成对数据的统计（基础）：相关系数,回归方程,独立性检验（解析版）-2024-2025学年人教A版高二数学下册重难点突破

专题4-1成对数据的统计（基础）：相关系数，回归方程，独立性检验

【题型1】相关关系与函数关系的概念及辨析

【题型2】样本相关系数的意义及辨析

【题型3】相关系数的计算

【题型4】回归直线方程的意义与样本中心点

【题型5】残差的计算

【题型6】刻画回归效果的方式

【题型7】利用最小二乘估计公式求回归直线方程

【题型8】决定系数计算

【题型9】由散点图求近似回归方程（非线性）

【题型101非线性拟合小题

【题型11］联表的完善

【题型12］独立性检验的概念及辨析

【题型13］卡方的计算

_1______________________

【题型1】相关关系与函数关系的概念及辨析

概念梳理

函数关系：指变量之间存在的一种严格、完全确定性的关系，即一个变量的数值完全由另一个变量的数值

所确定、控制。函数关系通常可以用数学公式确切地表示出来，例如圆的面积与半径之间的关系.

相关关系：不是完全确定的，即一个变量的变化不能完全决定另一个变量的变化，例如身高与体重之间的

关系，虽然身高和体重有关，但身高不能完全决定体重.

【例题1】（24-25高二下•河南洛阳•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.任何两个变量都具有相关关系

B.球的体积与该球的半径具有相关关系

C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系

D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系

【分析】根据相关关系是一种不确定关系，函数关系是一种确定关系，可判断A；根据球的体积与半径之

间的关系，可判断该关系为函数关系，可判断B;根据农作物的产量与施化肥量之间的关系可得该关系为

一种相关关系，可判断C；根据学生的数学成绩与物理成绩之间是一种相关关系可判断D.

【详解】解：当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故A错误；

球的体积与该球的半径之间是函数关系，故B错误；

农作物的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故C错误；

学生的数学成绩与物理成绩之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确.

【例题2】（23-24高二下•甘肃兰州•期末）下列各关系不属于相关关系的是（）

A.产品的成本与生产数量B.球的表面积与体积

C.家庭的支出与收入D.人的年龄与体重

【答案】B

【分析】根据相关关系的定义判断.

【详解】对于A：产品的成本与生产数量是相关关系，故A正确;

对于B:设球的半径为R,球的表面积为S、体积为V,

所以球的表面积与体积是一种函数关系，故B错误;

对于C:家庭的支出与收入是相关关系，故C正确；

对于D:人的年龄与体重是相关关系，故D正确.

【巩固练习1】（23-24高二下•吉林•期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（）

A.人的身高与受教育的程度B.人的体重与眼睛的近视程度

C.企业员工的工号与工资D.儿子的身高与父亲的身高

【答案】D

【分析】根据相关关系的定义判断即可.

【详解】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误；

对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误；

对于C:企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误.

对于D:儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确.

【巩固练习2】（23-24高二下•北京丰台•期末）在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（）

A.某商品的销售价格与销售量B.汽车匀速行驶时的路程与时间

C.气温与冷饮的销售量D.人的年龄与视力

【答案】C

【分析】根据相关关系的概念逐项判定，即可求解.

【详解】对于A,某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误；

对于B,汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误；

对于C,气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确；

对于D,人的年龄与视力呈负相关，故错误.

故选：C.

【巩固练习3]（23-24高二下.安徽.期末）下列两个变量之间的关系是相关关系的是（）

A.等边三角形的边长。与其面积S

B.匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间，

C.杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r

D.某班的学生人数”与该班某次数学考试的平均分x

【答案】C

【分析】根据相关关系的定义即可逐一判断.

【详解】对于A选项，因为5=且/,边长。与面积s是确定的函数关系，故A错误；

4

对于B选项，设匀速直线行驶的汽车的速度为v,s=vt,所以位移s与行驶时间看是确定的函数关系，故

B错误；

对于C选项，杂交水稻植株的高度。与土壤湿润度厂具有相关关系，通常情况下，土壤湿润度厂会一定程

度上影响杂交水稻植株的高度值的，故C正确；

对于D选项，因为班级某次数学考试的平均分x等于班级总分除以学生人数2所以当班级总分确定的情

况下，某班的学生人数几与该班某次数学考试的平均分工是一种确定关系，故D正确

【题型2】样本相关系数的意义及辨析

样本相关系数r：衡量两个变量之间线性关系的强弱

①当r>0时，称成对样本数据正相关;当rv0时，成对样本数据负相关；当r=0时，成对样本数据间没

有线性相关关系.

②样本相关系数厂的取值范围为1,1]

当卜|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当H越接近。时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

【例题1】（23-24高二下.北京丰台•期末）在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（）

A.某商品的销售价格与销售量B.汽车匀速行驶时的路程与时间

C.气温与冷饮的销售量D.人的年龄与视力

【分析】根据相关关系的概念逐项判定，即可求解.

【详解】对于A,某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误；

对于B,汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误；

对于C,气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确；

对于D,人的年龄与视力呈负相关，故错误.

【例题2】（23-24高二下.黑龙江哈尔滨•期末）（多选）已知5个成对数据（x,y）的散点图如下，若去掉点

。（4,3）,则下列说法正确的是（）

”(1,4)

,.5(2,3.5)

.・。(4,3)

C(3,2.5)

______________E$1)

O%

A.变量x与变量y呈正相关B.变量x与变量y的相关性变强

C.样本相关系数厂变小D.样本相关系数厂变大

【答案】BC

【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可.

【详解】由散点图可知，去掉点0（4,3）后，y与X的线性相关加强，且为负相关，

所以B正确，A错误；

由于y与X的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数r变小，

由于y与x的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，

而相关系数为负的，所以样本相关系数厂变小，所以D错误.

【例题3】（23-24高二下•吉林长春•期中）已知变量尤与y的回归直线方程为y=3x-l,变量y与z负相关，

则（）

A.x与y负相关，尤与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关

C.x与y负相关，尤与z正相关D.x与y正相关，尤与z负相关

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合回归方程可判断x与y正相关，再由变量y与z负相关，即可判断尤与z负相

关.

【详解】根据回归方程y=3x-l可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关，

由正相关、负相关的定义可知，尤与z负相关.

【巩固练习。（23-24高二下•北京东城・期末）某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，

随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点

图，则与身高之间具有正相关关系的是（）

肢

BMIA

体

柔

韧

度

O崩°

A.肺活量B.视力C.肢体柔韧度D.BMI指数

【答案】A

【分析】根据给定的散点图，结合正相关的意义判断即得.

【详解】对于A,儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A正确;

对于B,儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B错误;

对于C,肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C错误；

对于D,BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D错误.

【巩固练习2】（24-25高二下•江西上饶•阶段练习）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其

样本相关系数的比较，正确的是（）

35353535

30303030

25252525

20202020

15151515

10101010

5555

05101520253035051015202530350510152025303505101520253035

样本相关系数为小样本相关系数为「2样本相关系数为-3样本相关系数为-4

(1)(2)(3)(4)

A.全<QV0<厂3<GB.Q<72V0<厂1<丁3

C.Q<r2Vo<厂3VD.72VqV0<<73

【分析】根据相关系数的概念即可判断.

【详解】由图可知图（1）和图（3）是正相关，故相关系数为正，又因为图（1）的点较图（3）的点分布

密集，故相关性图（1）更好，相关系数较大，即0<73<71；

图（2）和图（4）是负相关，故相关系数为负，又因为图（2）的点较图（4）的点分布密集，故相关性图

（2）更好，相关系数的绝对值较大，即IQIVIql，故/2<QV0；

综上可知：r2<r4<0<r3<

【巩固练习3】（24-25高二上•河北沧州•阶段练习）变量％与y相对应的一组数据为

(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)；变量〃与u相对应的一组数据为

（10,5）,（11.3,4）,（11.8,3）,（12.5,2）,（13,1）,q表示变量y与％之间的线性相关系数，厂2表示变量〃与〃之间的线

性相关系数，则（）

A.r2<?i<0B.0<r2<rr

C.r<0<

2D.r2=rr

【分析】根据正相关，负相关判断丁1，丁2的正负，即可比较大小.

【详解】由变量％与y相对应的一组数据为（10,1）,（11.3,2）,（11.8,3）,（12.5,4）,（13,5）,

可得变量y与汽正相关，所以丁1>0.

而由变量〃与u相对应的一组数据为（10,5）,（11.3,4）,（11.8,3）,（12:5,2）,（13,1）,

可知变量u与〃负相关，所以丁2<0,所以G与丁2的大小关系是丁2<0<

【题型3】相关系数的计算

基胴识

对于变量尤和变量％设经过随机抽样获得的成对样本数据为（看,凹），（X2J2）,（X“,y“），利用

相关系数厂来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数厂的计算公式:

£(汨—x)(凹—y)£—nx-y

__z=1.

r_i=\z

=I"----I,=/〃“(其中Xi,X2,…，X.和*,

)忙(%—3y①(x/—八2)晓(%22)

必，…，%的均值分别为x和y).

若线性相关程度很高，则两个变量之间可用线性线性回归模型拟合.

［例题1］若已知£忆式看一君2是£忆式%—9）2的两倍，£忆式看一君（力—歹）是£匕（%—歹）2的1.2倍，则

相关系数r的值为（）

A.—B.qC.0.92D.0.65

1.2V2

【解题思路】根据相关系数公式计算可得；

2.式.一君二1.22£/％―7）2=12

T=

2鼠（XE-S-叵嬴寻迎DZQL"也

【例题2】部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值数据如下（单位:百万元）:

固定资产价值33566789910

工业增加值15172528303637424045

根据上表数据计算的相关系数为（）

A.0B.-0.8973C.1.0228D.0.9918

【解题思路】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解.

【解答过程】由表中数据可得，x=^x(3+3+5+•--+9+10)=6.6,9=卷X(15+17+25+--+40+

45)=31.5,

2：：蛭-10x2=(32+32+52+•••+102)-10X6.62=54,4,-10y2=(152+172+252+

…+452)-iox31.52=954.5,

鹉/%-10x-y=(3x15+3x17+5x25+­­•+10x45)-10x6.6x31.5=226,

用r=------2仁1(%一工)(%一9)----_--------------X昌1------_——空——xo9918

故22MI%-"卮声碇乔丽由E-

【巩固练习1】一唱片公司欲知唱片费用x（十万元）与唱片销售量y（千张）之间的关系，从其所发行的唱片

中随机抽选了10张，得如下的资料：2gxi=28,2：［蛭=303.4,£随%=75,夕：：%?=598.5,

£时阳为=237,则y与龙的相关系数厂的绝对值为（）

A.0.6B.0.5

C.0.4D.0.3

【解题思路】运用相关系数公式进行求解即可.

【解答过程】因为2以左=28,鹉％=75,所以元=2.8,9=7.5,

,,\^=iX-10xy\I237-10X2.8X7.5I

r=---i-y-i--=----------

IV*102.八/一、？IV*102\?V303.4—10x2.82xV598.5—10x7.52

x2

J2i=1i一10（久尸［Z曰W-io（y）

【巩固练习2】某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创

业，该专营店统计了近五年来创收利润数%（单位：万元）与时间《（单位：年）的数据，列表如下：

412345

%2.42.74.16.47.9

依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数「并加以说明（计算结果

精确到0.01）.（若M>0・75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

【答案】0.97,理由见解析

【知识点】相关系数的计算、相关系数的意义及辨析

【分析】依次计算T,V,复％,后a-讨和寸，代入相关系数计算公式，计算即得相关

V曰Vi=l

系数〃的值，与0.75比较得出结论.

【详解】由题可知：7=3,y=|（2.4+2.7+4.1+6.4+7.9）=4.7,

5

=1x2.4+2x2.7+3x4.1+4x6.4+5x7.9=85.2,

2）/厂"万

85.2-5x3x4.714.7

~0.97>0.75

710x^/22.782J56.95

即y与/的线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合.

【巩固练习3]

【题型4】回归直线方程的意义与样本中心点

回归直线方程是统计学中用于描述两个变量间线性关系的数学模型，其形式为y=a+加；，其中。为截距，

b为回归系数（斜率）。通过最小二乘法，该方程最小化了数据点与直线的垂直距离平方和，从而反映变量

间的整体趋势。

重要考点：回归直线必经过样本中心点（三7）,且6表示自变量每增加1单位时因变量的平均变化量。其

应用包括预测、决策优化及理论验证，但需先通过散点图确认线性关系，避免非线性或异常值影响结果。

【例题11小明同学在做市场调查时得到如下样本数据:

X13610

y8a42

他由此得到回归直线方程为歹=-2.1%+15.5,则下列说法不正确的是（）

A.变量尤与y线性负相关B.当x=2时可以估计y=11.3

C.a=6D.变量x与y之间是函数关系

【分析】由回归系数B=-2,1<0,可判定A正确；当x=2时，求得y=11.3,可判定B正确；求得样本

中心（5,*）,代入回归直线方程，求得a的值，可判定C正确；由回归直线方程的意义可判定D不正确.

【详解】对于A中，由回归直线方程夕=-2,1久+15.5,可得片=-2,1<0,

所以变量x与y线性负相关，所以A正确;

对于B中，当％=2时，可得夕=一2.1x2+15.5=11.3,所以B正确;

对于C中，由统计图表中的数据，可得元=1+3：6+10=5,歹=8+a：4+214+a

444

即样本中心为（5,*）,代入回归直线方程9=-2.1x+15.5,

4

可得^=-2.1x5+15.5,解得a=6,所以C正确；

对于D中，变量x与y是线性负相关关系，不是函数关系，所以D不正确.

【例题2】某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并

制作了对照表

气温（℃）181310-1

用电量（度）24343864

由表中数据得回归直线方程2嬴+&中瑟-2.1，预测当气温为时，用电量约为度.

【答案】69.4

【分析】由题意求1=10,7=40,根据回归直线方程过样本中心代入求解得G=61,再把x=T代

入回归直线方程运算求解.

【详解】根据题意得：气温的平均数1=10（℃）,用电量的平均数亍=40（度）

•••回归直线方程9=%+<5过样本中心（10,40）,即40=10（-2.1）+4,贝|&=61

y--2.1x+61

当x=7•时，贝ije=69.4

【例题3】某种产品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg）之间的对应数据如表所示：

X1015202530

y1110865

根据表中的数据可得回归直线方程为夕=Bx+14.4,则以下结论错误的是（）

A.变量y与x呈负相关B.回归直线经过点（20,8）

C.b=-0,32D.该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为4kg

【解题思路】算出元歹后可得从而可判断各项的正误.

，庄ue▼—10+15+20+25+30———11+10+8+6+5二

［解答过程］x=-------------------=20,y=----------------=8,

故8=BX20+14.4即B=-0,32,故ABC都正确.

此时夕=一0.32%+14.4,令x=35,则夕=-0.32x35+14.4=-11.2+14.4=3.2,

故D错误.

【巩固练习1】下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温彳（单位：°C）的对比表，己知表

中数据计算得到y关于x的线性回归方程为y=bx+21,则据此模型预计30C时卖出奶茶的杯数为（）

气温x/℃510152025

杯数y2620161414

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【分析】先求得石的值，再据此模型计算出30C时卖出奶茶的杯数.

【详解】%=1（5+10+15+20+25）=15,9=2（26+20+16+14+14）=18

„-33

由18=156+27,可得》=一『则》=-/30+27=9

则据此模型预计30C时卖出奶茶的杯数为9

【巩固练习2】（23-24高二下・浙江杭州•期中）已知尤，y的对应值如下表所示：若y与x线性相关，且求

得的回归直线方程为9=2余+3,则根=（）

X12914

y2720m

A.30B.31C.32D.33

【答案】C

【分析】计算样本点中心（只歹），代入回归直线方程，即可求解.

口"*-12+9+1435_27+20+m47+m

【详解】由题意可知x=-------------=—,>=---------------=---------,

3333

（杨）m

将样本点中心（；35，147+一J代入回归直线方程得2x135+3=4W7+,得〃?=32.

【巩固练习3】某学生在对50位同学的身高y（单位：cm）与鞋码x（单位：欧码）的数据进行分析后

发现两者呈线性相关，得到经验回归方程y=3元+&.若50位同学身高与鞋码的均值分别为y=170,%=40,

则<5=.

【答案】50

【分析】利用回归方程必过样本中心（三亍），代人求解即可.

【详解】因为经验回归方程为£=3%+力，9=170,元=40,

所以&=y-3x=170-3x40=50.

【巩固练习4］为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了

对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：

单价%/元88.28.48.68.89

销量y/万件908483m7568

(1)求单价x的平均值于；

(2)根据以上数据计算得y与X具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得y关于X的经验回归方程

为£=-20尤+250,求机的值.

【答案】⑴8.5;(2)80

【分析】(1)由表格数据直接计算平均数即可；

(2)根据表格数据可求得样本中心点，代入回归方程即可求得加.

8+8.2+8.4+8.6+8.8+9o

【详解】⑴元=—"O.J.

6

90+84+83+m+75+68400+m

(2)由表格数据知:y=

66

400+m

----------=-20x8.5+250,解得：〃z=80.

6

【题型5】残差的计算

(1)残差

对于响应变量y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的g称为预测值，观测值

减去预测值称为残差.

(2)残差图

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残

差图.若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好.

(3)残差分析

残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是

否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差”化残差图”在残差图中分析残

差特性.

【例题1】（23-24高二下•湖南长沙•阶段练习）对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据

（%,%）（7=1,2「、10）,其经验回归方程为尸-2入+4,且元=5,9=9,则相应于点（13,-9）的残差为

【答案】-0.4

【分析】将样本中心代入可得&=20,即可根据残差定义求解.

【详解】）等元=5,尸=9代入/=-2.2x+G可得9=—2.2x5+&nG=20,

所以y=—2.2%+20,

故当元=13时，y——2.2x13+20=—8.6,

所以残差为—9+8.6=-0.4

【例题2】（23-24高二下•浙江•期中）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）

的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据（x,y）,如表所示.根据表中数据，得出y关于x的经验回归

方程为y=0.1x+a.据此计算出在样本（3,2）处的残差为.

■fe(4,3.3)代入夕=0.7尤+6,解得0=0.5,

9=0.7x+0.5,

•fex=3代入解得y=0.7x3+0.5=2.6,

；.在样本(3,2)处的残差为2-26=-0.6.

【巩固练习1]（23-24高二下•福建泉州•期末）某学校一同学研究温差尤。C与本校当天新增感冒人数，人的

关系，该同学记录了5天的数据:

x(C)568912

y（人）1720252835

经过拟合，发现基本符合经验回归方程亍=2.6x+&,则当x=9时，残差为.

【答案】0.4

【分析】计算出7=8,亍=25,将（8,25）代人回归方程，得到6=4.2,求出回归方程，当％=9时,

g2.6x9+4.2=27.6,计算出残差.

仁5+6+8+9+12=-17+20+25+28+351

【详解】y=-------------;-------------=25,

5

将（8,25）代入夕=2.6%+&中得，2.6x8+6=25,

解得&=25—20.8=4.2,

故_2=2.6x+4.2,当x=9时，9=2.6x9+4.2=27.6,

故残差为28—27.6=0.4.

【巩固练习2】（2024•重庆・三模）对具有线性相关关系的变量X。有一组观测数据

（%,%）«=1,2...10）,元=5,9=一1,其经验回归方程y=-3.2x+a，则在样本点（3,2.9）处的残差

为.

【答案】0.5

【分析】利用样本中心在回归直线上及残差的定义即可求解.

【详解】招■元=5,9=-4代入亍=-3.2元+4,得Y=-3.2x5+&,解得d=12,

所以y--3.2x+12,

故当x=3时，y=-3.2x3+12=2.4,

所以残差e=2.9—24=0.5.

【巩固练习3】近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”

的良好局面.新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂.下表是某地2023年3月1

日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据：

日期代码X12345

电池级碳酸锂价格y（十万元/吨）4.13.93.8m3.9

根据表中数据，得出》关于x的经验回归方程为方=-0.05x+a,根据数据计算出在样本点（3,3.8）处的残差

为-0.1,则a-m的值为.

【答案】0.25

【分析】由残差定义可得。，再由回归方程过点（工3）可得他，即可得答案.

【详解】由题知3.8—夕=3.8—(a-0.05x3)=-0.1,可得。=4.05.

」_1+2+3+4+54.1+3.9+3.8+/71+3.915.7+m

又九二--------------=3,9=

555

由中=《05x3+4.05,

可得根=3.8.ika—m=0.25.

【题型6】刻画回归效果的方式

MSB_______________________________________

刻画回归效果的方式

⑴残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残

差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型

比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.

(2)残差平方和法

n

残差平方和为£(M—Gy,残差平方和越小，模型拟合效果越好.

Z=1

(3)利用尺2刻画拟合效果

A?越大，模型的拟合效果越好，A?越小，模型的拟合效果越差.

(4)决定系数R2与相关系数r的联系与区别

①相关系数r反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数尺2反映回归模型的拟合效果.

②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数&的数值是相关系数厂的平方，其变化范围为[0,1],而

相关系数的变化范围为[-1,1].

③当相关系数I厂|接近于1时，说明两变量的相关性较强，当|「|接近于。时，说明两变量的相关性较弱；

而当代接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好.

【例题1】(23-24高二上四川绵阳•期末)有一散点图如图所示，在5个(居y)数据中去掉。(3,10)后，给出

下列说法：①相关系数厂变大；②相关指数R2变大；③残差平方和变小；④变量x与变量y的相关性变强.其

中正确说法的个数为()

•£(10,12)

•0(3,10)

•C(4,5)

•8(2,4)

7(1,3)

O|x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】利用散点图，结合相关性，相关指数，残差以及y与尤的相关性，逐项判定，即可求解.

【解答过程】根据题意，散点图有5个(%,y)数据中去掉。(310),

J

可得y与x的相关性越强，并且是正相关，

所以相关系数r变大，相关指数解变大，残差的平方和变小，

所以四个命题都正确.

【例题2】下列说法错误的是()

A.决定系数解越大，模型的拟合效果越好

B.若变量x和y之间的样本相关系数为r=-0.999,则变量％和y之间的负相关很强

C.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

D.在经验回归方程夕=-2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量夕平均增加2个单位

【解题思路】根据相关系数、决定系数、残差平方和及经验回归方程的知识逐项判断即可.

【解答过程】对于A,决定系数R2越大，模型的拟合效果越好，故A正确；

对于B,若变量x和y之间的样本相关系数为r=-0.999,则变量x和y之间的负相关很强，故B正确；

对于C,残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故C正确；

对于D,在经验回归方程夕=-2%+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量?平均减少2个单位，

故D错误.

【例题3】红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据.用4种

模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图,

拟合效果最好的模型是()

残差残差

100100

5050

00■4-------1------->--------L.

2&-…编号23456_____2……编号

-50-50

-100-100

模型一的残差图模型二的残差图

残差残差

100100

5050

00

23456J编号23456*7编号

-50-50

-100-100

模型三的残差图模型四的残差图

A.模型一B.模型二C.模型三D.模型四

【答案】D

【分析】利用残差点分布的带状区域越窄，拟合精度越好，拟合效果越好即可选出答案.

【详解】当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，

这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好，

对比4个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.

【巩固练习1】(23-24高二上.四川绵阳•期末)有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉。(3,10)后,

给出下列说法：①相关系数厂变大；②相关指数R2变大；③残差平方和变小；④变量尤与变量y的相关性

变强.其中正确说法的个数为()

4•£'(10,12)

•0(3,10)

•C(4,5)

"2,4)

7(1,3)

-------------------------------►

O-----------------------------x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】利用散点图，结合相关性，相关指数，残差以及y与x的相关性，逐项判定，即可求解.

【解答过程】根据题意，散点图有5个(x,y)数据中去掉。(310),

可得y与x的相关性越强，并且是正相关，

所以相关系数r变大，相关指数R2变大，残差的平方和变小，

所以四个命题都正确.

【巩固练习2】为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量》(颗)之间的关系，某课题研究小组采集了9

组数据，绘制散点图如图所示，并对x,y进行线性回归分析.若在此图中加上点P后，再次对x,y进行

线性回归分析，则下列说法正确的是()

A.x,y不具有线性相关性B.决定系数R2变大

C.相关系数厂变小D.残差平方和变小

【答案】C

【分析】从图中分析得到加入尸点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性

的概念和性质作出判断即可.

【详解】对于A,加入尸点后，变量x与预报变量y相关性变弱，

但不能说x,y不具有线性相关性，所以A不正确

对于B,决定系数越接近于1,拟合效果越好，所以加上点尸后，决定系数代变小，故B不正确；

对于C,从图中可以看出P点较其他点，偏离直线远，所以加上点尸后，回归效果变差.

所以相关系数厂的绝对值越趋于0,故C正确；

对于D,残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点P后，残差平方和变大，故D不正确；

【巩固练习3］为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）

与复工时间的取值为5,10,15,20,25,30天）的回归关系：模型（1）严=a+6x,模型（2）严=*+&,

设两模型的决定系数依次为R；和后.若两模型的残差图分别如下，则（）

模型（1）的残差图模型（2）的残差图

62

律3残1

残

差0差0

%%

-3-1

-6-2

5101520253051015202530

A.B.R；=R；

C.R；＞R；D.R；、R；关系不能确定

【答案】A

【分析】根据残差点图分析拟合效果，从而得到答案.

【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精

度较高，所以

【题型7】利用最小二乘估计公式求回归直线方程

回归直线方程过样本点的中心（x,y）,是回归直线方程最常用的一个特征；

我们将m=%+6称为y关于％的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回

归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的方,&,叫做〃，a的最小二乘估计，其中g称

为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，4为截距.

【例题1]（24-25高三上・浙江•期末）年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患

甲流的员工人数.

第X天12345

新增y人235812

、2七%一位歹

b=-----------,a=y-bx

乙玉2-nx—2

i=l

55

已知=115,=55,现用最小二乘法算得线性回归方程是（）

Z=1Z=1

A.\=2.1尤_0.5