比例线段（浙教版）

专题4.1比例线段【九大题型】

【浙教版】

►题型梳理

【题型1成比例线段的概念辨析】...............................................................1

【题型2成比例线段与比例尺的结合】..........................................................3

【题型3成比例线段的实际应用】..............................................................5

【题型4利用比例的性质求字母的值】..........................................................8

【题型5利用比例的性质求代数式的值】.......................................................10

【题型6利用比例的性质进行证明】...........................................................13

【题型7比例的性质在阅读理解中的运用】.....................................................15

【题型8分割的概念辨析】....................................................................19

【题型9分割的实际应用】....................................................................21

＞举一反三

【知识点1成比例线段的概念】

1.比例的项：

在比例式a:6=c:d（即3=£）中，a,d称为比例外项,6,c称为比例内项.特别地，在比例式a=6:c

bd

（即g=2）中，匕称为a,C的比例中项，满足Z?2=ac.

bc

2.成比例线段：

四条线段a,b,c,d中，如果。和b的比等于c和d的比，即q=9,那么这四条线段a,b,c,d

bd

叫做成比例线段，简称比例线段.

【题型1成比例线段的概念辨析】

【例1】（2023春・浙江杭州•九年级校考期中）已知线段°、6满足：=2,且a+26=28.

b

⑴求a、6的值；

（2）若线段尤是线段a、6的比例中项，求x的值.

【答案】（l）a=14,b=7

（2）7V2

【分析】（1）根据：=2可得。=26,再代入a+2b=28计算即可得；

（2）根据比例中项的定义求解即可得.

【详解】（1）解：4=2,

b

•••a=2b,

•••a+2b=28,

•••26+25=28,

解得b=7,

则a=2X7=14.

（2）解：•••线段久是线段a、6的比例中项，

x2=ab,即％?=14X7,

解得x=7或或x=-7迎＜0（不符合题意，舍去），

贝卜的值为7企.

【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键.

【变式11】（2023春•河南平顶山•九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为X,2,6,x+1,且它们是

成比例线段，贝卜的值为.

【答案】3

【分析】根据题意得X：2=6:（%+1）,根据比例的基本性质即可求解.

【详解】解：根据题意得％：2=6:（x+1）,即x（x+l）=2x6,

解得久1=3,x2——4（负值舍去）.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查比例线段的定义.注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序.然后根据

比例的基本性质进行求解.

【变式12］（2023春•浙江杭州•九年级校考期中）已知线段a、b满足7=2,且a+26=28.

b

⑴求a、b的值；

（2）若线段x是线段a、6的比例中项，求x的值.

【答案】（l）a=14,b=7

（2）7V2

【分析】（1）根据？=2可得a=2b,再代入a+2b=28计算即可得；

b

（2）根据比例中项的定义求解即可得.

【详解】⑴解：Y=2,

b

••・a=2b,

a+2b=28,

2b+2b=28,

解得b=7,

则a=2x7=14.

（2）解：••・线段x是线段a、b的比例中项，

x2—ab,即/=14x7,

解得x=7鱼或x=-7夜＜0（不符合题意，舍去），

贝辰的值为7a.

【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键.

【变式13］（2023春・上海宝山•九年级统考期末）如果a:6=10:15,且b是a和c的比例中项，那么b:c等于

（）

A.4:3B.3:2C.2:3D.3:4

【答案】c

【分析】由6是a、C的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得2=匕又由a:6=10:15,即可求得答

cb

案.

【详解】解：是a、c的比例中项，

・・b2——CLC,

ba

cb

Va:b=10:15,

.b_a_10_2

■•c-b-15-3’

故选：C.

【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键.

【题型2成比例线段与比例尺的结合】

【例2】（2023春•四川成都•九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2

厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行千米.

【答案】900

【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午n点20分到达共飞了2小时，根

据“比例尺是1：90000000",又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案.

【详解】解：甲乙两地的实际距离：

-1

2+---=180000000（cm）,

90000000'’

180000000cm=1800（千米），

1800+2=900（千米）；

答：这架飞机每小时行900千米.

故答案为：900.

【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键.

【变式21】（2023春•四川乐山•九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是

1：1000000,那么这两地间的实际距离是（）

A.1350千米B.135千米C.13.5千米D.1.35千米

【答案】B

【分析】根据比例尺定义代入计算，最后化单位即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

实际距离为：13.5x1000000=13500000（厘米），

.*.13500000（厘米）=135（千米），

故选B.

【点睛】本题考查比例尺的运用，解题的关键是熟练掌握比例尺的定义及注意单位化简.

【变式22】（2023春•全国•九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一

张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为

【答案】1：50000

【分析】根据比例尺的定义，用图上距离比实际距离即可.

【详解】4.8：240000=1：50000,

即这张平面地图的比例尺为1：50000.

故答案为1：50000.

【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与

另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.解

决本题的关键是记住比例尺的定义.

【变式23］（2023春•江苏连云港•九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000

的地图上的距离是____厘米.

【答案】6

【分析】根据比例尺的定义，可得实际距离x比例尺=图上距离，依此列式计算即可.

【详解】相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是2400000x」一=6（厘米）.

400000'

故答案为:6.

【点睛】本题考查了比例线段，比例尺的定义，掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键，注意单位

之间的换算问题.

【题型3成比例线段的实际应用】

【例3】（2023春•河北石家庄•九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该

班学生上、下学期各社团的人数比例.若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的

学生人数变化，下列叙述正确的是（）

文学社篮球社动漫社

上学期345

下学期432

A.文学社增加，篮球社不变

B.文学社不变，篮球社不变

C.文学社增加，篮球社减少

D.文学社不变，篮球社减少

【答案】A

【分析】设该班上、下学期的学生人数都为x人，然后按照该班学生上、下学期各社团的人数比例计算出

该班上、下学期的文学社的学生人数，上、下学期的篮球社的学生人数，再比较大小即可.

【详解】解：设该班上、下学期的学生人数都为无人，

则该班上学期的文学社的学生人数=/？=也，上学期的篮球社的学生人数

3+4+543+4+53

该班下学期的文学社的学生人数=京/=也，下学期的篮球社的学生人数=高了=》；

故上学期、下学期文学社团的学生人数增加了，篮球社团的学生人数不变.

故选：A.

【变式31】（2023春•六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm.如果有18本这

样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm?

【答案】45cm

【分析】根据题意知道，一本书的厚度一定，书叠起的高度与书的本数成正比例，由此列比例解答.

【详解】解：设书的高度是X厘米，

25：10=x：18

x=45

所以，书的高度是45cm.

【点睛】解答此题的关键是，先判断出哪两种相关联的量成何比例，再列出比例解答即可.

【变式32】（2023春・山东滨州•九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰

部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m

的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（）m

A.-1-V5B.-1±V5C.V5+1D.V5-1

【答案】D

【分析】设下部高为xm,根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高

度比列方程可解得答案.

【详解】解：设下部的高度为xm,则上部高度是（2-x）m,

•..雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，

・

••2-x—_―,x

x2

解得久=而—1或*=一曲—1（舍去），

经检验，％=花-1是原方程的解，

x=V5—1,

故选：D.

【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题.

【变式33］（2023春•九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB—CD的长BC=5,宽48=2,按照图中

所示方式将它裁成矩形4BFE与矩形CDEF.若矩形力BFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求4E的长.

【答案】AE的长为1或4或|.

【分析】根据题意设未知数，分笠=会和堂=两种情况进行讨论，求解即可.

ABDEABEF

【详解】解：设4E=x(0<x<5),

则DE=5-%.

应分两种情况进行讨论：

⑴当竺=",

ABDE

即3时，解得％=1或%=4；

25-X

⑵当竺=竺，即工=三时，解得x=g

ABEF222

综上所述，4E的长为1或4或|.

【点睛】此题考查成比例的线段，矩形的性质，解题关键在于掌握比例式两边的关系以及分情况讨论.

【知识点2比例的性质】

比例的性质示例剖析

(1)基本性质：—=—=ad=bcfjbdw0)3=3.2y

bd23

xy23八、

(2)反比性质：—=—«>—=—(abcd0)[=;=—=_z(肛/0)

bdac23xy

/C'HIIMHQcab

(3)更比性质：一=—o—二一或r

bdcd5=]=2=：或)=|"(肛W0)

dc23>3x2

-=-(abcdwO)

ba

/,、AirLHaca+bc+d/77八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性质：-=(bd^Q)=。O=a(yW0)

babay3y3

/_、t\riL,(n-aca—bc-d,,八、y3y—x3-2

(5)分比性质：一=一=----=-----(bd70)-=——二----(xwO)

bdbdx2x2

/八人八।…工aca+bc+d

(6)合分比性质：一二—o——=----x2x+>2+3/八、

bda—bc—d=尸=。a("0,xwy)

y3x-y2-3

(bdw0,a手b,c手d)

234

(7)等比性质：已知一=一二一，贝!J当1+y+zw0时，

xyz

acm八、2_3_4_2+3+4

—=—=•••=—z(7Jb+d-\---

bdnxyzx+y+z>

a+c-\---\-ma7八、

n-----------=—(/Z7?+d+LT+〃w0)

b+d-\---Fnb

【题型4利用比例的性质求字母的值】

【例4】（2023春•四川成都・九年级校考期中）已知a,6,c均为非零的实数，且满足幽三=中=方空=k,

cba

贝味的值为.

【答案】1或-2

【分析】根据题意得出a+b—c=ck,a—b+c=bk,—a+b+c=ak,三式相加得出a+b+c=

（a+b+c）k,然后分类讨论，即可求解.

a-b+c_-a+b+c

【详解】解：•.•小二fc,

ba

；・a+b—c=ck,a—b+c=bk,—a+b+c=ak

••ab-c+a—b+c—a+b+c=(Q+b+c)k

即a+b+c=(a+b+c)k,

当a+b+cW0时，k=1,

当a+b+c=0时，k=----=----=—2,

cc

故答案为：1或-2.

【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键.

【变式41】（2023春•广东茂名•九年级统考期中）已知弓=!=：,且3y=2z+6,求无，y的值.

356

【答案】x=6,y=10

【分析】设g=：=t=k则x=3攵，y=5k,z=6k,由3y=2z+6可求得上的值，从而可求得x与y的值.

【详解】设：=：=:=攵，则x=3攵，y=5k,z=6k

V3y=2z+6

3x5fc=2x6/c+6

解得：k=2

.*.x=3x2=6,^=5x2=10

即x、y的值分别为6、10

【点睛】本题考查了比例的性质，若几个比相等，即？=5=9,常常设其比值为左，则有a=劭，c=kd,e=kf,

bdfJ

再根据题目条件解答则更简便.

【变式421（2023春・安徽蚌埠•九年级校考期末）已知a,b,（:为二的三边长,且a+b+c=36,?=7=7-

345

（1）求线段4,b,C的长；

（2）若线段X是线段〃，人的比例中顶（即士=[）,求线段x的长.

xb

【答案】（l）a=9,b=12,c=15

（2）x=6V3

【分析】（1）设5=5=（=匕则a=3k,6=4k,c=5k,再结合题意可列出关于左的等式，解出左的

值，即可求出线段a,b,c的长；

（2）由题意可直接得出2=三，解出x的值（舍去负值）即可.

x12

【详解】（1）由题意可设2=^=：=攵，则a=3k,b=4fc,c=5k,

345

丁。+b+c=36,

3k+4k+5k=36,

解得：k=3,

/.a=9,b=12,c=15；

（2）V-=-,

xb

・9x

x12

整理，得：%2=108,

解得：x=6痘（舍去负值）.

【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念.利用“设k法”是解题关键.

【变式43】（2023春•四川成都•九年级成都七中校考期中）已知江=庄=也=卜，则42=

xyz

【答案】1或4.

【分析】由等=拳=卓=k，可得y+z=kx,x+z=+y=kz,再分两种情况讨论即可.

【详解】解：:•之=江=9=卜，

xyz

；・y+z=kx,x+z=ky,x+y=kz,

.\2x+2y+2z=2（%+y+z）=k[x+y+z）,

当％+y+zH0时,

：.k=2,贝此2=4,

当％+y+z=0时，x+y=­z,

:.k==—=—1,贝心2=1,

zz

故答案为：1或4.

【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“利用比例的基本性质进行求值”是解本题的关键.

【题型5利用比例的性质求代数式的值】

【例5】(2023春•山东威海・九年级统考期中)若出=空=等，则(a+b)(b})(c+a)的值为.

cababc

【答案】1或8

【分析】设出=—=根据比例的性质可得a+b=ck,b+c=ak,c+a=bk,根据等式的性质可得2(a+b+c)

cab

=k(a+b+c),分a+b+c=0和a+b+c用两种情况，分别求出k值，根据封吟型虫即可得答案.

abc

【详解】设世=空=胃二k

cab

a+b=ck,b+c=ak,c+a=bk，

a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk,BP2(a+b+c)=k(a+b+c),

/.(a+b+c)(2k)=0,

当a+b+c=0时，即a+b=c,

・ia+b-c1

••K—■——I,

cc

.(a+b)(b+c)(c4-a)_a+bb+cc+a_^3_^

abccab'

当a+b+<#0时，则2k=0,

解得：k=2,

.(a+b)(b+c)(c+a)_a+bb+cc+a_^3_g

abccab'

故答案为：l或8

【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键.

【变式51】(2023春•内蒙古包头.九年级统考期末)若？=5=5=3则当奈的值为()

baf33b—2a+f

A.-B.1C.1.5D.3

3

【答案】A

【分析】先用氏d、/分别表示出。、c、e,再代入要求的式子即可.

【详解】解：由n=：=j

baf3

••b—3ci,d=3c,/=3e,

3a—2c+e3a—2c+e3a—2c+e1

3b—2d+/3X3Q—2x3c—3e3x(3a—2c+e)3

故选：A.

【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义.

【变式52]（2023春•重庆九龙坡•九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式4=帚，B=2,

a+b'

下列结论:

①若a:6:c=1:1:2,则4.C+B=2；

②若2=B=C,则4+B+C=|；

③若a=c=2,6为关于a的方程/+2023x+4=0的一个解，则：+：+"=—2019；

④若a<b<c,则力<B<C；其中正确的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①a：b：c=1：1：2,设a=七,力=£,c=23代入A、B、C,进行计算即可判断；

②根据4=B=。得/=-^―="-=分a+b+c=0和a+b+cW0两种情况求解即可；

b+ca+ca+b

③当a=b=2时，代入A、B、C,可得]+工+工=2+c+±,根据b是方程④％2+2023%+40的一个

ABCc

实根得b+：=—2023,进行即可判断；

b

④根据〃，b,c为正整数，且aVbVc得b+c>a+c>a+b,即可判断;

【详解】解：①a：b:c=1:1:2,设a=t,b=t,c=2t,

•A_T_11

••/i——_——,Do—_—-—,rC—_2L—-J1.,

t+2t3t3t+2t3t+t

即2xC+B=-xl+-=-,

333

故①正确；

②：4=B=C,

•.4_a_b_c

••zl———,

b+ca+ca+b

若a+b+c=0,即b=c=—a,

则/=—=—If

-a

若。+b+cH0,

则/=_竺空_=1,

b+c+a+c+a+b2

即A的值为一1或｝

故②不正确；

③当a=c=2时，A=^,B=*=g,C=京

.1,1,12+b.2+b44+2b.4.4

••一d---F-=----1----tF-=----F-=Q2+D+

ABC22b2cb

是方程/+2023%+4=0的一个实根,

：,b2+20236+4=0,

4

b4—=-2023,

b

ill

：.-+-+-=2-2023=-2021,

ABC

故③不正确；

④•."，b,c为正整数，且Q<b<c,

.\b+c>a+c>a+b,

：.A<B<C,

故④正确；

综上，①④正确，正确的个数是2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正

确计算.

【变式53】（2023春•黑龙江大庆•九年级校考期末）（1）若：=*="求票|的值；

（2）—~=且2a—6+3c=21,求a:6:c.

【答案】（1）5；（2）a:b-.c=4:8:7

【分析】（1）先设？=!=：=%得到％=3k,y=5k,z=7k,然后代入U上计算即可；

357/x+y-z

（2）先设^=匕得到a=3k—2,b=4k,c=6々—5,再根据2a—b+3c=21求出k=2,最

346

后进行比较即可.

【详解】解：（1）设|=:=9=匕

••x—3/c,y=5k,z—7k,

,x-y+z3k-5k+7k5k-

,,----=--------=—=5.

x+y-z3k+5k-7kk'

(2)设等=：=誓=k,

•\a=3k—2,b=4k,c=6k—5,

・・・2(3/c-2)-4k+3(6k-5)=21,

解得k=2,

•\a=6—2=4,b=8,c=7f

.*.a:b:c=4:8:7.

【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量

用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值.

【题型6利用比例的性质进行证明】

【例6】(2023春•九年级单元测试)已知a:6=c:d,且bKnd,求证：2=上空.

bb-nd

【答案】见解析

【分析】由a:b=c:d得到ad=be,则利用等式的基本性质得到adn=ZJS,ab—adn=ab—ben,则

a(b-nd)=b(a-nc),利用比例的基本性质即可得到结论.

【详解】解：•.•。:b=c\d,

••ctd=be,

/.adn=ben,

/.ab—adn=ab—ben,

.'.a(6—nd)=b(a—TIC),

.a_a-nc

**bb-nd

【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.

【变式61】(2023春・浙江湖州•九年级统考阶段练习)已知：=|

⑴求:展

⑵求证：磊b

3a+2b

【答案】⑴；；(2)证明见解析.

4

【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k,b=3k,再将a,b的值代入代数式化简可求解.

(2)由⑴中的a=2k,b=3k,分别代入等式的左右两边，即可得证.

【详解】(1)解：由［=1可设a=2k,b=3k

.a_2k_1

a+2b-2k+6k-4

⑵证明：由⑴得，啜;三，

a+2b4

b3k1

3a+2b3x2k+2x3k4

•.•-a-=---b--

a+2b3a+2b

【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键.

【变式62】（2023春•广东惠州•九年级校考开学考试）已知a,b,c,d四个数成比例，且a,d为外项.求

证：点（a,b）,（c,d）和坐标原点O在同一直线上.

【答案】见解析

【分析】设经过点O和（a,b）的直线是丫=入，设经过点。和（c,d）的直线的解析式是：y=mx,证明

k=m即可证得.

【详解】证明：设经过点。和（a,b）的直线是丫=1«,则b=ak,贝!Ik=?,

设经过点O和（c,d）的直线的解析式是：y=mx,则d=cm,

解得:m=-,

C

Va,b,c,d四个数成比例,

,a_c

••一——9

bd

.b_d

••———，

ac

则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a,b）,（c,d）和坐标原点O在同一直线上.

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，解题关键是理解证明的思路.

【变式63]（2023春・全国•九年级专题练习）已知=cz,且:+^+|=1.求证：a3%2+b3y2+c3z2=

（a+b+c）?.

【答案】见解析

【分析】根据已知设="=cz=k分别用k表示a、b、c,相加得出k的值，代入方程组即可得出

【详解】设a%=by=cz=匕从而a=2b=-,c=-,

xyz

于是a+b+c=k（—+—+-）,

xyz

又因为工+-+-=1,所以a+b+c=k；

xyz

a3x2+b3y2+c3z2=k21a+6+c)=(a+b+c)3.

【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k

的值是解题的关键

【题型7比例的性质在阅读理解中的运用】

【例7】(2023春・重庆大渡口•九年级统考期末)材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数心

y,z满足上=色=上=上，求2x-y-z的值”时，采用了引入参数法匕将连比等式转化为了三个等式,

xyz

再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出久，y,z之间的关系，从而解决问题.过程如下：

解；设比=也=上=%则有：

xyz

y+z=kx,z+%=ky,%+y=kz,

将以上三个等式相加,得2(%+fc+z)=k(x+y+z).

••x,y,z都为正数，

k=2,即匕^=2,.

X

••・2x—y—z=0.

仔细阅读上述材料，解决下面的问题:

⑴若正数乃乃z满足/=/=自=鼠求k的值;

b+cc+a

(2)己知业=--,d,b,c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.

a-b2(b-c)----3(c—ci)

【答案】(Dk=£(2)见解析.

【分析】(1)根据题目中的例子可以解答本题;

(2)将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立.

【详解】解：⑴••・正数x、y、z满足康=/=日=k,

x=k(2y+z),y=k(2z+x),z=k(2x+y),

x+y+z=3k(x+y+z),

：x、y、z均为正数,

••.ka

(2)证明：设小=*J=，±±=k

a-b2(ZJ-C)3(c-a)

贝!Ja+b=k(ab)，b+c=2k(be)，c+a=3k(ca)，

.*.6(a+b)=6k(ab),3(b+c)=6k(be)，2(c+a)=6k(ca),

.*.6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=0,

8a+9b+5c=0.

故答案为(1)k=i；(2)见解析.

【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键.

【变式71】(2023春•九年级课时练习)阅读下面的解题过程，然后解题：

题目：已知七=-^=—(a>b、c互相不相等)，求x+y+z的值.

a-bb-cc-a

解：设」六=3=鼠

a-bb-cc-a

贝Ux=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)

于是，x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k・0=0,

依照上述方法解答下列问题：

己知：比=上=上(x+y+z¥0),求工的值.

xyzx+y+z

【答案】-i.

【分析】设"=上=也=匕根据比例的性质得到x=y=z,计算即可.

xyz

【详解】解：设匕=±=也=卜，

xyz

则y+z=xk,z+x=yk,x+y=zk,

A2(x+y+z)=k(x+y+z),

解得，k=2,

y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z,

解得，x=y=z,

则上2二一.

x+y+z3

【点睛】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键.

【变式72】(2023春•九年级课时练习)阅读理解：

已知：a,b,c,d都是不为0的数，且2=%求证：胃=岑.

bdbd

证明：•一=2

bd

.丁+l=£+l.

bd

.a+b_c+d

bd

根据以上方法，解答下列问题:

（1）若£=|,求竽的值；

（2）若巴=1,且存6,c^d,证明巴上=

bda+bc+d

【答案】（1吗（2）证明过程见解析

【分析】（1）根据号=年计算即可；

bd

（2）先在等式两边同时减去1再结合竽=计算即可;

bd

【详解】⑴,••/=]

b5

・a+b_3+5_8

•.———;

匕55

・a-bc-d

••—,

bd

又..a+b_c+d

*bd

.a-b.a+b_c-d.c+d

**bbdd9

,a-b_c-d

,・a+bc+d'

【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键.

【变式73】（2023春•山西太原•九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三

角形称为“共边三角形”.如图⑴△ABC与△ABD是以4B为公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质:

如图（1）共边AABC与△力BD,连结第三个顶点DC并延长交AB于E,则冲=空.

S^ABDDE

【问题解决】

如图（2）,已知在△ABC中，。为BC的中点，E为力。的中点，BE的连线交4C于F.

(1)找出以BF为公共边的所有“共边三角形"，若AABC的面积为45cm2?,分别求出这些“共边三角形”的

面积;

(2)求证：AF=^AC；

(3)若将“D为BC的中点”条件，改为“BD:DC=2:3"，则4尸:CF=.

22

【答案】(1)△ABF、4DBF、L.CBF,ShDBF=ShABF=15cm,S^CBF=30cm;(2)见解析；(3)|.

【分析】⑴根据“共边三角形”的概念可求解，则有衿£2£=*=；,进而问题可求解；

S^CBFBC2S&DBFDE1

(2)由(1)及题意可进行求解；

(3)由题意易得衿^二年至，沁£="二，进而问题可进行求解.

S&CBFBC5SADBFDE1

【详解】(1)解：由题意得：

以BF为公共边的“共边三角形”为：AABF、ADBF.△CBF,

由“共边三角形”的性质：沁=黑=；,2£=差=；,

S^CBFBC2S^DBFDE1

•,^LABF''S^DBF：S>CBF=1：1：2，

*.*△/BC的面积为45cm2,

2

^^DBF=SMBF=-S^ABC=15cm,

•*S^CBF=3S—BC=30cm2；

S&ABF_竺

(2)证明：由“共边三角形”的性质:

S&CBFCF

口门

即：茄15=不AF

.AF_1

"AC~3

AE1

(3)解：由“共边三角形”的性质：浮=器=:S&ABF__

SxDBFDE1

•,^^ABF'S^cBF=2：2：5,

•»S^ABF_竺

S&CBFCF'

.AF_2

'•CF-5

故答案为|.

【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题

即可.

【知识点3分割】

若线段上一点C,把线段A8分成两条线段AC和BC（AC>3C）,且使AC是AB和BC的比例

中项（即AC2）,则称线段AB被点C分割，点C叫线段AB的分割点，其中

AC=^—0.618AB,2C=±避AB20.382筋，AC与AB的比叫做比.（注意：对于线段A3而

22

言，分割点有两个.）

【题型8分割的概念辨析】

【例8】（2023春・山东烟台•九年级统考期末）我们把宽与长的比等于学的矩形称为矩形.如图，在矩形

ABCD（AB<BC）的边BC上取一点E,使得CE=4B,连接AE,则呈的值为（）

【答案】B

【分析】设BC=a,根据矩形的概念求出A8,结合图形计算，得到答案.

【详解】解：设BC=a,

•.,矩形ABC。为矩形,

•_V5—1

.»A4BD=---a

2

•Di?VS-13—V5

..BE=a--a=---a,

22

・BE_--2--_V5-1

…AB~(eT)a-2，

2

故选：B.

【点睛】本题考查的是分割、矩形的性质，掌握比值为誓是解题的关键.

【变式81】（2023春・辽宁丹东•九年级统考期末）如图，点C是线段A8的分割点，且AC<8C,下列选项错

误的是（）

ACB

A.0.618B.BC=^-^AC

AB2

C.BC2=AB-ACD.—=—

BC2

【答案】B

【分析】根据分割的定义得5。0.618,即可解决问题.

ADDCZ

【详解】解：•.•点C是线段4B的分割点，且2C<BC,

...些=*=生120.618,

ABBC2

：2

.BC=AB-AC,AC=—2BC,

•,.A>C、D选项不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查了分割，解题的关键是掌握分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长

的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为与i,近似值为0.618,即为分割.

【变式82】（2023春・江苏南京•九年级统考期末）已知线段4B=2,若C,。是4B的两个分割点，则CD长

为.

【答案】2遥-4

【分析】根据分割的概念先计算出AC,然后再计算4D,最后根据即可求出答案.

【详解】如图，C,。是AB的两个分割点，设AC>BC,AD<BD

I___________I_______I__________I

ADCB

根据题意得，AC=BD=^AB=^x2=V5-1

AD=AB-BD=2-（V5-1）=3-V5

CD^AC-4-1-（3-V5）=2V5-4.

故答案为:2四-4.

【点睛】本题考查了分割的概