《高等数学(第4版)》课件第三章 微分中值定理与导数的应用

第三章

微分中值定理与导数的应用理论基础罗尔、拉格朗日、柯西应用一研究函数性质及曲线性态应用二解决一些实际问题目录第一节

微分中值定理第四节

曲线的凹凸性与函数图形的描绘第二节

洛必达法则第五节

曲率第三节

函数的单调性与极值第六节

导数在经济学中的应用第

一

节

微分中值定理

二、一、罗尔定理二、二、拉格朗日中值定理二、三、柯西中值定理高等数学第3.1节微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理几何发现：

连续曲线弧两端点同高，且除端点外处处有不垂直于

轴的切线时，发现在曲线弧的最高点或最低点处有水平切线.

几何解释∶

高等数学第3.1节微分中值定理证

高等数学第3.1节微分中值定理通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点或临界点）.注意：罗尔定理条件不全具备，结论成立的例子.(1)罗尔定理的条件只是充分的.(2)罗尔定理的条件缺少其中一个，结论不一定成立.在闭区间上不连续在开区间内不可导区间两端点函数值不等高等数学第3.1节微分中值定理

例1

设为多项式函数，证明：如果方程

没有实根，则方程至多有一个实根.证

假设

有两个实根

即不妨设由于多项式函数

在

连续且可导，故由罗尔定理，知至少存在一点

，使得

这与方程

故

至多有一实根.没有实根矛盾.高等数学第3.1节微分中值定理

例2

证明方程

有且仅有一个小于１的正实根.证则令在闭区间上连续,且由零点定理知,至少有一点,使得即方程

至少有一个小于１的正实根.假设方程有两个小于１的正实根,另有且,使得则

在区间

上满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点而不妨设使得矛盾,所以方程

仅有一个小于1的正实根.综上,方程

有且仅有一个小于1的正实根.高等数学第3.1节微分中值定理

例3

设函数

在

上连续，在

内可导，且

，

证明存在一点

，使得

证

设故由罗尔定理，知则函数

在闭区间

上连续，在

开区间

内可导，且存在一点

，使得又所以高等数学第3.1节微分中值定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理

罗尔定理的结论从几何上也可以说曲线弧上存在一点，使得该点处的切线平行于弧两端点的连线.思考罗尔定理中去掉区间两端点函数值相等，结论将怎样呢？

几何解释∶

高等数学第3.1节微分中值定理证

从几何上观察，可作辅助函数显然

在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且故由罗尔定理，知在区间

内至少存在一点

，使得又故

也可从结论出发，构造出辅助函数高等数学第3.1节微分中值定理

说明

或

高等数学第3.1节微分中值定理是函数增量的近似表达式；很小时，微分

给出了

有限时

的精确表达式.

证

推论1

高等数学第3.1节微分中值定理

推论2例3证高等数学第3.1节微分中值定理

所以而又于是例4证明

时，有不等式

成立.

证

设

显然

在区间

上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有所以高等数学第3.1节微分中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理

拉格朗日中值定理表明：如果连续曲线弧除端点外处处有不垂直于横轴的切线，那么曲线弧上至少有一点，使曲线弧在该点处的切线平行于弧两端点的连线.如果曲线弧的方程由参数方程给出，那么这种几何现象的结论又该如何表达呢？此时，切线和弦AB

的斜率分别为于是结论应改为高等数学第3.1节微分中值定理

定理3(柯西中值定理)若函数

和

满足以下条件:(1)在闭区间

上连续；(2)在开区间

内可导；

（3）在开区间

内那么在

内至少存在一点

,使得

证若,则由罗尔定理,至少存在一点

1∈,使,这与定理的假设矛盾.故.高等数学第3.1节微分中值定理作辅助函数从而有满足罗尔定理的三个条件,于是在

内至少存在一点

,使得高等数学第3.1节微分中值定理公式也称柯西公式.在柯西公式中，若令

则柯西公式就变成拉格朗日中值公式.Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理三个中值定理之间的联系：注意定理成立的条件；一般利用中值定理证明等式或不等式.（题目牵涉到函数及函数的导数）第

二

节

洛必达法则

二、二、二、三、其他类型未定式

高等数学第3.2节洛必达法则例如

高等数学第3.2节洛必达法则

定理1

设函数

和

满足

则

存在（或为无穷大），且（1）（2）在点

的某去心邻域内，

都存在，且（3）存在（或为无穷大），

这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.高等数学第3.2节洛必达法则所以可以补充证因为当

时，

的极限与

及

无关，定义域内连续.于是由条件（1）、（2）可知，

在点

的某邻设

是该邻域内的一点，则

在以

和

为端点的闭区间上满足柯西中值定理的条件，故有注意到

时，有

，所以即说明高等数学第3.2节洛必达法则并且当上式右端为无穷大时，左端也为无穷大.（2）如果将极限过程换成则只要将定理1的条件作相应的改动，结论仍然成立.（1）如果

仍是

型未定式，且

满足定理中所满足的条件，那么可继续用洛必达法则，即以此类推，直到求出极限为止.高等数学第3.2节洛必达法则例１

求解例2

求解注意：如果极限不是未定式，则不能使用洛必达法则，否则可能导致错误结果.高等数学第3.2节洛必达法则

在应用洛必达法则时应注意与其他求极限的方法结合，特别能用等价无穷小代换的就先用等价无穷法代换，以简化运算.例3

求解解法2高等数学第3.2节洛必达法则例４

求解例5

求解高等数学第3.2节洛必达法则

定理2

设函数

和

满足

则存在（或为无穷大），且（2）在点

的某去心邻域内，

都存在，且（3）存在（或为无穷大），（1）

说明

若将极限过程换成则只要将定理2的条件作相应的改动，结论仍然成立.高等数学第3.2节洛必达法则例6解说明例7

求解若为正整数,则相继应用洛必达法则次，得高等数学第3.2节洛必达法则若不是整数,则应用洛必达法则

次，得说明故所求极限为零.结论高等数学第3.2节洛必达法则三、其他类型未定式其他类型的未定式有：未定式都可以化为洛必达法则可解决的类型.例8解如果按下面这种化法呢？解不出！所以哪一个函数留在分子上很关键.这些类型的高等数学第3.2节洛必达法则例9解高等数学第3.2节洛必达法则对于

未定式，可利用

恒等变形去转化.例10解例11解高等数学第3.2节洛必达法则注意

洛必达法则的条件是充分而非必要条件.当

不存在且不是无穷大时，

仍可能存在，只是不能用洛

必达法则求出而已.例12解第

三

节

函数的单调性与极值

二、二、二、三、函数的最大值和最小值一、函数的单调性二、函数的极值高等数学第3.3节函数的单调性与极值一、函数的单调性几何观察观察发现：函数的单调性与导数的符号密切相关.问题

：是否可以用导数的符号来判别函数的单调性？高等数学第3.3节函数的单调性与极值定理1设函数

在

上连续，在

内可导.(1)若在

内

则函数

在

上单调增加；(2)若在

内

则函数

在

上单调减少.证对任意

，不妨设

，由拉格朗日中值定理，得

如果将定理1中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立.类似可证(2).因为在

内,故有,所以

即

因此函数

在

单调增加.高等数学第3.3节函数的单调性与极值

例１讨论函数

的单调性.因为在和内，所以函数在因为在

内,所以函数在

上单调减少.解

函数在

上连续，且和上单调增加;

例2讨论函数

的单调性.解

函数在

上连续，且高等数学第3.3节函数的单调性与极值利用导数讨论函数单调性的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导函数；（3）以导数等于零的点（驻点）和导数不存在的点（不可导点）作为分点，将函数的定义域分为若干个部分区间；（4）确定导函数在各个部分区间内的符号，从而判定函数在各部分区间上的单调性.高等数学第3.3节函数的单调性与极值例3

讨论函数的单调性.解该函数的定义域为当

时，不存在.

其导数为由解得义域分成三个部分区间：这两点将定因为在

和

内

所以

在

和

上单调增加；

因为在

内

所以

在

上单调减少.高等数学第3.3节函数的单调性与极值例4

讨论函数的单调性.解该函数的定义域为其导数为由解得在

的各点处均有因此函数在区间

及

上都是单调增加的，从而在整个定义域内都是单调增加的.

一般地，若

在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负）时，则

在整个区间上是单调增加（或单调减少）的.高等数学第3.3节函数的单调性与极值利用函数的单调性可以证明不等式.证

设显然

在

上连续，在

内可导，

且因此，当

时，有

所以

在

上单调增加.例5

证明当

时，有而

故

时，

即高等数学第3.3节函数的单调性与极值二、函数的极值

定义1

设

f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若对任意,有

f(x)＜f(x0)（或

f(x)＞f(x0)）,则称f(x0)是函数

f(x)的一个极大值(或极小值).

函数的极大值和极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.高等数学第3.3节函数的单调性与极值

人生就像连绵不断的曲线，起起落落是必经之路，是成长的需要.跌入低谷不气馁，甘于平淡不放任，伫立高峰不张扬，这才叫宽阔胸襟.

（局部概念）.高等数学第3.3节函数的单调性与极值可见，可导函数的极值点一定是驻点．定理2（极值的必要条件）如果函数

在点

可导，并且点

是函数

的极值点，则但驻点不一定是极值点.左导数与右导数存在且相等，结合极限保号性不难得证.如

是函数

的不可导点，但它是函数

的极小值点.另外，不可导点也可能为极值点.如

是函数

的驻点，但不是极值点.提示：说明

驻点只是可能的极值点.高等数学第3.3节函数的单调性与极值从几何直观看，

函数的驻点和不可导点只是函数可能的极值点.

问题:

如何判断函数的驻点和不可导点是不是函数的极值点？高等数学第3.3节函数的单调性与极值定理3（极值的第一充分条件）设函数

在点

处连续，且在点

的某去心邻域内可导.（1）如果在该去心邻域内，当

时，

；当

时，，则

在点

处取得极大值.（3）如果在

的两侧

的符号保持不变，则

在

处不取极值.（2）如果在该去心邻域内，当

时，

；当

时，，则

在点

处取得极小值.极值第一判别法高等数学第3.3节函数的单调性与极值

求极值的步骤:(是极值点情形)(不是极值点情形)

高等数学第3.3节函数的单调性与极值例6解高等数学第3.3节函数的单调性与极值例7

求函数的极值.令，求得驻点，此外，导数不存在的点为解函数

在定义域

上连续.高等数学第3.3节函数的单调性与极值

当函数在驻点处的二阶导数存在且不等于零时，可利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点.定理4（极值的第二充分条件）设函数

在点

处具有二阶导数且（1）如果

，则函数

在

处取得极大值；（2）如果

，则函数

在

处取得极小值.提示：结合函数极限的局部保号性及极值第一判别法易证.极值第二判别法高等数学第3.3节函数的单调性与极值极值的第二充分条件表明：注意

时，无法用极值第二判别法，可用极值第一判别法来判别极值.例8

求函数的极值.解函数

在定义域

上连续.令

求得驻点高等数学第3.3节函数的单调性与极值三、函数的最大值和最小值

怎样才能使利润最大用料最省效益最高这样的问题在数学中往往可归结为求某一函数（称为目标函数）的最大值或最小值问题.高等数学第3.3节函数的单调性与极值1、闭区间上连续函数的最大值和最小值若函数

在闭区间

上连续，则

在该区间上必能取到最大值和最小值.若最值在开区间

内的某点

处取得，则该最值一定是极值，于是极值

点

必定是函数

的驻点或不可导点.另外，函数

在闭区间

上的最值也可能在闭区间的端点处取得.求连续函数

在闭区间

上最值的步骤：（1）求出函数

在开区间

内的所有驻点和不可导点；（2）计算函数

在驻点、不可导点和区间端点

处的函数值

；（3）比较以上所计算的各函数值的大小，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值.高等数学第3.3节函数的单调性与极值例9

求函数

在

上的最大值和最小值.解函数

在

上连续.令

，得驻点

没有不可导点.因为所以比较可得函数

在

上的最大值为

，最小值为

高等数学第3.3节函数的单调性与极值例10

求函数

在

上的最大值和最小值.解函数

在

上连续.去绝对值，得求导，得高等数学第3.3节函数的单调性与极值所以

的驻点为

由于故

为函数

的不可导点.因为所以比较可得函数的最大值为

最小值为

高等数学第3.3节函数的单调性与极值

例11

铁路线上AB段的距离为

km.工厂C

距

A处

km,AC垂直于AB,如图所示.为了运输需要，要在AB上选一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每千米货运运费与公路上每千米货运的费用之比为3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D应选在何处?解

设,则

又设铁路上每千米的运费为3k,则公路上每千米的费用为5k（k为正常数），再设从B点经由D点到C点所需的总运费为

y,则高等数学第3.3节函数的单调性与极值令

，解得

由于所以比较可得函数的最小值为

因此，当

AD=x=15km时，可使总运费最省.如果该题要求D点不能选在铁路两头，即不能选在A点和B点.如何求解呢？求

在开区间

内的最小值.高等数学第3.3节函数的单调性与极值2、区间内有唯一极值点的可导函数的最值极值点，则这时函数的图形在该区间内将只有一个“峰”或“谷”.于是该极值点为最值点.若函数

在一个区间内可导且只有一个驻点

，并且该驻点是函数

的

即当

为极大值时，

就是

在该区间上的最大值；当

为极小值时，

就是

在该区间上的最小值.区间内可导函数的唯一驻点为极大（小）值点时，必为最大（小）值点.高等数学第3.3节函数的单调性与极值求

在开区间

内的最小值.由前面的讨论知

为该函数在开区间

内唯一驻点.又由于例11问题中若D不能选在端点，则D应选在何处?该问题转化为所以

为函数

在开区间

内唯一极小值

点，即为最小值点，最小值为

高等数学第3.3节函数的单调性与极值例12

已知n个实测数据,如何选取x

,使误差平方和最小?所以取误差平方和最小.解

函数

在

内可导.

求导,得高等数学第3.3节函数的单调性与极值

在实际问题中，若根据问题的性质，可断定可导函数

确有最大值（或最小值），且该最大值（或最小值）一定在定义区间的内部取得.这时，如果函数

在定义区间的内部只有唯一的驻点

，那么可以断定

必为所求函数的最大值（或最小值）.

例13将各边长为

a的正方形铁皮于各角截去相等的小正方形,然后折起各边,要做成体积最大的无盖箱.问所截去的小正方形之边长应该是多少？解

设小正方形的边长为

，则正方形箱底的边长为

，如图所示，于是无盖箱体的体积为令

，得定义域内唯一驻点由于无盖箱体的最大体积是客观存在的，且必在区间内部取得，所以

时体积最大.即截去的小正方形的边长为

时，无盖箱体的体积最大.第四节

曲线的凹凸性与函数图形的描绘

二、二、二、三、函数图形的描绘一、

曲线的凹凸性与拐点二、曲线的渐近线高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘一、

曲线的凹凸性与拐点

曲线的弯曲方向在几何上是用曲线的凹凸性来描述的.

如右图，同是上升的两条曲线，但它们的弯曲方向不同，所以在描绘函数图形时还需考虑曲线的弯曲方向问题.高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘从几何上看：

凹弧

切线总在曲线的下方

弦总在对应弧段上方

切线总在曲线的上方

凸弧

弦总在对应弧段下方高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘定义1

设函数

在区间

上可导.

如果曲线弧位于其每点处切线的上方,则称该曲线弧是凹的；位于其每点处切线的的下方,则称该曲线弧是凸的.如果曲线弧

再从几何上看：说明

如果函数二阶可导，可以用二阶导的符号判断函数图形的凹凸性.高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘

定理1

设函数

f(x)

在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数.(1)若在(a,b)内,则曲线

y=f(x)在[a,b]上是凹的;(2)若在(a,b)内,则曲线

y=f(x)在[a,b]上是凸的.曲线凹凸性的判定定理（可用拉格朗日中值定理证）

C

D

高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘例1解高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘例2解

定义2

若连续曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))两侧的凹凸性不同,则称点(x0,f(x0))为该曲线的拐点．高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘

若(x0,f(x0))是曲线

y=f(x)的拐点,则f

(x0)=0或f

(x0)不存在.

例如

曲线

没有拐点，它在

内是凹的.

生活中，房价上涨过程中出现“拐点”，并不意味着房价要下降，而是房价上涨的速度越来越慢.

在疫情统计数据中，我们关心确诊数据何时出现“拐点”，出现“拐点”就表明新增感染人数就会越来越少，增加越来越慢，疫情朝好的方向的发展.生活中的“拐点”反之不一定成立.即二阶导等于0的点或二阶导不存在的点只是可能拐点的横坐标.高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘如何寻找拐点？

先找出可能拐点的横坐标

，根据曲线凹凸性判定定理看

是否是

符号发生变化的分界点，若是，再计算则

即为拐点.例3解高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘二、曲线的渐近线

定义3

当曲线C上的动点P沿着曲线C无限延伸时,如果动点P到直线

l的距离趋近于0,则称直线

l

为曲线C的渐近线.高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘（1）垂直渐近线如果

或

，则直线

是曲线

的垂直渐近线.所以，直线

都是曲线的垂直渐近线.例如对于曲线由于高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘（2）斜渐近线（包括水平渐近线）

设直线y=ax+b是曲线y=f(x)的斜渐近线，那么如何确定常数a和b

?由渐近线的定义，有于是故即高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘结论

如果

存在，且

，则直线y=ax+b是曲线

y=f(x)的斜渐近线.特别地，当

a=0时，此时

，直线

y=b是曲线

y=f(x)的水平渐近线.例4

求曲线

的渐近线.

解所以x=1为曲线垂直渐近线．又因为所以直线

为曲线斜渐近线.高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘三、函数图形的描绘

借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上上升，在哪个区间上下降；借助于二阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上为凹，在哪个区间上为凸，在什么地方有拐点.知道了函数图形的升降、凹凸及拐点后，也就可以掌握函数的性态，并把函数的图形画得比较准确.

函数图形是函数的直观表示，它能直观地反映函数的变化规律及性态，借助函数图形有助于对函数进行深入研究.

随着计算机技术的发展，借助于计算机和许多数学软件，可以方便地画出各种函数的图形.但是，如何识别机器作图的误差，如何掌握图形上的关键点，如何选择作图的范围等，从而进行人工干预，仍然需要我们有运用微分学的方法描绘函数图形的基本知识.高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘(1)确定函数y=f(x)的定义域，考虑函数有无奇偶性、周期性.(3)求出f

(x)=0和f

(x)=0在定义域内的全部零点,并求出f(x)的间断点及f

(x)，f

(x)不存在的点.用这些点将函数的定义域划分为若干个部分区间.(2)求出

f

(x)，f

(x).(4)根据在这些部分区间内f

(x)和f

(x)的正负号来确定函数图形的升降、凹凸和拐点，以及函数的极值点.

(5)确定曲线的渐近线.(6)算出第(3)步所得各分点处的函数值，确定图形上的相应点.为了将图形描绘得准确些，有时需适当补充一些点.然后结合第(4)、(5)步中的结果，连接这些点画出函数y=f(x)的图形.

利用导数描绘函数图形的一般步骤：高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘例5

描绘函数

的图形.解

(1)函数的定义域为(-∞,+∞)，且f(x)为偶函数，它的图形关于y

轴对称.因此可以只讨论[0,+∞)上该函数的图形.(2)求导：令f′(x)=0,得x=0;令f″(x)=0,得

x=1．用点x=1

将(3)在[0,+∞)上，

[0,+∞)划分成两个区间[0,1],[1,+∞).高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘(4)对单调性、凹凸性、极值和拐点列表讨论：x0(0,1)1(1,+∞)0---

--0+f(x）极大点拐点(5)由于

，所以图形有一条水平渐近线.(6)计算

处的函数值：高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘从而得到函数图形上的两个点：补充点结合(4)、(5)的讨论，画出函数在

上的[0,+∞)图形.最后利用图形的对称性，便可得到函数在

内的整个图形.高等数学第3.4节曲线的凹凸性与函数图形的描绘例6

描绘函数

的图形.(