冲刺训练：圆压轴题（含解析）-2025年中考数学专项突破

(小专题冲刺训练)圆压轴题-2025年中考数学专题突破

1.如图，半圆的直径为BC.

(1)若点A在半圆外，AB,AC分别与半圆交于点。、E,且BD=EC,求证=

(2)若点A在半圆内，AB^AC,请用无刻度的直尺画出一点。，使得△D3C是等腰直角三角形(保

留画图痕迹，不写画法)

2.如图，已知A3是。。的直径，CD,CE都是的弦，ABLCD于点G,CE交AG于点F,且

B

(1)求证：BK=DK.

(2)若。K=5,DH=6,求。。的直径.

1FH

⑶若点尸在半径。4上，OF^-OG,请直接写出福的值.

2HB

3.如图，在VABC中，A5=AC,点P为线段AC上的一个动点(不与A,C重合)，作点C关于

的对称点。，连结BD,PD.0。是ABCP的外接圆并分别交RD，A3于点E,F,连结PE,PF.

(1)判断ADEP是否为等腰三角形，并说明理由.

(2)证明：APBD^ACBE.

(3)连结08,若点E为线段8D的三等份点且3C=6,tan/C=g,求tan/。3c的值.

4.音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用

两个完全相同的长方体木块固定(图1)，图2为其截面示意图，半径为10cm的。。与水平台面A3

相切于点尸，点C在。。上，两木块之间的距禺AB=12cm.

图1图2

⑴京援写出NOPA的度数;

⑵①尺规作图：过点C作。尸的垂线CQ,垂足为点。(保留作图痕迹，不写作图过程)；

②求长方体木块的高AC;

(3汝口图3,弦EF〃至交。尸于G,且NEO尸=120。.

操作：将塑料圆管沿跖切割取防下面的部分，得到图4中的。型塑料管，将拨弦线与。型截面平

行，并套在U型塑料管上便得到自制弹拨乐器.

计算：求每一根拨弦线的长.

5.【问题探究】

(1)如图1,。。是VABC的外接圆，ZBAC=135°,若2C的长为4点，则。。的半径为;

(2)如图2,在平面直角坐标系中，菱形A3CD的顶点8、。在无轴上，顶点A、C在＞轴上，点A(0,2),

。(2相,0).点P为无轴上的动点，当g/JP+CP取最小值时，求点尸的坐标；

【问题解决】

(3)如图3,某城区有一块矩形ABCD空地，其中AO=3限m,AB=3km,城建部门计划利用该空

地建造一个居民户外活动广场，已知点尸为矩形内部一动点，满足NAPB=120。，E为对角线上

的动点，过点E作AD的垂线，垂足为歹，规划要求将△3C。区域设置成绿化区，AAB尸区域设置成

建设区，ABPE区域和四边形AP即设置成观赏区，用于种植各类鲜花，ADEF区域设置成人工湖，

为安全起见，现要沿班修建一条笔直的隔离带，沿尸E铺设一条笔直的步行景观道，己知修建隔离

带的造价为1000应元/km,铺设景观道的造价为1000元/km,求修建隔离带和景观道尸E的最

低总造价.(隔离带、景观道的宽度均忽略不计)

图1图2图3

6.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为2.对于。。的弦和点C(C可以与A,8重合)给

出如下定义：若直线CO经过弦A3的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于CO,则称点C

是弦A3的“关联点”.

(1)如图，点4(2,0).

①点8(0,0),在点C2(V2,0),C3(-l,0)^,弦AB的“关联点”是；

②点C(4,0),若点C是弦AD的“关联点”，直接写出点D的坐标；

⑵己知点又(0,4),N(-华,0).线段建V上存在弦PQ的“关联点”，记P。的长为3直接写出f的

取值范围.

7.已知：矩形AOCL)的边AO长为2,点尸在射线OC上，过点O、尸的。8与DP相切于点P.

(2)如图2,以。为原点，0C为x轴建立平面直角坐标系，C（6,0）,设=

①求点B坐标（用含〃的代数式表示）.

②连接BP,设知=小黑黑等且。＜”6,当/取最大值时，作CE，。。于E交"于F,PB与OD

△OO尸的面积

交于G,求货的值.

FP

8.如图所示，己知。。半径为2百，A3是。。直径，过点。作ODLAB于0,交弦AC于点。，连

接C0,若NACO=30。,

⑵设尸是射线。C上的动点，将△ADO绕着点P顺时针旋转a得到△A77O,.

①当a=60。时，探究直线A3与。。的位置关系；

②在△ADO旋转过程中，是否存在点露落在线段80上且。'O=DO的情形？若存在，求出相应的

NA'AO'的度数；若不存在，请说明理由.

9.四边形ABC。内接于。。，对角线AC=3C,尸为ZM延长线上一点，连接8尸，ZDAC^ZABF.

(2)如图2,连接5。并延长至点E,连接CE,若CO平分/ACE,求证:BC=CE；

(3)如图3,在(2)的条件下，tan/F=2,SABCD=4,AD=2,延长AD交CE于点T,求CT的长.

10.在平面直角坐标系x0y中，。。的半径为1,对于。。的弦A3和。。外一点尸，给出如下定义:

若直线R4,PB都是O。的切线，则称点P是弦48的“关联点”

ffll图2

(1)已知点4(1,0).

①如图1,若。。的弦=在点［(1,6),鸟。,1),中，弦A3的“关联点”是「

②如图2,若点3，点P是。。的弦的“关联点”，直接写出线段线段0P的长;

(2)已知点C(3,0),线段政是以点C为圆心，以1为半径的OC的直径，对于线段跖上任意一点S,

存在。。的弦AB,使得点S是弦A3的“关联点”.当点S在线段EF上运动时，将其对应的弦A3长

度的最大值与最小值的差记为3直接写出f的取值范围.

《(小专题冲刺训练)圆压轴题-2025年中考数学专题突破》参考答案

1.(1)详见解析

(2)图见解析

【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了

几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理.

(1)证明3E=CE，从而得到结论；

(2)如图，分别延长BAC4交圆于E、F,延长所和CE,它们相交于P点，连接外交圆于。点，

则D点满足条件.

【详解】(1)证明：=

BD=EC-

BD+DE—CE+DE•

即BE=CD

\IBIC.

:.AB^AC.

(2)解：如图，点。即为所求.

40

⑵了

、EH2

(3)-----二一

HB5

【分析】(1)由垂径定理得BCuBO,等量代换得==进而可证结论成立;

(2)先证明NKHD=ZHDK,进而可证3K=DK=HK,求出BH=10,3。=8,再证明AADBS^BDH,

利用相似三角形的对应边成比例可得结论;

(3)证明ACGR丝。GB(ASA)得3G=FG,证明GK是△段H的中位线得尸H〃CD,^OF=x,则

2

OG=2x,由勾股定理得CG=OG=@x,FC=^/30x,证明AARVSAC尸G,可求出=

再证明AE4N丝AE4N（ASA）求出E尸=，闻，然后证明万旧〃CD,利用平行线分线段成比例定理即

可求解.

【详解】（1）连接BD,

〈AB是。。的直径，AB^CD

***BC=BD

;BD=DE

•*-BC=BD=DE

:.ZKBD=ZKDB

:.BK=DK

(2)TAB是。。的直径，

・•・ZADB=90°

：.NKHD+/KBD=ZHDK+NKDB=90。,

'：ZKBD=ZKDB

:.ZKHD=ZHDK

:.BK=DK=HK

'：DK=5,DH=6

：.BH=10,BD=8

,:BD=DE

:.ZBAD=ZHBD

■:AADB=ZBDH

AADBS^BDH

,AB_BD

BH~HD

（3）连接切，AE,OC,

A

〈AB是。。的直径，ABA.CD

：.CG=DG

•:舐=»E

：.ZBDG=ZFCG

ZCGF=ZDGB

：.△CGF^Z)GB(ASA)

JBG=FG

,:BK=HK

：.GK是ABFH的中位线

FH//CD

设。尸=x,贝!JOG=2%，

ABG=3x,OC=OB=5x

CG=DG=4lix,FC=V30x

,:BD=DE

：./BAD=/DCE

,?ZAFE=ZCFG

：.ZANF=ZCGF=90°

丁ZAFN=ZCFG

：.AAFNS/FG

.FN_AF

**FG-CF

4x2i

.・.FN=-^x3x=-y/30x

V30x5

BD=DE

：./FAN=/EAN

・.・AN=AN,ZANF=ZANE=90°

^FAN^EAN(ASA)

：.NE=FN

：.EF=:屈x

9：ZANF=ZADB=90°

：.FH//CD

.EH_EF_4

"HK~FC~5

.EHEH_2

"1{B~2HK~3

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等角对等边，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三

角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，属中考

压轴题.

3.(1MDEP为等腰三角形，见解析

(2)见解析

72

⑶布或5

【分析】(1)根据轴对称的性质及圆内接四边形的性质求解即可；

ApFp

(2)先证明AAEPSAABC,得到f=再证明BE=PF,BD=BC,即可证明结论；

ACBC

(3)过点4作4〃，3。于点打，交PF于点、M,连结OP,证明经过圆心。，FM=PM,然后

DFDFI

分笔=2和岩=:两种情况，设OH=x,分别求出外MH,3"的长，根据勾股定理列方程求

BEBE2

解，求出的长，最后利用三角函数求解即可.

【详解】(1)解：为等腰三角形；

理由：由翻折得NC=N0,

・./C=/DEP,

:.NDEP=ND,

:.PD=PE,

为等腰三角形；

(2)证明：.AB=AC,

.\ZABC=ZC,

・・・NC=NAFP,ZABC=ZAPF,

.•.NABC=NAFP,ZAPF=ZAFP,

:.FP//BC,AF=AP,

:NAFP<^NABC,

APFPcl「八

「♦---=---9BF=CP9

ACBC

又,；CP=DP=EP,

:.BF=EP,

:.BE=PF,

又♦.・S□=，

APBE

,AC-

.\APBD=ACBE；

(3)解：过点A作AHLBC于点H,交PF于点M,连结。尸,

\AB=AC,

:.BH=CH=-BC=3

2f

二.AH经过圆心。，

QFP〃BC,

.\AM±FP,

\AF=AP,

:.FM=PM=-FP,

2

DE

当一=2时，BD=3BE

BE

A

APBD=ACBE,

:.AC=3AP,

〜/八、八APFP

ACBC

PF1

••—―f

BC3

,.・BC=6,

:.PF=2,

,/tan/C=—

3

AH5

CH-3

即包=5

33

:.AH=5,

QNAFP^NABC,AMLFP,AHYBC,

AMAP

AH-AC-3

AM_1

"I"—"

3

,MH=5--=

3

设OH=x,

在Rt△加O和RtZYBHO中，FM2+OM2=OF2,BH2+OH2OB2,

QOF=OB,

7

解得力=不，

:.OH=—7,

15

7

tan^fOBC=丝=宣=Z；

BH345

当济利BE2

BD3

APBD=ACBE,

PFAP_2

BC-AC-3

♦:BC=6,

二.PF=4,

:.FM=2,

同理坐="2

AHAC3

求得AM=y

5

:.MH=5~—

33

设OH=x,贝l]OM=g+x,

22=32+x2,

2

解得x

：•*

2

tanZOBC=也=3=2；

BH39

【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合问题，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形

的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识,

作等腰三角形的高是解答本题的关键.

4.⑴NOX4=90°；

⑵①见解析；②AC=2cm；

⑶每一根拨弦线的长为（等+1073jcm.

【分析】（1）根据切线的性质即可求解;

（2）①尺规作图即可；

②利用垂径定理和勾股定理求解即可;

（3）根据垂径定理和圆周角定理得出/EGO=90。，EF=2EG,/EOG=60。，然后通过

EG=OE-sin60。，从而求得EF的长；再通过弧长公式求出跖的长即可.

【详解】（1）解：：A3是。。的切线，切点为于P,

OPLAB,

：.ZOPA=90°；

（2）解：①如图，Q2即为所作,

②连接QD,

VACrAB,OPLAB,CQLOP,

.,•四边形AC。尸是矩形，

Z.AC=PQ,

•/AC=BD,

：.BD=PQ,

VBDJ.AB,OP±AB,

：.BD//PQ,

•••四边形8。。尸是平行四边形，

,/BDJ.AB,

四边形她是矩形，

DQLOP,

：.C,。、。在同一直线上，

四边形BDC4是矩形，

ACD=AB=n,OPVCD,

：.CQ=DQ=6,

•/OC=OP=10,

OQ="0c2_管=8,

AC=PQ=10-8=2(cm)；

(3)解：VZEOF=120°,弦EF〃AB交OP于G,

AZEGO=90°,EF=2EG,ZEOG=-ZEOF=60°

29

EG=(?E-sin60°=10x—=573,

2

：.EF=2EG=10V3cm；

120x^x1020»

VEF的长为

1803

20〃+

...则每一根拨弦线的长为cm

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，弧长公式，勾股定

理，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键.

5.(1)4；(2)点尸的坐标为［苧,o］；(3)卜OOO0+5OO6-1OOOG)元

【分析】(1)如图:在0。上取一点D,连接BD,CD,OB,OC,根据圆的内接四边形的性质可得"=45°,

再根据圆周角定理可得NO=90。，运用勾股定理结合08=0C求得OC=4即可解答；

(2)根据菱形的性质以及点坐标可得AC13D,OA=2,OD=2瓜进而得到NADO=30。，

AD=2Q4=4；如图：过点P作PE2AD于点E,过点C作CGLAD于点G,交x轴于点P,贝I

PE=；DP,当C、尸、E三点共线时，即点尸与点P重合时，+取得最小值，然后运用

菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形求解即可；

(3)由题意知，修建隔离带跖和景观道尸E的总造价为1。。。虚用+1。。。尸£=1。。。(应所+尸£),

只需求出近EF+PE的最小值即可.然后根据矩形的性质以及正切的定义可得ZDBC=ZADB=30°,

进而得到NABE=NABD—NDBC=60。；如图，作AAB尸的外接圆。O,则由NAP3=120。，可知点尸

为矩形内部0。上的动点(不与端点重合).在8。的下方作/BDN=45°,过点E作EHLDN于点、H,

过点。作O0LDN于点交BD于点、E,连接。4,OB、OP.然后解直角三角形以及三角形的

三边关系可得EW+PE+OPNOM,即当尸、E、//在上时，0£尸+「£取最小值0加一08.再

说明AO3E'、是等腰直角三角形，进而得至［］0知=0£''+石加=3后+半，即夜EP+PE的

最小值=-。2=3"^+'^-,进而完成解答.

2

【详解】解：(1)如图：在。。上取一点。，连接BD,CD,O8,OC,

:四边形ABDC是。。的内接四边形，ZBAC=135°,

ZD=180°-ABAC=180°-135°=45°,

/.Z(9=90°,

BC2=OC2+OB2,OB=OC

•••402=2OC2,解得：0c=4(舍弃负值).

；•OO的半径为4.

D

图1

(2):菱形ABCD的顶点5、。在x轴上，顶点A、C在,轴上，点A(0,2),D(2A/3,0)

AC±BD,OA=2,OD=273,

:.ZADO^30°,AD=2Q4=4,

则尸石=工。尸，

如图：过点P作PE1AD于点E,过点C作CGLAD于点G,交x轴于点P,

'2

当C、尸、E三点共线时，即点P与点P重合时，(goP+CpJ取得最小值,

:在菱形ABC。中，CD=AD=4,ZCDG=60°,

AACD是等边三角形，ZGDP'=30°,

•；CGYAD,

DG=-CD=2,

2

在RtADGP中，ZGDP'=30°,

：.分，=0_=2_=迪也广

cos30°相3，0D=ADcos300=4x—^-=2y/3,

~2

:.OP'=OD-DP'=2->j3-^-=^-,

33

.•/｛孚,。，即;。P+CP取最小值时，点尸的坐标为］苧,0

(3)由题意知，修建隔离带班'和景观道PE的总造价为1000点跖+1000PE1000(A/2EF+P£),

只需求出血EP+PE的最小值即可.

在矩形ABCD中，AD=3y/3,AB=3,

tanZA£>B=—==—=30°,AD//BC,?ABD90?,

AD363

NDBC=ZADB=30°,

：.ZABE=ZABD—NDBC=60°,

如图，作AAB尸的外接圆。。，则由ZAP3=120。，可知点尸为矩形内部。。上的动点（不与端点重合）.

在3。的下方作NBDV=45。，过点E作即，DN于点过点。作。于点M,交于点

连接。4,OB、OP.

在RtADEP中，ZEDF=30°,则ED=2EF,BD=2AB=6,

在RMDEH中,/EDH=45°,EH=—ED=yf2EF,

2

:.y/2EF+PE=EH+PE.

-.■EH+PE+OP>OM,

当尸、E、H在0M上时，+取最小值。A/—03.

ZAPS=120°,

:.ZBOA=120°.

,/OB=OA,AB=3,

：.AOAB=ZOBA=3G°,OA=OB=y/3,

：.Z.OBD=ZABE+NOBA=90°,

又,:/BDM=45。,

:△OBE、^DME'是等腰直角三角形，

OE'=ROB=娓，BE'=OB=^3,

DE'=BD-BE'=6-y/3,

:.E，M二巫巫,

2

OM=OE'+E'M=3y[2+—,

2

y/2EF+PE的最小值=OM-OB=3c+与一B

1000（及EF+PE}=1000X（30+逅一团=3000直+500痣一1000石.

\，最小2

\7

故修建隔离带EF和景观道PE的最低总造价为卜000a+500n-10004）元.

【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形、圆周角定理、解直角三角形、菱形的性质、矩形的性质等

知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.

6.⑴①C2（V2,0）；②半），g,一半）；

（2）2<?<^6,V10<r<2^.

【分析】（1）①如图所示，通过题中关联点的定义，分别分析点G、c2、G即可判断；②根据题意

分析可得CD=4,以点C为圆心，半径为4作圆，交圆。于点2、点2,过点R作轴于点

H,连接。R、CD1,设点R的坐标为（x,y）,贝|。22-。//2=（722-。/2,BP22-X2=42-（4-X）2,

解得无=：,进而求出点2的纵坐标，考虑轴对称的性质，可得点2与点2关于无轴对称，即可求

出点2、2的坐标；

（2）通过分析可得线段MN与圆。相切，设线段MN与圆。相切于点连接OH,设线段MN上的

“关联点”为点C,当点C在点H时，CO取最小值，最小值为2,当点C在点M时，CO取最大值，

最大值为4,2<CO<4,第一种情况，连接OC交圆。于点尸，以点C为圆心，CO长为半径作圆，

交圆。于点Q、点。'（PQ=P。'，点。'不用考虑），过点。作QELOC于点E,连接。2、CQ、PQ,

设。。=。。=加，根据勾股定理，得尸。=第二种情况，连接OC,延长CO交圆。于点P,

Vm

以点C为圆心，C。长为半径作圆，交圆。于点。、点（PQ=PQ',点。'不用考虑），过点。作

0?，<^于点£,连接。2、C。、PQ,设CQ=CO=m,根据勾股定理，得尸。=甚8,即可确定

r的取值范围.

【详解】（1）解：①由点G（L1）可得，OG所在直线的解析式为丁=龙，

•・・直线。G经过点8（夜,女），

1­•点4（2,0）与点£（1,1）之间的距离为,J（2-l）2+（0-l）2=V2,C0=6,

AC]=c。，

.•.点G(l,l)是弦A3的“关联点”；

由题中图像可得，直线OC?经过点4(2,0),

■,1点B(叵，及)与点Q(V2,0)之间的距离为&,QO=8，

BC2=C2O,

点Q(A/2,0)是弦AB的“关联点”；

由题中图像可得，直线。C3经过点4(2,0),

点8(0,0)与点C3(-1,0)之间的距离为J(.++(0一"『=辰2也,C3O=1,

BC3wC3O,

点C3(-l,0)不是弦AB的“关联点”；

故答案为：G(V2,0)；

②：点C(4,0)是弦AD的“关联点”，直线OC经过点4(2,0),

/.CD=CO,

・.・CO=4,

.•.CD=4,

如图所示，以点c为圆心，0c长为半径作圆，交圆。于点2、点。2,过点2作轴于点H,

即22-x2^42-(4-xf,

解得X=；,

•.•点2与点。关于X轴对称，

，点。2的坐标为，

（22）

故答案为：孚）'一半］;

（2）如图所示，在直角坐标系中作出点加（。,4）,N（—羊,0）,连接MN,

0M3

ZOMN=3ff,

•・•OMxsinZOMN=OA/xsin30°=4x-=2,

2

即OMxsinZ.OMN等于圆0的半径，

ZOHM=90°,即曲J.JW,

二线段肱V与圆。相切,

设线段MN与圆。相切于点打，连接OH,

,•・线段MN上存在弦尸。的“关联点”，设此“关联点”为点C,点C为线段MN上的动点，

二当点C在点4时，CO取最小值，最小值为2,当点C在点M时，CO取最大值，最大值为4,

设CO=〃7,

:.2<m<4,

第一种情况，如图所示，连接0c交圆。于点尸，以点C为圆心，C。长为半径作圆，交圆。于点。、

点。'（尸。=尸。，点。'不用考虑），

过点。作QELOC于点E,连接O。、CQ、PQ,T^CQ=CO=m,

根据勾股定理，^CQ2-CE2=OQ2-OE2,

22

即机2_（9_OE）2=2-OE,

0E=—

m

22222222l8

PQ=^PE+EQ=^PE+（OQ-OE）=^（2-OE）+（2-O£）=18-4OE=8o----

m

・••记尸。的长为"

:.2<t<^6；

第二种情况，如图所示，连接oc,延长CO交圆。于点P,以点C为圆心，co长为半径作圆，交圆

。于点。、点。'（尸Q=PQ',点。'不用考虑），

过点。作QELOC于点E,连接OQ、CQ、PQ,^CQ=CO=m,

根据勾股定理，^CQ2-CE2=OQ2-OE2,

22

即trr-(m-OEy=2-OE,

PQ=yjPE2+EQ2=^P£2+(Oe2-O£2)=J(2+OE)2+(22-OE2)=J8+4OE=

・•・记PQ的长为r,

:.y/10<t<2后；

综上所述，2<t<^6,A/10<?<2>/3.

【点睛】本题是新定义综合题，考查了最值问题、圆的定义、切线的性质、直角坐标系中两点坐标、

勾股定理、锐角三角函数的应用等知识点，解题的关键是通过题干，熟练掌握新定义“关联点”的内涵，

同时运用“分类讨论”、“数形结合”的思想画图，根据动点的轨迹确定CO的取值范围，通过勾股定理

找到CO与尸。之间的关系，进而确定尸Q的取值范围.

7.(1)273

⑵①《n/+T”；②;

【分析】(1)连接求解ZBPD=90。，ZDBP=900-30°=60°,NDOP=NBPO=30。=NODP,

结合AO=CD=2,ZODC=60°,进一步可得答案.

(2)①如图，过8作R/_LOC于J,则NB/P=90。，分两种情况：当“46时，当”>6时，如图，

此时。尸=〃-6,再进一步求解即可；

-OPBJ

12.313

②如图，由2——n+—n--n9+~n,可得当〃=3时，M最大，此时

-OPCD4284

2

i3o「I1,P(3,0),0(6,2),求解O£＞为y=同理可得：BP为:y=-^x+^-,

BJ=—n2H—n=—,B

424

可得6月，与|，求解GP=到叵，过尸作尸K_LCD于K,而CE_LOD,ZOCD=90°,可得

tan/D0C=tan/DCE=2=」=空，设雁=九则CK=37,可得。尸五2,可得PF=9师,

63

强而丁行11

进一步可得答案.

【详解】(1)解：连接3P,

AD

•・•过点0、P的OB与。尸相切于点尸，ZODP=30°.

：.ZBPD=90°,ZDBP=90°-30°=60°,

■:BO=BP,ZDBP=ZDOP+ZBPO,

・•・ZDOP=ZBPO=30°=ZODP,

,/矩形AOCD的边AO长为2,

AAO=CD=2fZODC=60°,

OC=CDtan60°=2V3.

(2)解：①如图，过5作即_LOC于/,则NB/尸=90。,

°：OP=n,BO=BP9

OJ=PJ=—n,

2

当〃W6时,

•・•矩形AOCD,OP=n,C（6,0）,AO=2,

ZOCD=90°,

结合切线性质可得：ZBPD=90°=ZPCD=ZBJP,

:.ZBPJ=90°-ZDPC=ZPDC,

tanZ.BPJ=tanZ.PDC,

.BJCP

~PJ~~CDy

BJ6-n

・・・1

—n2

2

3

BJ=--n2H—几,

42

11

：.B二-〃2+3

242

当〃>6时，如图，此时CP=扪—6,

BJCP

P7-CD?

BJ_n-6

13

BJT=一〃2一二几,

42

•••呜〃，-12+14，

综上：

-OPBJ

：.M---------

-OPCD

2

M最大,

此时=尸（3,。），。（6,2）,

设0。解析式为丫=0，则6e=2,

解得：e=1,

解析式为y=

93

设5P解析式为，=丘+),则b2

0=3k+b

解得：

39

；・区尸解析式为：y=_]%+],

y=—x

3

联立

解得：

279

TT'iT

・6位小（髀醇

过/作FK_LC。于K,而C石_LOD,ZOCD=90°,

：.ZDOC=ZDCE=90°-ZODC,

tan/DOC=tanZDCE=-=-=

63CK

没FK=f,则CK=3/,

VFKLCD,NOCD=90。,

・•・FK//OC,

：・ADFKSQPC,

.FKDKDF

^~CP~~DC~~DP"

.f=2-3/

32

解得：/=(,

6

ADF_n_2>

DP-T-TT

VCP=3,CD=2,ZOCD=90°,

DP=413>

・•・仁巫

11

39

.GP_-rr_i

,.FP9屈3,

11

【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，锐角

三角函数的应用，一次函数，二次函数的应用，切线的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是

解本题的关键.

8.(1)证明见解析

⑵①当。尸=4时，A3与。。相切;当。尸工4时，直线A3与OO相交；②存在；30°

【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及直线与圆的位置关系，解直角三角形，旋转的性质，等边三

角形判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度大.

(1)由AO=C。得到NACO=NA=30。，求出NADO,再由三角形外角求出/OOC,再由等角对等

边即可求证；

(2)①连接AP交直线A3于H,可得DO//PA.则ZAHP=ZAOD=90。，即AP_LAB,解RtAA(9D,

求出D4=4,设。P=f,则AH=¥(4+。.故当t=4时，AH=473,OH=OB=2^[3,此时点//

与点8重合，由A'3_LO3可得AB与。。相切；当时，AH丰，OH乎2出,此时点//与点8

不重合，故直线与。。不相切，则直线A3与。。相交.

②当DP=2+2拒,a=30。时，点3落在80上且DO连接ZXP,A'O,OO',AO',CO,AA1,

先确定点加在AP上.当DP=2+26,4=30。时，可得。'0="4—40=。'尸一40=。「-40=2.解

Rt/VLDO得到。0=2,故。'0=00,即存在点川落在8。上且DO=的情形，然后证明

△ADO也AADO/AA'D。，可得AOA'O'是等边三角形，则ZA”O'=60。，O'O^AO=AO,即点A

和点O'都在。0上.故ZA'AO'=-ZA'OO'=30\

2

【详解】(1)证明：VAO=CO,ZACO=30°,

，ZACO=ZA=30°.

ODLAB,

ZAO£)=90°.

在RtAAOD中，ZADO=90°-NA=90°-30°=60°.

，ZDOC=ZADO-ZACO=60°-30°=30°.

，ADOC=AACO.

：.DC=DO；

(2)①解：连接AP交直线AB于

1/AADO绕着点尸顺时针旋转60°得到△AT/。,

ZAPA=60°.

由(1)知：NADO=60。，ZAOD=90a,

：.DO//PA.

：.ZAHP=ZAOD=90°,即A'P_LAB.

c,AO2A/3”

r)A—__________—4

•.•在RtAAOD中，一cos30。一6-，

^2

设DP=t,

...在RtAAHP中，AH=APxcos30°=配(4+f).

当f=4时，AH=4^/3,OH=OB=?A,此时点H与点8重合，由AB_LOB可得AB与。O相切.

当年4时，AH，OHS,此时点//与点B不重合，故直线A3与OO不相切，则直线A3

与。。相交.

②解：存在，当DP=2+2拒,0=30°时，点川落在80上且。'0=00.

理由如下:

A

连接ZXP,AO,OO',AO',CO,AA'.

,/AAZJO绕着点尸顺时针旋转a得到△AT/。，

：.D'P=DP,AP=AP,AADO^AAD'O'.

AD=Ab-

:点尸在射线DC±,

AAP=AD+DP=XV+DP.

：.AP=A'D'+iyp.

点力在H尸上.

当DP=2+26,a=30。时，

a=ZDPD'=30°,1PAB30°,

ADPD'=ZPAB.

：.D'A=D'P.

，D'O=D'A-AO=D'P-AO=DP-AO=2+2y/3-2y[3=2.

XVOO=AOxtan3(r=2岳走=2,

3

D'O=DO,即存在点力落在BO上且D'O=DO的情形.

此时，ZA'D'O=ZDPD'+ZA=60",ZADO=60°,

.,.在AADO和AA'O'O中，ZA'D'O=ZADO,DO=DO,Ab=AD，

：.^ADO^^AD'O^^D'O'.

：.A!O=A'。'=AO,ZD'AO=AD'A!O'=ADAO=30°.

AOA!O'=ZD'A'O+AD'A!O'=60°.

...AQ4'O'是等边三角形.

AZA'OO'=60°,O'O=AO=AO,即点A，和点O'都在。。上.

/.ZA'AO'=工ZA'OO'=工x60。=30°.

22

9.(1)见解析

(2)见解析

⑶丁

【分析】(1)由等腰三角形的性质及已知得NEBC=NNAD;再由圆内接四边形的性质得

ZFBC+ZBCD=180°,从而得结论成立；

(2)证明△ACD/△ECD,得AC=EC,再结合AC=3C即可求证；

(3)过点C作。“，皿)于点"CG_LAT于点G,证明ACHD丝ACGD,ACHB沿ACGA,贝!]

DH

HD=DG,CH=CG,BH=AG；证明/尸=/3DC,则tanNBOC=——=2；^HD=DG=x,则

CH

CH=2x,从而可表示出3"、5。，由面积可求得x的值，从而求得AC、的值;过点A作AQ〃CT,

交CO延长线于点。，可证明△ADQS2JI)C,得乌=电；设CT=J瓦，DT=2a,则得GT；由

DT2

勾股定理求得4的值，即可求解.

【详解】(1)证明：•・•AC=5C,

JZCBA=ZCAB；

'：ZDAC=ZABFf

：./FBC=ZABF+ZABC=/DAC+/CAB=/BAD；

・・•四边形ABC。是圆内接四边形，

・•・/BAD+/BCD=180°,

:.ZFBC+ZBCD=180°,

：.BF//CD；

(2)证明：如图，设4=a；

,:AC=BC,

：.ZABC=ZL=af

：.Z2=180°-2Z1=180°-2a；

BC=BC，

AZ4=Zl=cr；

AB=AB^

・•.N3=N2=180。—2a,

*/ZAT>C=Z3+Z4=180o-2^+^=180°-cr,ZEDC=180°-Z4=180°-6Z,

・•・ZADC=NEDC；

・・・。。平分/ACE,

・•・N5=N6；

,:CD=CD,

：.AACD^AECD,

:.AC=CE；

,:AC=BC,

：.BC=CE；

(3)解：过点。作于点"，8,47于点6,如图；

,：BF//CD,

；.NF=/TDC,ZF+ZAZ)C=180°；

•.・ZABC+ZAZ)C=180°,

ZABC=NGDC=NF；

•；/BAC=/BDC,

：.ZBDC=ZTDC=ZF；

VZCHD=ZCGD=90°,CD=CD,

ACHD”①GD,

：.HD=DG,CH=CG；

•：NCHB=NCGA=9。。,ZCAG=ZCBH,

:.&HBm卫GA,

BH=AG；

tanF=2,

tan/BDC=-----=2；

CH

^HD=DG=x,贝。=2x,

:.BH=AG=AD+DG=2+x；

5△QBUC”D=-BDCH=4,BD=BH+DH=AG+DG=x+2+x=2x+2,

**•—(2x+2)x2x