1.2 中职数学一轮复习（命题及其关系）含答案

1.2命题及其关系（知识点讲解）【考点梳理】1．命题的概念一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题(1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为互否命题．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为互为逆否命题．(4)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么若q，则p就叫做原命题的逆命题；若¬p，则¬q就叫做原命题的否命题；若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题．3．四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．考点一命题的概念【例题】（1）下列语句为命题的是（

）A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等【答案】D【解析】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.（2）命题“若，则”为真命题，那么不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：若，则必成立；对于B：若，则必成立；对于C：若，则必成立；对于D：由不能得出，所以不可能是，故选：D．（3）下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则【答案】D【解析】对于A：若，则，故选项A正确；对于B：若，，则，所以，故选项B正确；对于C：将两边同时乘以可得：，将两边同时乘以可得，所以，故选项C正确；对于D：取，，，，满足，，但，，不满足，故选项D不正确；所以选项D是假命题，故选：D.（4）对于命题p：全等三角形的面积相等，命题q：面积相等的三角形全等，下列说法中正确的是（

）A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题【答案】C【解析】全等三角形的面积相等，命题p为真命题；面积相等的三角形不一定全等，所以命题q为假命题.故选：C.（5）命题“分别在两个平行平面内的两条直线互相平行”是______命题．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】分别在两个平行平面内的两条直线可能平行，也可能异面，如图，平面与平面平行，其中，而异面，故答案为：假.【变式】（1）下列语句是命题的是（

）A．0是偶数吗？ B．这个数学问题真难啊！C．你，出去！ D．只有一组解【答案】D【解析】可以判断真假的陈述句叫做命题．根据定义可知，只有D选项符合题意，故选：D.（2）下列四个命题中，为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】当时，A不成立；∵，∴，又，∴，故B不成立；当时，D不成立；由不等式基本性质：可得，C选项正确，故选：C.（3）下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】易知A，B，C均为真命题．对于D，当，，时，，但，D为假命题．故选：D．（4）在下列命题中，真命题的序号为．①对任意实数x，均有．②存在实数x，使得．③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．④如果为偶数，那么a、b均为偶数．【答案】②③【解析】①因为时，，则对任意实数x，均有为假命题．②因为时，，则存在实数x，使得为真命题．③由三角形的外角的性质可知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和为真命题．④因为满足为偶数，但a、b均不为偶数，因此如果为偶数，那么a、b均为偶数为假命题，故答案为：②③.（5）命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.【答案】真【解析】因为当时，一定成立，所以此命题为真命题，故答案为：真.考点二四种命题及其关系【例题】（1）命题“偶函数的图像关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为.【答案】若一个函数是偶函数，则这个函数的图像关于y轴对称【解析】命题“偶函数的图像关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为：若一个函数是偶函数，则这个函数的图像关于y轴对称.（2）命题“若，则”的否命题为（

）A．若，则且 B．若，则或C．若，则且 D．若，则或【答案】D【解析】命题“若，则”即为“若，则且”，所以否命题为：若，则或，故选：D.（3）命题“若，则且”的逆命题是（

）A．若，则且 B．若，则或C．若或，则 D．若且，则【答案】D【解析】命题“若，则且”的逆命题是“若且，则”，故选：D.（4）命题“若，则”的逆否命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题，即命题“若，则”的逆否命题是若“，则”，故选：C．（5）命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为命题“，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；其逆命题为：则，显然也为真命题，故其否命题也为真命题；故命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题有4个；故选：D.【变式】（1）把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“若则”的形式是.【答案】若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等【解析】：两个三角形的三边对应相等，：这两个三角形全等，所以可写成“若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等”.（2）命题“若，则”的否命题为（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】由题意可得知，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故选：B.（3）命题：“若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数”的逆命题为（

）A．若函数的图象不关于原点对称，则函数为奇函数B．若函数的图象关于原点对称，则函数不为奇函数C．若函数不为奇函数，则函数的图象关于原点对称D．若函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称【答案】D【解析】命题：“若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数”的逆命题为“若函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称”，故选：D.（4）“若，则x，y全为0”的逆否命题是（

）A．若全不为0，则B．若不全为0，则C．若不全为0，则D．若全为0，则【答案】C【解析】根据命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，可以写出“若，则全为0”的逆否命题是“若不全为0，则”，故选：C.（5）与命题“若，则”等价的命题是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】原命题与逆否命题互为等价命题，原命题的逆否命题是“若，则”，故选D.【方法总结】1．命题及判断命题的真假(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．2．四种命题间的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断．3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论．1.2命题及其关系（单元检测）一、选择题1．下列语句是命题的是（

）①三角形的内角和等于；②；③；④这座山真险啊！A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】A【解析】①三角形的内角和等于是命题；②是命题；③不能判断真假，故不是命题；④这座山真险啊！不是陈述句，因此不是命题，故选：A.2．给出下列四个命题：①若a，b均是无理数，则也是无理数；②50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等边三角形的三个内角相等．其中是真命题的为（

）A．①③ B．①② C．②③ D．②④【答案】D【解析】对于①中，若均是无理数，则可能是有理数，如，，所以①为假命题．对于②中，由，所以是10的倍数，所以②为真命题；对于③中，有两个角是锐角的三角形可能是钝角三角形，如三个内角分别为30°，30°，120°的三角形，所以③假命题；对于④中，等边三角形都是，所以等边三角形的三个内角相等，所以④是真命题，故选：D.3．命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（

）A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边【答案】A【解析】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”，故选:A.4．已知命题“若，则”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于原命题“若，则”，故原命题为真命题；又因为逆命题为“若，则”，当时，显然有，所以逆命题是假命题，又由原命题与逆否命题和逆命题与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同.所以原命题与逆否命题都是真命题，逆命题与否命题都是假命题，故逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，只有逆否命题是真命题，故选：B.5．命题“若，则”的否命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】命题“若，则”的否命题为“若，则”；故选：C.6．“若，则”的逆命题是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】若，则的逆命题为若，则，故选：D.7．命题“若，则”的逆否命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】命题“若，则”的逆否命题是：若，则，故选：C.8．若“，且”是真命题，则x的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】【解析】由，解得，故选：B.9．与命题“若不成等比数列，则”等价的命题是（

）A．若不成等比数列，则 B．若成等比数列，则C．若，则不成等比数列 D．若，则成等比数列【答案】D【解析】因为一个命题与它的逆否命题是等价命题，所以命题“若不成等比数列，则”的等价命题是“若，则成等比数列”，故选：D.10．下列关于命题的说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“、都是有理数”的否定是“、都不是有理数”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题.【答案】D【解析】A选项，命题“若，则”的否命题为：“若，则”，故A错；B选项，由得，则或，，但，∴“”是“”的充分不必要条件，故B错；C选项，命题“、都是有理数”的否定是“、不都是有理数”，故C错；D选项，原命题为真命题，故原命题逆否命题为真命题，故D对；故选：D．二、填空题11．命题“9的平方根是3”是命题（选填“真”或“假”）．【答案】假【解析】因为的平方根是，所以命题“的平方根是”是假命题，故答案为：假．12．给出下列命题：①；②；③；④如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为邻补角．正确的是．【答案】③【解析】①，故错；②，故错；③正确；④如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为邻补角，错误，例如：平行四边形，，但这两个角不是邻补角，故答案为：③．13．已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为.【答案】若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分【解析】命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为：若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分，故答案为：若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分．14．命题p：若，则．则命题p的否命题是. 【答案】若，则【解析】根据否命题的定义，若，则的否命题为：若，则.故答案为：若，则．15．命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为．【答案】如果，互为相反数，那么.【解析】命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为:如果，互为相反数，那么，故答案为：如果，互为相反数，那么．16．命题“若，则”的逆否命题是.【答案】若，则.【解析】命题“，则”的逆否命题“若，则”，故答案为：若，则．17．已知命题p：1<m≤2是假命题，则m的取值范围是.【答案】【解析】因为命题p：1<m≤2是假命题，所以命题p的否定或是真命题，即m的取值范围是，故答案为：．18．有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若且，则．其中真命题的个数是.【答案】3【解析】对于①，不等式两边同时除以得,，故①正确；对于②，因，则，所以，故②正确；对于③，因为，，则，所以，故③正确，所以其中真命题的个数是3，故答案为：3．解答题19．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．（1）当ab＝0时，a＝0或b＝0；（2）等腰三角形的两个底角相等.【答案】答案见解析【解析】解：（1）若ab＝0，则a＝0或b＝0，是真命题；（2）若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，由等腰三角形的定义知是真命题．20．写出命题：“若