多边形的性质（学生版）

■多边形的性质

一向考情透析一广

考情透析

中考考点考查频率新课标要求

多边形的概念及分类

★了解多边形的相关概念，并能准确作出判断.

多边形内角和与1、理解多边形内角和公式的推导过程；

外角和的相关计算★★★2、掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用公式进行计

算.

多边形性质的实际应通过猜想一转化一类比一归纳，经历探索多边形内角和公

★★

用式的过程，体会转化和类比的数学思想方法.

多边形的性质是中考数学中的必拿分考点，虽然这个考点中所含概念较多，像多边形内角和、多

边形的外角和、多边形的对角线、正多边形、平面镶嵌等概念，以及与平行线、圆、三角形结合等，

都需要理解其定义与意义，年年都会考查，但是这个考点整体的难度并不大，计算方式也比较固定，

是广大考生的得分点，所以只要记住各个知识点的定义与计算方法，都能很好的拿到相应的分值.

关键知识

一、多边形的相关概念

L多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

3.多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引(n—3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了

(n-2)个三角形，n边形的对角线条数为吟月；

4.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.

5.正n边形有n条对称轴.

6.对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图

形.

二、多边形内角和与外角和

1.多边形内角和定理：n边形的内角和为(n~2>180°(n23).

1)n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1,内角和增加180。.

2)任意多边形的内角和均为180°的整数倍.

3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：

①已知多边形的边数求内角和；

②已知多边形的内角和求边数；

③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数.

2.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360。，与多边形的形状和边数无关.

3.正n边形的每个内角为5-2,“80。，每一个外角为

nn

考点01

多边形的概念及分类

（2024•内蒙古自治州赤峰市•中考真题）如图是正n边形纸片的一部分，其中1,m是正n边形两条边的

一部分，若1,m所在的直线相交形成的锐角为60。，则n的值是（)

A.5B.6C.8D.10

跟踪训练

1.在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（）

A.等边三角形B.正五边形C.正六边形D.正七边形

2.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

计算网格中不规则多边形面积

阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.

你知道“皮克定理”吗？

“皮克定理”是奥地利数学家皮克(如图1)发现的一个计算点阵中多边形的面积公式.在一张方格纸

上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格

点.一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形.有趣的是，这种格点多边形的面

积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出.即$=2+

jb-1,其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积.(利用图2中

的多边形可以验证)这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”.

图

1图3

任务:

(1)如图2,是6x6的正方形网格，且小正方形的边长为1,利用“皮克定理”可以求出图中格点多边

形的面积是

(2)已知：一个格点多边形的面积S为19,且边界上的点数b是内部点数a的3倍，贝Ua+b=

(3)请你在图3中设计一个格点多边形.要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称

图形.

跟踪训练

1.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D是网格线交点.若AB=1,则四边形ABCD的面积为

2.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D是网格线交点，则AABC的面积与△ADB的面积大小关

系为：S&ABCS^ADB（填">""="或

3.各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式

S=a+jb-l（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克

（Pick）定理”.如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S=

|

计算多边形对角线条数

一个正多边形的每个外角为45。，则这个正多边形的对角线共有条.

跟踪训练

1.已知一个多边形内角和为1080°,则这个多边形可连对角线的条数是（）

A.10B.16C.20D.40

2.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是

（）

A.3B.6C.9D.18

3.如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2

条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n边形的同一个顶

点出发，可以引出的对角线数量为（）

A.nB.n—2C.n—3D.2n—3

4.一个正多边形的中心角是72。，则过它的一个顶点有条对角线.

考点04

多边形内角和问题

（2024•山东省日照•中考真题）一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形是一边形.

跟踪训练

1.如图，OA,OB,OC,OD,OE相互外离，它们的半径都是2,顺次连接五个圆心得到五边形

ABCDE,则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）

A.6兀B.5兀C.4兀D.3兀

A.125°B.130C.135D.140

4.如图，多边形ABCDEFG中，NE=NF=NG=108°，/C=ND=72°,则/A+NB的值为

()

A.108°B.72°C.54°D.36°

5.如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，贝U/PAE=

多边形的割角问题

如图，一张内角和为1800。的多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的边数

跟踪训练

1.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°.则原来多边形的边数是

2.如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是

多边形的外角问题

（2024•重庆•中考真题）如果一个多边形的每一个外角都是40°,那么这个多边形的边数为

跟踪训练

1.若一个正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的边数是（）

A.10B.9C.8D.6

2.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45。后又沿直线前进10米到达点C,再向左

转45。后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）

C.60米D.40米

3.正十边形的外角和为（）

A.180°B.360°C.720°D.1440°

多边形内角和、外角和与平行线的综合运用

（2024•湖北省武汉•中考真题）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画NMAN；（2）以点A为圆

心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D；（3）分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画

弧，两弧交于点C；（4）连接BC,CD,BD.若/A=44°,则NCBD的大小是（）

M

B

A.64°B.66°C.68°D.70

跟踪训练

1.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若/1=19。，则N2的度数为（）

2.如图，AB〃CD,ZBED=61°,NABE的平分线与NCDE的平分线交于点F,则/DFB=（

A.149°B.149.5°C.150D.150.5°

3.如图，五边形ABCDE中,AB||CD,/I、/2、N3是外角，则N1+N2+/3等于（)

A.100°B.180°C.210°D.270°

4.如图，一束太阳光平行照射在正n边形AiA2A3……An上，若/I-Z2=60°，则n=

多边形内角和与外角和的综合应用

定义：由n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做n边形.相邻两边组成的角叫做它的内角，一边和

它邻边的延长线组成的角