第2章 等式与不等式（基础典型易错新文化压轴）分类专项训练

第2章等式与不等式（基础、典型、易错、新文化、压轴）

分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2021•上海市通河中学高一阶段练习）已知"<0<〃，则下列说法中一定正确的是（）

A.m2>rrB.一<—C.mn>rrrD.-J—m<>Jn

mn

【答案】B

【分析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.

【详解】当〃z=-l,"=2时，满足〃工止匕时机2<〃2,故A错误；因为所以"!■<（）,—>0,

mn

—<—,B正确；因为“<0<〃，所以加〃<0,m2>0,^mn<nr,C错误；当〃?=-2,”=1时，满足;，

mn

•J-m=y/2,6'=1，所以<-m>y,D错误.

故选：B

2.（2021.上海奉贤区致远高级中学高一期中）若6为非零实数，则下列不等式中成立的是（）

A.|<2+£>|>|<7-/?|B."+"C.（a+^）2>abD.—+—>2

22ab

【答案】C

【分析】A.如：a=l,b=-l,所以该选项错误；

B.如a,b都是负数，显然不成立，所以该选项错误；

C.利用作差法证明该选项正确；

D.6异号显然错误.

【详解】解：A.|。+。|>|。一耳错误，如：a=\,b=-1,所以该选项错误；

B.老2族错误，如a,6都是负数，显然不成立，所以该选项错误；

C.（竺^）2-帅=丝左20,所以（字了24成立，所以该选项正确；

242

D.2+错误，。力异号显然错误.

ab

故选：C

3.（2021・上海市张堰中学高一期中）若a,b,ceR,且。>人，则下列不等式中一定成立的是（）

2

A.（^a—b^c1>0B.ac>bcC.a-\-b>b—cD.------->0

a-b

【答案】A

【分析】AB选项利用不等式的基本性质进行判断，CD选项举出反例

【详解】A选项：因为所以。一匕>0,c2>0,所以（。一»。2之。，故A选项正确；B选项：当cv。

时，ac<be,当c=0时，ac=be,故B错误；C选项，令a=2,b=l,c=-5时，不成立，

故C选项错误；D选项：当c=O时，」一=0,D选项错误，故下列不等式中一定成立的是A

a-b

故选：A

4.（2021•上海市桃浦中学高一期中）下列四个命题中，为真命题的是（）

A.若a>b,则ac2>bc2

B.若a>b,c>d,则a-c>6-d

C.若a>|b|,则a?〉/

D.若a>b,则一>—

ab

【答案】C

【分析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可.

【详解】当c=0时，A不成立；

2>1,3>-1,而2—3<1—（―1）,故B不成立；

a=2,6=1时，—<1,D不成立；

2

由。>|例知a>0,所以。2>按，c正确.

故选：C.

5.（2021.上海市徐汇中学高一阶段练习）当。>b>c时，下列不等式恒成立的是（）

A.ab>acB.cz|c|>/?|c|C.|aZ?|>|Z?c|D.（o-Z?）|c-Z?|>0

【答案】D

【分析】对于ABC,举例判断即可，对于D,利用不等式的性质判断即可

【详解】对于A,若。=-l,6=-2,c=-3,贝lJaZj=2<ac=3,所以A错误，

对于B,若a=2,Z?=l,c=。，则44=0="c|=0,所以B错误，

对于C,若a=-l,>=-2,c=-3,则|闻=2<匠|=6,所以C错误，

对于D,因为a>b>c,所以a一6>0,卜一耳>0,所以（a—6）匕一4>0,所以D正确,

故选：D

6.（2021.上海市大同中学高一阶段练习）已知x>，>z且x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是（）

A.xy>yzB.xz>yz

C.孙〉xzD.x|y|>z|y|

【答案】C

【分析】首先根据已知条件得到尤>0,z<0,y无法判断，再依次判断选项即可.

【详解】因为x>y>z且无+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,即x>0.

又因为3z<x+y+z=0,即z<0.

所以x>0,z<0,y无法判断.

对选项A,当y=0时，*故A错误；

对选项B,因为了>儿z<0,所以xz<yz,故B错误；

对选项C,因为>>z,尤>0,所以孙>xz,故C正确；

对选项D,当y=0时，x|y|=z|y|,故D错误.

故选：C

7.（2021・上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）若。也ceR,且。>>，则下列不等式中一定成立的是

（）

A.（a—Z?）c2>0B.ac>bc

c1

C.a+b>b-cD.------>0

a-b

【答案】A

【分析】对于AB,利用不等式的性质判断即可，对于CD,举例判断

【详解】对于A,因为所以。">0,因为,220,所以（。-6）。220,所以A正确，

对于B,若c<0,时，可得accbc,所以B错误，

对于C,若。=2,Z?=l,c=-3,贝lja+b=3</?—c=4,所以C错误，

对于D,若c=0,贝U—=0,所以D错误，

a-b

故选：A

8.（2021.上海师大附中高一阶段练习）己知6,c都是实数，则下列命题中真命题是（）

A.若a>b,则B.若色>2,贝

CCCC

C.若a>b,则&?>秘2;D.若ac?>bc°,则。>6

【答案】D

【分析】当c<0时可判断A,B；当c=0时可判断C；利用不等式的性质可判断D,进而可得正确选项.

【详解】对于A：若a>b,c<0,-<0,则即故选项A不正确；

CcccC

对于B：若c<0,则幺-c<2c即。<6,故选项B不正确;

CCCC

对于C：若a>b,c=0,可得QC2=》C2,故选项c不正确;

对于D：若〃（？>庆2,贝卜2>0,所以2>0,所以。。2.：>尻2.尚即

故选项D正确;

故选：D.

9.（2021•上海市延安中学高一阶段练习）若a>6>0,c<d<0,则一定有（）.

A.ac<bdB.ad<beC.ac>bdD.ad>bc

【答案】A

【分析】根据不等式的性质可判断.

【详解】解：根据c<d<。，有一c>-d>0,由于a>6>0,两式相乘有一。。>一64,。<;<61,

故选：A.

二、填空题

10.（2022・上海徐汇・高一期末）已知关于x的不等式依2一3彳+2>0的解集为卜卜<1或则人的值为

【答案】2

37

【分析】由题意可得1和b是方程加-3x+2=0的两个根，由根与系数的关系可得1+6=工卜6=*，从

aa

而可求出b的值

【详解】因为关于x的不等式依2_3x+2>0的解集为卜卜<1或x>可，

所以1和匕是方程依2_，3X+2=0的两个根，

所以1+6=工卜6=—,解得。=1力=2,

aa

故答案为：2

2

11.（2022・上海・同济大学第二附属中学高一期末）若%+%=3,V+X2=5,则以毛、演为根的一元二

次方程可以是.（写出满足条件的一个一元二次方程即可）

【答案】X2-3%+2=0

【分析】利用两数和的完全平方公式得到百马，再利用根与系数的关系写出一个满足条件的方程.

22

【详解】因为%+%=3,Xj+x2=5,

所以再%=丁+/2）

即该一元二次方程的两根之和为3,两根之积为2,

所以以不、巧为根的一元二次方程可以是Y一3x+2=0.

12.(2021.上海市大同中学高一期中)关于无的不等式|x+l|+|x+c|,,l有解，则实数c的取值范围是

【答案】[0,2]

【分析】将问题转化为求解Qx+il+lx+ci).,利用三角不等式求解即可.

【详解】关于X的不等式|x+l|+|x+c|,,1有解，则(IX+lI+|x+c|)1nhiVI,

|+11+1x++1)-(x+c)|=|c-l|,当且仅当(x+l).(x+e)M0时取等号,

(|x+l|+|x+c|)1nm=|c-l|,

BPk-l|<l,解得04c42,

则实数c的取值范围是[0,2].

故答案为：[0,2].

13.(2021.上海市张堰中学高一期中)函数〃x)=|x-3|+|x+l|的最小值为.

【答案】4

【分析】利用绝对值三角不等式进行求解

【详解】由绝对值三角不等式得：/(x)=|x-3|+|x+l|>|x-3-(x+l)|=4

所以函数〃x)=|x-3|+|x+l|的最小值是4

故答案为：4

14.(2021・上海中学高一期中)不等式(片+1卜<3的解为.

【答案】(-8,士3)

a+1

【分析】根据不等式的性质求解.

3

【详解】因为〃+1>0,所以原不等式的解为％<£.

a+1

3

故答案为：C-00,—~-).

a+1

15.(2021•上海市第二中学高一期中)设实数％、y满足1%+>1=1,则孙的最大值是.

【答案】7

4

【分析】对孙的符号进行分类讨论，结合基本不等式求得孙的最大值.

【详解】若异号，则孙<。，

若％=0,则孙=。，

若y=0,则孙=0,

若X，y同为正数，则x+y=l,q<（亨j=:,当且仅当X=y=g时等号成立.

若X,y同为负数，贝（]x+y=-l,（-x）+（—y）=l,

xy=（-%）.（一y）<（卷2：=；,当且仅当—=一、=-g时等号成立.

综上所述，冲的最大值为!.

故答案为：—

4

16.（2021•上海市延安中学高一期中）已知实数x、y满足—1<XV2,-3<y<5,则x-y的取值范围为

【答案】（F5]

【分析】求出-5〈-yW3即得解.

【详解】因为-3<y<5,所以一5<-y<3,

又因为-1<XV2,

所以一6<x-yV5.

故x-V的取值范围为（Y,5].

故答案为：（-6,5]

17.（2021・上海市延安中学高一期中）不等式=40的解集是.

X-Y

【答案】[一2,1）

【分析】将分式不等式等价转化为不等式组，求解即得.

【详解】原不等式等价于卜+2）（：一?4°,解得一2?x1,

[x—lwO

故答案为：[-2,1）.

18.（2021.上海市行知中学高一阶段练习）已知不等Y式-L/7*<0的解集为A,且2eA,则实数。的取值范

x-a

围是.

【答案】（F,-2）一（2,y）.

【分析】将2代入不等式，解出即可.

【详解】因为2eA,所以”<（）=台|>0=。€（-8,-2）52,+8）.

故答案为：（YO,-2）L（2,+oo）.

19.（2021•上海市行知中学高一阶段练习）关于工的不等式2Y+X—1〈。的解集为.

【答案】"

【分析】将不等式因式分解，进而解得答案.

【详解】由题意，2X2+X-1<0^（X+1）（2X-1）<0,则不等式的解集为：

故答案为：（―1为］

三、解答题

20.（2021•上海奉贤区致远高级中学高一阶段练习）比较下列两组数的大小.

（1）2x2+%与％2—1；

（2）2a2+2从与（〃+6

【答案】（1）2X2+X>X2-1;（2）2。2+2/之（。+勾2.

【分析】应用作差法，结合二次函数的性质及因式分解，即可判断代数式的大小关系.

【详解】（1）2x2+x-（x2-1）=x2+x+l,令/（%）=f+工+1,可知函数图象开口向上且A=-3<0,

・・・/。）>。恒成立，即2炉+%>/一i.

（2）24+2/一（。+与2=。2-2ab+b2=（a-b）2>0,

2a2+2b2之,当时等号成立.

21.（2021・上海•高一专题练习）比较5N+y2+z2与2xy+4x+2z—2的大小.

【答案】5x2+y2+z2>2xy+4x+2z~2

【分析】两式作差，化为完全平方式可判断符号，从而判断两式的大小.

【详解】因为5x2+y2+z2—（2xy+4x+2z—2）=4x2—4x+1+/—2xy+y2+z2—2z+l=（2x—1）2+（%—y）2+（z

—1）2>0,所以5/+,2+22n2孙+44+22—2,当且仅当"且z=l时取到等号.

22.（2021・上海•高一专题练习）已知一元二次方程力x+c=o（〃彳0）的两实根为％/、彩，证明：

|«|

【分析】先写出韦达定理，再把韦达定理代入㈤弱化简即得证.

【详解】由韦达定理得：Xl+X2=--,X1X2=-,

aa

则|x/X2|=J®-/=J（X|+X2）2-4X[X2=《Mt="5H'

所以原题得证.

23.（2021•上海•高一■专题练习）设awR,求关于x的方程内二片+尤_]的解集.

【答案】当awl时，解集为｛。+1｝；当a=l时，解集为R.

【分析】移项得（a-l）x=/T,再分awl,a=l两种情况讨论求解即可.

【详解】解:移项，得（。-1）彳=。2—1,

当awl时，x=-——-=a+l,故解集为｛。+1｝；

〃一1

当。=1时，方程有无数个解，全体实数均可以，所以解集为R.

综上，当。wl时，解集为｛a+1｝；当。=1时，解集为R.

24.（2021・上海•高一专题练习）（1）2（x+l）3（x2）>8；

f3x-2（5-3x）>8

02x<2（2x+3）

【答案】⑴（mO）；（2）（2,+co）.

【分析】（1）直接合并同类项即可求解；

（2）分别解两个一次不等式，取公共部分即可得解.

【详解】（1）去括号，得2尤+23尤+6>8

整理得，x>0,则x<0,所以解集为（-8,0）；

f9x>18

（2）由原不等式组可得.、

[2x>-6

[x>2/、

解得，x>-3'所以不等式组的解集为（2，+8）・

【典型】

一、填空题

1.（2021•上海市金山中学高一期中）不等式3丑Y+一424的解集是___________.

x-2

【答案】（2,12]

12—x

【分析】移项通分化简，等价转化为进一步等价转化为二次不等式（组），注意分母不能为零，然

x-2

后求解即得.

丫+\12-x)(x-2)>0

【详解】原不等式等价于3^4t-420,化简12得-r又等价于

x—2x-2%—2w0

解得：2Vx<12,

故答案为：（2』2].

Q

2.（2021・上海・高一单元测试）当X>1时，求2%+号的最小值为___________.

x-1

【答案】10

【分析】化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.

88

【详解】当x>l时，2xH-------=2(x—1)H---------F2>2.2(x—l)—-—1-2=8+2=10>

x-1x-1Vx-1

X>1

当且仅当8，即1=3时等号成立.

2（I）F

Q

***2xH-------的最小值为10.

x-1

故答案为：10.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

Y+3

3.（2021・上海虹口.高一期末）不等式一Mo的解集为.

x-17

【答案】[-3,1）

【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.

【详解】原不等式等价于尸解得-3*1,

故答案为：43,1）.

4.（2021・上海.高一期中）不等式,V尤的解集是.

【答案】{x|TW尤<0或尤21}

【分析】利用移项通分，转化为整式不等式组，即得答案.

111_r2

【详解】一V%,.0.—x<0,/.----<0.

XXX

(x-l)(x+l)^o

X

Jx>0、Jx<0

1(x-l)(x+l)>0^1(x-l)(x+l)<0?

不等式的解集是{x[T<x<0或xNl}.

X

故答案为{x|TVx<0或xNl}.

【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于简单题.

2

5.(2021・上海・高一单元测试)己知4=k,+21,尤eJ?}吁吐Li则AB-

【答案】卜2,4]

【分析】求出集合A、B,然后利用交集的定义可求出集合AB.

【详解】解不等式3"221=3。，得x+220,解得转―2,则4=[-2,y).

OY1丫

解不等式一^41，即二74。，解得-3<x?4,则3=(-3,4].

x+3x+3

因此，AB=[-2,4].

故答案为：[-2,4].

【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了指数不等式和分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于

基础题.

6.(2021.上海虹口•高一期末)不等3式+九号W0的解集为_____.

x-1

【答案】[一3,1)

【分析】解分式不等式二一40即可得出该不等式的解集.

x-1

【详解】解不等式注wo得-3Wx<l,因此，不等式二40的解集为卜3,1).

x-1x-1

故答案为：

【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

7.(2021・上海•高一期中)已知集合&={刈1。82苫<1},B={X\^-<Q],则AB=_______.

x+2

【答案】(0,1)

【分析】根据对数不等式以及分式不等式的解法求解出对应解集即为集合AB,然后由交集运算计算出

A8的结果.

【详解】因为log?x<l,所以。<尤<2,所以4=（0,2）,

又因为猾<0,所以（x—l）（x+2）<0,所以3=（-2,1）,

则A3=（0,1）.

故答案为（0,1）.

【点睛】（1）解分式不等式注意将其先转变为整式不等式的形式，然后再求解集；

（2）解对数不等式时要注意到对数的真数大于零这一隐含条件.

8.（2021・上海市行知中学高一阶段练习）关于x的不等式尤?+6尤+0>0的解集是（-巩-2）则

b+c=.

7

【答案】4

【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与

系数的关系，得到b和。的值，得到答案.

【详解】因为关于X的不等式f+6x+c>0的解集是（-巩-2）1；，+，］，

所以关于x的方程无2+fov+c=0的解是了=-2,工=-二，

2

—2—=—b,5

2b=—

由根与系数的关系得（、，解得，2,

-2x--=cc-1

7

所以b+c=］.

【点睛】本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题.

二、解答题

9.（2021・上海•高一专题练习）解关于x的不等式：x2-（3a-V）x+2a1-2a>0.

【分析】根据条件得［彳一（。一1）］（》一2。）>0,讨论口一1与2a的大小，求解即可.

【详解】原不等式可化为［尤-l）］（x-2a）>0,

讨论与2〃的大小.

（1）当a—l>2a,即av—1时，不等式的解为｛N吊。-1或x<2〃｝；

（2）当。一1=2。，即。=一1时，不等式的解为｛xeR|xw-2｝；

(3)当a-l<2a,即a>-l时，不等式的解为｛尤|»2。或x<a-l｝.

综上：当“<-1时，不等式的解为国耳。-1或x<2a｝；当。=-1时，不等式的解为｛尤eR|xr-2｝；当。>—1

时，不等式的解为｛刃力2a或

'|2.r-l|<5

10.(2021.上海.高一单元测试)解不等式组：1

----W1

Lx-i

【答案】[-2,1)32,3]

【分析】将绝对值不等式转化为一次不等式组求解；将分式不等式转化为二次不等式，并注意分母不为零

求解；然后取交集得到原不等式组的解集.

【详解】由|2x-l|w5得一5V2龙一1W5,BP-2<x<3；

由「7Ml得口W0,即等价于](2一"，一：)"。，

X—1%—1x—\[1—1W。

解得光V1或122；

・,・原不等式组的解集为[-2,1)D[2,3],

故答案为：卜2,1)。[2,3].

【易错】

选择题(共4小题)

1.(2021秋•长宁区校级期中)已知机、w是非零常数，不等式机(尤+1)(x-3)20的解集为A,不等式

n(x+1)(尤-3)>0的解集为8,则““加<0”是"AUB=R”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【分析】根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即

可.

【解答】解：①当机〃<0时，若相<0,则〃>0,此时A=[-l,3],B=(-8,-1)u(3,+8),

所以AU2=R；

当机>0,w<0时，此时A=(-8,-1]U[3,+8),B=(-1,3),所以AUB=R,

所以umn<On是"AUB=&”的充分条件；

②当AUB=R时，若m<0,此时A=[-l,3],

当〃<0时，B—(-1,3),不满足题意，

当〃>0时，B=(-8,-1)U(3,+8),符合题意，此时"2〃<0；

若机>0,此时A=(-8,-1]U[3,+8),

当w>0时，B=(-8,-1)U(3,+8),不符合题意；

当〃<0时，B=(-1,3),满足题意，此时加〃<0；

所以是“AUB=R”的必要条件.

综上所述，“相〃<0”是“AUB=R”的充要条件.

故选：C.

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，一元二次不等式的解法，集合之间关系的运用问题，

也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题.

2.(2021秋•黄浦区校级月考)设x,y,ze(0,+°°),a=x+—,b=y+—,c=z+—,则a,b,c三数()

yzx

A.至少有一个不大于2B.都小于2

C.至少有一个不小于2D.都大于2

【分析】将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c26,从而推出a,b,c

的范围.

【解答】解：a+b+c—x+—+y+—+z+—：>'6,

yzx

'.a,b,c至少有一个不小于2.

故选：C.

【点评】基本不等式是高考重点考查的知识点之一，应用基本不等式时，要熟练掌握不等式成立的条件

与重要不等式的变形.

3.(2021秋•浦东新区校级月考)下列各组不等式，同解的一组是()

2

A./-2x<3与-J-2三〈旦_

X-lX-1

B.(x+3)/>(2x+l)x2与x+3>2x+l

C.'七W)与x+l>0

x-3

2

D.J+4x>2与工+m―>————

(x+l)2(x+l-

2

【分析】对于选项A,x=l是不等式7-2r<3的解，不是三二工的解，故不同解，同理排除

X-lX-1

选项8,C；对于选项。，xjx>————可化为<,结合(-1)2+4(-1)<2知，

(x+l)2(x+l)2[X2+4X>2

.„等价于/+4尤>2.

,x，4x>2

【解答】解：对于选项A,

2

X=1是不等式/-2尤<3的解，不是9-2三V工的解,故不同解，

X-lX-1

对于选项B,

x=0是不等式x+3>2x+l的解，不是(x+3)/>(2x+l)/的解，故不同解，

对于选项C,

尤=3是不等式x+l>0的解，不是(x-3)(x+1)>o的解,故不同解，

x-3

对于选项D,

,・x2+4x>2

,(X+1)2(x+l)2'

.(x+1卢0

,，,X2+4X>2，

又，;(-1)2+4(-1)<2,

等价于f+4x>2,

.x^+4x>2

2

故不等式?+4.r>2与.x+4x〉2同解；

(x+1)2(x+1)2

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的解法应用，重点考查了分式不等式的转化，属于中档题.

4.(2021秋•普陀区校级期末)若不等式|x-4|-|x-3忌。对一切实数x£R恒成立，则实数a的取值范围

是()

A.a>1B.a<1C.aWlD.

【分析】此题为恒成立问题，若不等式|了-4|-以-3忌。对一切实数尤)^恒成立，则。一定大于等于|x

-4|-|x-3|的最大值，再把|x-4|-|x-3|看作函数解析式，利用图象求出值域，找到最大值即可.

【解答】解：设fG)=|x-4|-|x-3|,去绝对值符号，

T,x<3

得/(x)=<7-2x,34x<4，

-1,x>4

画出图象，如右图，根据图象，可知函数的值域为[0,1]

不等式|x-4|-|x-3|Wa对一切实数xCR恒成立，

大于等于/（x）的最大值，即“21

故选：D.

>4

____________L

034X

【点评】本题主要考查了恒成立问题的解法，其中用到了图象法求函数的值域.

二.填空题（共8小题）

5.（2022•浦东新区校级二模）不等式工<1的解集为.

X

【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之

【解答】解：原不等式等价于曰〉0,即尤（X-1）>0,

X

所以不等式的解集为（1，+°°）U（-8,0）；

故答案为：（1,+8）U（-8,0）

【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之.

6.（2021秋•黄浦区校级月考）关于尤的不等式依+b>0的解集为（-8,1）,则关于尤的不等式区N_>

x+2

0的解集为.

【分析】由条件可得a+6=0（a<0）,再将分式不等式转化为二次不等式，即可求得解集.

【解答】解：由X的不等式以+b>0的解集为（-8,1）,

可得4+6=0（。<0）,

即b=-a,

关于x的不等式区卫>0即为

x+2

-ax-5,

x+2

即有211>0,

x+2

即为(尤+1)(x+2)>0,

解得x>-1或-2.

则解集为(-8,-2)U(-1,+8).

故答案为：（-8,-2）U（-1,+°°）.

【点评】本题考查含参不等式的解法，主要考查分式不等式的解法，注意转化为二次不等式求解，以及

方程和不等式的转化思想的运用.

7.（2021秋•宝山区校级月考）关于x的不等式2?+尤-1<0的解集为.

【分析】利用因式分解化27+xT<0为（2x-1）（尤+1）<0即可.

【解答】解：2/+x-1<0可化为（2x7）（x+1）<0,

即-1<尤<•1,

2

故不等式的解集为（-1,1）.

2

故答案为：（-1,1）.

2

【点评】本题考查了二次不等式的解法及化简运算的能力，属于基础题.

8.（2021秋•嘉定区校级期中）设团表示不超过x的最大整数，如=1.4]=-2,则不等式4国?

-20[.v]+21<0的解集是.

【分析】解一元二次不等式4印2-20[X]+21<0,再根据国表示不超过x的最大整数，即可求出尤的取

值范围.

【解答】解：不等式4印2-20[x]+21<0可化为（2田-3）（2[x]-7）<0,

解得旦〈田〈工，

22

又国表示不超过X的最大整数，所以印=2或3,

所以2Wx<4,

即不等式4印2-20W+2K0的解集是{x|2Wx<4}.

故答案为：{尤|2W尤<4}.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法以及对新定义的理解能力，是基础题.

9.（2021秋•奉贤区校级期中）如果关于尤的不等式仇-3|+仇-4|<。的解集不是空集，则实数。的取值范

围是.

【分析】先求表达式|x-3|+|x-4|的最小值，要求解集不是空集时实数a的取值范围，只要a大于表达

式|x-3|+|x-4|的最小值即可.

【解答】解：|尤-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x到3和4的距离之和，

当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1.其它情况都大于1,

所以「3|+|…|21,

如果不是空集，所以。>1,

故答案为：（1,+°°）.

【点评】本题考查绝对值不等式的几何意义，是基础题.

10.（2021秋•宝山区校级月考）已知函数>=/飞+1">0且aWi）的图像恒过定点P,且点尸在直线

mx+ny-2—0（mn>Q）上，则上+■的最小值为.

mn

【分析】由题意得方程[2r=0,从而确定2加+2〃-2=0,化简工3=（工3）6w+”）=丑+为+3,

Il+l=ymnmnmn

利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：:函数>=。2一%+1（〃>0且〃W1）的图像恒过定点尸，

...[2X-0,解得％=2,y=2,

Il+l=y

故点尸（2,2）,贝!J2M+2〃-2=0,

所以m十几=1（mn>0）,

所以工二=（工二）（m+n）=Il+_?5L+3,2V^+3,

mnmnmn

（当且仅当丑=2里，即机"=2-7历时，等号成立），

mn

故答案为：2加+3.

【点评】本题考查了函数、直线方程及基本不等式，应用了数形结合的思想方法及转化法，属于中档题.

11.（2021秋•宝山区校级月考）已知不等式三旦<0解集为A,且2EA,则实数a的取值范围

x-a

是.

【分析】由题意知2里<0,转化为（2+a）（a-2）>0,从而求得.

2-a

【解答】解：由题意知，

.2iKo,

2-a

即（2+a）（«-2）>0,

解得a>2或a<-2,

故实数a的取值范围是{o|a>2或。<-2},

故答案为：{。|。>2或-2}.

【点评】本题考查了分式不等式的解法及转化思想的应用，属于中档题.

12.（2021秋•奉贤区校级期中）不等式近2一丘-1<。恒成立，则实数4的取值范围为.

【分析】讨论上与0的关系，分别求出表达式恒成立的左的范围；k^O,不等式依2一日-i<o恒成立

fk<0

等价于„,解得人的范围.

△=k+4k<0

【解答】解：①仁0时原表达式为-1<0成立;

fk<o

②k¥0,不等式息2-履-l<0恒成立等价于<,解得-4<左<0；

A=k2+4k<0

综上k的取值范围为-4〈左W0；

故答案为：(-4,0].

【点评】本题考查了表达式恒成立时参数范围的取值；关键是讨论二次项系数与。的关系.

三.解答题(共2小题)

13.(2020秋•徐汇区校级期末)已知函数/(无)=/-Ca+b)x+a.

(1)若关于x的不等式/(x)<0的解集为(1,2),求a,b的值；

(2)当6=1时，解关于尤的不等式/(x)>0.

【分析】(1)由不等式/(%)<0的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、6的值；

(2)b=l时不等式可化为(x-a)(x-1)>0,讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集.

【解答】解：(1)由函数/(x)=/-(a+b)x+a,不等式/(x)<0化为x2-(a+6)x+a<0,

由不等式的解集为(1,2),所以方程，-(a+6)x+a=0的两根为1和2,

由根与系数的关系知：1l+2=a+b,解得。=2,b=l.

llX2=a

(2)6=1时不等式/(x)>0可化为/-(a+1)x+a>0,

即(x-a)(x-1)>0；

当a>l时，解不等式得尤<1或无>a；

当a=l时，解不等式得x#l；

当a<l时，解不等式得尤<a或x>l.

所以。>1时，不等式的解集为｛川尤<1或x>a｝；

a=l时，不等式的解集为｛尤|无#1｝；

a<l时，不等式的解集为｛无枕<a或x>l｝.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题.

14.(2021秋•徐汇区校级期中)若不等式5-尤>7|x+l|与不等式/+"-2>0同解，而|x-。|+|尤-b|W上的

解集为空集，求实数左的取值范围.

【分析】先将“不等式5-尤>7仅+1]”转化为卜》?、和卜两种情况求解，最

(5-x>7(x+l)5-x>-7(x+1)

后取并集，再由“与不等式cu^+bx-2>0同解"，利用韦达定理求得a,b,最后由u\x-6z|+|x-b\^k

的解集为空集”求得((\x-a\+\x-br最小值即可.

【解答】解：卜》?得

15-x>7(x+l)Z4

或Ifx<-l得（3分）

5-x>-7（x+1）

综上不等式的解集为{x|-2<x<4}>

又由已知与不等式aj^+bx-2>0同解，

（b9

■—二——

a4

所以解得（7分）

a2b=-9

a<0

则|x-a\+\x-b\^\x-a-x+b\=\b-a|=5,

所以当|x-a|+|x-勿W氏的解为空集时，k<5.（10分）

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解集与相应方程根的关系，以及不等式

恒成立问题.

【新文化】

一、单选题

1.（2021.上海交大附中高一开学考试）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆

原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘

物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称，某顾客要购买10g,售货员先将5g的

祛码放在左盘，将放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码放入右盘，将另一放于左盘使之平衡后

又给顾客，则顾客实际所得（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

【答案】A

【分析】设天平左臂长为。，右臂长为6（不妨设。>6）,先称得的的实际质量为风，后称得的的实际质

量为生.根据天平平衡，列出等式，可得叫，啊表达式，利用作差法比较叫+牡与10的大小，即可得答案.

【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为。，右臂长为