集合的含义与表示（4大考点12种解题方法）-高一数学（沪教版必修一）原卷版

第01讲集合的含义与表示（4大考点12种解题方法）

题型一：判断元素能否构成集合

考点一：集合的概念e题型二：判断是否是同一集合

题型三：根据集合相等关系进行计算

题型四：判断元素与集合的关系

考点二：元素与集合题型五：根据元素与集合的£蒜参数

题型六：根据集合中元素的个数求参数

集合的概念与表示

题型七：利用集合元素的互异性求参数

考点三：集合中元素的特征a）题型八：利用集合中元素的性质求集合元素的个数

题型九：集合元素互异性的应用

题型十：描述法表示集合㊉

考点四：集合的表示方法上

题型十一：列举法表示集合

题型十二：列举法求集合中元素的个数

Q考点考向

一、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

（2）集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集｛y1y=x2｝,表示非负实数集，点集｛（x,y）1y=x?｝表示开口向上,

以y轴为对称轴的抛物线；

二、集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=｛0,1,2,3,②描述法。③区间。

U考点精讲

考点一：集合的概念

题型一：判断元素能否构成集合

一、单选题

1.（2021・上海.高一专题练习）下列四组对象，能构成集合的是

A.某班所有高个子的学生B.著名的艺术家

C.一切很大的书D.倒数等于它自身的实数

2.（2020・上海•高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）

A.与1非常接近的全体实数

B.某校20152016学年度笫一学期全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.与无理数万相差很小的全体实数

3.（2020・上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）下列语言叙述中，能表示集合的是（）

A.数轴上离原点距离很近的所有点；

B.太阳系内的所有行星

C.某高一年级全体视力差的学生；

D.与AABC大小相仿的所有三角形

4.（2020・上海•高一课时练习）下列几组对象可以构成集合的是

A.充分接近万的实数全体

B.善良的人

C.某校高一所有聪明的学生

D.某单位所有身高在1.7m以上的人

5.（2021.上海.高一专题练习）现有以下说法，其中正确的是

①接近于0的数的全体构成一个集合；

②正方体的全体构成一个集合；

③未来世界的高科技产品构成一个集合；

④不大于3的所有自然数构成一个集合.

A.①②B.②③C.③④D.②④

二、填空题

6.（2021•上海市桃浦中学高一阶段练习）下列对象能组成集合的是

①桃浦中学一部分学生

②倒数等于自身的实数

③超过100页的书

④世界知名艺术家

⑤方程X?+1=0的全体解

7.（2020•上海市新场中学高一阶段练习）下列各对象的全体，可以构成集合的是—（填序号）

①高一数学课本中的难题；②与1非常接近的全体实数；

②高一年级视力比较好的同学；④高一年级中身高超过L70米的同学

8.（2020・上海•高一课时练习）由下列对象组成的集体属于集合的是（填序号）.

①不超过万的正整数；

②高一数学课本中所有的难题；

③中国的大城市；

④平方后等于自身的数；

⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生.

9.(2020・上海.高一课时练习)集合中元素的三大特征是.

题型二：判断是否是同一集合

一、单选题

1.(2021・上海市实验学校高一期末)设Q是有理数，集合X={x|x=a+6后,a,6eQ,xwO},在下列集合中;

Y1

(1){y\y=2x,x^X}；(2){y\y=-^,xeX}-(3){y|y=-,xeX}；(4){y\y=x2,x&X}；与X相同

的集合有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.(2021.上海.高一专题练习)下列选项中，表示同一集合的是

A.A={0,1},B={(0,1)}B.A={2,3},B={3,2}

C.A={x|-l<x<hxGN},B={1}D.A=0,B=[x\y[^<0]

二、填空题

3.(2020・上海・高一单元测试)下列集合中，不同于另外三个集合的序号是.

①{x|x=l}；②卜Id):。}；③卜=1}；®{1}.

4.(2017•上海建峰职业技术学院附属高级中学高一阶段练习)已知集合c={(x,y)|孙NO},集

合/={(x,y)||x+y|=W+N},用推出关系表示a、£的关系

三、解答题

5.(2020•上海•高一课时练习)有下列三个集合：®[x\y=x2+l,y>l,y^R}；®{y\y=x2+l,x^R}；(§){(x,

y)\y=x2+l]；

(1)它们是不是相同的集合？

(2)它们的各自含义是什么？

题型三：根据集合相等关系进行计算

一、单选题

1.（2020•上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知集合4={〃,0,-1},8={。,瓦0},若A=3,则（"产।

的值为（）

A.0B.—1C.1D.+1

二、双空题

2.（2017•上海市淞浦中学高一阶段练习）确定整数使{2尤，尤-y}={5,4},贝口=,y=

三、填空题

3.（2017•上海市建平中学高一期中）设集合A={1,。},B={-l,a2},若A=B,则实数。=

4.（2015•上海市金山中学高一期中）设集合4={5,。+1},8={0,印，若A=B,则a+b=.

考点二：元素与集合

题型四：判断元素与集合的关系

一、单选题

1.（2020・上海•高一专题练习）下面有四个命题：

（1）集合N中最小的数是1；

（2）若不属于N,则。属于N；

（3）若aE.V@e则々-5的最小值为2；

（4）X，+i=%的解可表示为m；

其中正确命题的个数为

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.（2020・上海•高一专题练习）已知集合A中元素x满足一指番，且无eN*,贝U必有（）

A.—1eAB.0£A

C.上QAD.leA

3.（2021.上海.高一专题练习）已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当aGA时，6a^A,那么a的值

为（）

A.2B.2或4C.4D.6

4.（2021.上海.高一专题练习）给出下列4个关系式:gUR,0.3WQ,0£N*,0£{0}.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

5.（2018・上海市比乐中学高一期中）已知集合"={x||x|<5,xeZ},贝I]2M.

6.（2017•上海市宝山区海滨中学高一期中）用e或任填空：0M

7.（2020•上海奉贤区致远高级中学高一阶段练习）满足/={%,%%,4}，且”0{q,外,。3}={%，%}的

集合M为.（只需要写出一个满足条件的集合即可）

8.（2020•上海•高一单元测试）用e或史填空：0N

题型五：根据元素与集合的关系求参数

一、填空题

1.（2021・上海・上外附中高一期中）集合A=N（x-D（Y+方+4）=0”对中所有元素之和为3,则实数

6Z—.

2.（2021.上海市张堰中学高一期中）若4c{2,/},则实数。=.

3.（2021・上海.华东师范大学第三附属中学高一期中）已知集合A={储-,若aeA,则实数a的值为

4.（2021•上海市行知中学高一阶段练习）若4e{2,/，M，则实数a=.

5.（2021.上海•格致中学高一阶段练习）已知集合4={%6+0>0},若1WA,则实数a的取值范围是

6.（2020•上海市奉贤中学高一阶段练习）若le{x,d},则犬=.

7.（2021.上海・位育中学高一阶段练习）设人为实数，关于工的不等式组L2。八的解集为4若2eA,

立+%+2<0

则k的取值范围是

8.（2020・上海•高一单元测试）已知集合4={。+2,2/+。},若3wA,则实数。的值是.

二、解答题

9.（2019•上海市亭林中学高一期中）若集合&=z+依-2=0},且2eA,求。的值

题型六：根据集合中元素的个数求参数

一、填空题

1.(2021•上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习)已知集合4=同62+4》+4=()},A中至少有一个元

素，则。的取值范围是.

2.(2021・上海•格致中学高一期中)若集合A={x|--(a+2)x+2-a<0,xeZ}中有且只有一个元素，则正

实数。的取值范围是

f2x-^<0

3.(2021.上海・位育中学高一期中)若关于x的不等式组。八有且仅有两个整数解，则实数。的取值

[2x+l>-9

范围是.

4.(2020・上海•高一专题练习)集合4="|62+(〃-6)了+2=0}是单元素集合，则实数。=

二、解答题

5.(2021・上海•高一单元测试)已知集合A={x|cir2-3x-4=0,

(1)当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；

(2)当A中有两个元素时，求a满足的条件；

(3)当A中至少有一个元素时，求a满足的条件.

6.(2019•上海市亭林中学高一期中)已知集合C=H依2-3尤+1=。卜

(1)若C是空集，求。的取值范围；

(2)若C中至多有一个元素，求。的值，并写出此时的集合C；

(3)若C中至少有一个元素，求。的取值范围.

7.(2020•上海市张堰中学高一阶段练习)已知集合4={尤|62+2尤+l=0,aeR,xeR)

(1)当A只有一个元素时，求。的值，并写出这个元素;

(2)当A至多含有一个元素时，求。的取值范围.

考点三：集合中元素的特征

题型七：利用集合元素的互异性求参数

一、填空题

1.（2021・上海市奉贤中学高一阶段练习）若aeR,则构成集合{a-1,1}中的。的取值范围是.

2.（2020・上海・南洋中学高一期中）已知集合4={1,2,3},若3机wA,则实数

3.（2021・上海奉贤区致远高级中学高一阶段练习）若。式片一°,o},则实数".

4.（2019•上海市吴淞中学高一阶段练习）若-3e{x-2,2d+5x,12},贝i]x=.

5.（2021・上海•高一专题练习）已知实数集合A={x,2,l},B=[\x\,x+y,O）,若A=5,则d-y5=.

X

二、解答题

6.（2021・上海中学高一期中）若实数x，y满足集合{X,孙,Ig（肛）}与集合{0,|x|,田相等，求的值.

7.（2021・上海•高一专题练习）已知集合卜,，“与集合仅2,a+b,0}是两个相等的集合，求/。2。+62。20的

值.

8.（2021・上海•高一专题练习）已知集合A={a+3,（a+l『,a2+2a+2},若leA,求实数。的值.

题型八：利用集合中元素的性质求集合元素的个数

一、单选题

1.（2021.上海市行知中学高一阶段练习）直角坐标平面中除去两点41,1）、3（2,-2）可用集合表示为（）

A.{(羽y)|%w1,yw1,%w2,yw-2}

x^l("2

B.{(%y)l"1或

c.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2][(x-2)2+(y+2)2]0}

D.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]0}

2.(2017•上海市奉贤中学高一阶段练习)若集合A=吐券叱=1。2°",机eZ〃eZ*],则集合A

的元素个数为

A.4038B.4036C.20172D.20182

二、填空题

3.(2020•上海市张堰中学高一阶段练习)设是非零实数，那么回+3+回可能取的值组成集合是

abc

xy

4.(2017•上海市奉贤中学高一阶段练习)己知x,y均不为0,则弧一京的值组成的集合是；

三、解答题

5.(2020・上海•高一课时练习)已知非空集合尸满足①尸口{123,4,5},②若尸，贝。6-。€尸，符合上

述条件的集合P有多少个？

6.(2021・上海•高一专题练习)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若xeS,则10-xeS.

(1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；

(2)是否存在恰有6个元素的集合S?若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；

(3)满足条件的集合S总共有多少个？

题型九：集合元素互异性的应用

一、单选题

1.(2021・上海•格致中学高一期中)若集合M={。,6,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

2.（2019•上海市杨浦高级中学高一阶段练习）由实数阳-尤，国，病，-疗所组成的集合中，最多含有元素

的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2020・上海.高一课时练习）由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素，则实数a的取值可以

是

A.1B.-2C.6D.2

二、填空题

4.（2019・上海师范大学附属嘉定高级中学高一阶段练习）非零实数。，6构成的数言+空+品能组成的

集合是.

5.（2021・上海•高一专题练习）下面四个说法错误的有

（1）10以内的质数组成的集合是｛2,3,5,71

（2）由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,1,2）

（3）方程尤22x+l=0的解集是｛1,1｝

（4）0与｛0｝表示同一个集合

6.（2021・上海•高一专题练习）已知集合4=｛0,见病-3相+2｝,且2eA,则实数加的值为.

三、解答题

7.（2019•上海市金山中学高一期中）设数集A由实数构成，且满足：若xeA（XN1且xwO）,贝iJeA.

1-x

（1）若2EA,则A中至少还有几个元素？

（2）集合A是否为双元素集合？请说明理由.

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（3）若A中元素个数不超过8,所有元素的和为了，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集

合A.

8.（2020・上海•高一单元测试）已知集合S满足条件：若oeS,则匕eS（aw0,。w±1）.若3eS,试把

1-a

集合s中的所有元素都求出来.

9.（2020.上海.高一课时练习）已知集合4={无h=2204忆W2且上£N}.定义集合

B={x\x=ab,aeA,beA},求集合5.

考点四：集合的表示方法

题型十：描述法表示集合

一、单选题

1.（2021・上海市张堰中学高一期中）定义集合运算4区3={X卜=%-Xj,%eA,%©8},若4={1,3,4},

3={2,3},则A®3所有元素之和为（）

A.48B.54C.40D.36

二、填空题

2.（2021•上海市通河中学高一阶段练习）用描述法表示下图中的阴影部分可以是.

八产

1----------------

-1-

3.（2021•上海市张堰中学高一期中）若用描述法表示所有偶数构成的集合则〃=.

4.（2021.上海中学高一期中）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数.

5.（2021•上海市新场中学高一阶段练习）用描述法表示被5整除的整数组成的集合

6.（2021•上海市延安中学高一阶段练习）所有平行四边形组成的集合可以表示为.

7.（2021・上海•位育中学高一阶段练习）平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的几何可以用描述

法表示______________

题型十一：列举法表示集合

一、填空题

1.（2021・上海师大附中高一阶段练习）集合{尤|14尤43,无eN}用列举法可以表示为.

2.（2021•上海市复兴高级中学高一期中）用列举法表示集合，=.

\x—y=2

3.（2020.上海.同济大学第二附属中学高一期中）用列举法表示方程组（的解集—.

4.（2019•上海市亭林中学高一期中）用列举法表示方程/+5》-6=0的解组成的集合

5.（2019•上海市亭林中学高一期中）写出绝对值小于S的所有整数构成的集合.

6.（2019•上海市亭林中学高一期中）直线y=x+l与直线y=3x-l的交点组成的集合用列举法可以表示为

7.（2022・上海•曹杨二中高一期末）已知集合A={0,1,2},贝|集合3={“6=3a,aeA}=.（用列举法

表示）

8.（2021.上海市延安中学高一期中）已知集合4={1,2},集合3={4,8},则集合{z|z=町,xeA,ye4的

所有元素之和为.

题型十二：列举法求集合中元素的个数

一、单选题

1.（2021・上海.高一专题练习）设夕={1,2,3,4},。={4,5,6,7,8},定义P*Q={（a,6）|aee工可，

则P*。中元素的个数为（）

A.4B.5C.19D.20

2.（2020.上海.华东师范大学附属周浦中学高一阶段练习）已知集合A={（0,0）,（0,1）,（1,0）,（0,-1）,（TO）},

B=1（x,y）||x|<2,\y\<2,x,ye,定义集合人㊉^={（5+%,%+%）|（%,％）eA4%，％）e耳，则A㊉B中

元素的个数为（）.

A.77B.49C.45D.30

3.（2020・上海・曹杨二中高一期末）已知集合4={（5,/）|145<20,1</42O,seN/eN},若3aA且对任意

的（a,6）e8,（羽了）€8均有（0-初67）40,则8中元素个数的最大值为（）

A.10B.19C.30D.39

二、填空题

4.（2021・上海•格致中学高一阶段练习）已知集合4={1,2,3,4,5,6},B={（x,y）|xdA,yeA,x

-yGA},则B中所含元素的个数为.

5.（2020.上海.高一课时练习）已知集合4={1,2,4},则集合3={（x,y）|xeeA}中元素的个数为

6.（2020.上海.高一单元测试）若集合A={-L1},3={。2},则集合{z|z=x+y,xeA川同中的元素个

数为.

7.（2021.上海.华东师范大学第三附属中学高一期中）设集合/“={1,2,…，科，〃eN*,集合

£=方同€/“,女€/“，则A中元素的个数为

三、解答题

8.（2021.上海•高一专题练习）方程依=b是关于尤的方程.当°、。满足什么条件时，该方程的解集是有限

集？当。、6满足什么条件时，该方程的解集是无限集？

U巩固提升

一、单选题

1.（2022•上海市建平中学高一期末）已知函数/（%）=（根+1>2工+炉+2依，记集合A={x[〃x）=0,xeR},

集合B=,/[/（x）]=0,xeR},若A=3,且都不是空集，则祖+〃的取值范围（）

A.[—1,4]B.[—1,1）C.[—1,1]D.[0,4）

2.（2020•上海市大同中学高一阶段练习）若网、图分别为集合S、T的元素个数，定义

5r=，

*l|r|_|S||T|>|S|若S={1，2}，7={xl（x+G）（尤+6+2）=。}且S*T=1.设实数“所有可能构成

集合A,则|A卜（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2021.上海市延安中学高一阶段练习）设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},给出条件:①A=U；②若xeA,

则2xeA；③若xC则2x0,那么同时满足三个条件的集合A的个数为（）

A.0个B.16个C.32个D.64个

二、填空题

4.（2022・上海•华师大二附中高一期末）已知adR,不等式321的解集为P,且1GP,则a的取值范围

X

是.

5.（2022・上海虹口•高一期末）已知集合A={-l,0,l},B=|x|x2-2x=0j,则Au6=.

6.（2021.上海市奉贤中学高一期中）用C（A）表示非空集合A中元素的个数：定义

A*B={c（B）-C（A）C（B）＞c（A）（若"="2}，B=[x\（x2+ax\x2+ar+2）=0,xe7?）,且A*3=l,设实

数a的所有可能取值构成集合S,S=；

7.（2021.上海市奉贤中学高一期中）若4e{l,6},则实数。=；

8.（2021.上海市延安中学高一期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意xeS,yeS,都有

（x+y）eS,（x-j）eS,（xy）GS,则称集合S为“完美集合”.给出下列命题：

①若S为“完美集合”，则一定有OeS；

②“完美集合”一定是无限集；

③集合4=3«=々+后,敏2,6"}为“完美集合”；

④若S为“完美集合”，则满足S=T^R的任意集合T也是“完美集合”.

其中真命题是.（写出所有正确命题的序号）

9.（2020・上海・华东师范大学附属周浦中学高一阶段练习）若集合4=用g+4工+4=0}中只有一个元素，

则实数上的值为.

A-B,A>B

10.（2021・上海市张堰中学高一期中）用阈表示非空集合A中元素的个数，定义A*3=

B-A,B>A

若A={0,1},8=卜卜2+ax）（Y+ax+3）=。},A*3=1,则实数〃的所有可能取值构成集合S,则