两角和与差的正弦余弦和正切公式（高频讲义）

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式（精讲）

目录

第一部分：知识点必背.................................................

第二部分：高考真题回归...............................................

第三部分：高频考点一遍过.............................................

高频考点一：公式的基本应用........................................

高频考点二：公式的逆用及变形......................................

高频考点三：辅助角公式的运用......................................

高频考点四：二倍角................................................

高频考点五：拼凑角................................................

高频考点六：降塞公式..............................................

第四部分：数学文化题.................................................

第五部分：高考新题型.................................................

①开放性试题......................................................

②劣够性试题......................................................

第1页共29页

第一部分：知识点必背

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

①两角和与差的正弦公式

sin(a+/)=sinacos°+cosasin/?

sin(a—=sinacos(3-cosasin0

②两角和与差的余弦公式

cos(a+,)=cosacos,一sinasin(3

cos(a—/?)=cosacos/?+sinasin0

③两角和与差的正切公式

c、tana-tanB

tan(z)=

"^l+tan«tan^

c、tana+tan£

tan(za+/?)二------------

1-tanatan°

2、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa

②cos2a=cos2a-sin2a;cos2a=2cos2a-1;cos2a=l-2sin2a

^2tana

③tan2a=--------

1-tana

3、降寨公式

1+cos2a.l-cos2a

cos2a=--------2sina=--------

22

4、辅助角公式:

asinx±Z)cosx=Na?+b?sin(x±9)(其中tan。=—)

5、常用结论

①两角和与差的正切公式的变形：tana土tan，=tan(a±/?)(l干tanatan，)

②1+sin2a=(sina+cosa)?

③1一sin2a=(sina-cosa)1

④sina±cosa=也sin(a±—)

4

第2页共29页

第二部分：高考真题回归

1.(2022・全国(新(Wj考H卷),统考IWJ考真题)若sin(a+/?)+cos(a+，)=cos［a+>in，，则()

A.tan(a—夕)=1B.tan(a+/?)=l

C.tan(cr-y0)=-lD.tan(cr+/?)=-l

【答案】C

【详解】［方法一］:直接法

由已知得：sinacos/}+cosasin/?+cosacos夕一sinasin(3=2(cosa—sina)sin夕，

即：sinacosP-cosasin尸+cosacos/?+sinasin夕=0,

即：sin(a—夕)+cos(a—,)=0

所以tan(a_/?)=-l

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:设0二0则sina+cosa=0,取所^,排除A,B；

TT

再取a=0则sinB+cos|3=2sin0,取0=一，排除D；选C.

4

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+夕)+cos(a+夕)=6sin(a+尸+工)=^2sin［(a+—)+S］

44

=V2sin(a+工)cosB+V2cos(a+工)sin夕=2近cos(an——)sinB

444

所以后sin(a+2)cos，=V2cos(cr+—)siny0

44

JTTTTT

sin(cr+—)cosy0-cos(tz+—)sin，=0即sin(a+—->ff)=0

sin(a—/?+?”sin(a—/?)cos>cos(a—/?》in2(a~(3》1^os6一/?90

sin(a—/?)=—cos(a—尸)即tan(a-/)=-l,

故选：C.

2.(2021•北京•高考真题)函数/a)=cosx-cos2x是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为5D.偶函数，且最大值为z

OO

【答案】D

【详解】由题意，/(-x)=cos(-X)-cos(-2x)=cosX-cos2x=/(x),所以该函数为偶函数，

第3页共29页

又/(x)=cosJC-cos2x--2cos2x+cosx+1=-2\cosx--

I4

1Q

所以当M2时'小）取最大值£

故选：D.

COSOL

3.（2021•全国（甲卷文，理）•高考真题）若,tan2a=-----；——，贝|tano=()

2—sina

A.姮V5V5V15

RC.D.

15533

【答案】A

COS。

【详解】丁tan2a

2-sina

csin2a2sin。cosaCOS6Z

tan2a=--------

cos2。1-2sin2a2-sina

2sina11

'：a^\0,—,cosawO,-一,解得sina

<2；1-2sma2—sma4

sina诟

cosa=Jl-sin之a=-----/.tana---------

4cosa15

故选：A.

25兀/、

4.（2021,全国（乙卷文）,统考高考真题）cos2--c1os—=()

1212

C,正

A1RV3

A。2D.—

322

【答案】D

2%-cos2f--7C|27C.27C

【详解】由题意,cos2---cos2——=cos—----=cos-------sin—

1212121212J1212

71V3

~62

故选：D.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：公式的基本应用

典型例题

例题1.（2023秋•吉林辽源•高一校联考期末）若tana=-1,tan£=2,贝J）tan。-〃）=（）

A.1B.0C.2D.3

第4页共29页

【答案】D

tana-tan/3

【详解】tan(a—夕)=

1+tanatan/?

故选：D

例题2.(2023•新疆乌鲁木齐•统考二模)已知ae(0,—),^e(―,7t),cosor=——,sin,则cos(a-/?)=

2255

()

A.拽B一拽2^5D.一拽

Ur.------

252555

【答案】A

JT7T加.03_2/

【详解】因为C£(°,5),万G(5，兀)'cosa=——.sinB,则sina=Vl-cos2a

55

cos/3=-sin2P=,

所以cos(a-£)=cosacos/?+sinasinP=1x

故选：A

例题3.(2023春•江苏常州•高一校考阶段练习)已知cos(a+/?)=]tanatan/?=-],则

cos(1_/)=.

【答案】1##0.2

[详解】因为cos(cr+/?)=cosacos一sinasin尸二；①,

,八sinasin131八

由因为rtanatan,=---------=--(2)

cosacosp4f

①②联立可得sinasin/7二一,，cosacos'=[,

411

贝[Jcos(a一尸)=cosacos+sinorsin,

故答案为：—.

例题4.(2023春•江苏连云港•高一校考阶段练习)已知sinc=g,cos6=gaeg”A]o,?,求

值：

⑴sin(a+0；

⑵cos(a-Q).

【答案】⑴/

第5页共29页

,、33

⑵——

65

【详解】(1)因为sina=ga,所以cosa=—Jl—sin2a=-：.

因为cos夕二色/所以siny?=Jl—cos?/?=[.

所以sin(a+尸)=sinacosp+cosasin〃=

（2）由（1）可知,

1233

cos(a—〃)=cosacos,+sinasin,x-

1365

练透核心考点

1.（2023春•江苏淮安•高一淮阴中学校考阶段练习）已知tan6=2,则tan；)

2

A.2B.-3C.0D.

3

【答案】B

【详解】因为tan6=2,

所以tanC=tan0+1_2+1

1-tan01-2

故选：B

2.(2023・全国•高一专题练习)sin75°=()

.V2-1n^2+1rV6-V2DJ+亚

A.------------D.------------C.-----------------

224*4

【答案】D

6+LY/G+s/2

【详解】sin75°=sin(450+300)=sin450cos300+sin300cos45°=

24

故选：D.

3.（2023・全国•高一专题练习）已知sina+sin4=一,cosa+cos〃=—贝(jcos(a-/7)=()

【答案】A

3Q

【详解】因为sina+sin〃=丁所以sin?a+sin2/+2sinasin/7二石(1),

416

因为cosa+cos/?=一,所以cos?a+cos?6+2cosacos/=—(2),

(1)+(2)得2+2cos(a—0)=1,

第6页共29页

cos(a-y?)=—-.

故选：A.

4.(2023・全国•高三专题练习)已知tancr=3-2力'，则tan(a+[

【答案】V2

it

tana-+tan-_3-2亚+1_4_26_①

【详解】tan(a+；

1-tanatan1-(3-2收)272-2

故答案为：V2

5.(2023・全国•高一专题练习)已知角a的终边经过点P(T2)

⑴求角«的正弦、余弦和正切值;

(2)求tan[(z-"的值.

【答案】(1)sina=,cosa=--^-,tana=-2

55

(2)3

【详解】(1)•••角a的终边经过点尸(-1,2),

x=—i,y=2/=J1+4=>/5,

..y2^X45

..sina=—=------,cosa=—=-------,tana=-2;

r5r5

71

tana-tan—。.

__________L-2-1=3

(2)

1+tana-tan-1+(^)xl

4

高频考点二：公式的逆用及变形

典型例题

例题1.(2023春•甘肃张掖•高一高台县第一中学校考阶段练习)$M23。与1137。+8$23。­0$217。的值

为()

A.-2B.--C.yD.3

2222

【答案】B

【详解】sin23°-sin37°+cos23°-cos217°=sin23°-sin37°-cos23°-cos37°

=-cos(23°+37°)=-cos60°=-1

故选：B

第7页共29页

例题2.（2023春•江苏•高一校联考阶段练习）tan25o+tan35o+6tan25otan35。结果为（)

A.-V3B.GC.-V2D.y/6

【答案】B

e、r­/clcegtan25°+tan35°rr

【详解】因为tan60=tan(25+35)=----------------------=，

~,71-tan25°tan35°

所以tan25°+tan35°=J5(1-tan25°tan35,，

所以tan25°+tan35°+6tan25°tai35°=6•

故选：B.

例题3.（2023春,江苏连右港•高一校考阶段练习）cos610cos590-cos290cos31°的值为（）

1

A.0BD.——

-I2

【答案】D

【详解】因为cos29°=cos(90°-61)=sin6r,cos31°=cos(90°-59°)=sin59"，

所以cos61°cos59°-cos29°cos31°=cos61°cos59°-sin61°sin59

=cos(61°+59°)=cos120°=-g

故选:D.

77co

例题4（2023•全国•高三专题练习）,-（).

1-tan22.5o

A.1B--Ic-TD.1

【答案】C

tan22.5°12tan22.5°11

【详解】-----%-----二一x-----------------二一tan45。二一

1-tan222.5°21-tan-22.5°22

故选：c.

例题5.（多选）（2023春•重庆铜梁•高一铜梁中学校校考阶段练习）下列计算正确的是（)

3

Atan22.5°1

A.----------------=-B.sin275°+cos2105°+sin75°cosl05°=—

l-tan222.5°24

Dtan20°+tan40°-tan60°_百

C.l-2sin275°=—

2tan20°tan40°”

【答案】ABD

■、斗tan22.5°12tan22.5°1._1丁冰

【详解】----5-----二一x--------5--------=—tan450=一,AA正确;

l-tan222.5°2l-tan222.5°22

sin275°+cos2105°+sin75°cos105°=sin275°+cos275°-sin75°cos75°

3

=l--sinl50°=l--sin30°=“B正确;

22

l-2sin275°=cosl50°=-cos30°=-------，C错误;

2

第8页共29页

sr「2tan20°+tan40°

m因为tan60'----------------------

1-tan20°tan40°

故tan20°+tan40°=^3(1-tan20°tan40°)，

所以tan20°+tan40°-tan60°_C(I-tan20°tan40°)

=—x/3，D正确，

tan20°tan40°tan20°tan40°

故选：ABD

练透核心考点

1i—sin41°

（2023春・四川眉山・高一仁寿一中校考阶段练习），皿夕+，2谩1。+7^1119。・诉的值为（）

V3

A.1DD.V3

3

【答案】D

sin41°sc-c/Tvsin4]0

【详解】tanl9°+tan41°+V3tanl90--------=tan190+tan410+J3tan19°-----------

sin49°cos41°

=tanl9°+tan41°+^-tanl90-tan410,

tan(190+41°)=tan19。+tan410=Q=tanl90+tan41。=百—百tanl90・tan41。,所以

'7l-tanl90-tan41°

tanl9°+tan41o+A/§-tanl9o-tan41o=正，

故选：D

2.（2023春•吉林长春•高一长春市第二中学校考开学考试）下列化简正确的是（）

A.cos82°sin52°-sin82°cos52°=—B.sinl5°sin75°=—

22

tan48°+tan72°_6

22

C.-D.cos15°+sin15°=------

1-tan48°tan720''2

【答案】C

【详解】对于A,cos82°sin52°-sin82°cos52°=sin(52°-82°)=sin(-30°)=,故A不正确;

对于B,sinl50sin75°=sinl50cosl50=-sin30°=-,故B不正确;

24

tan48+tan72.___乩

对于C,----------------------=tan(z480+72o)x=tanl120=一心,故C正确；

I-tan48°tan72°

对于D,cos215°+sin215°=l,故D不正确;

故选：C.

3.(2023秋•广东云浮•高一统考期末)cos71°cos41o+sin71osin41°=()

1

AB.——

-T2

【答案】D

第9页共29页

【详解】cos71°cos410+sin71°sin41°=cos(71°-41°)=cos30°=^-

故选：D.

4.（多选）（2023春・江苏南通•高一统考阶段练习）下列各式中，值为1的是（）

A.4cos215。-2

B.4sinl5°sin75°

C.V2(cosl5°-sin15°)

-1+tanl5°

D.

l-tanl5°

【答案】BC

【详解】对于选项A,4COS215°-2=2(2COS215°-1)=2故A错误；

对于选项B,4sinl50sin750=4sinl50cosl50=2sin30°=1,故B正确;

对于选项C,V2(cosl5,-sinl5")=V2xV2cos(15°+45°)=2x-i=l,故C正确；

小力田Erl+tanl5°tan45°+tanl5°,q,,

对于选项D,———=,，…=tan60。=J3,故D错误.

1-tanl5°l-tan45°tanl5°

故选：BC.

5.(多选)(2023秋•陕西西安•高一校考期末)下面各式化简正确的是().

A.cos80°cos200+sin80°sin20°=cos60°

B.cos45°cos30°-sin45°sin30°=cos15°

C.sin(a+45°)sina+cos(a+45°)cosa-cos45°

r(兀116.

D.cosa——=—cosa+——sina

y6J22

【答案】AC

【详角星】cos80°cos200+sin80°sin20°=cos(80°-20°)=cos60°,A正确；

cos45°cos30°-sin45°sin30。=cos(45。+30。)=cos75。wcos15°,B错误；

sin(a+45°卜ina+cos(a+45。=cos@+45°,osa+sing+45°§ina

=cos[(a+45°)—a]=cos^°,c正确；

cosfa—囚]=cosacos二+sinasi心=-cosaJsin。，D错误；

V6J6622

故选:AC.

高频考点三：辅助角公式的运用

典型例题

第10页共29页

cos40°

例题1.（2023•高一单元测试）)

cos25°Vl-sin40°

D.交

A.V2B.-y/2

cos25°2

【答案】A

cos40°

：'牛】cos25°Vl-sm40°

_cos(90°-50°)

cos25°Vsin2200-2sin200cos200+cos220°

___________sin50。_________

cos25oj(cos20。-sin20。).

_2sin25。cos25。

cos25°(cos20°-sin20°)

_2sin25。

V2|—cos20°--sin20°

[22J

2sin25°V-2sin25°亚

V2xsin(45°-20°)sin25°\一

故选：A

例题2.(2023•高一单元测试)[2sin50°+sinl0°(l+^tanl0°Ucosl0°=

【答案】V3

【详解】[2sin50°+sinl0°(1+V3tanl0°)]cosl00

=2sin50°+sinl0°1H---------------cosl0°

(cos10°J

0••in°fcoslO。+GsinlO。)]

=2sm50+sinl0-------------------------coslO

(cos100力

2sin(10°+30°)-

2sin50°+sinl0°x--------------------cosl0c

cos10°

=2sin50°+sinl0°x-----------Icosl0°

cos10°J

2xsin50cosl0-+sm40-sinl0-xcosl()o

cos10°

=2xsm50-cosl0-+cos50-sinl0-xcosl().

cos10°

=2xsin(50°+10°)

第11页共29页

=2sin600=6.

故答案为：V3

1、cosl5D+sinl50

例题3.（2023•全国•高一专题练习）化简:

cosl00sinl70°Jcosl50-sinl5°

【答案】-473

百1)cos15°+sin15°

【详解】解：原式=r

cos10°sinlO：cos15°-sin15°

oo>

\/3sinl0-cosl01+sin30°

cos10°sin10°,cos30

-30°1+sin30°

cos30°

—sin200

2

3、

=-4-2

3

27

=—4^/3

故答案为：-473

例题4.（2023•高一课时练习）把下列各式化成/sin（a+e）的形式.

1.

(1)2cosa+2V§sina;⑵-—sma+——cosa;

22

(3)3sina+4cosa；(4)2sina—3cosa.

7171;(3)5sin(a+°),其中0满足sin°=g,cos^=|；(4)

【答案】（1）4sina+—;(2)-sina-----

63

32

V13sin(cr+^)其中夕满足sine=,cos。二

V13V13'

【详解】（1）因为,22+（26）2=4,所以

2cos«+2A/3sina=4|—sina=4sinf—+«

\22J16

(2)一一sincr+—coscif=-sin«cos--cossin—=-sina—.

22I33JI3,

（3）因为J33+42=5，所以

3sina+4cosa=5—sina+—cosa=5sir(a+0,

(55

34

其中。满足cos。,sin°=1.

第12页共29页

（4）因为J为+（-3）2=内，所以

2sin-3cosor=osa=J^sinb+（p）,

2-3

其中夕满足cose=-^=,sm（p=-j=

V13V13

练透核心考点

cos850+sin25°cos30°

1.（2023•甘肃兰州•校考一模）等于（

cos25°

R叵

AD.----C.D.1

-422

【答案】C

【详解】因为cos85°=sin5°,

”os25°.

所以cos850+sin25°cos30°sin5°+sin（30°-25°）+—sin25°

221-

cos25°cos25°cos25°cos2502

故选：C.

cos70°-cos20°

2.（2023•广东湛江・统考一模）

cos65°

【答案】-逝

【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得:

cos70°-cos20°_cos（90°-20°）-cos20°_sin20°-cos20°

cos65°cos65°cos（45°+20°）

_sin20°-cos20°_山

cos45°cos20°-sin45°sin20°

故答案为：-VL

3.（2022・全国•高三专题练习）化简

（l）^-cosx--sinx

22

⑵sinx+cosx

【答案】（l）cosjx+二

⑵0sin[x+?

【详解】（1）cosx--sinx=cosx-cos--sinx-sin--cosIx+—

2266I6.

（2）sinx+cosx=也sinx-----4-cosx-——

22

第13页共29页

717171

x-cos—+cosx-sin—=V2sinX+-

44

4.（2022・高一课时练习）求证:

(1)—sin«+-cos«=sina+—

22I6

兀

(2)sina-cosa=V2sina—

4

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

171.71兀

（1）证明:——sina+—cosa=smacos一+cosasin—=sma+

22666

(2)证明：sina-cosa=V2(sina-cosa

22

二亚(sinacos--cosasi]

4

高频考点四：二倍角

典型例题

升sma+cos。

例题1.（2023•贵州黔东南•统考一模）后：=-3，贝!Itan2a=

cosa-sina

4

A.BcD

3-1-4-1

【答案】A

sina+cosatana+1

【详解】由=-3,解得tana=2,

cosa-sina1-tana

2tana2x24

所以tan2a=

1—tan2a1—2?3

故选：A.

例题2.（2023春•陕西咸阳•高一校考阶段练习）已知sina=；,0<c<兀

，则sin2a=()

2

,56收R2802V2

A.-------D.-------rD.—

818199

【答案】D

、1TC1,28

【详角牛】丁sina=§,0<a<],「.cos2a=1—sin2a=1—

33

又・.・0<a<巴，cosa=^-

23

第14页共29页

...sin2a=2sinacosa=2义工x

339

故选：D.

例题3.（2023春•上海松江•高一上海市松江一中校考阶段练习）已知a］。,：），化简

12-2sin2a-Jl+cos2a的结果是()

A.V2sincrB.-V2sinaC・V2COSdZD.-V2COS6Z

【答案】B

【详解】•.,a£[o,；’..cosa>sina>0.

j2-2sin2a-Jl+cos2a=^2-Jsin2a_2sinacosa+cos2a—+2cos2a-1

=V2•^(sincif-cosa)2-y/2cosa-\^(coscr-sina)-A£COSa=-衷ina

故选：B

4E

例题4.（2023春四川成都高一校考阶段练习）己知角》在第二象限，且cos,贝!)tan2x=

【答案】y24##313

444

【详解】cosx+^=—,BP-sinx=——,则sinx=1,

・・•角x在第二象限，则cosx=—Jl—sin2x=-1,则tanx=-g

53

2tanx24

tan2x

1-tan2x7

74

故答案为：—

例题5.(2023•全国•高三专题练习)^cos—cos—cos—•••cos—

17171717

【答案】上

256

712兀3兀8兀z.兀.2兀.3兀.8兀

【详解】令"二cos-cos——cos------cos一,N=sin——sin——sin------sin——

1717171717171717

rtti.xrI7171.271271.37i3;r|87i8;

则M•N=sin——cos——sm——cos——sin—cos——sin—eos—

I1717,1717,1717J1717

1.2兀.4兀.6兀.8兀.10K.12兀.1471.16兀

=-sin——sin——sin——sin——sin----sin-----sin-----sin-----

281717171717171717

1.2兀.4兀.6兀.8兀.7兀.5兀.3兀.兀

=-sin——sin——sin——sin——sin——sin——sin——sin——

281717171717171717

1兀.2兀.3兀.8兀1

=rsin——sin——sm------sin——=-N

281717171728

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而NrO,故M=K

练透核心考点

1.(2023•江西•校联考模拟预测)(cosl50-cosl050)(sinl50-sin750)=()

【答案】A

【详解】注意到cos105°=cos(90°+15°)=-sin15°,

sin75°=sin(90°-15°)=二cos15°.

则原式=(cos15°+sin15°)(sin15°-cos15。)=siR15°-co415

出

=-cos30=-----

2

故选：A.

2.（2023・甘肃・统考一模）已知sina+cosa=—,则sin2a=()

2

113_3

A.—B.——C.-D.

444-4

【答案】D

2=sirfa+co^a+2sin6zcosa+sin2tz」