复数的概念（八大题型）

7.1复数的概念

【题型归纳目录】

题型一：复数的概念

题型二：复数的分类

题型三：复数相等的充要条件

题型四：复数与复平面内的点的关系

题型五：复数与复平面内的向量的关系

题型六：复数的模及其应用

题型七：复数模的几何意义

题型八：复数的轨迹与最值问题

【知识点梳理】

知识点一：复数的基本概念

1、虚数单位，

数，叫做虚数单位，它的平方等于-1,即产=一1.

知迨点诠释：

(1)，是-1的一个平方根，即方程/=-1的一个根，方程/=-1的另一个根是T；

(2)，可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2、复数的撷念

形如a+6i(a,6eR)的数叫复数，记作：z=a+bi(a,b&R)；

其中：“叫复数的实部，6叫复数的虚部，，是虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C

表示.

知识点诠释：

复数定义中，eR容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.

3、复数的分类

对于复数z=a+6i(a,6e7?)

若6=0,则0+历,为实数，若6K0,则a+历,为虚数，若a=0且6*0,则a+6i为纯虚数.

分类如下：

'实数S=o)

z=a+bi(a,bG7?)*纯虚数(4=0)

虚数(bwO卜

非纯虚数(。。0)

用集合表示如下图:

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4、复数集与其它数集之间的关系

N揶Z。揶RC(其中N为自然数集，Z为整数集，0为有理数集，R为实数集，C为复数集.)

5、共辗复数:

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共粗复数.虚部不等于0的两个共

辗复数也叫做共辄虚数.通常记复数z的共辗复数为〉

知识点二：复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：

a=c

如果那么a+方=c+山=<，，

\b=a

特另U地：a+/>z=0<=>a=Z>=0.

知识点诠释：

(1)一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.

根据复数4+6，.与C+山相等的定义，可知在a=c/=d两式中，只要有一个不成立，那么就有

a+bi^c+di(a,b,c,deR).

(2)一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较

大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

知只点三：复数的几何意义

1、复平面、实轴、虚轴：

如图所示，复数2=。+从(凡6€火)可用点2伍,6)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做

复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

D-..............■

：X

~0L

知识点诠释：

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2、复数集与复平面内点的对应关系

按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个

点，有唯一的一个复数和它对应.

复数集。和复平面内所有的点所成的集合是——对应关系，即

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一一对应

复数z=a+bi<>复下面内的点Z(a,b)

这是复数的一种几何意义.

3、复数集与复平面中的向量的对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一

设复平面内的点Z(a,6)表示复数2=。+加(a,bwR),向量应由点Z(a,b)唯一确定；反过来，点

Z(a,6)也可以由向量无唯一确定.

复数集C和复平面内的向量应所成的集合是一一对应的，即

复数z=a+bi<一一对应>平面向量应

这是复数的另一种几何意义.

4、复数的模

设方=a+bi(a,beR),则向量应的长度叫做复数z=a+6i的模，记作|a+姐.

\z\=\OZ\=yJa2+b2>0

知识点诠释：

①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.

②复平面内，表示两个共辗复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等.

【典型例题】

题型一：复数的概念

【方法技巧与总结】

复数0+4中，实数。和6分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚

部的系数，6连同它的符号叫做复数的虚部.

例1.(2023・高一课时练习)下列说法正确的是()

A.i表示虚数单位，所以它不是一个虚数

B.-1的平方根是土i

C.历伍eR)是纯虚数

D.若z=a(aeR),则复数z没有虚部

【答案】B

【解析】A：i表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；

B：由仕i)2=-l,可知-1的平方根是土i,故B正确；

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C：当6=0/i是实数，故C错误；

D：若2=。伍€2,则复数z虚部为0,故D错误；

故选：B

例2.（2023春•江苏盐城•高一盐城市田家炳中学校考）复数2+曲的实部是（）

A.2B.V3C.2+GD.0

【答案】A

【解析】由题意，可得复数2+后的实部是2,

故选：A.

例3.（2023春•河北唐山•高一校考阶段练习）设集合/=｛实数｝,8=｛纯虚数｝,C=｛复数｝，若全集5=C,

则下列结论正确的是（）

A./U3=C

B.A=B

C."佃8）=0

D.朦4九（S?）=C

【答案】D

【解析】集合A,B,C的关系如下图，

由图可知只有勘允QB）=C正确.

故选：D.

变式1.（2023・高一课时练习）下列命题正确的是（）

A.实数集与复数集的交集是空集

B.任何两个复数都不能比较大小

C.任何复数的平方均非负

D.虚数集与实数集的并集为复数集

【答案】D

【解析】实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；

任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确;

任何复数的平方均非负，反例12=一1，所以C不正确；

虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确

故选：D.

题型二：复数的分类

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【方法技巧与总结】

解决复数分类问题的方法与步骤

(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为〃+4(a,的形式，以确定实部和虚部.

(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为

代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.

(3)下结论：设所给复数为a+加(a,6eR),

①z为实数06=0.

②z为虚数Q6wO.

③z为纯虚数Qa=0且6片0.

例4.(2023春・天津•高一校联考期末)已知复数z=/-l+(a+l)i,其中aeR,i是虚数单位，若z为纯

虚数，则。的值为()

A.1B.0C.1D.1或1

【答案】C

<5!2—1=0

【解析】依题意,，+由‘解得"=所以0的值为,

故选：C

例5.(2023•高一单元测试)实数。分别取什么值时，复数z=-——---4-(d?-2Q-15)i是

a+3

⑴实数;

⑵虚数;

(3)纯虚数?

a+3w0aw-3

【解析】(1)由题意知,=5

/一2。-15=0=a=-a=5

.•・当。=5时，复数2是实数.

a+3w0aw—3

(2)由题意知,2且。。5

/—2。一15w0aw一狙aw5

...当(ZN-3且。片5时，复数z是虚数.

a2-a-6_

(3)由题意知，,Q+3N<Q=-2或〃=3=>a=-2或〃=3

a1—2(2—150]aw-3且QW5

...当a=-2或a=3时，复数z是纯虚数.

例6.(2023•高一课时练习)已知复数z=(2+i)%2-3优(l+i)-2(l-i).当实数加取什么值时，复数z是:

⑴虚数;

⑵纯虚数.

【解析】(1)z=(2+i)m2-3m(l+i)-2(l-i)=2m2-3m-2+(m2-3m+2)i

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*.*mGR,2m2-3m-2ym2-3m+2GR.

当复数z为虚数时，加2—3冽+2wO,冽w1口.加w2,

故当实数加wl且加w2时，复数2为虚数.

2J^2—3/77—2—01

(2)当复数Z为纯虚数时，2,cI，解得％=-：，

m2-3m+2^02

故当加=-1时，复数Z为纯虚数.

2

变式2.(2023春・上海崇明•高一统考期末)求实数加的值，使得复数2=疗+机-2+(布-l)i分别是：

⑴实数；

⑵纯虚数.

【解析】(1)由题知，

复数Z=机2+机-2+(4-l)i为实数当且仅当7"2一]=0,即％=1或加=_1,

所以当加=1或7"=-1时，复数2=/+加一2+(加2-l)i为实数.

,.\m2+m-2=0f(m+2)(m—1)=0

(2)复数Z=M+〃L2+(/T)i为纯虚数当且仅当2,c，即;S/n，

[加2-块0[(加+1)(加-1)/0

唯一满足此条件的M的值是机=-2,

所以当加=-2时，复数z=/+加_2+(病_)为纯虚数.

题型三：复数相等的充要条件

【方法技巧与总结】

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.

(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是

复数问题实数化思想的体现.

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.

例7.(2023•高一课时练习)若共轨复数x,y满足(x+y)2-3xyi=4-6i,则x,y共有组解.

【答案】4

【解析】设x=a+6i,则y=a-历(a,beR),

(x+y)2-3xyi=4-6i,

(a+bi+a-bi)2-3(a+6i)(a-6i)i=4a2-3(a2+Z?2]i=4-6i,

,,，＜3(a42a+②/=724),=6，"MI=”l,，

.p=l+i,[x=l-ifx=-l+ifx=-l-i,

­•1，.或1，.或j।.或j.

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共有4组解.

故答案为：4.

x+y

例8.（2023•高一课时练习）已知复数2=X+贞（苍yeR）,S.2+i-log2x-8=（l-log2j）i,贝!|z=

【答案】l+2i或2+i

w

【解析】由题知，复数2=工+4（羽＞€1＜）,J.2+i-log2x-8=（l-log2j；）i,

x+＞，x+y

g^j2+i-log2x-8=2-8+log2x-i=Q-log?,）,

-8=0|x+y=3fx=l[x=2

所以i一，即।♦一，解得，或,＞

[log?尤=1-log2V[log2（肛）=1L?=23=1

所以z=l+2，或z=2+i.

故答案为：l+2i或2+i

例9.（2023・高一课时练习）若实数x,＞满足x+yi=-l+（x-y）i,则砂=.

【答案】1#0.5

fX——111

【解析】因为x+j，i=-l+（x-y）,可得，解得x=-l,y=-；,所以刈=

[y=x-y22

故答案为：y

变式3.（2023春•黑龙江鸡西•高一鸡西市第四中学校考）如果a,6,c,deR,那么a+bi=c+di

【答案】a=c,b=d

【解析】因为a,b,c,deR,a+bi=c+di,所以a=c,6=".

故答案为：a=c,b=d.

变式4.（2023・高一课时练习）若实数x,y满足（x+y）+（x—y）i=2,则孙的值是.

【答案】1

【解析】由（x+y）+（x—y）i=2（x,yGR）得

x+y=2,IX=1,

所以I,所以xy=l.

x-y=0,U=i,

故答案为：1

题型四：复数与复平面内的点的关系

【方法技巧与总结】

利用复数与点的对应关系解题的步骤

（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数。+加可以用复平面内的点Z（a,b）来表示，是解

决此类问题的根据.

（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）

求解.

例10.（2023•高一课时练习）已知复数z满足实部为3,虚部为-2,则复数z在复平面上对应的点关于虚

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轴对称的点所对应的复数是.

【答案】-3-2i

【解析】由题可得z=3-2i,

复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为-3-2i.

故答案为：-3-2i.

例11.（多选题）（2023•高一单元测试）设z=（2尸+5/-3）+（产+2/+2）i,?eR,则以下结论错误的是

（）

A.z对应的点在第一象限

B.z一定不为纯虚数

C.彳对应的点在实轴的下方

D.z一定为实数

【答案】ABD

【解析】•.•2»+5/-3=2（/+：[-y>^,/+2/+2=。+1『+121,

.••2对应的点在实轴的上方，A错误；

113

若"-3或1=：,则z=5z•或z=7i,贝l]z为纯虚数，B错误；

2=（2产+57—3）—（厂+2t+2,,则—（厂+2t+2）V—1,

.•上对应的点为（2产+5f-3,-产-2/-2）位于实轴下方，C正确；

对于D,•.■/+2r+2w0，.上不是实数，D错误.

故选：ABD.

例12.（2023•高一课时练习）当1<小<2时，复数小（2+i）-（4+i）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】z=加（2+i）-（4+i）=（2m-4）+（m-l）i,

若1<<2,贝Ij2m-4<0,zn-1>0,

所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

变式5.（2023・高一课时练习）设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】复数2=-3+21对应的点为（-3,2）,在第二象限.

故选：B

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变式6.(2023春・浙江杭州•高一校联考)已知i是虚数单位，则复数z=3+2i在复平面上对应的点的坐标

为()

A.(2,3)B.(2,-3)C.(3,2)D.(-3,2)

【答案】C

【解析】由复数的几何意义可知复数z=3+2i在复平面上对应的点的坐标为(3,2).

故选：C.

变式7.(2023春糊北•高一宜昌市夷陵中学校联考)已知复数z=(加+2)+(m+l)i在复平面内对应的点在

第三象限，则实数机的取值范围是()

A.(-2,-1)B.(-oo,-2)U(-l,+℃)C.(-l,+oo)D.(-<»,-2)

【答案】D

【解析】因为复数z=(冽+2)+(加+l)i在复平面内对应的点在第三象限，

所以，八，解得加<-2,

所以实数机的取值范围为(-*-2).

故选：D.

题型五：复数与复平面内的向量的关系

【方法技巧与总结】

复数与平面向量的对应关系

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即

为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复

数、复平面内的点、向量之间的转化.

例13.(2023・高一课时练习)在复平面内，。是原点，向量方对应的复数是3+i,点A关于虚轴的对称

点为B,则向量OB对应的复数是.

【答案】-3+i

【解析】向量方对应的复数是3+i,即/(3,1),

则点A关于虚轴的对称点为2(-3,1),

则向量画对应的复数是-3+i.

故答案为：-3+i

例14.(2023・高一课时练习)把复数1+i对应的点向右平移1个单位长度得到点A,把所得向量方绕点。

逆时针旋转90。，得到向量砺，则点B对应的复数为.

【答案】-l+2i

【解析】因为复数1+i对应的点的坐标为(1,1),

uu±

所以点A的坐标为(2,1),即向量。4=(2,1),

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所以向量砺=(-1,2),即点B的坐标为卜1,2),

所以点8对应的复数为-l+2i,

故答案为：-l+2i.

例15.(多选题)(2023春•山东青岛•高一统考期末)已知复数4对应的向量为西，复数Z?对应的向量为

M，则下列说法正确的是()

A.若pZ1卜1,则Z]=±l或土i

B.若Z]=4+3i,z2=3+4i,则2忆2=(1,-1)

C.若|zi+z2|=|z「Z21则西，区

D.若(厉+运),(公一百)，则团=同|

【答案】CD

【解析】当4=工+在i时，满足|西|=1,故A错误；

12211

%=西一鬲=(3,4)-(4,3)=(-1,1),B错误；

设4=。+历，z2=c+cA,a,b,G<7GR,

若+Z2I=|ZI—z2],则(a+c)2+(b+d『=(Q_0)2+伍_4)2,

化简得：ac+bd=0,

故西•区=〃c+bd=0,所以函_L区，C正确；

设马=。+历，z2=c+c&fa,b,Gt/eR,

贝UOZ[+OZ2=(〃+Gb+d),OZ、—OZ?=(a—c,b—d),

若阿+丽、(厉_应)，

贝lj(a+c)(q_c)+(6+d)(b_1)=q-+b~-c~~d~=0,

所以1+〃=c2+/,

则㈤=㈤,D正确.

故选：CD

变式8.(2023春・福建福州•高一校联考期末)已知复平面内的点力,3分别对应的复数为4=2+i和

Z2=-l-2i,则向量加对应的复数为()

A.1-iB.-1-iC.-3-3iD.3+3i

【答案】D

【解析】由题可得/(2,1),2(-1,-2),故而=(3,3),则向量而对应的复数为3+3i.

故选：D.

变式9.(2023・高一课时练习)若向量次与砺对应的复数分别是3+2i,-l+4i,则向量直对应的复数为

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()

A.-1B.4-2iC.-4+2iD.-3

【答案】B

【解析】因为向量次与砺对应的复数分别是3+2i,-l+4i,

则)=(3,2),方=(-1,4),

所以第=5-砺=(4,-2),则向量就对应的复数为4-2i,

故选：B.

题型六：复数的模及其应用

【方法技巧与总结】

复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较

大小，但它们的模可以比较大小.

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.

例16.(2023•高一课时练习)满足z+目=2+i的复数z为_____.

【答案】43+i

4

【解析】z=a+bi,aeR,Z>eR

因为z+|z|=2+i,所以〃+及+京芯=2+i

可得上+42+从=2

[b=\

可得J"+1=2—a,即得。？+l=(2—a)=a2—4a+4

3

计算可得。=

4

3

所以z='+i

4

3

故答案为：4+i

4

例17.(2023・高一课时练习)已知1为虚数单位,若复数2=°2一4+("2)血€2是纯虚数，则匕+1卜.

【答案】历

【解析】因为z=/-4+(a-2)i为纯虚数，

则02-4=0且。一240,所以。=—2,

所以匕+1|=|1-4i|=4+42=

故答案为：JT7.

34

例18.(2023・高一课时练习)设4/2是复数，已知㈤=1,|^2|=,|Z1-22|=V5,则k+Zz|=.

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【答案】V15

【解析】设Z]=。+bi(a,6£R),z2=c+d\^c,dGR),

222222

/.|zj=a+b=1,|z2|=c+d=9,

22

:.\zx-z^=(tz-c)+(/?-t/)=d+〃+/+/-2(ac+b^=40-2(ac+b^=5,

7」5

/.ac+ba=—,

2

|zj+Z21—(Q+c)+0+d)-u?+b?+c?+d?+2gc+bd>15,.，匕1+z2卜Jl5.

故答案为：V15.

变式10.(2023•高一课时练习)复数加(3+i)-(2+i)的模为&7,则实数加=

3

【答案】m=2^m=--.

【解析]丁根(3+i)-(2+i)=3m-2+(m-l)i,

/.(3m-2)2+(m-l)2=17,

3

解得冽=2或加=一小

、3

故答案为：m=2^m=

变式11.(2023•高一课时练习)若复数z=a+2i(i为虚数单位，QER),满足目=3,则〃的值为.

【答案】土石

【解析】由目=3得目="方=3na=±百，

故答案为：士石

题型七：复数模的几何意义

【方法技巧与总结】

复数模的几何意义可以延伸为目表示复数z对应的点Z与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决

有关的问题，考查直观想象素养.

例19.(2023・全国•高一专题练习)已知i为虚数单位，复数4=1+后，在复平面中将4绕着原点逆时针

旋转165。得到Z2，则Z2=.

【答案】-也—6

【解析】4=1+后在复平面内对应的点为所以=2,且CM与X轴正方向的夹

角为60。，

将其逆时针旋转165。后落在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为60。+165。-180。=45。，所以对应的点为

所以z?=—V2—V2i.

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故答案为：-亚-扬・

例20.（多选题）（2023•高一课时练习）在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是l+2i,

-2+i,0,则第四个顶点对应的复数可以是（）

A.3—iB.—1+3iC.3+iD.—3—i

【答案】BCD

【解析】第四个点对应复数为Z,

贝Uz+1+2i=-2+i+0或z-2+i=1+2,+0或z+0=1+2i-2+i,

所以z=-3-z•或z=3+i或z=-l+3i.

故选：BCD.

例21.（2023春・辽宁丹东•高一凤城市第一中学校考阶段练习）平行四边形CM8C中，顶点。、/、C在复

平面内分别与复数0,3+2i,-2+4i对应，则顶点8对应的复数为（）

A.l+6iB.5-2iC.3+5iD.-5+6i

【答案】A

【解析】由题可得0（0,0）,/（3,2）,C（-2,4）,设3（3）,

因为四边形。N3C为平行四边形，所以况=无，即（3,2）=（x+2,y-4）,

fx+2=3

所以I.c，解得X=l,y=6,

b-4=2

所以点8对应的复数为l+6i.

故选：A.

变式12.（2023・全国•高一假期作业）已知平行四边形的三个顶点42,C分别对应的复数为

4+2i,4-4i,2+6i,则第四个顶点。对应的复数为（）

A.-2+12iB.-2+2iC.2+iD.2+12i

【答案】D

【解析】由题知，/（4,2）,8（4,-4）,C（2,6）,设。（xj）.

则/8=（0,-6）,DC=（2-x,6-y）.

因为4BCD为平行四边形，所以益=1元.

[2-x=0,[x-2

由AA，解得4

[6-y=-6口=12

所以点。（2,12）对应的复数为2+12L

故选：D.

题型八：复数的轨迹与最值问题

【方法技巧与总结】

利用几何意义进行转化.

例22.（2023春・上海青浦•高一上海市朱家角中学校考期末）若zeC,且|z|=l,贝!]|z-l-2"的最大值是

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【答案】V5+1

【解析】目=1,则复平面上表示复数z的点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，上-1-2i|表示Z到点/(1,2)

的距离，

■；3=右,所以|z-1-2i|=田|的最大值为V5+1.

故答案为：V5+1.

例23.(2023・高一单元测试)如果复数z满足|z_l|+|z+l|=2,那么的最大值是.

【答案】V5

【解析】|z-l|+|z+l|=2,则复数z对应的点在T和1两个数对应点的连线段上，

即设z=a+6i,贝！J-lWaWl,6=0,

|^-1-i|=yl(a-I)2+1»。=-1时，得最大值为+1=石.

故答案为：V5.

例24.(2023春•辽宁沈阳・高一东北育才学校校考)已知复数z=a+bi(a,beR)满足|z+l|=|z+l-8i|,求

|z+l+i|+|z-5-i|的最小值.

【答案】10

【解析】复数z=a+bi(a,beR),由|z+l|=|z+l-8i|,即|(a+1)+历|=|(a+1)+@-8)i|,

于是得J(a+1)2+6?=J(a+1)2+(6-8)2,整理得^=4,aeR,即z=a+4i,

|z+1+i|+|z—5—i|=|(a+1)+5i|+|(a—5)+3i|=+1)2+5~+J(a-5)?+(-3)~表小点P(a,0)与点N(_l,_5)、

8(5,3)距离的和,

显然点尸在x轴上，而线段与x轴相交，因此，|z+l+i|+|z-5-i|=|P/|+|必闫/引=10,

当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”，

所以|z+l+i|+|"5—i|的最小值是10

故答案为：10

【同步练习】

一、单选题

1.(2023・高一课时练习)与x轴同方向的单位向量为耳，与V轴同方向的单位向量为它们对应的复数

分别是()

A.反对应实数1,互对应虚数i

B.1对应虚数i,当对应虚数i

C.反对应实数1,瓦对应虚数-i

D.1对应实数1或一1,当对应虚数i或」

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【答案】A

【解析】由题意可知耳=0,0）,瓦

所以在复平面内之对应实数1,当对应虚数i.

故选：A.

2.（2023・高一课时练习）已知复数z满足目=2,且（z-a）2=a,那么实数。不可能取的值是（）

1+V17

2

【答案】A

【解析】令2=》+必，则分别带入忖=2,（2-。）2=。中得

+yi-a)=a

x+y=4x2+y2

+(yi)2+2y(^x-a)i=a(x-a)―y2+2)(x_q)i=q

x1+y-4

(x-a)2-y2=a

2y(%_Q)=0

当>=0时，x=±2,a=l或a=4；

当x=a时，解得°J一后

综上：0=1-8或。=4或”1.

故选：A

3.（2023・全国•高一专题练习）下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质f类比得到复数z的性质|z|2=z2；

③已知a,6eR,若a-b>0,贝lja>b,类比得已知z2,z2eC,若q-z2〉。，贝Ijzpzz；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中推理结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确

由实数绝对值的性质|X'=一类比得到复数Z的性质IZ『=Z',

这两个长度的求法不是通过类比得到的，例如复数z=l+i,|z|=Vl2+l2=V2^|Z|2=2,

z?=（l+i/=i+2i+i?=2iw2,所以Izfwz?.故②不正确，

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对于③：已知Z1,z2eC,若Z「Z2>O,例如句=2+i/2=l+i,贝！］4-z2=1>0,但是复数4=2+1向=l+i

无大小关系，贝ijzpzz不成立，故③错；

由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.故④正确.

故结论正确的个数是2.

故选：B.

4.(2023•全国•高一专题练习)已知复数z=l+i的共辗复数是7,z、7在复平面内对应的点分别是N、B,

。为坐标原点，则”08的面积是()

A.yB.IC.2D.4

【答案】B

【解析】复数z=l+i,则==「i，又，z、7在复平面内对应的点分别是/、B,

所以-1),又0(0,0),则OA=e,OB=®,4B=2,

可得三角形是边长为行的等腰直角三角形，其面积S=Jx0x8=l.

故选：B.

5.(2023・高一课时练习)复数2=/-62+(°+|啦(凡6€2为纯虚数的充要条件是()

A.a=±bB.a<0S.a=-b

C.“>0且Q=bD.a>05.a=±b

【答案】D

,9II—b?=0

【解析】要使复数2=。92-62+(0+加136€2为纯虚数，贝|J

11［a+pp0

若a>0,则a+|b|=2a>0；若aV0,贝1_］。+|6|=。一。=0,

所以a>0且a=±b.

故选：D.

6.(2023・高一课时练习)在复平面内，点A,B对应的复数分别为-3+5i,3+2i.若C为靠近点B的线段

的三等分点，则点C对应的复数是()

A.l+3iB.—1+3iC.5+iD.1+4i

【答案】A

【解析】设C(x,y),•••点A,B对应的复数分别为-3+5i,3+2i,

.•./(-3,5),3(3,2),则於=(x+3,y-5),AB=(6,-3),

・••C为靠近点B的线段AB的三等分点，

——.2—•1x+3=4(x-1

:.AC=-AB,A,解得，

30-5=-2［了=3

.■.C(l,3),对应复数为l+3i.

故选：A.

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7.（2023•高一课时练习）复数6+5，与-3+4,分别表示向量次、砺，则表示向量强的复数在复平面内

对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】因为复数6+5/•与-3+4-分别表示向量方、OB，

所以复数6+5，与-3+4,在复平面内对应的点分别为/（6,5）、5（-3,4）,

所以血=（6,5）-（-3,4）=（9,1）,所以说对应的复数为z=9+i,

所以表示向量曲的复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

8.（2023・高一课时练习）下列说法正确的是（）

A.2+i大于2-i

B.若4=z?,则句、Z?一定都是实数

C.若复数z满足则z一定是实数

D.若Z]>Z2，则Z「Z2不一定大于零

【答案】C

【解析】虚数不能比较大小，故A错误；

两个虚数的实部和虚部相等，则这两个虚数相等，故B错误；

若复数z满足贝”一定是实数，故C正确；

若4>?2，则Z]-Z2一定大于零，故D错误

故选：C

二、多选题

9.（2023春•广西贺州・高一平桂高中校考阶段练习）已知复数z=3-4i（其中i是虚数单位），则下列命题

中正确的为（）

A.忖=5B.z的虚部是4

C.z-3+4i是纯虚数D.z在复平面上对应点在第四象限

【答案】ABD

【解析】A：复数？=3-4i,则目=）32+（-4）2=5,故A正确；

B：z=3-4i的虚部是-4,故B正确；

C：z-3+4i=3-4i-3+4i=0,是实数，故C错误；

D：z在复平面上对应点的坐标为（3,-4）,在第四象限，故D正确.

故选：ABD.

10.（2023•高一单元测试）若非零复数ZE分别对应复平面内的向量为，砺，且,+Z2|=|z|-zj,线段48

的中点M对应的复数为4+3i,则（）

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22

A.OALOBB.OA=OBC.|zj+|z2|=10D.卜「+"「=100

【答案】AD

【解析】如图所示，由向量的加法及减法法则可知历+历，BA=OA-OB，

又由复数加法及减法的几何意义可知归+Z21对应区的模，归-z?|对应诙的模，

因为B+司=卜-Z21，所以四边形a4cB是矩形，则次_L9，

又因为线段的中点M对应的复数为4+3i,所以|次|=2|而|=10,

所以匕|2+"『=|厉『+|砺『斗君『=]00.

故选：AD.

11.（2023・高一课时练习）下列命题中正确的是（）

A.在复平面内，实数对应的点都在实轴上

B.在复平面内，纯虚数对应的点都在虚轴上

C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数

D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数

【答案】ABC

【解析】对于A选项，在复平面内，实数对应的点都在实轴上，故正确；

对于B选项，在复平面内，纯虚数对应的点都在虚轴上，故正确；

对于C选项，在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数，故正确；

对于D选项，实数零对应的点也在虚轴上，故错误的.

故选：ABC

12.（2023・高一课时练习）（多选）已知4/2为复数，则下列说法不正确的是（）

A.若4=z2,则阂=忆|B.若句h2，则匕[国z?|

C.若马>4，则㈤,Z2ID.若团>㈤,则

【答案】BCD

【解析】若4>马，则4/2为实数，当4=1/2=-2时，满足4>4，但㈤<"|，故C项不正确；

因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确；

当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1-iwl+i,但|1-+所以B项不正确;

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因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确.

故选:BCD.

三、填空题

13.(2023•高一课时练习)在正方形。ACVF中，若面对应的复数为l+2i,则而对应的复数为.

【答案】-l-2i

【解析】因为两对应的复数为l+2i,所以的=(1,2)

在正方形。MNP中，NP=-OM=(-1,-2)

则标对应的复数为-l-2i

故答案为：-l-2i

14.(2023•高一单元测试)设复数1,2i,5+2i在复平面上对应的点分别为/、B、C,则“SC的形状是

【答案】直角三角形

【解析】因为复数1，2i,5+2i在复平面上对应的点分别为/、B、C,

所以点A的坐标为(1,0),点8的坐标为(0,2),点C的坐标为(5,2),

所以|/8|=石，"。|=2斯，忸C|=5,

所以=|SC|2,所以03c为直角三角形，

故答案为：直角三角形.

15.(2023・高一课时练习)已知复数二=/"+泊，若z是纯虚数，则实数。=.

【答案】1

【解析】因为复数z=/-°+ai,且z是纯虚数，

所以:，解得4=1,

wO

故答案为：1

16.(2023•高一单元测试)设复数4,z2满足㈤=1,z2=2-i,\zx-z^2,则匕+2?1=

【答案】2亚

【解析】设4=。+初,

则J/+6?=1,Zj—z2=a—2+(b+\)i,+z2—a+2+(b—\^i,

由于马=2—i,\zl~-2,

所以(a-2)2+(6+l『=4,整理得：2=4a-2b,

所以匕I+z?|=J(a+2)2+(b-l)2=Ja2+4a+4+6,-26+1

=^a2+b2+4a-2b+5=78=272.

故答案为：2VL

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四、解答题

17.(2023•高一课时练习)已知复数Z]、Z2满足z2=(l+ai)z/aeR),且㈤=2,|z[+z2]=6,求实数。的

值.

【解析】Z2=(l+ai)Z|,|z,|=2,

所以"1+=|(2+oi)z[=