A字型和8字型-初中数学模型与解题方法专项训练

07A字型和8字型

一、单选题

1.如图，AABC中，ZA=65°,直线OE交AB于点〃交AC于点£,则N3DE+NC£E>=（）.

【答案】D

【详解】解：；NA=65。，

ZADE+ZAED=180°-65°=115°,

ZBDE+NCED=360°-115°=245°,

故选：D.

2.如图，将矩形纸片A3CO沿跳'折叠，点C落在边上的点H处，点。落在点G处，若NGEF=ni。,

则/AHG的度数为（）.

A.42°B.69°C.44°D.32°

【答案】A

【详解】由图形翻折的性质可知，NGEF=NDEF=111。,

ZAEF=180°-111°=69°,ZAEG=ZGEF-ZAEF=111°-69°=42°,

VZA=ZG=9O°,利用“8”字模型，

:.ZAHG=ZAEG=42°,

故选：A.

3.如图，26和切相交于点。，//=/0，则下列结论中不能完全确定正确的是（）

----------^5

A.ZB=ZDB.Z1=ZA+ZDC.Z2>ZDD.ZC=ZD

【答案】D

【详解】VZ^+ZAOD+ZD=180°,ZC+ZCOB+ZB=180°,ZA=ZC,/AOD=/BOC,

：./B=ZD,

,.・/l=N2=N4+N〃

・・・N2>N〃，

故选项4B,C正确，

故选〃

4.如图，在由线段组成的平面图形中，“=28。，则NA+N5+NC+N/的度数为

().

A.262°B.152°C.208°D.236°

【答案】C

【详解】解：如下图标记彳7,2,?3,

•••Z1=ZB+ZF=ZD+Z3,

vZD=28°,

.\Z3=ZB+ZF-28°,

又；N2=ZA+NC,

/.Z2+Z3=ZA+ZC+ZB+ZF-28°,

vZ2+Z3=180°

180°=ZA+ZC+ZB+ZF-28°,

/.ZA+NC+N6+N尸=180。+28°=208°,

故选C.

5.如图，在AABC中，ZABC=90%NC=30。，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点O,

连接再分别以点5,。为圆心，大于;初的长为半径作弧，两弧交于点。作射线AP交3c于点E,

连接。E,则下列结论中不E倒的是（）

A.BE=DEB.OE垂直平分线段ACC.显吆=迫

D.BD2=BC-BE

SAABC3

【答案】C

【详解】由题意可得：AD=AB,点P在线段BD的垂直平分线上

•.•AD=A5,二点A在线段BD的垂直平分线上

••・AP为线段BD的垂直平分线

.点E在AP上，，BE=DE,故A正确;

•••ZABC=90°,ZC=30°,

:.ZBAC=60°S.AB=AD=-AC

2

AABD为等边三角形且AD=CD

AB=AD—BD,

「.AP平分N84C

:.AEAC=-ZBAC=30°,

2

:.AE=EC,

.,.£D垂直平分AC,故B正确；

NECD=ZACB=30。,ZEDC=ZABC=90°,

:.庄DCs\ABC,

.EDCD_AB1

,•法一拓一拓一百

.•.鲍4故c错误；

S^ABCVv3)3

■.ED=BE,AB=CD=BD

,BEBD

■BD-BC'

:.BD2=BCBE,故D正确

故选C.

6.如图，Zl=60°,贝Ij/A+/B+/C+/D+/E+/F=()

B

C.360°D.540°

【答案】A

【详解】解：由三角形外角的性质得：N3=NA+NE,N2=NF+ND,

,,,Z1+Z2+Z3=18O°，Zl=60°，

.\Z2+Z3=120o,

即：ZA+ZE+ZF+ZD=120°,

VZB+ZC=120°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=240°.

二、填空题

7.如图是某建筑工地上的人字架，若4=120。，那么N3-N2的度数为

【答案】60°

【详解】解：如图

vZl+Z4=180°,4=120。，

.*.Z4=60°,

Q?3?2?4,

.\Z3-Z2=Z4=60°,

故答案为：60°.

8.如图，在AABC中，ZC=90°fBC=6,D,£分别在A3、AC上，将AADE沿OE折叠，使点A落

在点A，处，若4为CE的中点，则折痕的长为

【详解】解：・.・AABC沿折叠，使点A落在点A，处，

/.ZDEA=ZDEA'=90。，AE=AE,

.-.AACB^AAED,

又4为CE的中点，AFAE

・•・/£:心1:3

EDAEED1

—=—,即nn——=-,

BCAC63

:.ED=2.

故答案为：2.

9.如图，在“3C中，ZB=58°,三角形两外角的角平分线交于点£,则NAEC=

C

【答案】610

【详解】解：'：ZB+ZBAaZBCA=180°,/庐58°,

ZBAOZBCA=18Q°-/庐180°-58°=122°,

'：ZBAO-ZDA(=18Q°,ZBCA+ZAC/^180°,

N的户360°-(ZBACi-ZBCA)=360°-122°=238°,

,:AE平分/D4C,CE平分/ACF,

:./EA吟/DAC,/EC归三4ACF,

：.ZEAC+ZECA=1(ZDAaZACF')=119°,

VZEAOZECA+ZAEC=180°,

ZAE(=180°-(Z.EAC+/ECA)=180°-119°=61°,

故答案为：61°.

10.如图，//+/6+NG-/分/历/丹/例/m的度数为

BA

【详解】解：连KF,GL如图,

•••7边形/故炳T的内角和=(7-2)X1800=900°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+Z£=900°—(Z1+Z2),

即N2+N8+NC+N〃+N£+N^+N«+(Z1+Z2)=900°,

VZ1+Z2=Z3+Z4,N5+N6+N〃=180°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZK+(Z3+Z4)=900°,

AAA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZK+(Z3+Z4)+N5+N6+N〃=900+180°,

・・・N4+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+Z//+Z1+ZK=1080°.

故/4+/8+/。+/〃+/£+/尸+/6+/人//+/4的度数为1080°.

故答案为：10800.

11.如图，求N/+N班N/N6N研N/4N价N9N/=.

【详解】解：连EF,GI,如图

•••6边形/比7㈤%的内角和=(6-2)X1800=720°,

AAA+AB+ZC+ZD+ZE+ZF=720°—(Z1+Z2),

即N/+N6+NC+N〃+N£+Nb+(Z1+Z2)=720°

VZ1+Z2=Z3+Z4,N5+N6+NQ180。,

AZ^+ZB+ZC+ZD+ZE+ZFZH+(Z3+Z4)=900°,

AZ^+ZB+ZC+ZD+ZE+AF(Z3+Z4)+N5+N6+N〃=720°+180°,

N/+NB+NC+/，+N£+N6+NG+ZH+Z/=900°,

故答案为：900°.

12.下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与3。的交点为C,且-A,/B,-E保持不变.为了舒

适，需调整”的大小，使NEED=11O°,则图中应（填“增加”或“减少”）—度•

【答案】减少10

【详解】解：庐50°+60°=110。，

.".ZJG?=180o110°=70°,

:./DC串7Q°,

如图，连接少并延长，

:./DF后4A/DC220°+4DCF,

/母沪户30°+ZECF,

:/EF2/DF除/EF"00+ZDCF+3O0+ZECF=50°+ZDCE=50°+70°=120°,

要使/即9=110°,则/石叨减少了10°,

若只调整/。的大小，

0/EF2/DF岭4EF后/决4DCF+/E+/ECF^/肚4E+/EC2/计30°+70°=Z6100°,

因此应将/。减少10度；

故答案为：①减少；②10.

三、解答题

13.如图，AABC^AADE,且NC4D=10。，ZB=ZD=25°,Z£4B=12O°,求NDFB和ZDGB的度数.

D

一

AR

【答案】ZDFB=90°,/DGB=65。

【详解】解：•.・AABC=A4Z)E,

ZDAE=ABAC=-(NEAB-ZCAD)=-(120°-10°)=55°.

22

ZDFB=ZFAB+ZB=ZFAC+ZCAB+ZB=W°+55°+25°=90P

ZDGB=ZDFB-ZD=9QP-25°=65°.

综上所述：NDFB=9Q。,NDGB=65。.

14.如图所示，NZME的两边上各有一点B,C,连接8C,^iiEZDBC+ZECB=180°+ZA.

【答案】见解析

【详解】解：•.•ZDBC和NECB是AABC的外角，

ZDBC=ZA+ZACB,NECB=NA+ZABC.

XvZA+ZASC+ZACB=180°,

ZDBC+ZECB=ZA+ZACB+ZABC+ZA=180°+ZA.

15.如图所示，求NA+/3+NC+ND+NE+/F的度数.

【答案】360°.

【详解】解：VZ1=ZA+ZB,Z2=ZC+ZD,Z3=ZE+ZF,

又：N1+N2+/3=36O°,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360".

16.如图，求NA+ZB+NC+/D+/E+/尸的度数.

【答案】ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+Zf=360°.

【详解】解：如图所示，连接CD.

由对顶三角形得，ZA+ZB=ZACD+ZBDC,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=ZCDE+ZDCF+ZE+ZF=360°.

17.如图，求ZA+N3+/C+ND+NE的度数.

【答案】180°.

【详解】解：连结BE,

BC与DE相交成对顶三角形，

:.ZC+ZD=ZCBE+NDEB,

:.ZA+ZABC+ZC+ZD+ZAED=ZA+ZABC+ZCBE+ZDEB+ZAED

=ZA+ZABE+ZAEB=180°

18.如图，ZF=30°,求ZA+ZB+NC+NO+NE的度数.

pB

【答案】330°.

【详解】解：在AABM中，ZA+ZB+Z3=180°

在ACDP中，ZC+ZD+Zl=180°

在AEFN中，ZE+ZF+Z2=180°

在APNM中，Nl+N2+N3=180°

NA+NB+N3+NC+NO+N1+NE+ZF+N2=540°

,:ZF=30°

，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=330°

19.如图，求//+/班/创/分/研/a/神/〃六个角的和.

【答案】360°

【详解】解：Z^+ZC=Z4,/£+N〃=N2,

ZG+AD+/尸+ZC+/£+ZH=Z3+Z4+Z2,

,.•Z5+Z2+Zl=180°,Z3+Z5+Z^=180°,

.•.N/+N6+/2+N4+N3=360°,

：.Z^+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+/〃=360°.

20.如图，求研/4/什/m/｛的度数.

G

A

【答案】540°

【详解】解：如图所示:

由三角形的外角的性质可知：ZA+ZB=ZIJL,ZC+ZD=ZMLJ,ZH+ZK=ZGIJ,ZE+ZF=ZGML,

：.ZA+ZB+ZC+Z.D+ZE+Z^+ZG+ZH+ZK=ZIJL+ZMLJ+ZGML+ZG+Z.GIJ=(5—2)X180°

=3X180°=540°.

21.如图，族平分/ABC,交CO于点凡DP平分/ADC交AB于点£,AB与CD相交于点G,ZA=42°.

C

(1)若NADC=60。，求的度数;

(2)若NC=38。，求NP的度数.

【答案】(1)72°；(2)40°.

【详解】解:⑴：DP平分NADC,

ZADP=ZPDF=yZADC,

,/ZADC=60°,

：.ZADP=30°,

：.ZAEP=ZADP+ZA=300+42°=72°；

(2)；BP平分NABC,DP平分NADC,

ZADP=ZPDF,ZCBP=ZPBA,

*/ZA+ZADP=ZP+ZABP,

ZC+ZCBP=ZP+ZPDF,

ZA+ZC=2ZP,

VZA=42°,ZC=38°,

ZP=1(38°+42°)=40°.

22.如图，AQAB和AOCD中,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,AC,BD交于M.

图2图3

/AMD的度数为_°；

⑵如图2,当《=60。时,求N4WD的度数为_°；

(3)如图3,当AOCD绕。点任意旋转时，与a是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用a表

示N4WD,并用图3进行证明；若不确定，说明理由.

【答案】(1)90；(2)120；(3)ZAMD^1800-a

【详解】(1)W：•：ZAOB=ZCOD=a,

ZDOC+ZAOD=ZAOB+ZAOD,即NAOC=ZBOD,

在ABOD和AAOC中,

OA=OB

ZAOC=NBOD,

OC=OD

00。丝AAOC(SAS),

ZOAC^ZOBD,

：.ZAMD=ZABM+ABAC=ZABO+NBAO,

,/ZAOB=90°,

ZABO+ZBAO^90°,

即/AMD=90°；

故答案为：90

(2)解：VZAOB=ZCOD=a,

：.ZDOC+ZAOD=ZAOB+ZAOD,即ZAOC=ZBOD,

在ABOD和AAOC中，

OA=OB

<ZAOC=/BOD,

OC=OD

：.△BOZ)^AAOC(SAS),

・•.ZOAC=ZOBD,

：.ZAMD=ZABM-^ZBAC=ZABO-^ZBAO,

丁ZAOB=60°,

JZABO+ABAO=180°-60°=120°,

即NAMD=120。；

故答案为：120

(3)解：如图3中，设C4交50于K

图3

・・・ZAOB=ZCOD=a

：.ZAOC=ZBOD,

在△5。。和AAOC中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOD,

OC=OD

・•.△BOD名△AOC(SAS),

ZOBD=ZOAC,

9：ZAKO=ZBKM,

：.ZAOK=ZBMK=a.

：.ZAMD=180°-a.

23.如图，在矩形ABC。中，AB=3百，NC4B=30。，点尸从点Z出发，以每秒6个单位长度的速度沿

A3方向运动，点0从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线C4方向运动.已知R0两点同时

出发，当点0到达点/时，P,0两点同时停止运动，连接PQ・设运动时间为方秒.

APB

(1)BC=,AC=.

⑵当t为何值时，△人尸。的面积为V3.

(3)是否存在某一时刻t,使△AP。是以PQ为底边的等腰三角形？如果存在，求出：值，如果不存在，请

说明理由.

【答案】⑴3；6；(2)当t为1或2时，入4尸。的面积为6；(3)存在；当/=12-6遭，使△AP。是以PQ

为底边的等腰三角形

【详解】(1)解：在矩形ABCD中，AB=36ZCAB=30°,

，ZB=90°，AC^2BC,

,/AB2+BC2=AC2,

BP(3A/3)2+BC2=4BC2,

解得：BC=3,负值舍去，

AC=6,

故答案为：3；6.

(2)解：过点。作。〃JLAB于点〃如图所示：

AP=®,CQ=2t,则AQ=6-2/,

在中，ZQAH=30°,

QH=；AQ=3-t,

的面积为由，

—x耶itx(3-f)=\[3,

解得：％=1,芍=2,均符合题意，

答：当力为1或2时，△APQ的面积为豆.

(3)解：存在，理由如下：

V△人尸。是以P2为底边的等腰三角形，

**.A尸=A。，即y/3t=6-2f,

解得：t=12-6也,符合题意，

答：当t=12-6也,使△4尸。是以PQ为底边的等腰三角形.

24.如图，在直角AABC中，8。是/ABC的平分线，/54O=3/(MD,4。的延长线与/3DC的平分线

交于点尸，求/户的度数.

It

A〃C

【答案】ZF=22.5°

【详解】解：设NOAD=x。，则NBAO=3x。，

在直角AASC中，ZABC=90°-4x°,

,?8。是/ABC的平分线，

ZABO=45°-2x°,

在直角ADBC中,ZODF=22.5°+x°.

,?ZOAB+AOBA+ZAOB=ZODF+ZF+ZFOD=180°,

又：ZAOB=ZFOD,

：.NOAB+Z.OBA=ZODF+NF,

即3尤。+45°-2x°=22.5°+x°+ZF,

NF=22.5。.

25.(1)如图①，求N4+/6+N3/研/尸的度数；

(2)如图②，求N/+N班/仆/加/4/4/6+/〃的度数;

(3)如图③，求//+/班/仆/加/阶/4NG的度数.

【答案】(1)360°；(2)720°；(3)540°

【详解】解：(1)如图①，连接

由三角形的内角和定理得，ZB+ZC=ZBAD+ZCDA,

：.ABAF+/方+ZC+ZCDE+/£+AF=Z.BAF+ABAD+ZCDA+ZD+/£+ZF

即四边形/颂的内角和，四边形的内角和为360°,

ZBAF+ZB+ZC+ZCDE+ZE+ZF^360°,

(2)如图②，由(1)方法可得：

ZBAH+ZB+ZC+ZD+ZE+ZEFG+ZG+/〃的度数等于六边形ABCDEF的内角和,

N的〃+N8+NC+/〃+/£+NJW+NG+N〃=(6-2)X180°=720°,

(3)如图③，根据(1)的方法得，ZF+ZG=ZGAE+AFEA,

ZBAG+ZB+ZC+ZD+ZDEF+ZT+NG的度数等于五边形ABCDE的内角和，

ABAG+Z5+ZC+AD+ADEF+ZF+Z.G=(5-2)X180°=540°,

如图1,AB、切交于点。，我们把△/!必和叫做对顶三角形.

结论：若△/勿和△8%是对顶三角形，则/班NC.

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，即〃科/£的度数.

解：连接切，由对顶三角形的性质得：/班/£=/1+/2,

在△43中，•.•//+//CZ>NAW=180°,

BPZJ+Z3+Z1+Z2+Z4=18O°,

：.ZA+ZACE+ZB^ZE+ADB=180°

即五角星的五个内角之和为180°.

解决问题：

(1)如图①，ZA+ZB^ZC+ZD^ZE+ZF=_；

(2)如图②，

(3)如图③，//+/班/创•/分/既N4/仍/〃=_；

(4)如图④，//+/班/仆/%/於/a/小/m/m/#=_；

【详解】解：(1)连接切，由对顶角三角形可得//+/8=/初。+//切，则N/+NB+NC+/〃+N£

+/6=360°；

(2)连接口，由对顶角三角形可得N/+N6=/圆叶//阳则/A+N6+NC+N2+N£+Nb+NG

=540°；

(3)连接敬DE,

:由对顶角三角形可知/图什/傲9=N3如+N施〃

，//+/6+/，+/〃+/£+/6+/G+/〃=五边形CW&的内角和+△/幽的内角和=540。+180°

=720°；

(4)连接M、NE,

,由对顶角三角形可知/l+N2=NAm■/掰7,

/4+/8+ZC+/〃+/£+/6+/G+/〃+AM+Z.N=六边形BCFGHM的内角和+△/汹的内角和+△

27.在AABC中，NABC=/ACB,点O在直线8C上(不与氏C重合)，点E在直线AC上(不与A,C重

合)，且NADE=NAED.

(1)如图①，若/ABC=40o,/AED=75。，则NCDE=――，止匕时，士上二=_____；

/CDE

(2)若点。在BC边上(点民C除外)运动(图①)，试探究/R4D与NCDE数量关系并说明理由：

(3)若点。在线段8c的延长线上，点E在线段AC的延长线上(如图②)，其余条件不变，请直接写出

44。与NCDE的数量关系：—；

(4)若点。在线段CB的延长线上(如图③)，点E在直线AC上，440=22。，其余条件不变，则/CDE=

.(友情提醒：可利用图③画图分析)

【答案】(1)35°,2；(2)ZBAD=2ZCDE,理由见解析；(3)/BAF2/CDE；(4)79°或11

【详解】解：(1)如图①中，

A

：.ZBAC=180°40°40°=100°,

,/ZAED=ZCDB^ZC,

：.ZCD^75°40°=35°,

■:/AD斤/AE庐廿,

：.ZDA£F180°75°75°=30°,

AZBAD=ZBACZDAB=100°30°=70°,

・/BAD

••乙•

NCDE

故答案为35°,2.

(2)结论：ZBAD=2ZCDE.

理由：设/炉/华x,NAEA/AD^y,

则/力上180°2x,ZCDE=yx,/物后180°2y,

:.NBAD=/BAC/DA拄2ylz否2(/),

：./BAD=22CDE.

(3)如图②中，结论：ZBAD-2ZCDE.

图②

理由：设///ACB=x,ZAED=ZADE=y,

则/为华180°2x,层180°/物氏180°2y,

：.NBAD=/BAC+/DAE=36Q°2(^+y),

：.ABAD=2ACDE.

故答案为/掰氏2厉.

(4)如图③中，

£

.A

图③

设//叱/年x,ZAED=ZAD^y,

则/曲年180°2x,片180°(产x),/加氏180°2y,

.*.ZBAD=18Q°ZBACZDA^2,x+2yl80°=22°,

x+y=101°

:./C际\8Q°101°=79°.

如图④中，当点£在AC的延长线上时，设NABe/ACB=x,ZAED=ZAD^y,

图④

则/加庐豆2°,/CD±y52°),

'：Z.ACB^ACDE+AAED,

x=y+y(x22°),

：.ZCD£=22°-(x-y)=n°

故答案为79°或11°.

28.(1)已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：ZA+ZB=ZC+ZD.

(2)如图②，AP,CP分别平分Z54D,