北京市某中学2024-2025学年上学期10月学业水平测量八年级数学试题（解析版）

初二年级数学十月学业水平测量

班级：姓名：学号：—

一、选择题（共24分，每小题2分）

1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下列四幅作品分

别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

A选项图形不是轴对称图形，不符合题意，

B选项图形不是轴对称图形，不符合题意，

C选项图形是轴对称图形，符合题意，

D选项图形不是轴对称图形，不符合题意，

故选C.

【点睛】轴对称定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形.

2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.3,4,5B.2,5,8C.5,5,10D.1,6,7

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，根据三角形的三边关系进行分析判断.

【详解】解：A、3+4>5,故能构成三角形，故此选项符合题意；

B、2+5<8,故不能构成三角形，故此选项不符合题意；

C、5+5=10,故不能构成三角形，故此选项不符合题意；

D、1+6=7,故不能构成三角形，故此选项不符合题意.

故选：A.

3.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD,其中=BC=DC,将仪器上的点A与/尸尺。的顶点

R重合，调整AB和4。，使它们分别落在角的两边上，过点4C画一条射线AE,AE就是/尸尺。的平

分线.此角平分仪的画图原理是（）

B.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【解析】

【分析】由“SSS”证明△ABC丝&DC,可得NB4C=NZMC,可证AE是/尸尺。的角平分线，即可求

解.

【详解】解：VABC和△ADC中,

AB=AD

BC=CD,

AC=AC

：.AABC^AADC(SSS),

：.ABAC=ADAC,

AE是/PRQ角平分线,

故选：A.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题

的关键.

4.如图所示，两个三角形全等，则/a等于（

A.72°B.60°C.58°D.50°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对

应边相等，对应角相等.根据图形得出DE=A3=a，。尸=AC=c,根据全等三角形的性质得出

ZD=ZA=5Q°,即可得出选项.

【详解】解:如图，

■/DE=AB=a,DF=AC=c,

又VABC和AD£F全等，

­.ZD=ZA=50°,

Z.a=50°,

故选：D.

5.若一个多边形的内角和等于1800°,这个多边形的边数是()

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【解析】

【分析】w边形的内角和可以表示成(小2)-180°,设这个正多边形的边数是“，就得到方程，从而求出边

数.

【详解】解：设这个多边形是“边形，

根据题意得：(«-2)xl80=1800,

解得:"=12.

这个多边形是12边形.

故选：D.

【点睛】此题考查了多边形的内角和定理.注意多边形的内角和为：5-2)xl80°.

6.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm,则该等腰三角形的腰长为

()cm

A.5B.6.5C.5或6.5D.6.5或8

【答案】C

【解析】

【分析】已知一边长为4cm,但是腰长和底边说不清楚，需要分两种情况讨论并运用三角形的三边关系判断

能否组成三角形.

【详解】解：当5cm是腰长时，底边为18-5X2=8,由5+5>8,可以组成三角形，即腰长为5；

当5cm是底边时，腰长为（18-5）4-22=6.5,由6.5+6.5>5,可以组成三角形，即腰长为6.5；

：：4+4=8,

综上所述，它的腰长为5cm或6.5cm,故选C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能

组成三角形.

7.如图，DE是VA3C中AC边的垂直平分线，若3C=6厘米，AB=10厘米，则△£»（?的周长为

A.14厘米B.16厘米C.24厘米D.26厘米

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

等.利用线段垂直平分线的性质得AE=CE,再等量代换即可求得三角形的周长.

【详解】解：:DE是VA3C中AC边的垂直平分线，

AE—CE，

：.AEBC的周长为BE+CE+BC=BE+AE+BC=AB+BC,

6厘米，AB=10厘米，

AEBC的周长为10+6=16厘米，

故选：B.

8.如图，CE是VABC的外角NACD的平分线，且CE交的延长线于点E,若=36°,ZE=20。，

则N5AC的角度是（）

E

BCD

A.76°B.56°C.52°D.90°

【答案】A

【解析】

【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，进而可求出NACD的度数，再根据三角形的外角性

质即可求出N5AC.

【详解】解：•••N5=36°,ZE=20°,

：.ZECD=ZB+ZE=56°,

•/CE平分NACO,

AZACE=ZECD=56°,ZACD=2ZECD=112°,

：.ZBAC=ZACD-ZB=112°-36°=76°,故A正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质

定理.

9.如图，ZC=90°,AD平分NB4c交3c于，若BC=5cm,5。=3c机则点。到AB的距离为

()

A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】由角平分线的性质可得。到的距离即为CD长，再求解的长即可.

【详解】解：：NC=90。，AD平分NB4c交3c于。

•••D到A3的距离即为。长

：CD=5—3=2,

至（JAB的距离为2cm.

故选：C.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本

题的关键.

10.如图，AB=AC,下列条件①N6=NC；②ZAEB=ZADC；③AE=A£＞；④3E=CE＞中，若

只添加一个条件就可以证明△ABEGAACD,则所有正确条件的序号是（

C.①②③D.②③④

【答案】c

【解析】

【分析】利用三角形全等的判定条件判定即可.

【详解】解：已知A3=AC,NA=NA

加上①ZB=ZC,可用“ASA”来判定△ABEZAACD.

加上②ZAEB=ZADC,可用"AAS”来判定△ABEGAACD.

加上③AE=A£＞，可用“SAS”来判定△ABEGAACD

加上④BE=CD不能判定AABE'ACD

故选C.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握是解题的关键.

11.如图，D,E分别为AABC的AC,BC边的中点，将此三角形沿。E折叠，使点C落在边上的点尸

处.若NCDE=48°,则/APD等于（）.

C

A.42°B.48°C.52°D.58°

【答案】B

【解析】

【分析】由翻折可得由中位线定理得。所以/APD=/PDE,进一步可得/AP。

=ZCDE.于是求出NAPD的度数.

【详解】解：是ACE。翻折变换来的，

:.APED"ACED,

：.NCDE=/EDP=48°,

是△ABC的中位线，

：.DE//AB,

：.NAPD=/EDP=/CDE=48°,

故选B.

【点睛】本题主要考查三角形中位线定理及折叠问题，熟练掌握三角形中位线定理及折叠问题是解题的关

键.

12.己知/AO3为一锐角，如图，按下列步骤作图：

①在。4边上取一点。，以。为圆心，0。长为半径画弧，交08于点C,连接。.

②以点。为圆心，。。长为半径画弧，交OB于点、E,连接若NCDE=30。，则NAO3的度数

为()

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握等

边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解答本题的关键.

根据画图过程，得到OD=OC=DE,由等边对等角可得NODC=NOCD，ZAOB=ZDEO,根据

三角形内角和定理与三角形外角的性质可得，ZOCD=1(1800-ZAOB),

ZOCD=ZCDE+ZCED=30°+ZAOB，则g(180°—NA03)=30°+NA05然后求解即可解答.

【详解】解：：以。为圆心，。。长为半径画弧，交于点C；以。为圆心，。。长为半径画弧，交

03于点E，连接

OD-OC=DE，

/.ZODC=ZOCD,ZAOB=ZDEO,

,：ZOCD=1(180°-ZAOB),ZOCD=ZCDE+NCED=30°+ZAOB,

.\!(1800-ZAOB)=30°+ZAOB,

解得：ZAOB=4Q°.

故选：C.

二、填空题(共24分，每小题3分)

13.一个正八边形的每个外角等于____度.

【答案】45

【解析】

【分析】本题考查了正多边形的外角.根据正多边形的每个外角相等，用外角和360°除以边数即可求

解.

【详解】解：正八边形的每个外角等于3600+8=45°,

故答案为：45.

14.在平面直角坐标系中.点P。,-2)关于x轴对称的点的坐标是.

【答案】(1,2)

【解析】

【分析】根据关于％轴对称点坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出对称点坐标.

【详解】解：点P。,—2)关于x轴对称的点的坐标是(1,2),

故答案为：(1,2).

【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是解答本题的关键.

15.已知：如图，A3平分NC4O.请添加一个条件,使得ZiABC且△A8D.(要求：不添加

辅助线，只需填一个答案即可)

C

AB

'D

【答案】AC=AD（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可.

【详解】解：根据AAS判定△ABC/△ABD,可以添加NC=ND,

根据ASA判定AABC名AABD,可以添加ZABC=ZABD,

根据SAS判定△ABC冬AABD,可以添加AC=AD,

故答案为：AC=AD（答案不唯一）.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题

型.

16.等腰三角形的一个内角是40。，则这个等腰三角形的底角大小为.

【答案】40。或70。

【解析】

【分析】未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.

【详解】解：①当这个角是顶角时，则底角为：（180。—40。）+2=70。；

②当这个角是底角时，另一个底角为40。，因为40。+40。VI80°,符合三角形内角和定理；

综上分析可知，这个等腰三角形的底角大小为40°或70。.

故答案为：40。或70。.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解题的关键是能够进行分类讨

论，难度不大.

17.如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线斯上的两点C、D,使

BC=CD,再过点。画出的垂线DE,使E与C、A在一条直线上，若想知道两点A,8的距离，只

需要测量出线段即可.

【答案】DE##ED

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判

断方法.

【详解】解：利用CD=6C,ZABC=NEDC,ZACB=NECD,即两角及这两角的夹边对应相等即

ASA这一方法，可以证明△ABC之△EDC,

故想知道两点A,2的距离，只需要测量出线段即可.

故答案为：DE.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.熟练掌握利用ASA证明三角形全等是解题的关键.

18.如图，EC与DA交于点B,ZACB=90°,ZA=60°,BD=BE,则/DEB的度数是.

D

【答案】75。

【解析】

【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出NABC=30。，再根据对顶角相等得出NDBE=30。，最后根据等腰

三角形的性质得出NDEB的度数即可.

【详解】在AABC中，ZACB=90°,ZA=60°,

.•.ZABC=90°-ZA=30°,

，ZDBE=30°,

VBD=BE,

/.ZDEB=ZBDE

180°—"BE1800-30°

ZDEB==75°.

22

故答案为:75°.

【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键.

19.如图，已知C3_LA。，AE1CD,垂足分别为8,E,AE,相交于点R若AB=8C=8,CF=2,连

结。凡则图中阴影部分面积为一.

【答案】6

【解析】

【分析】先利用垂直得到NAM=NC即=90°,再证明NA=NC,然后根据AS4可以判断

i^ABF=^,CBD)从而得到BD=BE,即可求出6Z)，从而可计算§阴=SACBD-同用。.

【详解】-.-CBLAD,AELCD,

ZABF=ZCEF=9Q°,

:.ZAFB=ZCFE,

.-.ZA=ZC,

在A4B厂和△CBD中，

ZA=ZC

<AB=BC,

ZABF=ZCBD=90°

.-.△ABF=ACBD(ASA),

:.BD=BF,

•;AB=BC=8,CF=2,

：.BD=BF=8-2=6,

•••S阴=S/B0—S/BD=gx6x8-gx6x6=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

20.在平面直角坐标系中，已知点A(1,2),B(5,5),C(5,2),存在点E,使AACE和AACB全

等，写出所有满足条件的E点的坐标.

【答案】(1,5),(1,-1),(5,-1)

【解析】

【详解】解：如图所示:

有3个点，当E在£、F、N处时，AACE和AACB全等,

点E的坐标是：（1,5）,（1,-1）,（5,-1）,

故答案为（1,5）或（1,-1）或（5,-1）.

【点睛】本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情

况.

三、解答题（共52分，第21-23题每小题5分，第24-26题每小题6分，第28-29题每题7

分）

2x-y=4,

21.（1）解方程组:

x+2y=-3.

x+2>3%—3,

(2)不等式组：<x-2<l+3x

x=l5

【答案】(1)<C；(2)-l<x<-

卜=-22

【解析】

【分析】本题考查了解二元一次方程，解不等式组，解题的关键是:

（1）利用加减消元法求解即可;

（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）

求出不等式组的解集即可.

2x-y=4①

【详解】解：（1）<

x+2y=-3②

①义2+②，得4x-2y+x+2y=8+(-3),

解得%=1,

把x=l代入①，得2—y=4,

解得y=-2,

%=1

•••方程组的解为IC；

b=-2

X+2>3x—3①

⑵②，

〔3一2

解不等式①，得

2

解不等式②，得1,

不等式组的解集为-l«x<3.

2

22.如图，在△ABC中，AD平分NBAC,尸为线段A。上的一个动点，交直线BC于点E,若/B

=35°,ZACB=85°.

(1)求ND4c的度数；

(2)求/E的度数.

【答案】(1)ZZ)AC=30°,

(2)ZE=25°

【解析】

【分析】(1)直接根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可得答案;

(2)根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质可的结果.

【小问1详解】

解：：N8=35°,ZACB=85°,

.\ZBAC=60°,

•.•4。平分/54(7,

1,

：.ZDAC=-ZBAC=30°；

2

【小问2详解】

1,

,：ZBAD=-ZBAC=30°,

2

：.ZADC=350+30°=65°,

VZ£PD=90°,

Z£=90°-65°=25°.

【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义和三角形外角的性质，根据已知得出

NBA。度数是解题关键.

23.如图，AB1CB,DC±CB,E、尸在BC上，ZA=ZD,BE=CF,求证：AF=DE.

D

BEFC

【答案】见解析

【解析】

【分析】由题意可得NB=/C=90。，BF=CE,由“A4S”可证△ABB会△£»(?£,可得

【详解】证明：-：ABLCB,DCLCB,

：.ZB=ZC=90°,

,:BE=CF,

：.BF=CE,B.ZA=ZD,ZB=ZC=90°,

二.△ABF咨ADCE(AAS),

：.AF=DE,

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.

24.在平面直角坐标系中，VA3C的顶点坐标分别为4(5,2),B(3,5),C(-l,-l),

一一

(1)画出VA3C关于y轴对称的△44G；

(2)分别写出A、耳、G的坐标；

(3)求的面积.

【答案】⑴见解析(2)4(-5,2),4(—3,5),G(1，~O

(3)12

【解析】

【分析】本题考查坐标与图形变换一轴对称.

(1)根据轴对称的性质，描出点A,B,C的对应点A，耳，G，顺次连接即可;

(2)根据图形直接写出点A,耳，q的坐标即可;

(3)利用分割法求44cl的面积即可.

【小问1详解】

解：如图，△a^iG即为所求，

解：由图可知：4(—5,2),男(—3,5),G(LT)；

【小问3详解】

解：G=6x6——x6x3—x2x3—x6x4=12.

1222

25.如图，VABC与△DC3中，AC与BD交于点E,且NABD=NDC4,AB=DC.

(1)求证：AABE学ADCE；

(2)当NHEC=80。，求/EfiC的度数.

【答案】(1)见详解(2)50°

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形内角和定理，是基础

题.

（1）利用“角角边”证明人钻石之八0泣即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CE,再根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理即可得

解.

熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

【小问1详解】

证明：在AABE和△£）色中，

ZABD=ZDCA

<NAEB=ZDEC,

AB=DC

4ABE咨八DCE(AAS)；

【小问2详解】

解：•.•△ABE2△OCE，

BE=EC,

:.ZEBC=ZECB,

180°—N3EC

ZEBC==50°.

2

故NEBC的度数为50°.

26.如图，四边形ABCD中，AB=AC,Z£>=90°,BELAC于点R交CZ>于点E,连接E4,EA

平分ZDEF.

（1）求证：AF=AD；

（2）若BF=ZDE=3,求CE的长.

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】

【分析】本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定与性质等知识点，运用HL证得

△AEBg/XAOC是解题的关键.

（1）直接运用角平分线性质定理即可证明结论；

（2）先证明△AFBZzXADC可得=即CD=7,最后根据线段的和差即可解答.

【小问1详解】

证明：90?,

AD±ED.

；BELAC于点EEA平分NDEF,

-'-AF=AD.

【小问2详解】

解：•••5ELAC于点孔

.,.ZAFB=90°.

在RLAFB和RtAADC中，

AB=AC,

AF=AD,

：.NAFB^VADC(HL).

BF=CD.

,/BF=1,

；•CD=7.

•；DE=3,

：.CE=CD—DE=1—3=4.

27.如图，等腰VABC中，AB=AC.

A

BC

（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）.

①作ZABC的角平分线交AC于点。；

②在边3c的延长线上作一点E,使CE=CD,连接DE.

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段3D与的数量关系，并证明.

【答案】（1）见解析；

（2）BD=DE，证明见解析.

【解析】

【分析】本题考查尺规作图：作角平分线和作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质与判定，角平分线

的定义，三角形外角的性质：

（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧与AB，3c相交，以这两个交点为圆心，以大于这两个

交点的距离的一半的长为半径画弧，两弧相交，作过点8与两弧交点的射线，与AC相交于点则即

为所求的ZA3C的角平分线.延长3C,以点C为圆心，的长为半径画弧，与5c的延长线相交于点

E,则CE=CD,连接DE；

（2）由6D平分/ABC可得=由CE>=CE得到NCDE=NCED,从而根据三角形

2

外角的性质得到NCED=L/ACB,又在等腰VA3C中，?ACB1ABC,因此NDBE=NDEB,

2

证得QB=r）E.

【小问1详解】

所求图形，如图所示.

3D平分/ABC,

：.ZDBC=-ZABC,

2

•/CD=CE,

NCDE=NCED,

•：ZACB=ZCDE+ZCED=2ZCED,

ZCED=-ZACB,

2

•：AB=AC,

：.?ACB?ABC

:.ZDBE=ZDEB,

/.DB=DE.

28.在AABC中，ZA=60°,BD,CE是AABC的两条角平分线，且BD,CE交于点F,如图所示，用等

式表示BE,BC,CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

晓东通过观察，实验，提出猜想：BE+CD=BC,他发现先在BC上截取BM,使BM=BE,连接FM,再利

用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可.

（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整；

①在BC上截取BM,使BM=BE,连接FM,则可以证明ABEF与_____全等，判定它们全等的依据是