高考数学专项复习：解三角形最值、范围与图形题型归类（9大题型）解析版

秘籍04解三角形最值、范围与图形归类

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测解答题☆☆☆☆☆

考向预测解三角形

应试秘籍

作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，

无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占io分，难度不大也适应了新高考的新

题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。

【题型一】最值与范围：角与对边

注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边.，4c的齐次式或关于角的正弦$也45也氏近11(7的

齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角

函数形式，利用此角的范围求得结论.

典例剖析

1.已知△ABC的内角Aa。所对的边分别为a,。,c,(sin3-sinC)2=(sinA)2-sinBsinC

(1)求A；

(2)已知〃=26，求三角形周长的取值范围.

【答案】(1)A=—；(2)4百＜a+b+eV6后.

解(1)由(sinB-sinCj=(sinA)2-sinBsinC(Z?-c)2=a2-be

BPb1+C1—a1=be,则cosA="十°——=,AE(0,兀)

2bc2bc2')

所以A4

(2)a2=b2+c2-2bc-cosA=b2+c2-be，

即12="=(6+c)2-3bc、；(6+c)2,所以2指＜b+c＜46，当且仅当b=c=2百时，等号成立，所以

4A/3<a+b+C<6^3

2.在AABC中，a,b,。分别为角A,B,。的对边，已知,\；+-----=0.

er+b-c2b+c

（1）求角A的值；

（2）若a=2,求三角形周长的取值范围.

【答案】（1）斗；（2）（4,逑+2].

J3

【详解】⑴••・需[+鼠=°'，.•由余弦定理可得,2bccosAc二

------------+--------=0,

2abcosC2b+c

二由正弦定理可得：sinCeos3----‘in。------=0,整理可得：0=2sinBcosA+sinCcosA+cosCsinA,

sinAcosC2sinB+sinC

/.0=2sinBcosA+sinBQsinB>0,可得：cosA=-;,:.A=—

2»..b_c_2_4百

46.「,_473.R

(2)•：a=2,A=~~,,sin3sinC？兀3，c=-----sinC,b-.......sinB,

3sin—33

3

设周长为y,贝！1y=a+c+b=2+4立sinB+sinC=2+sinB+sin(工一B)=2+2cosB+sinB,

333333

4,3TCcn冗7171171A/371

-------sin(BH——)+2,'/0<B<—,/.—<B+—<——,；.——<sin(BH—)41，

33333323

.•.y=^sin(B+|)+2e(4,^+2].

二周长的取值范围是(4,竽+2].

3.在锐角三角形ABC中，。，6,c分别为角A,B,C的对边，且2sin2AcosA-石cos(B+C)-sin3A-g=0.

(1)求A的大小；

(2)若a=2,求AABC的周长L的取值范围.

【答案】(1)p(2)(273+2,6].

【详解】

(1)*.*A+B+C=7T,cos(B+C)=—cosA(T),*.*3A=2A+A,

sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA②，

又sin2A=2sinAcosA③，cos2A=2cos2A-l@,

将①②③④代入已知，得2sin2AcosA+6cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+y/3，

得sinA+百cosA二石，即sin(A+，j,又A£(0,"),,4+,=与,即A=。.

2_b

(2)由正弦定理得，忑=L=1sin8+sin|g万-B)卜2

|万一3

~T

=4sin^B+^+2^J1-<B<

/.+.•.^<sinfB+^<l,AA3C的周长L的取值范围(2百+2,61

名校模拟

1.（2023・四川成都,四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在AABC中，内角A,B,C的对应边分别为°,

A-i-C—

b,c,已知6sin（8+C）=asin——,且AABC的面积为班，贝必48。周长的最小值为（）

A.2夜B.6C.6近D.6+2港

【答案】B

TT—B

【详解】由题设及三角形内角和性质：bsmA=asm—^-

根据正弦定理及诱导公式得sin3•sinA=sinA•cosg,

.nB….BBB

AG（0,7l）,/.sinAw0,sinB=cos—,BJ2sin—cos—=cos—,

2222

贝吟am,则与-解得与则

5e（0,71）,cos0,sin=1,g=

222263

所以S=—acsinB="=6，贝Uac=4,

24

又a+cN2^^=4仅当〃=c=2时等号成立,

根据余弦定理得b=J.?十。2—2a?cosi?，即Z?=y/a2+C1—ac，

设△ABC的周长为C,则JABC=a+c+J（a+c）2-3ac=（a+c）+,（a+c、-12,

设a+c=/N4,则/⑺=/+Jr_]2,

根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：/⑺在[4,+。）上为单调增函数，

故/⑺官=/（4）=6,故（、.）皿=6,当且仅当。=6=。=2时取等.

故选：B

2.（2023・陕西商洛•统考二模）在YABCD中，已知E为3c的中点，AB=®BE=1,贝!JcosNAED的最小

值为（）

1112

A.-B.—C.-D.—

2343

【答案】A

【详解】在AABE中，由余弦定理得AE2=BE1+AB--2BE-ABcosB,

在△DCE中，由余弦定理得MBEZ+ABJZBE.ABCOSC,

又5+。=兀，所以cos_B+cosC=0,所以+=2^BE2+A62）=8,

所以24£・。石44石2+。£2=8,当且仅当AE=Q£=2时，等号成立,

在VAD石中，AD=2

,,/―八AE2+DE2-AD241

由余弦定理得cosZAED=----------------------->—=—,

2AEDE82

所以cosZAED的最小值为1.

3.（2023•青海・校联考模拟预测）在锐角j4BC中，内角A,B,C所对应的边分别是。，b,c,且

2csin（B-A）=2«sinAcosB+&sin2A,则上的取值范围是

【答案】（L2）

【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得

2sinCsin（B-A）=2sinAsinAcosB+sinBsin2A

=2sinAsinAcosB+2sinBsinAcosA=2sinA（sinAcosB+sinBcosA）

=2sinAsin（A+B）,

因为OvCv'，兀一C=A+5,所以sin（兀一C）=sin（A+_B）=sinCwO,

可得sin（5-A）=sinA,

因为0<A〈二,OvB〈二，所以一女<5—Av巴，

2222

所以3=2A,C=TI-3A,

JIJIJIJi

由0<5=2A<—,0VC=TI—3A<—可得一<A<一,

2264

所以,<COSA<¥，1<COS2A<|,

由正弦定理得£=皿sin3Asin（2A+A）sin2AcosA+cos2AsinA

asinAsinAsinAsinA

=2cos2A+cos2A=4cos?A-1G（1,2）,

故答案为：（1,2）.

【题型二】最值与范围：角与邻边

三角形中最值范围问题的解题思路：

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化

为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。

涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时

可以利用余弦定理进行转化.注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边

的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大

典例剖析

A+C

1..在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知asin-------=bsinA.

2

（1）求角B：

（2）若为锐角三角形，且c=2,求面积的取值范围.

【答案】（1）8=60。；（2）

A-i-cA+r

【详解】（1）由题设及正弦定理得sinAsin=sinBsinA因为sinAw。，所以sin=上=sin8.

.—r/曰.A+CB,,B.BB

由A+B+C=180°,可得sin-------=cos—,故cos—=2sin—cos—.

22222

B5]

因为cos—wO,故sin—=一,由0°v5V90-=60°.

222

（2）由题设及（1）知AABC的面积SABC=@P.由正弦定理得°=期4=浊变二^=芭-+1.

“'Re2sinCsinCtanC

由于为锐角三角形，故0。<4<90。，0°<C<90°,由（1）知A+C=120。，所以30。<。<90。，

所以

i^tanO—3,^—2<SAZ.A/BiDVC<2y，/3.

因此,△ABC面积的取值范围是

2.在AABC中，设A,B,C所对的边长分别为。，b,c,且（c—b）sinC=（a-b）kinA+sinB）.

（1）求A；

（2）若6=2,且A"。为锐角三角形，求AABC的面积S的取值范围.

【答案】（1）A=《；（2）.

J1/

222

【详解】(1)(c-Z?)sinC=(6Z-Z?)(sinA+sinB)(c-b)c=(a-b)(a+b)：.c-Z?c=a-Z?

K71

a2=b2+c2-be,而a2=b2-^-c2-2Z?ccosA**.cosA=—,Ae(0,7i)A=—

23

2sinC1,y/32sinC/rsin(A+B)

⑵修&-，——1S/\ABC=-bcsmA=---------=73---------

sinBAA5C22sinBsin8

下cosB+5sm3=(百©os%1］工△相€?为锐角三角形.・.且0<C<g即

sinB12sinB2J22

八2乃八乃

0<------B<—

32、

.71G71COSBfV3

：.—<B<----------------G+92,26.

62sin5Q园.•号I；

3.已知AABC为锐角二角形，角A,8,C所对边分别为"c,AABC满足：sin2Asin2B+sin2C—sinBsinC.

（1）求角A的取值范围；

（2）当角A取最大值时，若AB=框,求AABC的周长的取值范围.

【答案】（1）[0,|；（2）性<3+3局.

7

【详解】

2_

^22兀

(1)由正弦定理可得：a2^b2^c2-bc,^b2+c2-a2>bc,.'.cosA=->-,又Ae0,1，」.A的

2bc22

取值范围为]呜；

BC_AC_V3

JTBCACAB

（2）由（1）知：A=y;由正弦定理得：石sin3sinC，

sinAsinBsinC

2

熹’心今冷Be周长人包喑泻

3+2^3sin

3+3cosC+J^sinC3\/33cosC+1,

/.L=5/3+6+--------------------------=-------1----------------

2sinC2sinC22sinC

c2九厂冗

Q<B<-0<C<—

2327171

•「△ABC为锐角三角形，二•，即,解得:—<c<—,

62

0<C<-0<c<

2l

cosx+1-sin2x-cosx(cosx+l)-1-cosx

令〃尤）=，则广（x）=

sin%sin2xsin2x

71717171

当工£时，r（x）＜o,••j（x）在上单调递减,

.•」<X^<2+G...1±"Z<3+35

smC2

即A^C周长的取值范围为若叵,3+3右

名校模拟

1.(2023•山东潍坊•校考模拟预测)在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,6,c.已知6+c=2“cos3.

TT

(1)右5=在，求A；

⑵求1----------A----------L的取值范围.

ac

【答案】⑴B

O

(2)(1,2)

【详解】(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcos_B,又sinC=sin(A+_B),

得sinB=2sinAcosB—sin(A+5),

sinB=2sinAcosB-(sinAcosB+sinBcosA),

sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),

所以5=A—5或兀-5=A—3,

得A=23或A=/(舍去),

若八？则A哈

12

(2)S+c+Q)3+c-Q)_(0+C)2-Q2(b+cf-(b+c-2Z?ccosA)2Z?(l+cosA)

acacaca

由正弦定理，得2b(l+c.)=2sin2(l+cosA),

asinA

由(1)知A=23,得空空(3L23型,

sinAsin2B

又cos23=2cos2B—l,sin2B=2sinBcosB,

2sinB(l+cos2B)2sinB-2cos2B八

所c以-------------1=------------------------=2cosB,

sin2B2sinBcosB

即S+c+a)(6+ci)=2c°s8,

ac

ffffA+B-3B<7i,所以得COSBE],4],

故2cos5w(1,2),即0+c+"+c-叽a2).

ac

2.(2023•重庆•统考模拟预测)如图所示，已知圆。是AABC的外接圆，圆。的直径3。=2.设5C=a,AC=b,

AB=c,在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题,

①tanC•仅一6csinA)+6c­cosA=0；

(2)2cosC+cosA=(2sinC-sinA)-tanA；

⑴求万的值；

⑵求△ACD的周长的取值范围.

【答案】⑴6

【详解】(1)若选①，因为tan。•仅一J5csinA)+疯:-cosA=。，

由正弦定理可得里・卜in5—J5sinCsinA)+百sinCcosA=0,

显然sinC>0,所以sinB-A/3sinCsinA+百cosCeosA=0,

即sin3+J5cos(C+A)=0,所以sin5-gcos5=0,所以tan3=J5,又5W(0,TT),所以3

因为△ABC外接圆的半径H=l,所以Z?=2HsinB=g.

若选②,因为2cosC+cosA=(2sinC-sinA)-tanA,

所以2cosc+cosA=(2sinC-sinA)•包匹•,

cosA

即2cosceosA+cos2A=2sinCsinA—sin2A,

所以2cosceosA—2sinCsinA=—sin?A—cos2A,

所以2cos(C+A)=—l,所以cosB=；,又3w(O,7t),所以8=(

乙J

因为44BC外接圆的半径R=l,所以6=2Rsin8=g.

若选③，AABC的面积为¥(/+。2一〃)，贝”=；acsinB=¥(a2+c2-

由余弦定理可得储+/一)2=2〃ccos3,所以gacsinB=T~〃ccosB,所以tanb=6，又5w(0,兀)，所以

B=g

因为用4BC外接圆的半径R=l,所以6=2RsinB=JL

27t71

(2)由题知NAT>C=—，设NC4D=。，0<a<-,

33

♦C_AD_CD_g_2

由正弦定理sinZADC-sinZACD-sinZCAZ)—京互―，

smT

所以CD=2sina,AO=2sin[g—a),

所以QACO=G+2sina+2sin;J--a

=^3+2sin(2+2sin—costz-2cos—sina

33

+sin<2+\/3cosa+2sinS+—,

郴3

因为0<a(工，所以二<a+三〈竺，所以且<sin[c+C]41,

33332I3j

所以QACD?(2指，省2*

3.(2023・河北唐山・统考二模)已知AABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,2sinAsin8cosC=sin2c

⑴求之了的值；

c

(2)若c=2,求AABC面积S的最大值.

【答案】⑴2

⑵G

【详解】(1)因为2sinAsinBcosC=sin?C,由正弦定理得，2abcosC=c2

+ly22222

由余弦定理得，2ab--~-=c,a+b-c=c

2ab

整理得伫Q=2；

c

12I4~

(2)因为S=["sinC,因为c=2,由(1)可得cosC=丁，贝人由。=Jl—3.，

2abVab

又2c2=8="+〃2即而44,当且仅当a=Z?时等号成立.

于是S=-Va2^2-4<-V16-4=V3

22

所以S的最大值为百.

【题型三】范围与最值：有角无边型

典例剖析

1.三角形ABC中，已知sin'A+sin'B+sinAsinBusinZC,其中，角A、B、。所对的边分别为出b、

（I）求角C的大小；

a+b

（II）求。的取值范围.

r2〃a+62百

【答案】（I）3；（H）。3.

【解析】

试题解析：（I）由正弦定理得：a1+b1-c1=-ab

21

cosC-.................=—

由余弦定理得：2ab2"3"

a+bsinA+sinB2rr..八、

------=----------------=73(zsinA4+sinB)

(II)由正弦定理得：。sinC3

A+B=-:.B=--A

又3,3,

/.sinA+sinB=sinA+sin(----A)=sin(AH——)

7i.7i27r

0<A<-<A+—<—

而3,333

2.在锐角三角形ABC,若9-b+c)(a+b+c)=3ac

(I)求角B

(II)求百sinA+cosA的取值范围

［答案］(I),6=6。°；(ID<2sin(A+30°)<2

［解析］⑴3-'+c)(a+b+c)=3ac

222

D_tz+c-b_ac_1

化简得。2+T一/c°s8==亚=5...5=60。

,/73sinA+cosA=2(——sinA+—cosA)=2sin(A+30°)

(II)22由三角形ABC为锐角三角形,

••・5=60°,二A+C=120°,二C=120°—A0。<A<90°且0°<120°-A<90°

解得30°<A<90°,;.60°<A+30°<120°sm(A+30°)1

73<2sin(A+30°)<2

3.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA

(I)若°=3如，c=5,求b

(II)求cosA+sinC的取值范围.

【答案】(I)b=币;(II)

【解析】

.八1

smB=—

(I)由"=26sinA,根据正弦定理得sinA=2sin3sinA,所以2,

B=-

由△ABC为锐角三角形得6.

根据余弦定理，得62=〃+c2—2occosB=27+25-45=7.所以，

cosA+sinC=cosA+sin-

I6

(II)

=cosA+sinf—+A|=cosA+—cosA+^-sinA=乖sin(A+—

<6>22I3人由△ABC为锐角三角形知,

K.71717171712兀.n711­|A.71V

A>BoBn==———<A+—<——sinA+—<--

2--------2------,2--------263.336,所以212.

旦石sin[A+0<与出

由此有213J2,所以cosA+sinC的取值范围为I2幻

名校模拟

1.(2023•青海西宁•统考二模)在AABC中，内角A氏C的对边分别为。，b,c,且QbsinC=ccosB+c.

⑴求角8的大小;

(2)若5=3,D是边AC上的一点，且CD=2AD,求线段的最大值.

【答案】(1)5=1

(2)1+73

【详解】(1)因为6bsinC=ccosB+c,由正弦定理得不sinBsinC=sinCcosB+sinC,

又Ce(0,7i),所以sinCwO,

所以gsinB=cosB+1,即>/§sinB-cosB=1,sin^B--^j=—,

又3«0,兀),

所以2-储(一3当，所以BJ4,所以B=g；

6<66J663

♦3二AC二3月

(2)在&4BC中，由正弦定理得sinC—sin/ABC一.兀一~，

sm—

3

所以AB=2瓜inC=2氐皿[A+]]

因为CD=2A£),所以AZ>=1,C£)=2,

在△ABD中，由余弦定理得—2AB.AQCOSA

=2百sin(A+m)[+1-2x2^sin+cosA

]—cos2(AH—1/r-、

=12x-----------------+1-4\/3—sinA+——cosAcosA

2b2J

=7-6f--cos2A--sin2A>|-473f-sin2A+—x1+COs2A

122J(422J

=4+2Gsin2A,

所以(瓦叫a=4+2百，当且仅当sin2A=1,即A三时，等号成立，

所以841K="+2小=1+6,即线段3。的最大值为1+百.

2.(2015•甘肃兰州•统考一模)己知在AABC中，角A民C所对的边分别是a,",c,且£「三

V3cosAsinC

⑴求A的大小；

(2)若〃=6,求Z?+c的取值范围.

【答案】⑴*

(2)(6,12]

【详解】(1)根据屋4=~£7,由正弦定理得詈d=当，

，3cosAsinC，3cosAsinC

整理得sinA=J^cosA,BPtanA=^3,

又Ae(O,7i),所以A=g；

即A的大小为g.

q上=9=46

(2)因为sinAsinCsinB^3,

~2

2JI

所以6=4Gsin3,c=4GsinC,又4+5+。=兀，所以。=7一5；

所以0+c=46sin3+46sinC=4GsinB+sinTI-

=IsinB+cosBsin2兀一sinBcos—兀|

I33)

=4^3—sinB+^-cosB

(22J

二12sin^B+^

2兀

又因为0<2<3，

则?<8+3冷，所以葭sin[fi+/vi(当且仅当8=9时，等号成立)，

6662<6J3

可得6+c=12sin^B+^e(6,12],

即6+c的取值范围是(6,12]

3.(2023・广西・统考一模)在“U5C中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足(b+2a)cosC+ccosB=0.

⑴求C；

⑵若角C的平分线交AB于点。，且8=2,求2a+6的最小值.

兀

【答案】(l)c=g2

⑵6+4夜

【详解】(1)因为(b+2〃)cosC+ccosB=0,

由正弦定理得(sinB+2sinA)cosC+sinCcosB=0,

即sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosC,

所以sin(_B+C)=sinA=-2sinAcosC,

又A«0,兀)，贝！JsinA>0,

所以cosC=——,

又因Ce(O,?i),所以C=?；

(2)因为角C的平分线交AB于点。，

TT

所以/ACD=N2C£>=g,

12元]7117T

由^AABC=SAACD+SgcD，得3absin—=—CD-bsin—+—CD-tzsin—,

22

BP2aJt-2b=ab,所以一+—=1,

ab

贝！J2a+b=(<2a+b^\—+—\=\6-\-----1--I>6+2J-------=6+4,2,

当且仅当呸=4?/7,即6==2夜+2时取等号，

ab

所以2a+6的最小值为6+4及.

【题型四】图形：内切圆与外接圆

外接圆:

1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形

斜边中点上。

钝角三角形外心在三角形外。

2.正弦定理：-J=-J=-J=2R,其中R为外接圆半径

sinAsinBsinC—―

内切圆：等面积构造法求半径

„1/2sA

SA=—(a+b+c\rr=-----——

A2''a+b+c

O

B

典例剖析

1.锐角△ABC的三个内角是A&C,满足卜缶23+$皿2。一5山24卜41124=0111&由。.

⑴求角A的大小及角B的取值范围；

⑵若AABC的外接圆的圆心为。，且丽•玩=；,求方•（而+六）的取值范围.

【答案】（1）A=*角8的取值范围为序。

（2）一2一也,一1]

⑴设△A6C的外接圆的半径为尺，因为卜由25+5足2。-5m24,3114=5111&皿。，由正弦定理可得sinA=2,

27?

sinB=—,sinC=—,所以伍,一片H刷=bc,又cosA=：+c，tanA='融"所以sinA=♦,

2R2R\'2bccosA2

因为Ae(0,—),

所以A=J,因为AABC为锐角三角形，所以0<8<W，W<A+8<万，所以工<B〈工，

62232

所以角8的取值范围为

⑵由已知。为AABC的外接圆的圆心，所以网=|词=函=尺，因为4=2，所以48℃=2*菅=5，

又两无=!■，所以画•〔■cos4BOC=；，所以RxR*g=g,所以R=1,设NAOC=。，则ZAOB=,-。,

乂zL4OC=2N_B,所以6e1—^―,所以OA,(AB+AC)=OA-(O8—OA+OC—OA)

=OAOB+OAOC-2OA

=1x1xcosf——0^1+1x1xcos0-2=—cossin6,+cos0—2=—cos^--^-sin^-2

(3J2222

(r-\/\因为夕")，所以+

=A^^cos6>-|sin(9-2=V3COS^+-^|-2

走，所以（）〈次•（荏+衣）＜-：,所以画•（荏+/）的取值范围为

所以—iwcos[e+?)〈一-2+6

22

一2一回：.

2.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且asin---=Z?sin(B+C).

⑴求2；

(2)若。=3,b+c=6,求AABC的内切圆半径.

【答案】(1)B=三;(2)B.

32

A-\-C

【详解】(1)根据题意asin-^=》sin(3+C),且A+5+C=»,

sin‘+'=sin——,sin(B+C)=sin(^--A)=sinA,

JT——R

由正弦定理得SinAsin^—=sinBsinA,

BBB

因为OvAv乃，故sinA>0,BPcos—=sinB=2sin—cos—,

222

•：0<B<7i,0<-<-,Asin-=-,即0=&，B=-.

2222263

a2+c2-b21

cosBD=---------=—

2ac2a=3

（2）由题意可得：■b+c=6,解得:b=3

a=3c=3

iia

设AABC内切圆半径为"，；.S^c=—acsinB=—(a+b+c)r=-r,

又SAABC=彳。。$1112=gsin7，解得r=，；.AABC内切圆半径r=

22322

3.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，已知匕=4,c=2,>sinC=sinJB+sin(A-B).

(1)求角A和边。的大小；

(2)求4ABC的内切圆半径.

【答案】⑴A=]，a=2石⑵石-1

【分析】

(1)由sinC=sin5+sin(A-5)可得sin[兀一(A+3)]=sin5+sin(A-B),

sinAcosB+sinBcosA=sinB+sinAcosB—sinBcosA,2sinBcosA=sinB,

171

又;sin5W0,cosA=—,X0<A<TI,A=—.

23

由余弦定理可得Q?=b2+C2—2bccosA=16+4—2x4x2xcos^-=12,a=25/3.

⑵由(1)知々2+。2=>2,故4A5C为直角三角形，设^ABC的内切圆半径为厂.

由等面积法可知S.ABC，

即工22若=1(2+2括+4)»,解得：r=V3-l，

22

名校模拟

1.（2023•山东潍坊•统考模拟预测）如图，P为半圆（A3为直径）上一动点，OALOB,0A=@,OB=L

⑴当6=15。时,求尸。的长;

（2）当△APO周长最大时，求6.

【答案】（1）0

（2）30°

【详解】(1)在AABO中，OALOB,0A=百，(95=1,

0/540=30。，ZABO=60°,且。在以A3为直径的圆上,

0ZAPO=6O°,

在△APO中，ZPAO=45°,0A=6

OPnA

由正弦定理，解得0P=B

sin45°sin60°

(2)在△APO中，ZAP<9=60°,0A=6

由余弦定理，OA2=PA2+PCT-2PA-POCOSZAPO

即PA1+PO2-PAPO=3,

回(P4+PO)2-3P4•尸0=3,S3PA-PO=(PA+PO)2-3<3\^A^P°j,

当且仅当上4=P。时取等号，

0(PA+PO)2<12,0PA+PO<2A/3,

即当PA=P。时，△APO周长最大，此时/B4O=60。

回夕=60°-30°=30°.

2.(2023・河南•郑州一中校联考模拟预测)如图，已知锐角"RC为圆。的内接三角形，圆。的半径为R,

且BC=6R,aBAC的平分线交边BC于点。，且点。为边BC上靠近点8的三等分点，AD=6,则AABC

【详解】因为3C=6R,所以根据正弦定理，得sin/&1。=生=虫,

2R2

TTTT

又因为/BAC为锐角，得NR4C=—,由题可知NR4O=NC4D=一,

36

i-ABADsin-

m、L1rr*r、i'△ABD1化简得m

因为而w所以一:即^-----------

214-4C.兀

-AC-AD-sm—

26

设A8=%,AC=