第1章 勾股定理（培优篇）-北师大版八年级数学上册阶段性复习

第1章勾股定理（培优篇）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.图中不能证明勾股定理的是（）

2.若AABC的三边长a、b、c满足a2+》2+c2=6a+86+10c-50,那么AABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

3.如图，在Rt^ABC中，以AC为直角边向外作用"8,分别以AB,BC,CD,D4为直径向外

作半圆，面积分别记为S/,S2,S3,S4,已知H=3,S2=l,邑=7,则5为（）

A.2B.3C.5-73D.6-273

4.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且以=3,尸8=4,PC=5,以3c为边在AABC外作

△BQCmABPA,连接PQ,则以下结论中不正确的是（）

A.ZPBQ=60°B.ZPQC=90°C.ZAPC=120°D.ZAPB=150°

5.如图，在△ABC中，AB=13,8c=14,SAABC=M,。是8C的中点，直线/经过点D,AEM,BFM,

垂足分别为E,F,则AE+2尸的最大值为（）

A

A.15B.12C.10D.9

6.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为16cm,在容器内壁离容

器底部3cm的点5处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到

饭粒需爬行的最短路径是（）

A.20cmB.4V13cniC.10cmD.2阮cm

7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦

图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABC。，正方形EbGH,正方形MNKT

的面积分别为邑，&,S3.若S/+S2+S3=12,则下列关于S/、S2、S3的说法正确的是（）

A.Si=2B.S2=3C.S3=6D.8+8=8

8.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=10,BC=12,点。是AABC内的一点，连接AD,CD,

D.13

9.如图,A、B两点在直线1的两侧，点A到直线1的距离AC=4,点B到直线1的距离BD=2,且CD=6,P

为直线CD上的动点，则|X4-PB|的最大值是（）

A.60B.2>/2C.25D.6

10.如图，在RMABC中，ABAC=90。，以HAABC各边为斜边分别向外作等腰Rt^ADB、等腰RtVAFC、

等腰RtABEC,将等腰Rt^ADB和等腰RtNAFC按如图方式叠放到等腰RtABEC中，已知SmGKJE=3,

S四边形=13,则AC长为（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.在AABC中，ZACB=45°,A。是BC边上的高，上有一点E,连接CE,CE=AB,在BC上取

一点/使NZMP=2NACE,DF=14,BD=36,则AE=.

12.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽

平行且大于A。，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路

程是米.（精确到01米）

AB

13.已知在△ABC中，AB=8,BC=5,ZA=30°,则△ABC的面积是.

14.如图，已知RSA8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点P是BC边上的一个动点，点B与夕

是关于直线AP的对称点，当△CP斤是直角三角形时，8P的长=.

15.如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形

MNKT的面积分别为S,,52,邑，若凡+Sz+$3=144,则邑的值是.

16.我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上

与木齐.问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，

绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是_____尺.（注：/丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上

生长，误差忽略不计）R

B

H

K

17.在AABC中，若4+62=25,1一62=7,c=5,则最长边上的高为.

18.如图所示，△ABC中，ZACB=90°,AB=13,BC=U,是/CA8的平分线，若P、。分别是

4。和AC上的动点，贝UAC=,PC+PQ的最小值是.

AB

三、解答题(本大题共6小题，共60分)

19.(8分)如图，已知RtZvlBC和RtaADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB^AC,AD=AE,点C

在线段BE上，连接DC交AE于点O.

(1)DC与BE有怎样的位置关系？证明你的结论;

(2)若BC=7,CE=5,求DE的长.

20.(8分)已知：如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=16,点D在BC上，DAJ_CA于A.求：BD

的长.

21.(10分)如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速

度向北偏东60。的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域.

(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？

(2)若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

北

22.(10分)如图，点C为线段3D上一点，△/RC,都是等边三角形，AD与CE交于点F,BE

与AC相交于点G.

(1)求证：VACD^VBCE；

(2)求证：AACF%BCG

(3)若CF+CG=8,3D=25,求八4。的面积.

23.（10分）有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE

=40cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm.一小虫想从鱼缸外的点A

处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵.

（1）小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；

（2）试求小虫爬行的最短路程.

24.（12分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则

称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.

•特例感知

①等腰直角三角形勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

②如图1,已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是A8边上的高.若8。=2&。=2,

试求线段的长度.

•深入探究

如图2,已知aABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB,CO是AB边上的高.试探究线

段与C8的数量关系，并给予证明;

c

图2

•推广应用

如图3,等腰AABC为勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CO为AB边上的高，过点。向BC边引平

行线与AC边交于点E.若CE=a,试求线段。E的长度.

图3

参考答案

1.A

【分析】

根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论片+步=02,找出不能证明的那个选项.

解：A选项不能证明勾股定理；

1

B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式(。+329=4><5"+。2,可得。2+〃=02；

C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式("+')2=2人工"+工02,可得片+力2=02；

222

D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2x=a6=a2+62+2x=",

22

可得片+/=-

故选：A.

【点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法.

2.B

【分析】

先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可.

解：a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,

移项得，a2+^2+c2-6a-8*-10c+50=0,

-6。+9+Z?2-8b+16+c~—10c+25—0，

(a-3)2+(&-4)2+(c-5)2=0,

a—3=0,Z?—4=0,c—5=0,

a—3,b—4,c—5,

a2=9,b2=16,c2=25,

a2+b2=(?,

△/IBC是直角三角形，

故选：B.

【点拨】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过

等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长.

3.B

【分析】

以A3,BC,CD,ZM为直径向外作半圆的面积分别为S/,S2,S3,S4,再分别用含48、BC、CD、

AD的式子表示S/,S2,S3,S4,结合回,+台^^二^^二⑺二仞?，可得S/+S2=S3-S4,从而可得答案.

解：•..以AB,BC,CD,0A为直径向外作半圆的面积分别为S/,S2,S3,S4,

邑=/料="，

S3=)CD=-CD2,

8P

邑=gpAD--pAD2,

8

222

S|+S2=1/?AB+1/?BC=](6+BC),

S3-邑=1CD2-卜4h=1p(C£>2-A£>2],

ZABC=ZCAD=90°f

AB2+BC2=AC2=CD2-AD2,

・•・+BC2)=-p(CD2-AD2),

S1-\~S2=S3~S4,

•・5=3,S2=l,8=7,

•••3+1=774,

:・S4=3,

故选：B.

【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键.

4.C

【分析】

根据“BC是等边三角形，得出NABG60。，根据"QC丝48朋，得出NCBQ=/48P,PB=QB=4,

B4=QC=3,ZBPA=ZBQC,求出/尸8。=60。，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△8尸。

是等边三角形，MC。是直角三角形即可判断D；求出乙4PC=150o/QPC,和尸C#2QC,可得/。尸。30。，

即可判断C.

解：:△ABC是等边三角形，

Z.ZABC=60°,

：.ZCBQ=ZABP,PB=QB=4,

PA=QC=3,ZBPA=ZBQC,

：.ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+NABP=ZABC=60°,

所以A正确，不符合题意；

PQ=PB=4,

P22+2C2=42+32=25,

PC2=52=25,

：.PQ2+QC2=PC2,

：.ZPQC=9Q°,

所以B正确，不符合题意；

;PB=QB=4,ZPBQ=60°,

ASP。是等边三角形，

ZBPQ=60°,

：.ZAPB=ZBQC=ZBQP+ZPQC=600+90°=150°,

所以D正确，不符合题意；

ZAPC=360o150°60°ZQPC=150°ZQPC,

VPC=5,QC=PA=3,

：.PC^2QC,

•・•NPQC=90。，

・•・NQPCW30。，

・•・ZAPC^120°.

所以C不正确，符合题意.

故选：C.

【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理,

解决本题的关键是综合应用以上知识.

5.A

【分析】

如图，连接AD,作加工/垂足分别为加，N,可证△放）方注△CDN（A4S）,BF=CN；由

S“5c=gx3CxAM=84,求得A"的值，在中，由勾股定理得3M=办9—A”,求得5M的

值，CM=BC-BM,求得CM的值，在心△ACM中，由勾股定理得4?=回尸石尸，求得AC的值；

S^CDH+S&ADH=工SgBc，可得;=彳XZ）Hx（CN+AE）,可知当/_LAC时，Q"最小，CN+AE最大,

2，2

此时有gsAMcugxDaxCN+goHxAE,解得。归的值，进而求解CW+AE的值，故可知BR+AE的最

大值.

解：如图，连接AD,作AML8C,OV，/垂足分别为M,N

由题意知比）=8

在*DF和△CDN中

NBFD=NCND=90。

ZBDF=CDN

BD=CD

・・・3BDF沿卫DN(AAS)

：.BF=CN

ARCxx

*.*S△ADC=—2BCAM=84

/.AM=n

在Rt^ABM中，由勾股定理得BM=y/AB2-AM2=5

：.CM=BC-BM=9

在RtAACM中，由勾股定理得AC=\JAM2+CM2=15

・・qic-J_V

,晨CDH丁LAD"~2AABC

/.-S=-xDHxCN+-DHxAE

2A22

=；xDHx(CN+AE)

.•.当/J_AC时，最小，CN+AE最大

，止匕时SAnr=-xCDxAM=-xACxDH

解得

/.CN+AE=84x—=15

28

，3F+AE的最大值为15

故选A.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识.解题的关键在于将线段和与面积联

系求解.

6.B

【分析】

根据题意，得圆柱形容器的侧面展开图为矩形“NPQ,根据矩形的性质，得MK、KB,延长AM于

点A,且40=AM,连接A'3,A'B交MQ于点S,连接AS,根据全等三角形的性质，通过证明

AAMS^/^MS,得AS=AS；根据两点之间直线段最短的性质，得蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为

AS+BS,根据勾股定理的性质计算得A3,即可得到答案.

解：根据题意，圆柱形容器的侧面展开图为矩形“NPQ,过点8作即，NP,交NP于■AH,过点2

作3Kl.MN,交MN于点K；

K...................

NHP

根据题意，得：AM=3cm,MQ=NP=l6cm,MN=QP=12cm,NH=PH,BH=3cm

：.NH=PH==NP=8cm

2

VBHLNP,BK±MN,4=90°

四边形为矩形

KB=NH^8cm,KN=BH=3cm,ZAMQ=90°

：.MK=MN-KN=12-3=9cm

如下图，延长AM于点A,且A〃=AM,连接A3,A'3交M。于点S,连接AS

A'

K..................

NHP

在△AMS和AA,MS中

"A'M=AM

■ZA'MS=ZAMS=90°

MS=MS

：./\AMS^/\AMS

：.AS=AS

根据题意，蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为AS+BS

"：AM=AM

'：AMAM^3cm

：.AK=A'M+MK=12cm

AB=^AK2+KB2=4屈cm

AS+BS=A'S+BS=A'B=4A/13cm,即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是4V(Gem

故选：B.

【点拨】本题考查了全等三角形、勾股定理、两点之间直线段最短、矩形的知识；解题的关键是熟练

掌握矩形、勾股定理、两点之间直线段最短的性质，从而完成求解.

7.D

【分析】

根据八个直角三角形全等，四边形ABC，EFGH,MNKT是正方形,得出CG=NG,CF=DG=NF,

再根据三个正方形面积公式列式相加：Sl+S2+S3=U,求出G产的值，从而可以计算结论即可.

解：,•・八个直角三角形全等，四边形ABC。，EFGH,MNKT是正方形，

:.CG=NG,CF=DG=NF,

Si=(CG+£)G)2,

=CG2+DG-+2CGDG,

=GF~+2CGDG,

2

S2=GF,

22

S3=(NG-NF#=NG+NF-2NG-NF,

22222

Sx+S2+S3=GF+2CG-DG+GF+NG+NF-2NG-NF=3GF=12,

:.GF2=4,

S2=4,

Sj+S2+S3=12,

S]+邑=8,

故选：D.

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质,

根据已知得出3G产=12是解决问题的关键.

8.C

【分析】

如图，取AC中点。，连接。0.则点。在以点。为圆心，AC长为直径的圆周上运动，当0、D、B

在同一直线上时，QB最短，此时BD=OB-OD=OB-5为最短.所以比＞=08-00=08-5=13-5=8,即为fiD

的最小值.

解：如图，取AC中点。，连接。O.

-,•ZADC=90°,

二点。在以点。为圆心，AC长为直径的圆周上运动，且。O=；AC=gxl0=5,

当。、D、8在同一直线上时，。8最短，此时8D=OB-OD=OB_5为最短.

在Rt\OCB中，

OC=5,3c=12,

则08=JI5f=13'

:.BD=OB-OD=OB-5=13-5=8,

即BD的最小值是8.

故选：C.

B

【点拨】本题主要考查了两点之间最短距离的问题，解题的关键是正确构造圆和运用勾股定理.

9.C

解：作点8关于直线I的对称点?，连接并延长，与直线/的交点即为使得|尸4-尸理取最大值时对应

的点P.

A

此时|PA-=|=AB'.

过点B'作B'E，AC于点瓦如图,

四边形B'DCE为矩形，

B'E=CD=6,EC=B'D=BD=2.

:.AE=2.

AB'=>JAE2+B'E2=2A/10.

|9-尸目的最大值为：2M.

故答案为2标.

10.D

【分析】

设AD=£>8=a,AF=CF=b,BE=CE=c,由勾股定理可求〃+〃=/,由

S四边形GHCE—S四边朝硒*S四遢叫4—16,可求6=4忘，即可求解・

解：设AO=OB=a,AF=CF=b,BE=CE=c,

•.AB=-^2a>AC=BC=c,

'：ZBAC=90°,

J.AB^AC^BC2,

2a2+2b2=2c2,

/.a2+b2=c2,

・・,将等腰R3A05和等腰RtLAR?按如图方式叠放到等腰RtLBEC,

BG=GH=a,

,。四边形GHCE。四^^GKJE丁Q四迦阴HCJ'

(a+c)(c-a)=16,

Ac2-〃=32,

2

：.b=32f

:,b=4近,

・・・4。=型=8,

故选：D.

【点拨】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键.

11.12

【分析】

延长DB至G,是的G3=AE,连接AG,设NAC£=cr,/ZMF=2NACE,则NZMF=2a,证明

ZRtACED,可得AADG/RSCED,进而导角可得,可得FA=FB=BD+DF,在RtAADP

中，AD2+DF2=AF2,勾股定理列出方程解方程即可求解.

解：如图，延长03至G,使GB=AE,连接AG,

ZACB=45。，是BC边上的高，DF=14,BD=36,

.•.AADC是等腰直角三角形，

设NACE=a,

•••NDAF=2ZACE,

贝！]NZMF=2(z,

在RtAABD与R1CED中，

[CE=AB

[AD=DC>

RtAABD且Rt^CED(HL),

:.ZBAD=ZDCE,BD=DE=36,

:.ZGAB=ZACE,

ED=BD,

・•GB=AE,

AD=GD,

「.△AZ)G是等腰直角三角形，

:.ZGAD=ZG=45°f

ABAD=45。一e,

:.ZFAB=ZDAF+ZBAD=2a+45°-a=45°+a,

■.■ZABF=ZG+ZGAB=450+a,

:.NFBA=NFAB,

.-.FA=FB=BD+DF=14+36=50,

在Rt&4Db中，AD2+DF2=AF2,

即（AE+ED）2+DF2=AF2,

..（AE+36）2+142=50"

解得AE=12.

故答案为：12.

【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等角对等边，证

明£4=必是解题的关键.

12.2.6

【分析】

将木块展开，根据两点之间线段最短及勾股定理即可求出答案.

解：如图，将木块展开，

可知蚂蚁从A点到达C点时，在横向上移动的距离为：2+2x0.2=2+0.4=2.4（米）,

在纵向上移动的距离为：8c=1（米）,

由两点之间线段最短可知，从点A处到达C处需要走的最短路程为：72.42+12=2.6（米）•

故答案为：2.6

【点拨】本题考查两点间最短距离，需要想象着将木块展开再进行计算，对空间想象能力要求较高,

有一定难度.

13.8g±6##86+6或8右-6

【分析】

过点3作3D，AC于点。，分高在三角形内部或者外部两种情形，然后根据勾股定理计算即可.

B

过点8作应＞，AC于点。

①当高2。在AABC外部时，

在AABC中，ZADB=90°,AB=8,ZA=30°

BD=-AB=4

2

由勾股定理得AD=\lAB2-BD2=782-42=4G

在RABC。中，BC=5

由勾股定理得CD=yjB^-BD1=A/52-42=3

AC=AD-CD=4y/3-3

S&ABC=-AC.BD=^x(4s/3-3)x4=Syf3-6

②当高8。在"BQ内部时，

在中，ZAPS=90°,AB=8,ZA=30°

:.BD=-AB=4

2

由勾股定理得AD=ylAB2-BD2=A/82-42=46

在RtABCp中，BCX=5

由勾股定理得CR=ylBC2-BD2=452—42=3

AC}-AD+CjD=4^3+3

SMBG=-1AC1.BD=1X(4A/3+3)X4=8A/3+6

综上，△ABC的面积是8力±6.

故答案为：8\/3±6.

【点拨】本题考查的是勾股定理，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想思考问题.

14.里

【分析】

根据题意分三种情形：①NPCQ=90。，②/CPB=90。，进而利用勾股定理构建方程求解即可，③反

证法证明ZPB'C=90°的情形不成立.

；•AB=yjAC2+BC2=V32+42=5，

由翻折的性质可知，AB=AB'=5,

在中，PC2+CB'2=PB'2,

(4-x)2+22=x2,

②如图2中，当/C尸9=90。，设

过点A作A7U2P交夕尸的延长线于点T,则四边形ACPT是矩形,

：.PT=AC=3,AT=CP=4-y,

在•△ATB'中，AB'^AP+B'T2,

•*.52=(4-y)2+(y+3)2,

解得y=l或0(0舍弃)，

：.PB=\,

③若ZP3'C=90。，如图点C与C，是关于直线A尸的对称点，连接AC',8C'

C<\/~~亨B

\\//

、、//

B'

由题意可得NABP=NAB'P

■.■ZABC+ZCAB=90°

若ZPB'C=90°,ZAB'C+ZAB'P=90°

ZAB'C=ZCAB

根据对称性可得ZAB'C=ZABC

:.ZCAB=ZABC

:.AC//BC

:.C'BYBC

•.•AC=AC'=3,BC=4

根据平行线之间的距离相等，

若AC〃BC,则A到的距离等于4

而AC=3<4

.〔AC不平行BC'

二假设不成立

:.ZPB'C^9Q°

综上所述，尸8的值为：1或1■.

2

【点拨】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题.

15.48

【分析】

用a和6表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出邑的面积.

解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为。，较短

的长度为b,即图中的=AH=b,

222

则51=钻2=（。+与2,s2=HE=a+b,SS=TM2=9_/,

:4+邑+S=144,

/.(a+6)-+cr+b2+(a-Z>)2=144

ci~+b~+2ab+a2+b?+/+b~—2ab—144

3a2+3b2=144

a2+b2=48,

$2=48.

故答案是：48.

【点拨】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用.

16.29.

【分析】

这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角

因此葛藤长，2。2+2产=29(尺).

答：葛藤长29尺.

故答案为：29.

【点拨】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形

后为直角三角形按照勾股定理可求出解.

17.

5

【分析】

解方程〃+〃=25,。2=7可求得a=4,b=3,故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积

转化得到斜边上的高.

解：：/+/=25,/-/=7,

将两个方程相加得：2a2=32,

Va>0,

：.a=4

代入得：不+/=25,

Vb>0,

；.b=3,

Va=3,b=4,c=5满足勾股定理逆定理,

/.△ABC是直角三角形，

如下图，ZACB=90°,CD±AB,

S=-ACBC=-ABCD,

△ADRUC22

即：-.3-4=--5CD,

22

12

解得：CD=y,

12

故答案为：—.

【点拨】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一

个底乘对应高等于另一个底乘对应高.

18.5—

13

【分析】

(1)根据勾股定理即可求出AC的长度；

(2)过点C作CML48交于点交A。于点P,过点尸作PQLAC于点。，由是/BAC的

平分线.得出这时PC+P。有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC,再运用

AB-CM=^AC-BC,得出CM的值，即PC+P。的最小值.

解：在放AABC中，ZACB=9Q°,AB=13,BC=12,

AC=VAB2-BC2=V132-122=5;

如图，过点C作CMLAB交AB于点M,交A。于点尸，过点尸作PQLAC于点0,

是/8AC的平分线.

：.PQ=PM,这时PC+尸。有最小值，即CM的长度，

"：AC=5,BC=\2,ZACB=90°,

'：S^c=^AB.CM=^AC.BC,

.ACBC5x1260

..CM=---------=-------=——.

AB1313

故答案为：5；.

【点拨】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点尸、。的位置是解题关键.

19.(1)DCLBE,见分析;(2)13

【分析】

(1)易证ABAE=再根据全等性质即可求得；

(2)由BC和CE可得BE,再由全等的5E=CD,再根据勾股定理即可求得；

解：⑴DCLBE.

证明：-,-ZBAC=ZDAE=90°

:.ZBAE=ZCAD.

在A54E和ACW中，

BA^CA

<NBAE=ZCAD

AE=AD

:.ABAE=^CAD

:.ZAEB=ZADC.

・・•ZAOD=ZCOE

.\ZECO=ZDAE=90°

:.DC±BE.

zz

AA\

BCE

(2)-.-^BAE^CAD

:.BE=CD

・.，BC=Q,CE=5

:.BE=CD=12

・・・/DCE=90。

/.CE2+CD2=DE2.

.*.DE2=52+122=132

:.DE=13.

【点拨】本题考查三角形全等和勾股定理，掌握三角形全等条件是解题的关键.

20.-

2

【分析】

先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6,设则。£=8r,DC=16-x.在和

心△AOC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2-AC2,继而代入求出x的值即可.

解：如图，过点A作AELBC于点£,

'：AB=AC=10f3016,；・BE=CE=8,

在R3ACE中，利用勾股定理可知：AE=yjAC2-CE2=V102-82=6,

BD=x,贝DC=16-x,

又ZM_LG4,

在RtAAOE和RtAADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2-AC2,

7

代入为：62+(8-X)2=(16-X)2-1()2,解得：X=—.

7

即BD=~.

2

【点拨】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在R34ZJE和RtAADC中分别利

用勾股定理，列出等式AD^A^+DE^DC2-AC2.

21.(1)A城受到台风的影响；(2)4.

【分析】

(1)点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M,若AM>500则A城不

受影响，否则受影响；

(2)点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G,则AADG是等腰三角形，由于

AMXBC,则M是DG的中点，在RtAADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是

受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间.

北

(1)A城受到这次台风的影响，

理由：由A点向BC作垂线，垂足为M,

在RtAABM中，ZABM=30°,AB=600km,则AM=300km,

因为300V500,所以A城要受台风影响；

(2)设BC上点D,DA=500千米，则还有一点G,有

AG=500千米.

因为DA=AG,所以△ADG是等腰三角形，

因为AMLBC,所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM,

在RtAADM中，DA=500千米，AM=300千米，

由勾股定理得，MD=7AD2-AM2=400(千米)，

则DG=2DM=800千米，

遭受台风影响的时间是：t=800+200=4(小时)，

答：A城遭受这次台风影响时间为4小时.

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度x时间等，构造出直角三角形是解

题关键.

22.(1)见分析；(2)见分析；(3)2573

【分析】

(1)根据SAS即可证明^BCE乌AACD；

(2)由△AC。丝△BCE可得/CBG=/CAF,从而利用A&4可证明△ACF四△8CG；

(3)求出CG=CT=4,过G作于V,过点P作尸A