②空<s2

42I2）26

【解析】

【分析】（1）利用三角函数可得CD=—上吃=26，可得。卜2,26），如图，过8作5TLQ4于

tan30°

T,进而利用三角形函数求得07和5T,即可得解；

（2）①如图，过与作5TLQ4于T,过尸作引以，Q4,则月以〃5T〃石C,AOEC^AOBT,得

,,EC't-2

W=洛即毛丁丁，EC=（-2）6,再根聚S=s-%c，E-S.即可得解；②分

BTOT2、2

Q77

—<f（一和一Wf<4时两种情形，利用数形相结合，根据二次函数的图像及性质求解即可.

322

【小问1详解】

解：•.•点C（—2,0）,

.**OC=2，

・・•在R^ODC中，ZZ）=30°,ZDCO=90°,

=2^/3,

.•.味2,2⑹；

如图，过8作BT,0A于T,

图1

・••4(6,0),

OA-6,

■：ZABO=9Q°,ZBAO=3Q°,BTLOA

/.ZOBT=90°-ZABT=ZBAO=30°,ABOAcosZBAO=6xcos30°=36，

BT=AB-sinZBAO=3指xsin30°=-73,

2

/.OT=BTtanZOBT=-^xtan30°=

22

【小问2详解】

图2

ZOEC=ZOBT=30°,ZAFM=ZABT=90°-30°=60°,

33r~i-

由（1）可得。T=—,BT=-6AB=36,

22

当边DC与80相交于点E，边DO'与AB相交于点F，且Vt^CD'O'与RtAAB。重叠部分为五边形

时，。在点T的右侧，C'在点T的左侧,

t>3

3-OC'=t-2,O'A=6—t,

I2

7

3</<一，

2

•：FM//BT//EC,

HOECS,

ECt-2

ECOC.

:.----=----即Bn3w3

BTOT-V3

2

，-.EC=(/-2)6

由平移可得ND'=ND=30°,ZD'CO'=ZDCO=90°,

ZD'O'C=90°-30°=60°,

O'M=———=FM=—FM

tanZFOMtan6003

FMLOA,ZBAO=30°,OA=6,ZOBA=90°,

FMFMr~

：.AM=------------=---------=6FM=O'M+O'A,OB=3,

tan/BAOtan30°

••°一°AOCE^^)'AF

=1x3x3V3-|x(z-2)(Z-2)x^-1x^(6-?)(6-/1)

42

・•.S=-”5.一阴3＜臼；

Q7

②当一＜%＜一时，重叠部分的面积如图所示；

32

图2

3107

V-<—<-,

232

.•.当r=:时，s=ih!i,

3最大6

当H时，S=—耳+5昂号一应L逑，

34322

当一时，S=-宓x0+5A<Z—M=迎［,

2402216

7

当一V1<4时，重叠部分的面积如图所示，过点尸作收，Q4于点M,

2

―C'A/O'AX

由（2）①得OC'=f—2,O'A=6-t,FM=与（6-。，

：.AC^O'A+O'C^6-t+2=8-t,

•••CE=AC、tanNEAC=（8—）.30。=¥（8—）

,1'S=^AEC_^AAFO,

=一青”2）2+25

当/>2时，S随/的增大而减小,

7

当/=一时,

25=哈1)+圣丁石瑶代

当『=4时，S=—显义x4+—A/3=—y[3，

12333

・・•迪WA竺4M

23166

.——

・・---------<0<------------;

26

综上班<S0

26

【点睛】本题考查的动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，二次函数的应用，相似三角形的

判定与性质，本题难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键.

25.已知抛物线丁=炉+6%+。(b,c为常数，c<0)的顶点为P,点£。,1)在抛物线上，抛物线与y

轴相交于C点，点。为点C关于抛物线对称轴的对称点，0为坐标原点.

(1)当。二一1时，求点尸和点。的坐标；

(2)当C9〃QD时，求。的值和线段CP的长；

(3)抛物线上点”的横坐标机，当£<7篦<0时，满足尸M〃O£),且垂足为点直

2

接写出此时c的值和点M的坐标.

【答案】(1)^(-1,-1)

⑵c=-2,CP=y[2

(3)c=<M(-1,-7)

【解析】

【分析】(1)结合点石。,1)在抛物线丁=必+法+c上，且c=—1,得b=l,再根据抛物线的顶点为

P,把把X=-；代入丁=必+%—1,得；，一：]，然后得c点的坐标为(0，—1)，结合轴对称的性质

得。(―1,—1),即可作答.

(2)

(2)因为点£。,1)在抛物线y=必+法+。上，故Z?=—C,与(1)同理得p1,-y+C,c点的坐

C2

----+c—c

标为(O,c),点。(c,c);根据CP〃8得左0=左0°，即」-------=1,化简计算，得c=—2,故

--0

2

P(-l,-3),C(0,-2),最后运用勾股定理列式计算，即可作答.

(3)与⑵同理得P1,-y+c,C点的坐标为(O,c),D(c,c),k0D=l，结合抛物线上点M的

(24)