考点08 数列求和（精讲）第一阶段零基础or艺考生(原卷版)

考点08数列求和（精讲）【题型解读】【知识必备】1．公式法求和常用的求和公式有：(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．3.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．常用的裂项公式有：(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(4)eq\f(1,n(n＋1)(n＋2))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n(n＋1))－\f(1,(n＋1)(n＋2))))；4.分组求和与并项求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．【题型精讲】【题型一分组求和与并项求和】必备技巧分组求和与并项求和一般地，如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an±bn}或cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,bn，n为偶数))的前n项和Sn时，可采用分组求和法求和．如果cn＝(－1)n·an，求cn的前n项和时，可采用并项求和法求解．例1（2021·江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．例2（2021•五华区校级模拟）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求．【跟踪精练】1.（2021•番禺区模拟）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，．若，，成等比数列．（1）求及；（2）设，求数列前项和．2.（2021届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列中，，，.（1）求证：数列是等比数列;（2）求数列的前项和.【题型二错位相减法求和】必备技巧错位相减求和第一步巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步确定等差、等比数列的通项公式；第三步构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步求和：根据差式的特征准确求和.例3（2021·六盘山高级中学高三月考）设等差数列中，，各项均为正数的数列的前项为，已知点在函数的图像上，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为．【跟踪精练】1．（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考）已知数列满足，，设.（1）证明：为等差数列；（2）求数列的前项和.2．（2021届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{an}的首项为a1＝1，且.（Ⅰ）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝log2（an+2）﹣log23，求数列的前n项和.【题型三利用裂项相消法求和】必备技巧裂项相消求和第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差或和的形式；第三步消项求和：即把握消项的规律，准确求和.例4（2021·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.例5（2021•福清市一模）已知数列的前项和为，满足．（Ⅰ）求（Ⅱ）若数列满足，的前项和．【跟踪精练】1.（2021·四川遂宁市高三月考）已知数列中，，