全等三角形手拉手模型-初中数学模型与解题方法专项训练

15全等三角形手拉手模型

一、单选题

1.如图，在AABC中，AD±BC,CEXAB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则

CH的长是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】VAD±BC,CE±AB,

.\ZADB=ZAEH=90°,

ZAHE=ZCHD,

.\ZBAD=ZBCE,

Vl£AHEA和ABEC中，

ZBAD=ZBCE,ZAEH=ZBEC=90°,EH=EB,

.,.△HEA^ABEC(AAS),

；.AE=EC=4,

则CH=ECEH=AEEH=43=1.

故选A.

2.如图，AB=AD,AC=AE,ZDAB=ZCAE=50°,以下四个结论：①△ADCgZkABE；②CD=BE；③ND0B=50°；

④点A在NDOE的平分线上，其中结论正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】VZDAB=ZCAE

/.ZDAB+ZBAC=ZCAE+ZBAC

ZDAC=ZEAB

VAB=AD,AC=AE

AAADC^AABE

/.CD=BE,故①②正确；

VAADC^AABE

ZADC=ZABE

设AB与CD交于G点，

,/ZAGD=ZBGC

ND0B=NDAB=50°,故③正确；

过点A作AFLCD于F点，过点A作AH,BE于H点,

则AF、AH分别是4ADC与AABE边上的高

VAADC^AABE

.\AF=AH

.,.点A在/DOE的平分线上，④正确

3.如图，已知△26。与都是等边三角形，点以a2在同一条直线上，血?与龙相交于点G,BE与

4C相交于点F,AD与方相交于点H,则下列结论①△力仪良为②/AGB=60°③BF=AH④△&也是等

边三角形⑤连CG,则/8GC=/0GC.其中正确的个数是()

【答案】D

【详解】试题分析：,••/6。=/比序60°,

:./BC行/ACD,在△及若和中，

'：B(=AC,/BC皆NACD,CE=CD,

:.△BCE^AACDQSAS)；故①正确；

'：/\BCE^/\ACD,

:.Z,CBF=/CAH.

'：2BFO/AFG,

：.ZAGB=ZACB=G0Q,故②正确;

在△成尸和△/阳中，ZCBF^ZCAH,B(=AC,ZBCF^ZACH,

：./1BCF^/\ACHCASA),

：.CP-CH,B户AH；故③正确；

,:C抖CH,//妙60°,

；.△口叼是等边三角形；故④正确；

连接CG,过。点作CMX.BE,作CNLAD,

YABC厘AACD,CMLBE,CNLAD,

：.CM=CN,

AGC平分NBGD,

/.ZBGOADGC,故⑤正确.

故选：D.

4.如图，在△物8和△欠/中，OA=OB,0C=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD=^0°,连接/G初交于点弘连接

0M,下列结论：

①△AOSMBOD；②AC=BD；③//奶=40。；④幽9平分/@公.

其中正确的个数为（）

【答案】A

【详解】解：,；NA0B=/C0D=40°,NA0D是公共角,

ZCOD+ZAOD=ZBOA+ZAOD,即ZA0C=ZB0D,

VOA=OB,0C=0D,

/.△AOC^ABOD(SAS),

.\AC=BD,ZOAC=ZOBD,ZODB=ZOCA,故①②正确；

过点0作OELAC于点E,OF_LBD于点F,BD与0A相交于点H,如图所示:

o

B

VZAHM=ZOHB,ZAMB=180°ZAHMZOAC,ZB0A=180°ZOHBZOBD,

AZAMB=ZB0A=40°，

：.Z0EC=Z0FD=90°，

VOC=OD,ZOCA=ZODB,

.,.△OEC^AOFD(AAS),

.\OE=OF,

・・・OM平分NBMC,故③④正确;

所以正确的个数有4个;

故选A.

5.如图，A,B,E三点在同一直线上，△ABC,都是等边三角形，连接AD,BE,OC：下列结

论中正确的是（)

Q&AC哙丛BCE：②也是等边三角形；③0c平分/AQE；④△即/△及

C.①②④D.①②③④

【答案】B

【详解】•:丛ABC,△期都是等边三角形,

CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=60°，

:・/ACB+/PCQ:/ECA/PCQ,N尸。60°，

：.ZACD=/BCE,

^△ACD^XBCE,

・・・①的说法是正确的;

V△ACD^XBCE,

：・/PDC=/QEC,

":/PCF/QC&60°，CFCE,

:・XPC恒XQCE,

C.POQC,

・•.AC也是等边三角形;

•••②的说法是正确的;

■：△PCI^XQCE,

过点。作CGLPD,垂足为G,CHLQE,垂足为〃，

:.gpD.CG=g°E・CE,

CG=CH,

：.0C平分/AOE,

③的说法是正确的；

无法证明XBP哙△及M.

④的说法是错误的；

故答案为①②③，

故选8

6.如图，在直线/C的同一侧作两个等边三角形△/如和△6",连接力£与切交于点〃，/£与如交于点

G,BE与CD交于尽F,下列结论：QAE=CD；②/AHD=60。；③△然跆△力为；④）BH平■分/GBF；⑤GF

//AC.⑥点〃是线段2c的中点.正确的有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】C

【详解】连接的过点6作酬工/£于弘BN1CD于N

D

：.ZABD=ZEBC=60°,BA=BE,BE=BC,

：.ZABE=/DBC,

在△/鳍和△2%中，

'BA=BD

<NABE=NDBC

BE=BC

・•・△/庞口△庞。(倒S),

：.AE=CD,故①正确；

Y△ABB^XDBC,

:・/BAE=/BDC,

丁/AGB=/DGH,

：.ZA//D=ZABG=60°,故②正确；

在和△〃烟中，

'ZBAG=ZBDF

<AB二DB；:•△AGB^ADFB(ASA),故③正确；

NABG=NDBF=60。

■：△AGB^ADFB,

：.BG=BF,

〈N戚=60°,

・•・△仇声是等边三角形，

：.ZFGB=ZABD=60°,

：.FG//AC,故⑤正确；

■：△ABE^MDBC,BMLAE,BNLCD,

:・BM=BN,

:・BH平分/AHC,但不一定平分/娜，故④错误；

根据题意，无法判断掰=掰故⑥错误.

故选：C.

7.如图，△/回和都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,连接应交助于点尸，连接物交

。于点G,连接BE.下列结论中，正确的结论有（）

QCE=BD；②是等腰直角三角形；③NADB=NAEB；④）S四边彩BCDE=工B"CE；⑤"白㈤=曲面.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】解：：，△/欧和△/龙都是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD-AE,

'：ZBAD=ZBAaZCAD=90°+ZCAD,ZCAl^ZDAB+ZCAD=90o+ZCAD,

：.ABAD^ACAE,

:ZB哙MACE(弘S),

:.C&BD,/ABD=NACE,故①正确；

ZBCG+ZCBG^AACB^ZABC=90°,

在△6CG中，ZBGC=180°^ZBCG+Z.CBG')=180°90°=90°,

J.BDLCE,

••S四边彩BCD串S^BCE+Ss0cE=-CE-BG+—CE-DG=；BD*CE,故④正确；

22/

由勾股定理，在RtABCG中,

在.RtADEG中,D痕Dd+Ed,

：.B徐施=B(f+必Dd+Ed,

在.RtABGE中,B^=Bd+Ed,

在放△切G中，C性Cd+Dd,

：.B^+Clf=B(f+Cd+Dd+Ed,

:.BG+DE=B^+Clf,故⑤正确；

从题干信息没有给出AC=A£>,所以只有AE〃CD时，ZDAE=ZADC=90a,

无法说明AE〃CD,更不能说明。=A。，故②错误；

4AB厘/\ACE,：.ZADB=ZAEC,

■•­条件不足以证明AC4E%A4E,

//比与//旗相等无法证明，

加庐//旗不一定成立，故③错误；

综上所述，正确的结论有①④⑤共3个.

故选：C.

8.如图，在AOAB和aOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZC0D=40°,连接AC,BD交于点M,

连接OM.下列结论:①AC=BD；②/AMB=40°；③OM平分NBOC；④MO平分/BMC.其中正确的个数为（）

C.①②③D.①②④

【答案】D

【详解】解：VZAOB=ZCOD=40°,

ZAOB+ZAOD=Z.COD+ZAOD,

即ZAOC^ZBOD,

在AAOC和NBOD中,

OA=OB

<ZAOC=ZBOD

OC=OD

AAOC=^BOD(SAS),

:.NOCA=/ODB,AC=BD,①正确；

:.NOAC=NOBD,

由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,

:.ZAMB=ZAOB=40°,②正确；

作OG1MC于G,OH，MB于■!!,如图2所示：

则/OGC=/OHD=90°,

在AOCG和AQDH中，

ZOCA=ODB

<ZOGC=ZOHD

OC=OD

AOCG=AODH(AAS),

:.OG=OH,

平分/BMC,④正确；

ZAOB=NCOD,

•••当ZDOM=ZAOM时，OM才平分ZBOC,

假设ZDOM=ZAOM

■：\AOC=^OD,

Z.COM=ZBOM

•.♦MO平分

:.ZCMO=ZBMO'

在ACOM和ABOM中,

ZCOM=BOM

<OM=OM

ZCMO=ZBMO

ACOM=ABOM>

OB—OC,

■,OA=OB

:.OA^OC

与OA>OC矛盾，

二③错误；

综上所述，正确的是①②④；

故选：D.

9.如图，点C是线段AE上一动点（不与A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,

AD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论：①AD=BE；②PQ〃AE；

③AP=BQ；@DE=DP；⑤/A0B=60°.其中一定成立的结论有（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】①：等边AABC和等边4DCE,

/.BC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60°,

ZACD=ZBCE,

在AACD和ABCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

.".△ACD^ABCE(SAS),

；.AD=BE；

故①正确；

③:4ACD名ZXBCE（已证），

.\ZCAD=ZCBE,

VZACB=ZECD=60°（已证），

.•.ZBCQ=180°60°X2=60°,

AZACB=ZBCQ=60°,

在4ACP与4BCQ中，

ZCAD=ZCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60°,

：.AACP^ABCQ（ASA）,

AAP=BQ；

故③正确；

②•・・AACP^ABCQ,

APC=QC,

AAPCQ是等边三角形，

AZCPQ=60°,

・•・ZACB=ZCPQ,

・・・PQ〃AE；

故②正确；

④〈AD=BE,AP=BQ,

・・・AD-AP=BE3Q,

即DP二QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,NCDE=60°,

丁•NDQEWNCDE,

.\DEWQE,

则DPWDE,故④错误；

ZACB=ZDCE=60°,

AZBCD=60°,

・・•等边ADCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

.\BC〃DE,

・・・NCBE=NDEO,

NAOB=NDAC+NBEC=NBEC+NDEO=NDEC=60°.

故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，

故选D.

10.如图，正AABC和正△CDE中，B、C,〃共线，且3C=3C。，连接AD和5£相交于点E以下结论中

正确的有（）个

®BF=AF+FC

1

【答案】A

【详解】解：①•・•AABC和均为等边三角形，

AZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在"CE和△ACD中，

BC=AC

</BCE=/ACD

EC=DC

：.八BCE%ACD(SAS),

：.ZCBE=ZCAD,

•：ZAFB=NCBE+/CDA,ZACB=ZCDA-^ZCAD,

：.ZAFB=ZACB=60°,故①正确；

②如图所示，作CML5石于M点，CN1AD于N点、,

则ZCME=ZCND=90°,

■:ABCE'ACD,

：./CEM=/CDN,

在和中，

ZCME=ZCND

</CEM=ZCDN

CE=CD

：.&CEM经卫DN(AAS),

：.CM=CN,

：・CF平分NBFD,故②正确；

③如图所示，作FPLBD于P点，

S.BCF=^BF.CM=^BC.FP,S、DCF=gDF.CN=gcD.FP,

0-BF-CM-BC»FP

・、ABCF__2_______2______

,・Si，

3△DCF-DF.CN-CD.FP

22

CM=CN,

.•.整理得：—,

DFCD

;BC=3CD,

.BF3CDc

••==3,

DFCD

；・BF=3DF,故③正确；

④如图所示，在AD上取点。，使得”=凡2,

9

\ZAFB=ZACB=60°fCF平分NBFD,

：.ZBFD=120。，ZCFD=-ZBFD=60°,

2

••.△FCQ为等边三角形，

AZFCQ=60°,CF=CQ,

ZACB=60°,

ZACB+ZACF=ZFCQ+ZACF,

；.NBCF=NACQ,

在△3CF和aACQ中，

BC=AC

<ZBCF=ZACQ

CF=CQ

：.^BCF^ACQ(SAS),

：.BF=AQf

•：AQ=AF+FQ,FQ=FC,

：.BF=AF+FC,故④正确；

综上，①②③④均正确；

故选：A.

BD

二、填空题

11.如图，AABD、ACDE是两个等边三角形，连接BC、BE.若"8C=30。，BD=6,BC=8,则

【答案】B*10

；AABD、ACDE是两个等边三角形，

；.AB=BD=AD=2,CD=DE,ZABD=ZADB=ZCDE=60,

二ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,

Z.ZADC=ZBDE,

AD=BD

在AACD与ABDE中<ZADC=ZBDE,

CD=DE

/.△ACD^ABED(SAS),

.".AC=BE,

VZDBC=30°,

.♦.NABC=NABD+NDBC=60°+30°=90°,

在RtAABC中,AB=6,BC=8,

；•AC=7AB2+BC1=762+82=10-

.".BE=10,

故答案为：10.

12.如图，点BCE在同一条直线上，AABC与ACDE都是等边三角形，下列结论:①AE=BD；②A£>GC%£FC；

③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG〃BE.其中正确的是.(填序号)

D

【答案】①②④

【详解】解：如图，记AE与5D的交点为

•・・△ABC与△COE都是等边三角形，

AAC=BC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°

•・•点B、C、E在同一条直线上，

AZACD=60°,

.\ZBCD=ZACE=120o

在△5CD和"。石中，

BC=AC

</BCD=/ACE

CD=CE

：.ABCD'ACE,

・•.BD=AE,所以结论①正确；

■:ABCDmAACE,

：.ZBDC=ZCEA,

VZAHB=ZDBE+ZBEA=ZDBE+ZBDC=180°-ZBCD=60°,所以③错误;

在△GCD和△FCE中，

ZGCD=ZDCE

<CE=CD,

ZCDB=ZCEA

：.AGCDAFCE,

・・・所以②正确；

♦.FGCD'FCE,

VCG=CF,ZACD=60°,

ZGFC=60,

又：NDCE=60°,

ZGFC=ZDCE,

；.GF〃BC,所以④正确.

故答案为：①②④.

13.如图，AABC和AECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,AMC的顶点/在AECD的斜边座

上，连接BD,有下列结论：①AE=BD；②NDAB=NBCD；®ED±DB；@AE2+AD2=2AC2；其中

正确的结论有（填序号）

【答案】①②③④

【详解】解：：“1BC和AECD都是等腰直角三角形，

NECD=ZACB,

：.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即：ZECA=ZDCB,

•：CA=CB,CE=CD,

：.AACE^ABCD(SAS),

:.AE=BD,故①正确；

由三角形外角定理，ZDAC=NE+ZECA,

"?ADAC=ZDAB+ABAC,

：.ZE+ZECA=ZDAB+ZBAC,

,/ZE=ABAC=45°,

ZECA=ZDAB,

'：ZECA=NDCB,

:.ZDAB=/BCD,故②正确；

•：AACE'BCD,

：.NE=NCDB=45。,

'：Z.BDE=ZCDA+ZCDB,

AZBD£=45°+45°=90°,即：ED±DB,故③正确；

,/NBDE=90。,

.•.在RtZvlBD中，AD2+BD2=AB2，

：AABC为等腰直角三角形，

/.AB2=AC2+BC2=2AC2,

AD2+BD2=2AC2,

AE=BD,

：.AD2+AE2=1AC2,故④正确；

故答案为：①②③④.

14.如图，ZDAB=ZEAC=60°,AB=AD,AC=AE,BE和8相交于。，A2和CO相交于尸，则NDOE

的度数是°.

【答案】120

【详解】如图所示:

VZDAB=ZEAC=60°,

/.ZDAB+ZBAC=ZBAC+ZEAC,

ZDAC=ZEAB,

在4ADC和4AEB中，

AD^AB

<NDAC=NEAB,

AC^AE

AAADC^AABE(SAS),

.\ZE=ZACD,

XVZAFE=ZOFC,

ZEAF=ZC0F=60°,

AZD0E=120°.

故答案是:120.

15.已知：如图，正方形ABC。中，对角线AC和3。相交于点。，E,歹分别是边AD、。上的点，若

AE=4cm,CF=3cm,且OE_LOP,则E尸的长为cm.

B

【答案】5

【详解】解：连接EF,

VOD=OC,

VOE±OF

/.ZE0D+ZF0D=90°

•.•正方形ABCD

ZC0F+ZD0F=90°

ZEOD=ZFOC

而/0DE=/0CF=45°

.,.△OFC^AOED,

.*.OE=OF,CF=DE=3cm,则AE=DF=4,

根据勾股定理得到EF=JCE2+CR2=J32+42=5cm.故答案为：5.

16.如图，在放中，NABC=90°,45=8G点〃为三角形右侧外一点.且/如C=45°.连接血,

若切的面积为卷9，则线段切的长度为.

O

3

【答案】I

【详解】解：过点8作迎士初，交加的延长线于点£,连接力£,如图所示:

,D

E<

*：ZABC=90°,

ZABE+NEBC=NEBC+NCBD=90°,

ZABE=/CBD,

9：ZBDC=45°,/EBD=90°,

JAEBD是等腰直角三角形，

：.ZBDC=ZBBD=45°,BE=BD,

*：AB=BC,

：./\BCD^/\BAE(SAS),

・・・NM信/侬=45°,A&CD,

：.ZAED=ZAEB+ZBED=90°,

19

9：S^ACD=-CDAE=-,

:.CD2=~,

4

••.co=；3；故答案为3

17.如图，AABC是边长为5的等边三角形，BD=CD,NBDC=120°.£、尸分别在46、4C上，且ZEDF=60°,

则三角形力厮的周长为.

【答案】10

【详解】解：延长到“使阱5连接如

A

・・,△力欧是等边三角形，

：.ZAB(=ZACB=60°,

,:BFCD,/瓦妹120°,

：.ZDB(=ZDCB=30°,

AZACD=ZABD=300+60°=90°=ZNBD,

•・•在ayw和△也?中，

BD=DC

<ZNBD=ZFCD,

BN=CF

：./\NBD^/\FCD(5215),

：.DN^DF,ZNDB=ZFDC

\9ZBDC=120°,/ED后60°,

：.ZEDB+ZFD(=60°,

：.ZEDB+ZBD^60°,

舆/EDQ/EDN,

在△龙W和△瓦方中，

DE=DE

<ZEDF=ZEDN,

DN=DF

:・XED的XEDF(SAS),

：.E六EN=^BE+BN^BE+CF,

即B吩C氏EF.

•・・△/阿是边长为5的等边三角形，

：.AB=AC=5,

■:BE+C六EF,

・•・△力斯的周长为：A^EF^AF^AE^EB+FC+AF^AB+AC=W,

故答案为：10.

18.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接

CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE；②BGLCE；③AM是4AEG的中线；④N

EAM=NABC.其中正确的是

【答案】①②③④

【详解】解：在正方形/皿'和"FG中，AB=AE,AC=AG,ZBAE=ZCAG=90°,

:/BAE+/BAC=/CAG+/BAC,

即/窃£=NB4G,

:.丛ABg丛AEC（弘S）,

:.BG=CE,故①正确；

设阴、方相交于点儿AC,6G相交于点人，如图1,

图1

,/AABg工AEC,

:"ACE=/AGB,

,/NAKG=ZNKC,

：.ZCNG^ZCAG^9G°,

J.BGLCE,故②正确;

过点£作夕＜1期的延长线于R过点G作G0L/〃于0,如图2,

图2

"：AHVBC,

:./ABm/BAH=92°,

■:/BAE=90°,

:・/EAPv/BAH=9。。,

:"ABH=/EAP,即N必4故④正确;

■:/AH氏/K0°,AB^AE,

:.XAB哈XEAP(AAS),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

•・•在△⑸%和△刚中，

ZP=ZMQG=90°

＜ZEMP=ZGMQ,

EP=GQ

:AEPgAGQM(AAS),

：.EM=GM,

是的中线，故③正确.

综上所述，①②③④结论都正确.

故答案为：①②③④.

19.如图，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=50°,AD、BE交于点H,连接CH,则NCHE二

【答案】65°

【详解】解：如图，・・・/ACB=/DC£,

:.NACD=NBCE,

CA=CB

在AACD和ABCE中，＜ZACD=ZBCE

CD=CE

:.^ACD^ABCE(SAS)；

过点。作。于M,CN工BE于N,

・・・AACD=ABCE,

/./CAM=/CBN,

ZCAM=/CBN

在AA。/和ABOV中，＜/AMC=NBNC=9。。

AC=BC

:.^ACM=ABCNf

:.CM=CN,

[CM=CN

在RtACMH与RtACNH中\

\CH=CH

RtACMH=RtACNH(HL),

.\ZMCH=ZNCH,

:.CH平分ZAHE；

・.・AACD=ABCE,

../CAD=NCBE,

\'ZAFC=ZBFH,

:.ZAHB=ZACB=50°,

ZAHE=180°-50°=130°,

z.ZCHE=-ZAHE=-xl30°=65°,

22

20.在△/回中，44。5=90。,4=60。,AB=4,点〃是直线加上一动点，连接期在直线相＞的右侧作

等边AADE,连接位当线段"的长度最小时，线段的长度为.

【答案】3

【详解】解：在AC的左侧作等边三角形AC尸，连接CE、BF、FD、CF,

・・・ZACB=90°,ZB=60°,贝”ZBAC=30°,

A

则ZFAB=ZFAC-ABAC=60°-30°=30°,

故点C、尸关于AB对称，

贝l]ZABP=ZA5C=60°,BF=BC=-AB=-x4=2,

22

•••AAFC,AADE均为等边三角形，

:.ZFAD+ZDAC=6O°,ZDAC+ZEAC=60°,AF=AC,AD=AE,

.-.ZFAD=ZEAC,

AADF=AAEC(SAS),

:.DF=EC,

当。尸，3c时，。尸最小，

由ZABC=ZABF=60°,BC=BF=2,

ZFBD=60°,ZDFB=30°,

^lBD=-BF=-x2=l,

22

故8的长度为BD+CB=l+2=3,

故答案为：3.

三、解答题

21.如图所示，△28C和△/龙都是等边三角形，且点6、4£在同一直线上，连接BD交.AC于M,连接

⑴求证：B2CE；

(2)求证：△ABg^ACN；

(3)求证：仞V是等边三角形.

解：(1)•.,△/回和龙都是等边三角形,

：.AB=AC,AD-AE,NBAC=/DA斤6Q°,

：.ZBAD=ZCAE.

AB=AC

在△/初和中，,/5A£)=/CAE

AD=AE

:AAB厘AACEG四,

：.BD=CE.

(2)由⑴知△/瓦/

:./AB旧/ACN.

・・,点氏A.£在同一直线上，且/掰华/物后60°,

・・・/。游60°=ZBAC.

ZBAM=ZCAN

在△/砌和△/CV中，|AB=AC；:•丛ABM”丛ACN(除检.

ZABM=ZACN

(3)由(2)知△/阴经

；.A的AN,

・・・/。游60°,

・•・△/腑是等边三角形.

22.如图，在AABC中，NC=90。，AC=BC,点。是AN中点，ZMON=90°,将ZMON绕点0旋转,

⑵当NMON转动至如图二所示的位置时，线段CO、CE、AC之间有怎样的数量关系？请说明理由.

【详解】(1)证明：VAC=BC,ZC=90°,AO=OB,

：.OC.LAB,OC=AO=OB,

：.NOCD=NB=45。,

ZMON=ZCOB=90°,

ZDOC=NEOB,

在△COD和△及血中，

ZOCD=ZB

<OC=OB,

ZOCD=/BOE

△COD=ABOE（ASA）.

（2）解：CE—CD=AC.

理由：连接OC.

AOC±AB,OC=AO=OB,

：.NOCD=NB=45。,

：.ZDOC=ZCBE=135°,

ZMON=/COB=90°,

ZDOC=ZEOB,

在△COD和乙BOE中,

NOCD=NB

<OC=OB,

ZOCD=/BOE

：.△COD*BOE（ASA）,

:・CD=BE,

：.CE-CD=CE-BE=BC=AC.

23.在AABC中，AB=AC,点〃是直线5c上一点，连接A。，以为边向右作VAO£,使得A」D=AE,

（1）①如图1,求证：△ABD也△ACE；

②当点〃在边上时，请直接写出AABC,△ACD,ZkAC石的面积（S“B「凡人⑺，5“比）所满足的关

系；

⑵当点〃在5c的延长线上时，试探究AABC,△ACD,/VICE的面积（S-BC，\ACD，）所满足的

关系，并说明理由.

9

【详解】（1）证明：@：ZBAC=ZDAEf

AZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCADf即NBAD=NC4E.

在△ABD和"。石中，

AB=AC

</BAD=ZCAE。

AD=AE

：.△ABI泾△ACE(SAS).

②S4ABC=S"CD+S必CE，理由如下：

*.•AABD咨Z\ACE,

.SU=s

,,AABD°AACE，

•^ZXABC=^AACD+^^ABD，

,*\&ABC~SjCD+SMCE；

(2)解：S"CE=$&ABC+Sdco，理由如下：

■:ZBAC=/DAE,

：.ZBAC+Z1=ZDAE+Z1,即NB4)=NC4E.

在△回£>和△ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

：.△ABO也△ACE(SAS),

•v=q

••OAABD一°AACE，

•^AABD=^AABC+SAACD，

••^AACE=S“BC+S博CD•

24.在“IBC中，=AC,点。是直线3c上一点（不与8、C重合），把线路AD绕着点A逆时针旋转

至AE（即A£）=AE）,使得/DAE=Na4C,连接03、CE.

⑴如图1,点。在线段8C上，如果/BAC=90。，则ZBCE=度.

A

E

-D-----------------

图1

⑵如图2,当点O在线段BC上，如果NB4C=60。，则ZBCE=度.

⑶如图3,设N3AC=&,NBCE=B,当点。在线段8C上移动时，％尸的数量关系是什么？请说明理

由.

图3

(4)设/54C=e,NBCE=/3,当点。在直线8C上移动时，请直接写出a,夕的数量关系，不用证明.

【详解】(1)M：-：ZBAC=90°,

：.ZDAE=NBAC=90°,

VAB^AC,AD=AE,

：.ZB=ZACB=45°,ZADE=ZAED^45°,

,?NDAE=NBAC,

：.ZBAD=ZCAE,

在和AC4石中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

：.△BAD^ACIE(SAS),

ZACE=ZB=45°,

：./BCE=ZACB+ZACE=90°,

故答案为：90；

(2)VABAC=60°,

：.ZDAE=ABAC=60°,

•：AB=AC,AD=AE,

：.ZB=ZACB=60°,ZADE=ZAED=60°.

9

：ZDAE=ZBAC9

：.ZBAD=ZCAE,

在△BAO和VC4E中，

"AB=AC

<ZBAD=NCAE,

AD=AE

：.位径△C4E(SAS),

・•.ZACE=ZB=6Q°,

：.ZBCE=ZACB+ZACE=120°,

故答案为：120；

(3)。+分=180。，

理由如下：

VAB=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC,

：.ZBAD=ZCAEf

在和VC4£中，

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

：.ABAZ)^AG4E(SAS),

・•・ZACE=ZB,

：.ZACE+ZACB=N3+ZACB,

・.,/BCE=ZACB+ZACE=p,

/B+/ACB=0,

•:/BAC=a,ZBAC+ZB+ZACB=180°,

a+0=180°；

(4)如图4,当点〃在3C的延长线上时，。+/?=180。,

图4

证明方法同(3)；

如图5,当点〃在C5的延长线上时，a=/3,

A

E

图5

u

理由如下：：ZDAE=ZBACf

：.ADAB+ZBAE=Z£4C+/BAE,

：.ZDAB=ZEAC,

在△/>和VC4E中，

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

：.△BAZ泾△C4E(SAS),

：.ZABD=ZACE,

VZABD=ZBAC-^-ZACB,ZACE=NBCE+ZACB,

：.ZBAC=ZBCE,

ABAC=a,/BCE=0,

:.a=0.

综上，。+£=180。或。=尸.

25.在△/旗和△龙C中，AC.初相交于点尸，AE、物相交于点。，AE=BE,DE=CE,/AEB=/DEC.

(1)求证：AC二BD：

(2)求证：NAPB=/AEB.

【详解】(1)证明：,:/AEa/DEC,

：./AEB+/AEA/DE*/AED,

：./BEFNAEC,

在△则与中，

AE=BE

<NAEC=/BED

DE=CE

:.XBE哈丛AEC（弘S）,

C.AOBD.

（2）证明:△弧运

:・/EB许/EAC,

「ZEBIhZB0E+ZAEB=ZA0P^ZAPB+ZEA（=180o,

又Y/B0序/A0P,

：./AEB=/APB.

26.如图LB、a〃三点在一条直线上，AD与BE交于点、0,△/回和是等边三角形.

（1）求证：丛AC哙丛BCE,,

⑵求N9的度数；

⑶如图2,若以a〃三点不在一条直线上，N8M的度数是否发生改变？（填“改变”或“不改

变”）

【详解】（1）证明：•••△28。和△瓦〃是等边三角形，

:♦/ACB=/ECD=6G°,BC=AC,EC=CD,

：./ACB"ACE=/ECIK/ACE,

：./BCE=ZACD,

在△aF和△4SZ?中

BC=AC

・：1/BCE=NACD,

CE=CD

:.XBC恒MACD（倒S）.

（2）解：,:XBC恒MACD,

:・/ADC=/BEC,

'：/AOB=/EBC+/ADC,

：.ZAOB=ZEBC+ABEC=ZDCE=^°,

'：/A0B+/B0D=\8G°,

：.ZBOD=120°.

（3）解：不改变，理由如下：

同（1）得：△ACD^XBCEQSA9,

ADAC=AEBC,

ZAOE=ZABO^ZOAB

=ZABO^ZDAaZBAC

=/AB8/EBO/BAC

=AABC+ZBAC

=120°

：.ZBOD=ZAOE=120°,

即的度数不改变.

故答案为：不改变.

27.如图，已知四边形A3CD是正方形，对角线AC、BD相交于。，设E厂分别是A。、A3上的点,

若NEO厂=90。，00=4,求四边形AEO厂的面积.

【答案】8

【详解】解：:四边形ABCQ是正方形，00=4

JAO=OB=4,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.OA=OB,NOAE=NOBF=45。,AC1BD,

：.ZEOF=ZAOB=90°f

：.ZEOA=ZFOBf

在△石。4和△FO5中，

ZEOA=ZFOB

<OA=OB

ZOAE=ZOBF

：.AEOA^AFOB(ASA),

••^AEOA=S△尸QB,

・•・四边形AEO9的面积

=

=^^OEA+^^OAFSQFB+SQF-^^AOB=5、4义4=8.

28.(1)如图1,与AC定均为等腰直角三角形，ZACB=ZDC^O猜想并证明：线段/£、物的

数量关系和位置关系.

cD

(2)在(1)的条件下，若点4E,〃在同一直线上，◎/为中龙边上的高，请判断//庞的度数及

线段第AD,必之间的数量关系，并说明理由.

和△戊万均为等腰直角三角形，ZACB^ZDC^90°,

：.AOBC,CWCE,

：./AC&4BCD,

:•丛ACE^ABCD(弘S),

:,A/BD,/CA氏NCBD,

9：ZCAE+ZAO(=90°,/AOO/BOH,

:・/B0杀/CBIX9y.

：.ZA//B=90°,

：.AELBD,

故答案为/后微AELBDy

(2)ZADB^90°,AF2CMVBD,

理由如下：如图2中，

••,△/”和△屋均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,

:./CD斤/CE庐45°,

除180°ZCfi9=135°,

由(2)可知：2C厘△BCD,

:.A±BD,/及心//除135°,

：./AD斤/BDC/CD拄\33°45°=90°；

在等腰直角三角形ZO中，以为斜边"上的高，

：.DE=2,CM,

：,AD=DE+AE^2CM^BD.

30.已知在AABC中，AB=AC,过点6引一条射线BM,。是8M上一点

【问题解决】

(1)如图1,若NABC=60。，射线BM在/ABC内部，ZADB=6O°,求证：/3DC=60。，小明同学展示的

做法是：在上取一点£使得=通过已知的条件，从而求得N3DC的度数，请你帮助小明写出

证明过程；

【类比探究】

(2)如图2,已知NABC=NAD3=3O。.

①当射线在—ABC内，求/加C的度数

②当射线8M在BC下方，如图3所示，请问N3DC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求

出N3DC的度数；

【详解】(1)证明：如图1,在倒/上取一点£,使/忘=">,

,/ZADB=6O°,

：.A4DE是等边三角形，

NEW=60°,

VAB=AC,ZABC=60。，

AABC是等边三角形，

ABAC=60°,

：.ZBAC^ZEAD,

：.ABAC-ZEAC=ZEAD-ZEAC,即ZBAE=NC4D,

AB=AC

,：在ABAE和ACAD中INBAE=ACAD,

AE=AD

ABAE^AC4Z)(SAS),

・•・ZADC=ZAEB=120°,

：.ZBDC=120。—60。=60°；

(2)证明：①在BD上取一点反AE=AD,如图所示:

VZABC=ZADB=30°,AB=AC,

ZABC=ZACB=30°,ZAED=ZADE=30°,

JABAC=ZEAD=120°f

：.ZBAE=ZCAD.

AB=AC

在ABAE和△CW中</BAE=ZCAD,

AE=AD

：.ABAE^AC4r>(SAS),

・•.ZADC=ZAEB=180。—30°=150°,

・•・ZBDC=150°-30°=120°；

②N5DC的度数会变化，理由如下：

在05延长线上取一点反使得=如图所示:

同理①的方法可证：正△CAD,

・•.ZADC=ZE=30°f

：.ZBDC=AADE+ZADC