等比数列的概念-2023学年高二数学考点复习（人教A版选择性）

4.3.1等比数列的概念

备注：资料包含：1.基础知识归纳；

考点分析及解题方法归纳：考点包含：等比数列的定义；等比中项；判断等比数列；等比数列的通项；等

比数列的性质；正项等比数列的对数成等差数列的应用；等比数列通项公式的指数函数特性；等比数列的

写单调性；等比数列中最大（小）项；利用等比数列通项公式求数列中的项

2.课堂知识小结

3.考点巩固提升

知识归纳

1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个

数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

（2）符号表示：—=q（常数）

an

2、通项公式

（1）、若等比数列｛%｝的首项是％,公比是q,则

（2）、通项公式的变形：①②qf=2.

a

’m

3、等比中项：在。与6中插入一个数G,使a,G,6成等比数列，则G称为。与。的等比中项.若

G?=ab,则称G为。与6的等比中项.注意：。与6的等比中项可能是土G。

4、等比数列性质

若｛%｝是等比数列，JiLm+n=p+q（m>〃、p、qeN*）,则=4;

若｛a“｝是等比数列，且2〃=p+q（九、p、<?eN*）,则片=4/4.

5、等比数列判定方法：

①定义法：/=q（常数）n｛%｝为等比数列；

a“

2

②中项法：an+l=an-an+2（anwO）n｛a“｝为等比数列；

n

③通项公式法：an=k-q伏应为常数）=｛%｝为等比数列；

但垂睡_________________________

考点1：等比数列的定义

例L若数列｛%｝为等比数列，4=2,%=6,则公比好（）

A.4B.-C.3D.4

3

【答案】C

【分析】根据等比数列定义进行求解.

【详解】由题意得：q=”与3

ax2

故选：C

3【方法技巧】

（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为

等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

（2）符号表示：也=q（常数）

an

【变式训练】

1.下列各组数成等比数列的是（）

①1,-2,4,-8②-0,2,-272>4③x,x2,/,x4@a~l,a~,a3,a4

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】C

【分析】根据等比数列的定义进行判断.

【详解】①首项为1,公比为-2,是等比数列；②首项为-公比为-应，是等比数列；③当x=0时,

不是等比数列；④首项为°一，公比为a-,是等比数列，所以①②④成等比数列.

故选：C.

2.若一1,2,a,b成等比数列，则4+6=.

【答案】4

【分析】根据等比数列的定义列式求出6即可得解.

【详解】根据题意，有三=?=2,

一12Q

解得a=-4,b=8,所以=（T）+8=4.

故答案为：4

3.己知等比数列｛4｝中的前三项为2。+2、3a+3,则实数。的值为

【答案】-4

【分析】根据等比数列的定义可得出关于实数。的等式与不等式，即可解得实数。的值.

【详解】因为2°+2为。与3a+3的等比中项，所以］."+2）=。（3。+3）,解得

\2a+2w0

故答案为：-4.

考点2：等比中项

例2.在等比数列｛〃"｝中，的=49o=16,则出和可。的等比中项为.

【答案】±8

【分析】根据等比中项的知识求得正确答案.

【详解】设为与《。的等比中项为G,

因为%=4,%o=16,所以G?=4x16=64,所以G=±8.

故答案为：±8

a【方法技巧】

等比中项：在。与〃中插入一个数G,使a,G,〃成等比数列，则G称为。与6的等比中项.若

G2=ab,则称G为。与b的等比中项.注意：。与〃的等比中项可能是土G。

【变式训练】

1.若不为1的正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列，则当x>l时，bg.x,log.x,logcx（）.

A.依次成等差数列B.依次成等比数列

C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列

【答案】C

【分析】根据等比中项的性质可得〃=ac,可得当尤>1时，log42=logxW,结合对数运算，即可判断答

案.

【详解】由题意可知不为1的正数a,b,。依次成公比大于1的等比数列，即k=℃,

,211

故当x>l时，log*=lograc,SR--------=j-------+j-------,

log”logaxlog〃尤

故log”x,log）无，log,X各项的倒数依次成等差数列，

故选：C

2.“G=«K”是"G是a、b的等比中项”的（）条件

A.既不充分也不必要B.充分不必要

C.必要不充分D.充要

【答案】A

【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可

【详解】当G=a=b=O时，满足G=/"，不满足G是“、b的等比中项；当G是。、6的等比中项，如

a=l,b=4,G=-2,但不满足6=窥，故"G=«P'是"G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件

故选：A

3.已知等比数列｛%｝的各项均为正数，且g%=3,贝加•%・%=.

【答案】81

【分析】由等比中项公式可得“陷8=%。7=。3。6=。4a5，即可求

4

【详解】由等比中项公式得，4a8=%%=%%=a4a5=3,故。/电.ag=3=81.

故答案为：81

考点3：判断等比数列

例3.数列｛%｝满足log34+l=log3a“+i(〃eN*),且4]+生+为=9,贝。。8/的+%+%)=()

A.4B.—C.-2D.—

42

【答案】C

【分析】根据对数运算求得。向,。“的关系式，判断｛4｝是等比数列，结合等差数列的性质求得正确答案.

【详解】由于log3a“+l=log3%+i(wwN*),

所以log3(3a„)=log3an+1,所以an+1=3an,an>0,

所以数列｛%｝是公比4=3的等比数列.

由于6+〃3+〃5=9,所以。3+%+%=(4+%+%)•/=9x3?=81,

2

所以log](a3+a5+a7)=log9T9=-2

9

故选：c

*【方法技巧】

(l)文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为

等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

（2）符号表示：4包=展常数）

an

【变式训练】

1.下列数列是等比数列的是（）.

A.1,b1,1,1B.0,0,0,0,...

C.----...D.-1,-1.1,-1....

【答案】AC

【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1,公比为1的等比数列，故A正确;

B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0,一定不是等比数列，故B错误；

C选项，由等比数列的定义可知，首项为公比为1■的等比数列，故C正确；

D选项，由等比数列的定义可知，亍=1N£=T，故不是等比数列，故D错误.

故选：AC.

2.设数列｛4｝为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（）

A.3,}B.{*C.{2。-}D.{log2|«„|)

【答案】AB

【分析】设数列｛g｝的首项为生,公比为q,由等比数列的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】设数列｛%｝的首项为为，公比为公

对于A,2%=2%/，所以数列｛2%｝是公比为q的等比数列；

对于B,d=所以数列｛%是公比为/的等比数列；

对于C,2匹=2"，所以当*2时，矣=装方=2M/尸，不是一个非零常数，所以数列印｝不是

等比数列；

电㈤_1吗

对于当〃时,,，不是一个非零常数，所以数列｛logzHJ｝不是等比数列.

D,22n2

1%|%|log2atq-

故选：AB.

考点4：等比数列的通项

例4.在数列｛%｝中，an+l=-2an,且出=1,则=（）

A.2n-2B.(-2)"-2C.2"TD.(-2尸

【答案】B

【详解】用=-2。“，的=1,二，嗅=-2.｛%｝是公比为一2的等比数列，

a

2n

...a„=-lx(-2r'=(-2r2.

故选：B.

?【方法技巧】

由已知确定数列是等比数列，由等比数列的通项公式得结论.

【变式训练】

1.设等比数列｛4｝满足％+。2=4,%-4=8.则通项公式.

【答案】3-1

【分析】把数列的项，分别用％M表示出来，列出方程，即可得到结果.

【详解】设｛%｝的公比为9,则。“=生尸.

[a,+CLC/=4

由已知得2。，解得4=1，4=3,所以的通项公式为。“=3"T.

[qq-q=8

故答案为：3"T

,、,113°

2.已知等比数列｛。“｝的公比4>1，一+—=149=8,贝>]%“=.

【答案】2"

【分析】根据给定条件，求出等比数列｛为｝的首项及公比即可求解作答.

113,出+“43,

【详解】在等比数列｛%｝中，%=4=8,由一+—得：—；—二1，即有。2+%=6,

因q>l,则0,=2,%=4,即有勺2=幺=2,解得好血，勾=空=0,

4q

12

an=a^q"=d)"，所以a2n=(A/2)"=2".

故答案为：2"

3.在正项等比数列｛。“｝中，a2a4=16,&+。5=24,则通项公式%=.

【答案】2"T

【分析】设等比数列｛见｝的公比为4(4>。)，然后根据题意列方程组可求出4M，从而可求出其通项公

【详解】由题意设等比数列｛4｝的公比为q（q>0）,%>0,

因为a2a4=16,a4+a5=24f

所以卜”：16

+axq=24

由a^q-a^=16,得（。/>二］6,

所以a42=4,或a“2=_4（舍去），

所以将q/=4代入弓/+q/=24,得

4q+4g~=24,即q~+q—6=0,

解得q=2或4=一3（舍去），

所以％—1，

所以a“=a〃i=2i,

故答案为：2”T

考点5：等比数列的性质

例5.对任意等比数列｛七｝,下列说法一定正确的是（）

A.4,4，的成等比数列B.成等比数列

C.。2，&，出成等比数列D.%，%，的成等比数列

【答案】D

【详解】由等比数列的性质得*0，

因此生,为，。9一定成等比数列.

故选：D.

2【方法技巧】

根据等比数列的下标等和性质，结合等比数列的概念直接判断即可.

【变式训练】

1.设｛4｝是等比数列，且。1+〃2=3,a2+a3=6f则为+〃6=（）

A.12B.24C.32D.48

【答案】D

【分析】根据｛%｝是等比数列，且满足％+%=3,%+生=6,计算出其通项公式。“，然后代入%+约计

算即可.

【详解】｛%｝是等比数列，设其公比为4,贝岫4+%=3,出+%=6得：

CL+a=a,（l+q）=3E=1,

0“、A，解得C，\为=2"」，.•.%+4=24-25=48.

〃2+生=〃2（1+夕）=6国=2

故选：D.

1

2.已知1,%,出，4成等比数列，1,瓦,b2,b3,4成等差数列，则竽的值是（）

“2

48

A.-B.-C.2D.1

55

【答案】B

【分析】由等比数列和等差数列的性质结合已知条件可求出力•出和区的值，从而可求得答案.

【详解】VI,%,电，4成等比数列，1,瓦,4,4,4成等差数列，

二.q.4=4,2b2=1+4,4=1,

里•〃2_4_8

则b?一苫一1.

一2

故选：B.

3.在等比数列｛%｝中，若4%=16,&=8,则。6=.

【答案】32

【分析】根据等比数列的性质结合已知条件求出公比4,从而可求出&.

【详解】设等比数列｛为｝的公比为4,

因为01a5=16,所以。3?=16,

所以％=±4,

因为%=8,所以＜7=±2,

所以4=a&q2=8x4=32.

故答案为：32

考点6：正项等比数列的对数成等差数列的应用

例6.设等比数列｛q｝满足4+%=1°，/+。4=5,则log24i+log24++log2a.=

【答案】—

【详解】因为等比数列满足弓+%=1。，%+。4=5,所以4=笃区1

C€iI0^02,

4-??4-n

又％+%=6+。N?-10,解得％=8,故%=8=2,log2tzn=log22=4-n,所以

+（4-附）=[3+（4--/+7”

log24+log6i++log«=3+2+1+叫"=

222nv722

-n2+7〃

故答案为:

2

?【方法技巧】

由己知求出｛%｝通项公式，再结合对数化简式和等差数列前〃项和公式即可求解.

【变式训练】

1.在由正数组成的等比数列｛%｝中，若。4。5。6=3,log3a.+log3a2+log3as+log3a9的为

434

A.—B.—C.2D.03

343

【答案】A

【详解】在等比数列｛an｝中，由&%/=3,得。；=3,%=始，

4-4

贝!Jlog3%+log3a2+log3a8+log3a9=log3（。1。2a8a9）==/。&333=—•

故选A.

2.在各项均为正数的等比数列｛%｝中，公比qe(O,l),若%+%=5,a2-a6=4,b„=\o^an,数列也｝的

前”项和为S"，则数列1:，前〃项和为.

［答案］"07-")

4

【分析】由已知求｛%｝的通项公式，进而可得｛2｝的通项公式，再求工的通项公式并判断数列的性质，应

n

用等差数列前n项和公式求(白4前n项和.

a3+a5=5

【详解】由题意，/>%，由等比数列的性质可得|出4=a3a5=4%=4

解得

%=1

a^q—4q=16

q/=l,解得v1

0<q<l

n—\

25-n,贝响=1吗%=5-〃，则数列｛仇｝为等差数歹U,

61rl——•16x

〃(4+5-〃)9n-n2,故之=?

22n2

9-n

An\4H--------

.・£+4+&=I2n(17-n),

12n24

辽底生、,n(17-n)

故答案为：△-----L

4

考点7：等比数列通项公式的指数函数特性

例7.等比数列｛4｝为递减数列，若%q=6,〃4+%7=5,贝！J上二()

〃18

]_

ABC.D.6

-1-16

【答案】A

【详解】•・,等比数列｛%｝为递减数列，%4=6,2+47=5,

・・・〃4与％7为方程f—5%+6=0的两个根,

解得4=2,%7=3或。4=3,%7=2,

an>%，%=3,%=2,

_。17_2

二力

3

13

则

2，

故选:A.

a【方法技巧】

%94=&，47=6,可得的与%7为方程尤2—5x+6=0的两个根，又解得知，C,再利用通项

公式即可得出.

【变式训练】

1.已知等比数列｛〃“｝中，公比4=2,若«30=23°＞则%...。30等于()

A.210B.220CD.215

【答案】B

【分析】由已知条件可得如=4②,再由qqq……«3O=«；V55.即可得结果.

【详解】由题设，%•，・生・…・％0=。：°产29=23°,则1/9=4且q=2,则a；=/7,

而。3.&.°9aio=a：%"，=q"°=220.

故选：B

2.若等比数歹支叫的前”项和为5“=。3一+6,则箸______.

b

【答案】-3

｛S.,n=l

【分析】现根据前〃项和与通项之间的关系%=。°、。求狐，再结合等比数列理解运算.

电一S,i，〃22

l

【详解】VSn=a-y-+b

当〃=1时，则q=S]=a+b

当〃22时，贝！Ia”=S“-S“T=(a-3"T+b^-[a-3nl+6)=2。-3"-2

•••｛%｝为等比数列，则a+b=ga,整理得：*=-3

故答案为：-3.

考点8：等比数列的写单调性

例8.在首项为2022,公比为3的等比数列中，最接近1的项是第项.

【答案】12

【详解】根据等比数列的性质可得：a„=2022xQj\显然｛为｝单调递减，

当”=11得：%=2022X[L]=—>1,

当〃=12得：42=2022x(，)=1211<1,

“⑶1024

所以只需比较勺，%与1的远近即可,

因为丝2,1一3=±_,您-上＞。

512512102410245121024

mz1011n1011上，、匚

所以同比市禺1近'

故答案为：12

?【方法技巧】

求出等比数列的通项公式，根据数列的单调性确定只需比较勺与1的远近即可，利用作差法比较即可.

【变式训练】

n+Q0

i.己知无穷等比数列｛4｝的首项是％,公比是q,若对任意正整数〃恒成立，则下列结论正

Z=1Z=1

确的是（）

ftz.<0fa<0fa>0[CL>0

A.PB.1C.'D."

[q<0n[q>。n[q<0U>o

【答案】B

【分析】根据题意得到数列｛4｝为递减数列，且%<0（ZN2）,AC选项可举出反例，写出通项公式后得到

D选项各项均为正，B选项各项均为负，选出正确答案.

〃+00

【详解】因为24对任意正整数〃恒成立，

i=lz=l

所以无穷等比数列｛%｝为递减数列，且④<0（左上2）,

A选项，4<0,9<0,则。2=〃U〉。，不满足要求，A错误；

B选项，an=<0,满足要求，

2

C选项，a3=axq>0,不满足要求，C错误；

D选项，不满足要求，D错误.

故选：B

2.设｛叫是公比为4的等比数列，则“4>1”是"的）22<。2。23”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】D

【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

a=a1a

【详解】若4>1且4，贝!1niQ''<0>所以，=q>1,则2O22>。2023»

。2022

所以,“<?>1''声"。2022<。2023”；

另一方面,取4=(-2)"\则4022<°<“2023，但彳=-2<1,

即“4>1”位“的022<“2023

因此，“4>1”是“。2022<。2023”的既不充分也不必要条件

故选：D.

考点9：利用等比数列通项公式求数列中的项

例9.在等比数列｛外｝中，公比#1,若册=P,则〃…=.

【答案】pq"

【详解】等比数列｛叫中，公比什1,所以。i=册应"=放〃.

故答案为：pq：

a【方法技巧】

根据等比数列通项公式计算可得.

【变式训练】

1.若一个等比数列的公比为3,且首项为2,则该数列的第4项为()

A.18B.36C.54D.162

【答案】C

【分析】由已知利用等比数列的通项公式即可求解

【详解】若等比数列｛%｝的首项为生,公比为4,则它的通项

由已知可得：4=2,q=3,

则该数列的第4项%=q4=2x33=54.

故选：C.

2.已知｛。“｝为等比数列，%+。7=2,%。6=—8,则％0=()

A.1B.-1C.1或-8D.-8

【答案】C

【分析】利用等比数列的性质计算出应，的，进而求得可。的值.

【详解】,..｛%｝为等比数列，设公比为"，由%+%=2,%。6=。4。7=-8,

则可得:

。4=4,%=_2,则"3=，=_；，贝•J〃io=Q4g6=4x1_g)=]

。4=_2,%=4,贝ijq3=2=_2,贝ija]o=a4g6=(_2)x(—2)2=—8

〃4

故选：C.

3.已知数列｛%｝满足4=，am+n=ama„(Vm,nGN+),贝九/=.

【答案】上

64

【分析】令m=1,则。用=的"=""，即数列｛%｝是首项为公比为J的等比数列，求出｛%｝的通项公

式即可求出Q.

【详解】因为%+“=%〃,，且所以令机=1,则%=。口“=4,即数列｛%｝是首项为公比为

9的等比数列,所以凡十出=0，故&=出=£.

故答案为：

1、定义：(1)文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个

数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

(2)符号表示：&旦=q(常数)

a”

2、通项公式

(1)、若等比数列｛%｝的首项是巴,公比是q,则4=/广1

(2)、通项公式的变形：①八=4也F；②qf=2.

a,n

3、等比中项：在。与匕中插入一个数G,使a,G,6成等比数列，则G称为。与6的等比中项.若

G=ab,则称G为。与6的等比中项.注意：。与〃的等比中项可能是土G。

4、等比数列性质

若｛%,｝是等比数列，Jim+n=p+q(m>〃、p、qeN*),贝ija,a”=%,•外；

若｛a“｝是等比数列，S.2n=p+q(n、p、qeN*),则

5、等比数列判定方法：

①定义法：也=q(常数)n｛%｝为等比数列；

an

*2*

②中项法：an+l=an-an+2(aawO)n｛%｝为等比数列；

n

③通项公式法：an=k-q(左应为常数)=｛%｝为等比数列；

羔巩固提升

一、单选题

1.在等比数列｛。“｝中，若。2018=4,出022=9,则“2020=()

A.6B.—6C.±6D.—

2

【答案】A

a

【分析】求出公比“2=：,进而利用等比数列的性质计算出4。2。=%38/=6.

【详解】设公比为4,则不=咏=]所以

«201842

2,3V

«2020=«2018?-=4X-=6

故选：A

2.在等比数列｛4"｝中，q=2,g=16,则公比〃为()

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

【分析】由%=4/可求出公比q的值.

【详解】由4=%/知，16=2",解得，4=2.

故选：A.

3.等比数列｛%｝中，%+%=2,%+%=4,贝1]%0+%[=()

A.64B.32C.16D.8

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质，即可求解.

【详解】设｛%｝的公比为4，贝！](%+%)/=%+区=4=2/=4=>/=2,

+a6

(%+05)q6=~ii=>OJQ+4i=4-q=4x2.=16,

故选：c

4.设A和G分别是。、6等差中项和等比中项，则/+〃的值为（）.

A.2A2-G2B.4A2-G2C.2A2-2G2D.4A2-2G2

【答案】D

【分析】先利用等差中项和等比中项的定义得到2A=a+b,G2=ab,再利用/+〃=⑺+9?一2次?计算

出结果.

【详解】由题意得：2A—a+b,G‘=ab,

a2+b2=（a+bf-2ab=4^-2G2

故选：D

5.已知等比数列｛。“｝的公比g=则（）

Ct-/-）I

A.—B.—C.—D.3

432

【答案】B

【分析】利用等比数列通项公式化简求解即可.

【详解】解：因为等比数列｛4｝的公比夕=近，

所以上_=囚"夜]

%+%%q+%qq+q。2+2,23

故选：B.

6.己知等比数列｛。“｝,满足log?g+log?a”=1,且a5a6/%=16，则数列｛““｝的公比为（）

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】A

【分析】利用对数运算性质、等比中项可得%%=2且出，%＞。，根据已知有%。9=8,即可求公比.

【详解】令的｝公比为4,

由Iog2（a2«n）=l,故=2且。2，%＞。，

所以％＞。，则4＞。，

又a2ali-=2,贝！Ja6a9=8,

所以3=/=4,

“548

综上，Q=--

故选：A

7.已知等比数列｛〃“｝满足q=3,a｛+a3+a5=21,则%+%=()

A.18B.24C.30D.42

【答案】C

【分析】由等比数列的通项公式求得公比然后再由通项公式计算.

【详解】设｛““｝的公比为4,则4+生+生=3(1+〃2+/)=21,解得/=2(负值舍去)，

所以％+。7=3x2+3x23=30.

故选：C.

8.在2与6之间插入〃个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为().

A.^3B.4=C.啡D."串

"3

【答案】C

【分析】设构成的等比数列为｛4｝,公比为4,%=2,%+2=6,接着利用等比数列的通项公式即可得到答

案

【详解】解：由题意可得构成的等比数列为｛%｝,其公比为4,则q=2,%+2=6,

所以见+2=24向=6,解得4="出，

故选：C

二、多选题

9.在等比数列｛劭｝中，已知幻=3,的=27,则数列的通项公式是()

A.an—3n,"GN+B.an—Zn^1,”GN+C.aw=(—1)”T3W,"GN+D.an—ln^1,“GN+

【答案】AC

【分析】根据已知条件求得数列｛%｝的公比4,进而求得与，从而确定正确选项.

【详解】设等比数列｛见｝的公比为4,贝|%=%，=3、，=27,，=9应=±3,

z，-1-1Z,

当4=3时，%=3、3"一=3".当4=一3时，«；；=3x(-3)=(-1)"-3.

故选：AC

10.（多选）若｛%｝是等比数列，则下列是等比数列的是（）

【答案】ACD

【分析】根据等比数列的定义，依次判断选项.

【详解】设｛%｝的公比为q,则号a=4,

A.2=4包=q（常数），故A正确；

2anan

B.若g=—1,贝心向+4=0.（等比数列的各项不能为0）,故B错误;

1

C.*=上l=’（常数），故C正确；

±4+1q

an

D.也义乜=4a•吐=/（常数），故D正确.

anan+ianan+l

故选：ACD

三、填空题

11.已知数列｛g｝中，4+i=2。“对成立，且%=8,则q=.

【答案】2

【分析】由等比数列的通项公式代入即可得出答