高考数学专项复习：切线问题

专题3:切线问题

.............................°。〈专题综述》>6.............................

应用导数的几何意义探究函数的切线问题高考考查的热点，常见题型有求切线方程、探究切线的条

数、由切线方程或切线方程的条数求参变量的值或范围、公切线问题，公切线问题是2022年高考的新题

型之一.

.............................。<«专题探究>>>。.............................

1.切线的定义：在曲线的某点A附近取点B,并使B沿曲线不断接近A,这样直线AB的极限位置就是曲

线在点A处的切线.

2.函数f（久）在点xo处的导数了（回）的几何意义是在曲线y=f（x）上点（须，/Uo））处的切线的斜率（瞬时速度就

是位移函数s⑺对时间f的导数）.相应地，切线方程为y—八项）=/（项）（尤一沏）.

3.求曲线切线方程的一般步骤：（1）求出y=/（久）在x=久。处的导数，即y=/（X）在点PQoJOo））处的

切线斜率（当曲线y=/（x）在P处的切线与y轴平行时，在P处导数不存在，切线方程为刀=久。）；（2）

由点斜式求得切线方程y-y0=f'（x）•（%-

4.对于两个（或两个以上）函数的两条切线重合时，称该切线为两个（或两个以上）函数的公切线即：对

于函数y=/0）和y=g（x）,若直线/既与曲线y=/（£）相切，也与曲线y=g（x）相切.则称直线I为函数

y=f（x）和y=g（x）的公切线.

函数公切线问题，一般最后转化为方程的解的个数问题，然后转化为函数的零点个数问题，因此解决

函数公切线问题，充分应用“转化与化归”的思想和“函数与方程”的思想；公切线问题的实质是导数几何意

义的综合应用，将曲线间的位置关系转化为函数的单调性、凹凸性、极（最）值、零点等，然后通过运算

求解或推理论证而解决问题；解决公切线问题至少有三种思维切入方式：①利用两切线重合；②构造函数，

转化为函数的最值；③凹凸反转，利用切不等式放缩.

〉题型一：公切线问题

♦解题策略

题设情境是两常系数函数公式条数的探究及求公切线方程，因此分别设函数的切点坐标，求得相应的切

线方程，利用公式的几何特征即两函数的切线为同一直线，因此联列方程组消元后得到关于其中一个切

点模坐标的方程，然后应用导数和零点定理讨论方程解的个数，求方程特殊根相应的切线方程.

⑥典例精那

例1已知函数/'（久）=-2,g（x）=41nx-2（a〉0）.则函数/（久）与g（久）的图象是存在公切

线，其中一条公切线的方程为.

【思路点拨】

由函数f（x）与g（x）的图象存在公切线，设公切线与函数〃久）=K2一2、g（x）=4仇久-2上的切点分别为

（久1，久21一2）,（%2,41nx2-2）,由导数的几何意义分别求得切线的方程，由公切线的意义及两直线重合的

条件列方程组，消元后将问题转化为—41nxi+41n2—4=0（/>0）有解，构造函数m（x）=x2-

41nx+41n2-4,(%>0),根据导数研究函数的单调性，可判断函数根(%)在(0,+8)上有两个零点，函

数/(%)与g(%)的图象存在两条公切线，结合根(2)=0,=2,可得其中一条公切线的方程.

【规范解析】

由题设函数/(%)与9(%)的图象存在公切线，

设公切线与函数/(%)=/一2、g(%)=4仇％-2上的切点分别为一2),(%2,41n%2-2),

因为/''(%)=2x,g'(x)=p

4

所以切线的方程分别为y—(/i-2)=2x(x-x),y-(41nx-2)=—(x-x).

112x22

，4

即y=2%]%——2,y=—x+41nx2~,6,由题意可得1，

2

"2{—x1—2=41nx2—6,(2)

则%2=—>0,可知>0,将%2=工代入(2)可得久21—41n%i+41n2—4=0,

xixi

函数/(%)与g(%)的图象存在公切线，贝I」/]一41n%i+41n2-4=0(%i>0)有解，

22

设m(%)=x2-41nx+41n2-4,x>0得M(%)=2%-：=^~X

当0<%〈迎时，m'C%)<0,函数m(%)单调递减；当%>或时，mz(x)>0,函数m。)单调递增，

因为m(夜)=21n2—2V0,7no=.+41n2>0,m(e)=e2+41n2—8>0,

所以函数m(%)在(0,+8)上有两个零点，则函数/(%)与g(%)的图象存在两条公切线，

2

因为m(2)=0,%】=2代入y=2xrx—xr—2,

可得其中一条公切线的方程为4%-y-6=0.

机要式训练

练1(2024•河北省•模拟题)已知直线小、=%+5为曲线/(%)=短的切线，若直线，与曲线gQ)=—+

也相切，则实数租的值为.

【规范解析】

设直线/：y=x+b与曲线/(%)=e"相切于点(%(),e”。),

由/'(%o)=ex°=1,得久o=0,

所以切点坐标为(0,1),所以直线，的方程为：y=x+lf

又由直线/与g(%)相切，得一?％2+mx-|=x+1有且仅有一个解，

化简得：x2—2(m—1)%+9=0,

则4=4(ZH-1)2-4x9=0,

解得：m=4或m=-2.

故答案为4或-2.

练2(2024•湖南省•模拟题)已知函数/(久)=ax3+3%2—6ax—11,g(%)=3x2+6%+12和直线TH：y=

kx+9,且/'(-1)=0.

(1)求。的值；

(2)是否存在k,使直线相既是曲线y=f(%)的切线，又是曲线y=g(%)的切线？如果存在，求出k的值;

如果不存在，请说明理由.

【规范解析】

(1)由已知得((%)=3a%2+6%—6a,

因为r(-1)=0,

所以3a—6—6a=0,

所以a=-2.

(2)存在.由已知得，直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(%)的切线，

则设切点为(%0,3工a+6%0+12).

因为g'(&)=6x0+6,

所以切线方程为y-(3%+6x0+12)=(6x0+6)(%-x0)»

将(0,9)代入切线方程，解得久o=±l.

当&=一1时，切线方程为y=9；

当狗=1时，切线方程为y=12%+9.

由(1)知/(%)=-2/+3%2+12%-11,

①由/。)=0得一6/+6%+12=0,

解得久=-1或%=2.

在％=-1处，y=/(%)的切线方程为y=-18；

在％=2处，y=/(%)的切线方程为y=9,

所以y=/(%)与y=g(%)的公切线是y=9.

②由「(久)=12得一6/+6%+12=12,

解得久=。或％=1.

在％=0处，y=/(%)的切线方程为y=12x-11；

在％=1处，y=/(汽)的切线方程为y=12%—10,

所以y=/W与y=的公切线不是y=12%+9.

综上所述，y=/(%)与y=g(%)的公切线是y=9,此时k=0.

)题型二：含参变量的切线问题

♦解题策略

题设情境是讨论三次多项式型函数单调性和极值，已知函数切线条数求参变量的取值范国.第(1)问应

用导数研究函数单调性和极值的基本方法，通过分类与整合思想求解；第(2)应用导数的几何意义求得

过点P的切线方程,应用参变分离方法和数形结合思想,探究存在三条切线的充分条件,从而求得实数小的

取值范围.

♦两的精的

例2已知函数/(无)=|x3—|ax2+(a—l)x+2(aGR).

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若函数f(x)满足/'(久)+f(-x)=4,且过点P(l,ni)(mH可作曲线y=f(%)的三条切线，求实数

小的取值范围.

【思路点拨】

第(1)问由题设求得/(久)=/—ax+a—1=(x—l)(x-a+1),由((x)=0可知得x=1或x=a-

1两个根，然后a-1与1的大小关系分类讨论函数f(x)的单调性，便可得到函数/(©的极值；第(2)问

首先由/(X)+/(—%)=4求出参数a的值，从而可求得过点P的切线方程y—©琮-殉+2)=

(以一1)0-*0)，由切线过点P(I,M)得机=一|琮+以+1，构造新函数g(x)=—|刀3+/+1,应用

导数研究函数g(x)的性质，借助函数g(x)的图象推导曲线y=f(x)有三条切线时，求实数小的取值范围.

【规范解析】

(1)((%)=x2—ax+a—1=(x—1)(%—a+1),令/'(%)=0得%=1或%=a—1,

①若a-1=1,即a=2,则尸(%)=(%-1)2之0,/(%)在(一8,+8)上单调递增，无极值；

②若Q—1>1,即a>2,则当汽<1或%>a—1时，/'(%)>0；当1V%<a—1时，/'(%)<0,

故/(%)在(一8,1)和(a—L+8)单调递增，在(1,。一1)单调递减，极大值为"1)=(。+/

极小值为/(a—1)=—'a?+\口)

oZ3

③若a—1<1,即a<2,则当％<a—1.或％>1时，/'(%)>0；当a—1<%<1.时，/(%)<0,

/(%)在(一8,@-1)和(1,+8)单调递增，在(Q—1,1)单调递减，

极大值为f(a-1)=一｝。3+小_|a+1，极小值为/(l)=

综上可知，当a=2时，/(x)的单调递增区间为(-8,+8),无单调递减区间，无极值；

当a>2时，/(x)的单调递增区间为(—8,1)和(a—1,+8),单调递减区间为(1,a-1),

极大值为/(I)=+[,极小值为f(a—1)=—^a3+a2-|a+f；

ZJo23

当a<2时，f(%)的单调递增区间为(一8«-1)和(1,+8),单调递减区间为(a—LI),

极大值为f(Q-1)=一：。3+小_|q+1,极小值为/(l)=1a+i

oZ3Z3

⑵由/(%)=|x3—1ax2+(a—l)x+2,/(%)+f(—x)=4,

可得a=0,所以/(%)=|x3—%+2,/'(%)=%2—1,

设曲线y=/(%)与过点P(Lzn)(mH§的切线相切于点1。,加一汽o+2),

则切线的斜率为k=诏一1,所以切线方程为y-C就一&+2)=(就-1)(%-%0),

因为点尸(l,m)HJ在切线上，

3

所以TH-Q%0一％o+2)=(%Q-1)(1一%0),即TH=-|%o+就+1,设g(%)=-|%+/+1,

过点尸(1,瓶)(mH可作曲线y=/(%)的三条切线，即y=m与g(X)的图像有三个交点，

因为g'(%)=—2x2+2%=—2x(x—1),令g'(x)=0,解得%=0或%=1,

所以当(％V0)或%>1时,grM<0；当0V%<1时，“(X)〉0,g(%)在(—8,0)和(1,+8)上单调递

减，在(0,1)上单调递增，g(x)的极小值为g(0)=l,极大值为9(1)=%

则g(x)的大致图像如下：

4

<m<-

从而由y=m与g(%)的图像有三个交点，可得13

所以实数m的取值范围是(1怖)

♦》变式训练

练3(2024•福建省三明市•月考试卷)已知函数/(%)=—短+2久2一久，若过点P(l,t)可作曲线y=f(x)的三

条切线，贝亚的取值范围是()

A.(0,京1)B.(0喘1)C1.(0,击)1D.(0i)

【规范解析】

设过点尸的直线为Ly=k(x-1)+3

r(x)=-3%2+4%-1,设切点为(％o，y()),

则1-3鬲+4x0-1=k

、(/c(x0—1)+t=—XQ+2%Q—x0'

得t+1=2就-5就+4出有三个解，

令g(%)=2x3—5x2+4%,g'(x)=6x2—lOx+4=2(%—1)(3%—2),

当g'(%)>0，得久>1或％<I，g'(%)<0,得|<x<1,

所以9(%)在(—8,1),(L+8)单调递增，(I，1)单调递减，

2羿g⑴=1,g(x)=t+1有三个解,

,3

得1<t+1<招，即0<t<

故选：D.

练4.(2025•湖北省•模拟题)若过点P(l,TH)可以作三条直线与曲线C:y=%峭相切，则根的取值范围是()

*0

A.B.C.(0,+oo)D-(W.

【规范解析】

・•・曲线C：y=xex•••y，=(%+l)ex,

xx

・,・过点(%o，&e&)的切线方程为y=(x0+i)e°x-x^e°9

••・该切线和％=1的交点纵坐标为(一瞪+%。+l)ex°,

•.,函数/(%)=(―%2+%+l)ex,

・•・函数/(%)=(-%2+%+和直线y=m的交点个数,

即为过点(1,血)的切线条数，即为原题过点尸和曲线C相切的直线条数,

•・,/'(%)=—(%2+x—2)e*=—(%—1)(%+2)ex,

・•・当％e(-8,-2)时，［(久)<0,函数/(%)递减,

当无£(-2,1)时，f(x)>0,函数/(%)递增，当％6(1,+8)时，f(%)<0,函数/(%)递减,

・•・函数f(%)图像如下:

・•・函数/(%)在汽=-2处取得极小值，在％=1处取得极大值,

2)=—爰，/⑴=e，又/(0)=1，XT+8时，/(X)<0,

故选：A.

练5(2024•四川省雅安市•模拟题)已知函数f(x)=等，其中aGR.

(1)当a<0时，求/(%)的单调区间;

(2)当a=1时，过点(-1,爪)可以作3条直线与曲线y=/(x)相切，求小的取值范围.

(1)由/(%)=©x，。<。,

【规范解析】

aex—(ax+l)exa—l—ax

得/⑺=

~e^-嬴-

令—(%)>0,得久>/-;令/'(%)<0,得X<

(2)当Q=1时，((%)=矍,则/⑺=—9

%o+i

设切点为［0,得)，则［(X。)=—需=雷；

化简得爪="号+1,

因为过点(-1,6)可以作3条直线与曲线y=f(x)相切，

所以方程.^有三个不同的实根，

设。(久)=匚詈里，则直线y=ni与函数y=g(x)的图象有三个公共点,

而欧乃=守，

令g'(%)>0,得令g'(x)V0,得％V-1或久>1,

所以函数9(%)在(-8,-1)和(1,+8)上单调递减，在上单调递增,

易知9(一1)=0，9(1)=%且%>0时,g(x)>0,

画出直线y=血与函数y=g(%)的大致图象，如图,

要使直线y=血与函数y=g(%)的图象有三个公共点，贝依<m<^,

)题型三：利用切线放缩证明不等式

♦解题策略

题设情境是讨论含参变量函数的单调性,证明常系数不等式和与函数零点相关的不等式.第(1)问应用导数

研究函数单调性的基本方法，通过分类与整合思想求解；第(2)问等价变形不等式,应用数学抽象构造函

数,应用导数研究函数最值的基本方法求函数最值而证明不等式;第(3)小问借助研究问题的整体性意识，

由第(2)问求解启示,应用切线放缩技巧证明，即利用函数在某点处的切线位于函数下方,从而直线y=爪与

函数的交点之间的距离小于直线y=根与两切线的交点之间的距离.

⑥典例精那

例3已知函数/(%)=xInx—a(x—1),其中aGR.

(1)求函数的单调区间；

(2)当a=0时，①证明：/(x)>-x--

__-I

②方程f(%1)=/(%2)=血有两个实根第1，%2，且％2>X1，求证：X2-<1+—+2m.

【思路点拨】

第(1)问由函数/(%)=%①%--1),求得/(%)=1+,]-a,应用导数正负取值与函数单调性的

关系，即可求解函数/(%)的单调区间；第(2)问①证明不等式恒成立，通过构造函数g(%)=%)%+%+

*，求得g'(x)="x+2应用导数与函数最值的关系，求得函数g(x)的最小值即可证明；②根据函数的单

调性及极值点，数形结合判断方程有两个根的情况a的取值范围及两根的取值范围，联立直线、=-x-

与y=m,求解交点横坐标7，应用“切线夹”的技巧得血-与<g-犬，运用转化思想将证明不等

式刀2-乂1<1+a+2n转化证明不等式刀2-X’<1+*+26，构造函数/1(刀)=久—万)刀-

1,(；<X<1),应用导数求解函数□(%)的最值即可证明.

【规范解析】

(1)由已知函数的定义域为(0,+8),=1+Inx-a,

所以当%£(0,4一1)时,此时/'(%)<0,函数/(%)单调递减区间为(0,建一1),

所以当％W(e"T,+8)时,此时广(%)>0,函数/(%)单调递增区间为(eaT,+oo),

所以函数/。)单调递减区间为(0,?aT),单调递增区间为(4T,+8).

(2)当a=0时，①要证不等式/(%)2-%-/成立，即证明％仇％N-％-2成立.

即证明％Zn%%>0成立.令g(x)=xInx+x(%)=Inx+2

当无€(0,?-2)时，此时“(%)<0,当％E(?-2,+8)时，此时"(%)>0,

所以g(x)在(0,e-2)上单调递减，在(b2,+8)上单调递增

所以g(x)最小值为g(e-2)=o,g(x)>0恒成立，即一无-m无仇久恒成立得证.

②由①得久仇%>一%-2恒成立，即直线y=-％-2始终在曲线y=%仇》下方且有唯一切点，

又尸(%)=Znx+1,故f(1)=1,

y=x\nx

所以在点(L0)处的切线方程为y=%-1,\/=x・l

令t(%)=xlnx—%+1,贝加'(％)=Inx_______/»

所以当久E(0,1)时，此时«%)vo,函数wo单调递减区间为(0,1),J=nl-V--

所以当久e(1,+8)时，此时F(%)>o,函数力(%)单调递减区间为(1,+8),

所以t(x)>t(l)=0,即％仇%>X—1,

即直线y=x—1始终在曲线y=%仇工下方且有唯一切点;

设y=-己与y-x-1的图象与y=m交点的横坐标分别为%3/4，

贝UR=--m,x4=m+1,

所以％3<xr<x2<x4,即%2—V%4—%3=1+专+2m.

一变式训练

练6(2024•安徽省合肥市模拟)已知函数/(久)=讲-2,函数g(x)=等①6R)的最大值为

(1)求a的值；

(2)求证：(①)/(%)与g(%)的一条公切线过原点；(②)/(%)>g(%).

【规范解析】

(1)显然aH0,g'(%)=，由g'(%)=0得％=e,

若aVO当久c(0,e)时，g'(%)<0,g(x)单调递减;当％W(e,+8)时,g'(x)>0,g(%)单调递增.

g(%)没有最大值，不符合题意.

若a>O当久E(0,e)时，g'(%)>0,g(x)单调递增;当.W(e,+8)时,g'(x)<0,g(%)单调递减.

g(%)有最大值g(e)=故Q=2.

(2)0)由/(%)=靖-2,得/⑺=靖-2,设切点坐标为

切线为y—eX1~2-eX1~2(x—无力，即y=eX1~2x+(1—%i)e工厂2过原点,

所以(1-%i)e%L2=0,故久1=1,故切线方程为y=［久；

由(1)知g(x)=等，"(%)=汽粤

设切点坐标为(冷，等)，切线为丫-等=2d；产)(久_%2).

由切线过原点，得%2=近，故切线方程为y=；%.

所以/(%)与g(%)有一条公切线y=}%过原点.

(范)由(i)知要证/(x)>g(%),即证1一2>|x>q即e%>e%且/>2eln%(等号不同时成立)

令F(x)=ex—ex,x>0,F'(x)=ex-e,

当xe(0,1)时,F'(x)<0，尸(%)单调递减;当xe(1,+8)时,F(x)>0,尸(%)单调递增.

所以“x)min=F(l)=0,所以短2ex,当且仅当尤=1时取等号，

令G(x)="-2elnK,%>0,所以G'(x)=2x-空=返三色.

所以，当x6(0,孤)时，G'(x)<0,G(x)单调递减;当xe(血,+8)时，G，(x)>0,G(x)单调递增.

故G(x)min=G(Ve)=0,所以/>2elnx,当且仅当x=正时取等号.

综上，/(x)>g(x).

练7(2024•四川省成都市模拟)已知函数/O)=e，—2Y—(a+1)，9(乃=%2+(a-l)x—(a+2)

(其中e-2.71828是自然对数的底数)

(1)试讨论函数/0)的零点个数；

(2)当a>1时，设函数h(%)=/(%)-g(%)的两个极值点为久i、&且%i<%2，求证：e%2-eX1<4a+2.

【规范解析】

(1)由/(%)=0可得Q=ex—2x—1,令p(%)=ex-2x—1,其中第6R,

则函数/(%)的零点个数等于直线y=a与函数p(%)=靖-2%-1图象的公共点个数,

p'(x)=ex-2,令p'(%)=0可得久=ln2,列表如下：

X(—00,In2)In2(In2,+00)

p'(x)—0+

pM减极小值1一2"2增

如下图所示:

当。<1一2仇2时，函数/(%)无零点；当。=1-2仇2时，函数/(')只有一个零点；

当。>1一2仇2时，函数/(%)有两个零点.

(2)v/i(x)=/(%)—g(%)=e%———(a+i)%+1,其中X6R,

所以，叫-x-(a+l),由已知可得H(deX-2xL(a+l)=0,

h(%2)=c*2—2x2—(a+1)=0

上述两个等式作差得e“2-e%】=2(久2-%i)，

要证e%2—eX1<4a+2,即证％2—%i<2a+1,

因为p(0)=0,设函数p(%)的图象交工轴的正半轴于点(冷,0),则％3>上2,

因为函数p(%)在(近2,+8)上单调递增，p(l)=e-3<0,p(|)=£-4>0,•••久3E(L

设函数p(%)的图象在％=0处的切线交直线y=a于点4(*,a),

函数p(%)的图象在久=第3处的切线交直线y=a于点

因为p'(0)=-1,所以，函数p(%)的图象在％=0处的切线方程为丁=一%,

联立｛J二;可得｛1;二,即点4(一a,a),

构造函数??1(%)=p(x)+x=ex—x—1,其中％GR,则M(X)=ex—1,

当％<0时，mz(x)<0,此时函数m(%)单调递减，

当%>0时，m'^x)>0,此时函数m(%)单调递增，所以，m(x)>m(0)=0,

所以，对任意的久ER,p(x)>-%,当且仅当％=0时等号成立，

由图可知久1<0,贝Up(%i)=eX1—2/—1=a>—%i，

所以，X]>—CLf

因为p(%3)=e%3—2X3—1=0,可得e%3=2x3+1,

函数p(%)在％=的处的切线方程为y=(e*3-2)(%-x3),

联立/二("；]产一£),解得无=&+右=++如即点

B(/l+%3，a),

因为/+%3—S+1)=3—D(1-占)=(XL】：：：；一?。)<°,

所以，为=已+巧<。+1,

xxX3

构造函数九(%)=e-2x—1—(e*3—2)(X—x3),其中％GR,贝g(%3)=0,rf(x)=e—ef

当％<孙时，nz(x)<0,此时函数几(%)单调递减，

当%>冷时，当(%)>0,此时函数？1(%)单调递增,则九(%)>n(x3)=0,

X3

所以，对任意的％ER,p(x)>(e-2)(x-x3),当且仅当％=孙时，等号成立，

所以，p(%2)=短2—2右一1=。>(靖3-2)(%2—第3)，可得％2〈/公+%3=为，

因此，久2—％1V为一%：Va+1+a=2a+1,故原不等式成立.

.............................。《〈专题训练>>>"

1.(2024•江苏省南通市•模拟题)已知函数/(%)=%2+2%和g(%)=-x2+a,如果直线胴时是/(%)和g(%)的

切线，称，是/(%)和g(%)的公切线，若/(%)和g(%)有且仅有一条公切线，则。=.

【解析】

由/(%)=%2+2%得：/'(%)=2%+2；由g(%)=—X2+a得:g'(x)=—2x；

设/与f(%)相切于点4(%1，就+2/)，与g(%)相切于点8(欠2,-螃+a),

所以[的方程为y-(%i+2%i)=(2x1+2)(%-%])或y-(-%2+a)=-2x2(%-x2)»

即/的方程为y=(2/+2)x—赌或y=—2X2X+%,+%

所以｛?212%2+贝|2好+2/+1+a=0,因为/(%)和g(%)有且仅有一条公切线，

所以』=4—8(1+a)=0,解得：a=—

1

故答案为:2-

x+m2

2.(2024•安徽省合肥市模拟)已知曲线的：y=e,C2：y=xf若恰好存在两条直线直线"与

氢、。2都相切，则实数M的取值范围是()

A.(2仇2—2,+8)B.(2仇2,+8)C.(―8,2仇2-2)D.(—8,2仇2)

【解析】

设直线k：y=七%+%，=：y=+与，设h与。1、心的切点坐标分别为(%i,yi)、(%2,y2)，

%=e%i+m=2%2氏>0)(%1=lnkl_m

则有《七％1+瓦=短】+皿，可得(x2=^,

—X1+m

、七％2+bl=W(/c1(%2—%1)=%2e

故心(—―伍七+6)=彳_h，整理得：m=In%一三-1,

同理可得，当直线22：y=k2%+力2与Q、。2都相切时有：m=lnk2-^-l,

综上所述，只需血=仇女一号一1(々>0)有两解，

令f(k)=Ink_三_1,贝Ij/(k)=(一:=M，故当尸(k)>o时，0<k<4,

当广(k)V0时,fc>4,所以f(k)在(0,4)上递增,在(4,+8)递减，

故/(k)7na%=f(4)=/n4-^-1=2ln2-2,所以只需满足m<2In2-2即可.

4

故选c.

3.(2024•天津市月考)若函数/(%)=与函数g(%)=/+%+矶％<0)有公切线，则实数。的取值范

围是()

A.()》+8)B.(—l/+oo)

C.(1,+oo)D.(仇2,+oo)

【解析】

设公切线与函数f(x)=mx切于点4(右,Zn%!)(%!>0),f'M=p切线的斜率为言，

则切线方程为y—mXi=((%-X1),即丫=px+Znxi-l,

设公切线与函数g(%)=/+%+。切于点8(%2,慰+%2+a)(%2V0)，g'(%)=2%+1,

切线的斜率为2次+1，

则切线方程为y-(%22+%2+Q)=(2%2+1)(第一％2)，

1_2%_|_]

即y=(2&+1)%—+。，所以有X12，

2

Inxr—1=—x2+a

_ii

因为勺>0,所以20+1>0，可得一-<%2<0，0<2x+1<1,即0(一<1,

22

由V=2冷+1可得：尤2=?一也

所以a=InXi+Xo2_1=InX]+(-----)—1=—In—I—(---1)—1,

1z1

2/比14\xrJ

令t=—,贝£(0,1)fCL=—(^t—1)2—1—Int=———t—ITIt——,

设h(t)=it2-it-Znt-J(0<t<1),则口％)=工力_三_工=t-=(咱匕<0,

4/4、J22t2t2t

所以h(。在(0,1)上为减函数，则h(t)>h(l)=：—=-1,所以a>-L

所以实数a的取值范围是(-1,+8),故选B.

4.(2024嘿龙江省模拟)设直线4，%分别是函数图象上点B，22处的切线，

且乙与"垂直相交于点P，h,%分别与y轴相交于点力，B,则△P4B的面积的取值范围是()

A.(0,1)B.(O,(3T：2)Z)c((3T：2)2,+8)D.(1,+OO)

【解析】

设P1(汽1，Vl)，尸2(X21丫2)，。V%1V1V%2，

当0<%Vl时，/(%)=Inx,/'(%)=：;当％>1时，/(%)=—Inx,/'(%)=—：.

11

的斜率为七=二，PiCq,仇修)，♦的斜率为卜2=-不，P(x,-lnx),

X1x2222

由，1.与"垂直知七七=~2)=—1，即%i%2=1，

直线，1的方程为y-仇％1(%-%1),即y=2%-1+伍》1，则点+上％J,

xixi

XX

直线%的方程为y+近％2=~~(~%2)，即y=~~+1一"%2，由％2=；得丫=—XrX+1+仇％1，则

xX

%221

点8(0,1+InXi),所以=|(1+①％J-(-1+Inx1)\=2,

X1+lnX

联立直线方程[y=^-l；消去y得P点横坐标孙=玉，

X1

ly=-xrx+1+仇％i

12

所以△P4B的面积S=-|^F|.|xP|=不，o<%!<1,

1

因为对勾函数y=/+J在0<<1是单调递减的，取值范围为(2,+8),故U卫e(o,3，

xl1Xi

即s=—re(0,1).

故选：A.

2

5.(2024广东省♦联考题)已知函数/(%)=arx+a2,g(%)=f(x)—xsinx.

(1)证明：当3al=a2=3时，曲线C:y=(%+3)/(%)+恒*关于点(一1,8)对称；

(2)若P为曲线G，C2的公共点，且G，C2在P处存在共同的切线，则称该切线为Ci，。2的公切线.若曲线

y=g(%)与曲线y=-cos久存在两条互相垂直的公切线，求的,g的值.

【解析】

232

(1)当3al=a2=3时，令h(%)=(%+3)(%+3)+1g=%+3x+3%+9+

即/i(%)=(x+l)3+】g2+8,定义域为(-8,-2)U(0,+8),

所以/i(-l-x)+h(-l+x)=[(-x)3+IgEiTT+8]+(%3++8)

=[(一久)3+X3]+(1g言+1g舒)+16=16,

即h(—1—x)+h(—l+%)=16,

所以曲线C：y=(x+3)/(%)+1g魇关于点(—1,8)对称.

(2)设曲线y=g(x)与曲线y=-cosx的两条互相垂直的公共切线的切点的横坐标分别为%,%2,其公切线

的斜率一定存在，分别设为自，k2,则自电=一1，

因为(—cos久)'=sin%,所以sin%i•sinx2==—1,

不妨设simq=1,则=2/CTT+£Z),COS%[=0,sinx2=-1，cosx2=0，

因为自=g'(%i)=2a1x1—sin%1—%icos%i，

由公切线的定义得，2alzt-sin%1—%icos%i=sin%1，

所以的=--=77——(fc€Z),

1勺4kn+n'J

同理的=-2，所以工=一工，化简得，x1+x2=0,

X2x1x2

因为曲线y=-cos%上的点(%L-cos%】)也在曲线y=g(%)上，所以一•瓷-%isin%i+a=-cos%「所以

xi2

a2=0,

2

所以的=4卜7+兀(kWZ),a2=0.

6.(2024•湖北省襄阳市•模拟题)已知函数/(%)=(x2-l)e-x-a.

>2e-x,求a的取值范围；

(2)当。=一2时，记函数/(%)的两个零点为%1，汽2，求证：1%1-％21<|-2

【解析】

(1)易知f(%)的定义域为R,由/(%)>2?一%得a<(%2-3)e-x.

令。(%)=(⑤-3)e-x,则“(%)=(―%2+2%+3)e-x,

令。'(久)=0，解得％=-1,或久=3・

所以当%E(一8,-1)时,g'(x)<0,9。)单调递减；

当xc(-1,3)时，“(%)>0,g(%)单调递增;

当无£(3,+8)时，gr(x)<0,9(%)单调递减.

易知当％T+8时，9(%)-0,所以g(%)min=9(-1)=-2e，

所以a的取值范围是：(-8,-2e].

(2)证明：当a=—时，/(%)=(%2—l)e-x+p则/(%)=(2%—/+1)?一无.

令/'(%)=0,解得％=1-或1+V-2-

所以当久W(-8,1时，/'(%)<0,/(%)单调递减；

当%E(l—LZ1+C)时,f(x)>0,/(乃单调递增；

当％W(1+心,+8)时，/'(%)<0,/(%)单调递减.

易知当|%|>1时，函数/(%)=(%2-V)e~x+^>0,

且当％=-1时，/(-I)=其图象与y轴交于点N(0,—今，

函数/(久)的两个零点无1，汽2必在(-L1)之间，不妨设%1<%2.

由分析可知，不等式可通过切线放缩的方法证明，不妨在函数/(%)上取N(0,-今，

所以需要证明当-IV%VI时，函数/(%)在N(0,-今处的切线均在函数f(%)图象的下方.

易求函数/(%)在也一13),N(0,-手处的切线方程分别为y=-2e(x+1)+抑y=%-1,

所以证明当一1<xV1时，不等式一2e(%+1)+：</(%)和％</(%)成立.

@先证明当—1V%<1时，—2e(x+1)+2—/(%)<0成立，

即证2eQ+1)+(x2—l)e-x>0.令m(%)=2e(x+1)+(%2—l)e~x,

则MQ)=2e—(%2—2x—l)e-x=(2ex+1—x2+2%+V)e~x,

令九(%)=2ex+1——+2%+1,则"(％)=2ex+1—2%+2;

令(p(x)=2ex+1—2%+2,则d。)=2ex+1—2>0.

所以9(%)在(一1,1)上单调递增，所以9(%)>9(-1)=6>0,即〃(%)>0,

所以九(%)在(一1,1)上单调递增,所以九(%)>h(-1)=0,即？n'(%)>0,

所以m(%)在(—1,1)上单调递增，所以m(%)>m(—1)=0,

所以7n(%)=2e(x4-1)+(x2—l)e"x>0.

即当—1<x<1时，—2e(%+1)+1</(%)成立.

②再证明当一1V%<1时，％—2一/(%)40成立.

-11

令八1(%)=x---[(x2—V)e~x+-]=(1—x)[(x+l)e~x—1].

令九2(X)=(%+l)e~x—1,则为<%)=—xe~x,

当％W(TO)时,出'。)〉。，函数九2。)单调递增；

当％W(0,1)时,h2'(x)<0,函数电(%)单调递减；

所以当汽W时,/i2(x)</12(0)=0,此时1一%>0,

所以七(%)=x-1-/(%)<0,

所以当一1<%<1时，％—]4/(%)成立.

通过分析，可画出/(%)的大致图象，如图所示：

易得直线y=—2e(x+1)+?和y=x—g的零点分别为=-1+/，x]=寺，

则由图象可得出一%21V=?一(-1+也)=|一今.

7.(2024湖北省荆州市月考)已知函数/(久)=ex,g(x)=K+abix.

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)若a=l,直线/与曲线y=/(久)和曲线y=g(x)都相切，切点分别为「(/，乃)，Q(x2,y2),

求证：久2>

【解析】

(1)g(x)定义域为(0,+8),因为g'(x)=1+?=卓，

若aNO,则g'(%)>0，所以g(%)在(0,+s)单调递增，

若a<0,则当％6(0,-a)时，“(%)V0,当％e(-a,+8)时，g'(%)>0,

所以9(%)在(0,-。)单调递减，在(一+8)单调递增.

(2)证法一：对于曲线y=/(%),1(%)=e*,的==e%】，

X1X1X1X1X1

直线，的方程为y—yi=e(x—即y—e=ex—