空间点直线平面之间的位置关系（原卷版）

专题29空间点、直线、平面之间的位置关系

【考点预测】

知识点一.四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

知识点二.直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形/>/土

符号a^\b—Pa//b

公共点个数100

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平两条异面直线不同在如

面何一个平面内

知识点三.直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

符号lua1[}a-P1//a

公共点个数无数个10

知识点四.平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况.

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形b__/a

\\\,------

a_______//」

符号a//paPl/?=/a1(3,

公共点个数0无数个公共点且无数个公共点且

都在唯一的一条直线都在唯一的一条直线

上上

知识点五.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

【题型归纳目录】

题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”

题型二：截面问题

题型三：异面直线的判定

题型四：平面的基本性质

题型五：等角定理

【典例例题】

题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”

例1.（2022•上海•高三专题练习）如图，在正方体ABCD-AISCLDI中，/为棱DiG的中点.设AM与

平面的交点为。，贝!］（）

A.三点。i,O,B共线，且。2=2。。1

B.三点Di,O,B不共线，且。2=2。£）1

C.三点。1,0,8共线，且。2=。。1

D.三点。1,O,B不共线，且。3=。。1

例2.（2022•上海•高三专题练习）如图ABCZ）-A耳GR是长方体，。是BQ的中点，直线交平面Ag"

于点则下列结论镇试的是（）

A.A,M,。三点共线

B.M,0,A，A四点共面

C.B,4，O,M四点共面

D.A,0,C,M四点共面

例3.（2022•宁夏•固原一中一模（文））在正方体A8CO-A4GR中，。是的中点，直线交平面

48。于点”，则下列结论正确的是（）

①G、/、。三点共线;

②G、M、O、C四点共面;

③C］、。、4、8四点共面；

④2、。、0、M四点共面.

A.①②B.①②③④C.①②③D.①③④

例4.（2022•上海•模拟预测）已知长方体ABCD-A/CQ中，对角线AQ与平面A0D交于点O,则。

为AAJBD的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

例5.（2022•全国•高三专题练习（理））如图，在长方体ABCO-A4G，中，E,E分别为G",3©的

中点，0,M分别为3。，E尸的中点，则下列说法错误的是（）

A.四点8,D,E,尸在同一平面内

B.三条直线B尸，DE,CC,有公共点

C.直线与直线OF不是异面直线

D.直线AC上存在点N使N,。三点共线

例6.（2022•上海•高三专题练习）在空间四边形ABCD各边ABIC,CD,ZM上分别取E,尸,G,//四点，如果

EEG〃能相交于点尸，那么（）

A.点尸必在直线AC上B.点尸必在直线8。上

C.点尸必在平面DBC内D.点尸必在平面ABC外

例7.（2022•全国•高三专题练习）如图，在长方体ABCD-ABCQ中，E,尸分别是用G和C.的中点.证

明：E,F,D,B四点共面.

例8.（2022•全国•模拟预测（理））图1是由矩形ABGP,RtZiADE和菱形ABCD组成的一个平面图形,

其中AS=2,AE=AF=1,ZBAD=60°.将该图形沿AB,AZ）折起使得AE与AF重合，连接CG,如图2.

例9.（2022•湖北省仙桃中学模拟预测）如图，等腰梯形ABCD中AD〃3C,3E，A£>,3C=3E=4,£>E=8,

沿班将△/睡折起至与平面8CDE成直二面角得到一四棱锥，M为AE中点，过C、D、M作平面a

请画出平面CZW截四棱锥A-BCDE的截面，写出作法，并求其周长;

例10.（2022•安徽•马鞍山二中模拟预测（理））四棱锥尸一ABC。中，平面PC。，平面4BCDPD=PC,

/DPC=90°,AD/IBC,ZABC=90。，AD=AB=\,BC=2,M为PC的中点，~PN=2ND.

证明：A,B,M,N四点共面;

例11.（2022•四川眉山•三模（文））如图，已知在三棱柱ABC-AB|C|中，AB=AC=6,ABLAC,F

是线段BC的中点，点。在线段AF上，AO=2夜.。是侧棱CG中点，BDcCByE.

（1）证明：0E〃平面A41GC；

FE

（2）凡E,G三点在同一条直线上吗？说明理由，求标的值.

例12.（2022•全国•高三专题练习（文））如图，在正方体ABCO-4BCQ中，。为正方形ABCD的中心,

H为直线BQ与平面AC"的交点.求证：Dt,H,。三点共线.

例13.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（文））如图，在正四面体ABC。中，点E,尸分别

是A8,BC的中点，点G,H分别在。，上，S.DH^-AD,DG=-CD.

44

求证：直线EH,FG必相交于一点，且这个交点在直线上;

例14.（2022•河南•三模（文））如图，在长方体48C。-中，E,尸分别是4G和G2的中点.

（1）证明：E,F,D,B四点共面.

（2）证明：BE,DF,CG三线共点.

例15.（2022•山东枣庄•一模）已知正方体ABC。-A4GB中，点区产分别是棱例，AA的中点，过

点，作出正方体ABCD-A.B^D.的截面，使得该截面平行于平面BEF.

作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；

（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.）

【方法技巧与总结】

要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳

入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3

可知这些点在交线上，因此共线，证明“线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证

明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.

题型二：截面问题

例16.（2022•上海黄浦•二模）如图，已知尸、2、R分别是正方体ABCD-A耳GQ的棱A3、8C和GR

的中点，由点尸、2、R确定的平面夕截该正方体所得截面为（）.

R

G

A.三角形

B.四边形

C.五边形

D.六边形

例17.（2022•江西萍乡•三模（文））正方体ABCD-AIBICLDI中，E是棱。的中点，尸在侧面CDDC上

运动，且满足〃平面ABE.以下命题中，正确的个数为（）

①侧面CDDG上存在点F,使得C。；

②直线BtF与直线BC所成角可能为30°；

③设正方体棱长为1,则过点E,F,A的平面截正方体所得的截面面积最大为更.

2

A.0B.1C.2D.3

例18.（2022•福建省厦门集美中学模拟预测）在正方体ABC。-AAGQ中，棱长为3,E为棱上靠近

4的三等分点，则平面AER截正方体A3CD-A用G2的截面面积为（）

A.2VHB.4A/TTC.2>/22D.4后

例19.（2022•山西•模拟预测（理））如图，长方体ABCD-ABJGA中，AB^BC=l,AA,=2,点、M为

线段AA的中点，点N为棱CG上的动点（包括端点），平面截长方体的截面为a,则（）

A.截面a可能为六边形

B.存在点N,使得截面a

C.若截面a为平行四边形，则该截面面积的最大值为g

D.当N与C重合时，截面a将长方体分成体积比为2:3的两部分

例20.（2022•云南曲靖•二模（文））正方体ABC。-A与G2的棱长为1,E、F、G分别为BC,CC,,BB,

的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（）

①点C与点B到平面AEF的距离相等;②直线AG与平面平行;

9④直线与直线所所成的角的余弦值为一陪

③平面AEF截正方体所得的截面面积为看；AG

O

A.①④B.②③C.①②③D.①②③④

例21.（2022•全国•高三专题练习）已知长方体ABC。-中AB=AA,=4,BC=3,〃为人4的中

点，N为的中点，过耳的平面a与。M,A"都平行，则平面a截长方体所得截面的面积为（）

A.3A/22B.3VHC.4722D.5而

例22.（2022•全国•高三专题练习（理））如图，在正方体ABCD—4与GQ中，AB=2,点E为AB中

点，点方为3C中点，则过点A与与石，G尸都平行的平面。被正方体ABC。一A与G。截得的截面面积为

()

A-TB.乎C.百

例23.（2022•全国•高三专题练习（理））已知正方体ABCD-的棱长为4,E,尸分别是棱441，

BC的中点，则平面REF截该正方体所得的截面图形周长为（）

A.6B.1072C.V13+2A/5D.2痴+产+25

例24.（2022•贵州•模拟预测（理））在正三棱柱A3C-A4G中，AB=3,A41=A/6,D,E分别在钻，BC

上，且BD=BE=1,则过。，E,£三点的平面截此棱柱所得截面的面积为（）

A.4B.2A/6C.6D.2710

例25.（2022•河南•西南大学附中高三期中（文））如图，在直四棱柱ABCO-A4CQ中，BCLCD,AB//CD,

BC=m，A4,=A8=AD=2,点尸、2分别为棱8月、CG的中点，则平面4尸。与直四棱柱各侧面矩形的交

线所围成的图形的面积为（）

AB

岳+"3A/15

B.

24

37153百+2月+后

22

例26.（2022•四川省内江市第六中学模拟预测（理））在棱长为1的正方体A耳GA-AB。中，M为底面

A8CD的中心，。是棱A2上一点，且加=4而'，2e[0,l],N为线段A。的中点，给出下列命题：

①CN与加共面；

②三棱锥A-ZWN的体积跟力的取值无关;

③当几=1•时，AMLQM.

4

④当2时，过4Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为迤/巫.

其中正确的有（填写序号）.

例27.（2022•全国•高三专题练习（理））正方体ASCD-AB'C'D的棱长为2.动点尸在对角线3D上.过

点尸作垂直于的平面a.记平面a截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y=/（x）,设8尸

=尤，xe（0,273）.下列说法中，正确的编号为.

①截面多边形可能为四边形；

②函数/（x）的图象关于x=g对称；

③当尤=省时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为97t.

例28.（2022•上海静安•模拟预测）正方体A8CO-A4GD的棱长为1,E、F分别为BC、CG的中点，

则平面AEF截正方体所得的截面面积为.

例29.（2022•全国•高三专题练习）正方体ABC。-A4G，的棱长为2,E是棱。。的中点，则平面

截该正方体所得的截面面积为（)

A.5B.2占C.4旅D.2指

例30.（多选题）（2022•湖北•模拟预测）棱长为1的正方体ABC。-A与GD中，尸、Q分别在棱BC、9

上，CP=x,CQ=y,龙马0,1],好[0川且尤2+丁30,过A、尸、Q三点的平面截正方体A8CO-44GR

得到截面多边形，则（）

A.尤=＞时，截面一定为等腰梯形B.x=l时，截面一定为矩形且面积最大值为0

C.存在尤，y使截面为六边形D.存在x,y使与截面平行

例31.（多选题）（2022•河北衡水•高三阶段练习）己知。为正方体底面ABC。的中心,

E为棱旦G上动点，庭=4丽,4e（0,l）,尸为助的中点，则（）

A.平面OEF_L平面ACGA

B.过B,E,D三点的正方体的截面一定为等腰梯形

C.OE与O尸为异面直线

D.OE与£）厂垂直

例32.（2022•全国•高三专题练习）正方体A8CD-A4cQi的棱长为4,B、P=2PC,DlQ=3QCi,用经

过B,P,。三点的平面截该正方体,则所截得的截面面积为（

„15V15

A.3屈B.15不L.----D.3A/21

4

【方法技巧与总结】

截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截

面的形状.

题型三：异面直线的判定

例33.（多选题）（2022•重庆•三模）如图，在正方体ABCD-AAGR中，。为正方形ABCD的中心，当

点P在线段BG上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是（）

A.AB】B.AcC.AAD.AD,

例34.（2022怏西•西北工业大学附属中学二模（理））如图，在长方体ABCD-AEC'D中，AB=2AA'=2AD,

M、N分别是A6、DC的中点.则直线CN与DM是（）

A.相互垂直的相交直线

B.相互垂直的异面直线

C.相互不垂直的异面直线

D.夹角为60。的异面直线

例35.（2022•新疆•二模（理））设点E为正方形ABCD的中心，”为平面ABCD外一点，dMAB为等

腰直角三角形，且NMA3=90。，若F是线段MB的中点，则（）

A.ME^DF,且直线ME、O尸是相交直线

B.ME=DF,且直线ME、O尸是相交直线

C.ME片DF,且直线Affi、少尸是异面直线

D.ME=DF,且直线ME、。尸是异面直线

例36.（2022•全国•高三专题练习）已知直线a、从/和平面a、/3,aua,bu/3,a[}13=l,且。_1".对

于以下命题，下列判断正确的是（）

①若a、万异面，则a、6至少有一个与/相交;

②若。、》垂直，则。、。至少有一个与/垂直.

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①是假命题，②是假命题D.①是真命题，②是真命题

例37.（2022•四川•射洪中学模拟预测（文））“直线/与直线机没有公共点”是“/〃心”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例38.（2022•全国•高三专题练习）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如

图所示表面展开图，则在正方体中，AB.CD、EF、G”这四条线段所在的直线中，异面直线有（）

A.1对B.3对C.5对D.2对

例39.（2022•全国•高三专题练习）如图，在正方体中，E,尸分别为CCi,DiCi的中点,

则下列直线中与直线3E相交的是（

A.直线A尸B.直线ARC.直线CjRD.直线A4

例40.（2022•福建福州•三模）在底面半径为1的圆柱。。|中，过旋转轴。。।作圆柱的轴截面ABCD,其

中母线AB=2,E是BC的中点，F是A3的中点，贝U（）

A.AE=CF,AC与E厂是共面直线B.AE^CF,AC与所是共面直线

C.AE=CF,AC与所是异而直线D.AE^CF,AC与E尸是异面直线

例41.（2022•上海•高三专题练习）正方体上点P,Q,R,S是其所在棱的中点，则直线尸。与RS异面

的图形是（）

S

【方法技巧与总结】

判定空间两条直线是异面直线的方法如下：

（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.

（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.

题型四：平面的基本性质

例42.（2022•浙江•高三专题练习）如图所示，点A,线机,面。之间的数学符号语言关系为（）

A.mua,AlaB.根ua,C.m&a,A^mD.m&a,A&m

例43.（2022•河南•濮阳市华龙区高级中学高三开学考试（文））下列命题中正确的是（）

A.过三点确定一个平面B.四边形是平面图形

C.三条直线两两相交则确定一个平面D.两个相交平面把空间分成四个区域

例44.（2022•江苏省滨海中学模拟预测）空间中5个平面可以把空间最多分成的部分的个数为（）

A.26B.28C.30D.32

例45.（2022•上海•高三专题练习）空间中三个平面最多可以将空间分为部分.

例46.（2022•上海•高三专题练习）空间两个平面最多将空间分成部分.（填数字）

例47.（2022•安徽•六安市裕安区新安中学高三阶段练习（理））设有下列四个命题：

①若点Aw直线。，点Ae平面a,则直线au平面a；

②过空间中任意三点有且仅有一个平面；

③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；

④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

则上述命题中正确的序号是.

例48.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，用符号语言可表述为（）

A.a^\f3=m,/ua,m^\n=AB.ar=m,n^a,n=A

C.a^\P=m,"ua,Aczm,Au”D.a[}/3=m,n史a,A&m,A&n

例49.（2022•全国•高三专题练习）下列命题正确的个数是（）

①两两相交的三条直线可确定一个平面

②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行

③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行

④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线

A.4B.3C.2D.1

题型五：等角定理

例50.（2022•全国•高三专题练习（理））过正方形A8CO-A4G2的顶点A作直线/,使得/与直线80,

所成的角均为60。，则这样的直线/的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

例51.（2022•全国•高三专题练习）己知a,b,c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是

A.若直线ab异面，b,c异面，则。异面

B.若直线a,Z?相交，b,c异面，则"c相交

C.若allb,则a,b与c所成的角相等

D.若。_1历bA-C,贝lja//c

例52.（2022・全国-高三专题练习）平面。过正方体ABC。一481GO1的顶点A,

a//平面CBR,ac平面A8CD=m,ac平面A331A=〃，则根，〃所成角的正切值为

A.73B.1C/D.72

例53.（2022•甘肃•嘉峪关市第一中学三模（文））空间两个角a,。的两边分别对应平行，且a=60。，则

（3为（）

A.60°B.120°C.30°D.60°或120°

例54.（2022•全国•高三课时练习）己知二面角-6的大小为50。，P为空间中任意一点，则过点尸且

与平面a和平面夕所成的角都是25°的直线的条数为

A.2B.3C.4D.5

例55.（2022•上海•高三专题练习）设NA和B8的两边分别平行，若NA=45。,贝加8的大小为.

例56.（2022•重庆巴蜀中学高三阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各

边中点，所组成的四边形是.

【方法技巧与总结】

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•上海•模拟预测）如图正方体ABCD-ABC0中，P、Q、R、S分别为棱A3、BC、BB：CO的中

点，连接4S,空间任意两点/、N,若线段上不存在点在线段AS,四。上，则称两点可视，

则下列选项中与点2可视的为（）

5

A.点尸B.点BC.点RD.点。

2.（2022•四川•石室中学模拟预测（理））如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABC。为正方形,

E,尸分别为B4,尸。的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

P

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线〃平面PBC；

④平面BCE_L平面PAD.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022•山西大同•高三阶段练习）如图，在四棱柱中，AB=AD=AAi^\,AD1A4,

AD±AB,NAAB=60。，M,N分别是棱AB和3c的中点，则下列说法中不正确的是（）

A.A，G，M,N四点共面B.qN与A3共面

C.平面ABBiAD.平面ABC。

4.（2022•上海长宁•二模）如图，已知A、B、C、D、E、厂分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与

直线所相交的是（）.

A.直线A3B.直线2C

C.直线CDD,直线ZM.

5.（2022•河南安阳•三模（文））以三棱柱的任意三个顶点为顶点作三角形，从中任选两个三角形，则这

两个三角形共面的情况有（）

A.6种B.12种C.18种D.30种

6.（2022•全国•高三专题练习）在长方体A3。-AAGA中，点E,尸分别是棱A2，A/的中点，点

。为对角线AC,3。的交点，若平面次加0平面ABCD=/，mAB=G,S.AG=kGB,则实数（）

7.（2022•全国•高三专题练习）如果直线。〃平面a,尸ea,那么过点尸且平行于直线。的直线（）

A.只有一条，不在平面a内B.有无数条，不一定在平面a内

C.只有一条，且在平面a内D.有无数条，一定在平面a内

8.（2022•贵州贵阳•模拟预测（理））已知正方形A8CD中£为A8中点，以为中点，F,G分别为

BC,C。上的点，CF=2FB,CG=2GD,将△ABD沿着8。折起得到空间四边形ABC。，则在翻折过程

中，以下说法正确的是（）.

A.EF//GHB.斯与G//相交

C.E尸与G”异面D.即与FG异面

9.（2022•全国•高三专题练习（理））如图，在棱长为4的正方体ABCD-A4GR,中，M,N分别为

棱A3,的中点，过C,M,N三点作正方体的截面，则以B点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体

10.（2022•全国•高三专题练习）已知长方体ABC。-A与G2中，AB=BC=^,点E在线段CG上，

EC

西=2（O4XWl）平面a过线段他的中点以及点与、E,现有如下说法：

（1）使得

（2）若,则平面a截长方体ABCO-ABC2所得截面为平行四边形；

（3）若4=0,AB=2,则平面a截长方体ABC£>-A与GQ所得截面的面积为3卡

以上说法正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

11.（2022•全国•高三专题练习）用平面a截棱长为1的正方体A8CD-A4GR,所得的截面的周长记为

加，则当平面。经过正方体的某条体对角线时，加的最小值为（）

A.率B.75C.373D.245

二、多选题

12.（2022•广东惠州•高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体ABC。-A与GQ中，"，N,尸分别是G2,

GC,AA的中点，贝”（）

A.M,N,B,R四点共面

B.异面直线尸2与所成角的余弦值为巫

10

C.平面8MN截正方体所得截面为等腰梯形

D.三棱锥尸-跖VB的体积为g

13.（2022•全国•模拟预测）如图，在正方体ABCD-£77/G中，