空间几何体的结构与直观图（核心考点）-高二数学（沪教版必修三）原卷版

第09讲空间几何体的结构与直观图(核心考点讲与练)

考点考而

1.空间几何体的结构特征

(D多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

D'

D'A

图形

ABAB

AR

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点,但不一定相

侧棱平行且相等延长线交于一点

等

侧面形状平行四边形三角形梯形

(2)旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

\o

金

图形

1a

互相平行且相等，

母线相交于一点延长线交于一点

垂直于底面X

轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆

侧面展开

矩形扇形扇环

图X

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

<------>

1，*刎；

1

侧面展开图11/DA/2叮用

2irr]

S圆锥侧=兀工/

侧面积公式S圆柱侧=2兀rlS圆台侧=痴（T1+31

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几何体

柱体

V=sh

S表面积=S侧+2s底&

（棱柱和圆柱）

锥体1

S表面积=S侧+S底V==S_^h

（棱锥和圆锥）J---

台体

S表面积S侧+S上+S下上+S下+4商）为

（棱台和圆台）

4o

球S=4兀宜

3---

u能力拓展

题型一：柱体

一、单选题

1.（2021・上海•位育中学高二期中）给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体、四棱

柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（）

A.五棱柱、七面体B.五棱柱、六棱锥

C.六棱锥、七面体D.以上答案都不正确

2.（2021•上海市进才中学高二期中）下列命题是假命题的是（）

A.棱柱的所有侧面都是平行四边形

B.将矩形ABCD绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；

C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；

D.将直角三角形A08绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.

3.（2021•上海市建平中学高二期中）以下关于多面体的命题种，真命题为（）

A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥

B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱

C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体

D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体

4.（2021.上海市进才中学高二期中）下列四种说法中：

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；

②相等的线段在直观图中仍然相等；

③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.

正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2021・上海市实验学校高二期中）如图，ABCD-A'B'C'Q'为正方体，任作平面1与对角线AC'垂直,

使得a与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为/,则（）

A.S为定值，/不为定值

B.S不为定值，/为定值

C.S与/均为定值

D.S与/均不为定值

6.（2021.上海市第三女子中学高二期末）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥

为阳马，设AA是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA为底面矩形的

一边，则这样的阳马的个数是（）

A.4B.8C.12D.16

7.（2021.上海•曹杨二中高二期末）在如图所示的棱长为20的正方体AB。-中，点加为8的

中点，点尸在侧面ADRA上，且到42的距离为6,到A4的距离为5,则过点P且与4闻垂直的正方体

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

8.（2021・上海青浦•高二期末）如图，正方体420-ABIGR中，E、尸分别是A3、BC的中点，过点2、

E、厂的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为匕％解＜%）,则匕：匕=（）

27

D.

46

二、填空题

9.（2021•上海・闵行中学高二期中）①直四棱柱一定是长方体;

②正方体一定是正四棱柱；

③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；

④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

⑤直棱柱的侧棱长与高相等；

以上说法中正确的命题有（写出正确的命题序号）

10.（2021.上海市西南位育中学高二期中）在直三棱柱A3C-A与G中,

ZACB=90°,AC=12,3C=CG=2及，点尸是直线上一动点，则AP+PC的最小值是.

H.（2021.上海市延安中学高二期中）如图，长方体ABC。-A4G，中，AB=4,BC=10,M=3,P为

上的一个动点,则AP+PC的最小值为

12.（2021.上海市控江中学高二期中）在棱长为6的正方体ABCO-4BCQ中,E是棱A8的中点，过E,O，G

作正方体的截面，则该截面的面积是.

13.（2021.上海.复旦附中高二期中）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（O<x<l）的液体，旋转

容器，若液面恰好经过正方体的某条对角线，则液面边界周长的最小值为.

14.（2021.上海•位育中学高二期中）已知长方体的表面积为24cm"过同一顶点的三条棱长之和为6cm,

则它的对角线的长为C™.

15.（2021•上海徐汇•高二期末）如图，在正四棱柱ABCO-ABIG。中，AB=1,用=石，点E为AB上

的动点，则D.E+CE的最小值为.

16.（2021.上海宝山.高二期末）如图，在正四棱柱中，AB=2,CQ=4,M为棱8月的

中点

（1）求三棱锥A41A的体积;

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

题型二：棱锥

一、单选题

1.（2021・上海・华师大二附中高二期中）几何体「的表面上有三条线段AB、CD、EF,有AB、CD、EF所

在直线两两异面，则在①棱柱；②棱锥；③圆柱；④圆锥；⑤球中，「有可能是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.③④⑤

2.（2021.上海市延安中学高二期末）下列结论正确的是（）

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.所有几何体的表面都能展开成平面图形

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥

D.一个直角三角形绕一边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥

3.（2021.上海悯行中学高二期中）在棱长均为2月的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为中点,

尸是DM上的动点，。是平面ECD上的动点，则AP+尸。的最小值是（）

+72C.沔D.2y/3

二、填空题

4.（2021•上海市复兴高级中学高二期中）将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别

为3cm、4cm、5cm,则原铁丝的两个端点之间的距离为cm.

5.（2021・上海•格致中学高二期中）已知在正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为

叵,则该四棱锥的侧面积等于.

2

6.（2021.上海市宝山中学高二期中）在正四棱锥外BCD中，底面的边长为4,侧棱8尸与底面所成

角的大小为60。，则该四棱锥的高等于.

7.（2021•上海市进才中学高二期中）如图所示，在侧棱长为2月的正三棱锥V-A2C中,

ZAVB=ZBVC=ZCVA=40，过A作截面AEF,AEF周长的最小值为

三、解答题

8.（2021.上海.高二专题练习）正四棱锥尸-ABCD的底面正方形边长是3,。是在底面上的射影，PO=6,

Q是AC上的一点，过2且与上4、8D都平行的截面为五边形EFGHL.

（1）在图中作出截面石打屹，并写出作图过程;

（2）求该截面面积的最大值.

题型三：棱台

一、单选题

1.（2021•上海・闵行中学高二期中）两个体积分别为匕，匕的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平

行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为3，邑，贝是“H=邑”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题

2.（2021•上海市控江中学高二期中）若正四棱台的上底边长为2,下底边长为8,高为4,则它的侧面积

为.

三、解答题

3.（2021.上海.曹杨二中高二阶段练习）如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为32cm,两底面对角线

EG、EJGJ的长分别为14cm、62cm,水深为12cm.

（1）求正四棱台的体积；

⑵将一根40cm长的玻璃棒/放在容器中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求/没入水中部

分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）

题型四：圆柱

一、填空题

3

1.（2021・上海市松江二中高二期中）已知一个圆柱的底面直径为4,其表面积等于侧面积的5,则该圆柱

的轴截面周长为.

2.（2021・上海•位育中学高二阶段练习）已知圆柱的底面半径为1,母线长为4,A3为母线，则A绕圆柱

侧面两周到达B点经过的最短路程为

3.（2021•上海市中国中学高二阶段练习）圆柱底面半径为3,母线长为5,一只小蜘蛛从某条母线上的一

端点出发，沿着圆柱表面爬行一周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为.

4.（2022•上海民办南模中学高二开学考试）若一圆柱的侧面积为6万，则经过圆柱的轴的截面积为

5.（2019•上海市金山中学高二阶段练习）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两

点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意

两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确命题的序号是

题型五：圆锥

一、单选题

1.（2021.上海市进才中学高二期中）下列命题是假命题的是（）

A.棱柱的所有侧面都是平行四边形

B.将矩形ABCD绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；

C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；

D.将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.

2.（2021•上海市南洋模范中学高二期中）分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋

转一周所得旋转体的体积依次为匕、匕、匕，则（）

A.乂=匕+匕B.%=吟+匕2

「J-=J-+-L口x=x+x

彳型匕2U.乂匕匕

二、填空题

3.（2022•上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）圆锥的高为1,底面半径为百，则过圆锥顶点的截

面面积的最大值为

4.（2021•上海市西南位育中学高二期中）若一个圆锥的底面半径为1,其侧面展开图的圆心角大小为年，

则该圆锥的高为.

5.（2021・上海・华东师大附属枫泾中学高二期中）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为?，底面周长为

万cm,则这个圆锥的侧面积为cm2.

6.（2021・上海・华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，一圆锥形物体的母线长为3cm,一只小虫从圆锥的

底面圆上的点尸出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为3&m,则圆锥底面

圆的半径等于.cm

三、解答题

7.（2021.上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的

表面匀速爬行一周，又绕回到点A,已知该圆锥体的底面半径为小母线长为分，试问小蚂蚁沿怎样的路

径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长.

A

题型六：球

一、填空题

1.（2021.上海师范大学第二附属中学高二期末）已知球。的半径为1,4B是球面上两点，若线段A3的

长为友,则45两点间的球面距离为.

2.（2021・上海•格致中学高二阶段练习）若用与球心的距离为了的平面截球体所得的圆面半径为",则

球的体积为.

3.（2020•上海市金山中学高二期末）若一个直三棱柱的所有棱长都为1,且其顶点都在一个球面上，则该

球的表面积为.

4.（2021•上海市金山中学高二期末）已知A,8是体积为4辰的球面上两点，。为球心，且的球面的

距离是马生，则筋=

3

5.（2021・上海.华师大二附中高二期末）已知球。的半径为1,是球面上两点，线段的长度为百，

则4B两点的球面距离为.

6.（2021・上海市洋泾中学高二期中）某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用

一边长为2m的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.

若水晶球最高点到底座底面的距离为（四+Dm,则水晶球的表面积为nA

7.（2022.上海交大附中高二开学考试）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为3#的正四面体容器内可向

各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.

题型七：旋转体、多面体、组合体

一、填空题

1.（2021.上海・华东师范大学第三附属中学高二期中）如图，OABC是边长为1的正方形，AC是四分之一

圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的表面积为.

oA

2.（2016•上海•华东师范大学第三附属中学高二期中（理））如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点,

AB=1,BC=2,分别以A、。为圆心，1为半径作圆弧pg、EC（E在线段AD上）.由两圆弧即、EC

及边BC所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为

DC

N▼———4）

I/

♦———♦

AR

3.（2021•上海市进才中学高二期中）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的

表面积为•

4.（2021・上海•华师大二附中高二期中）有一根高为3万，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管

上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为.

二、解答题

5.（2021・上海・复旦附中高二期中）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示.

（1）求此几何体的表面积；

（2）如果点P,。在直观图中所示位置，P为所在母线中点，2为母线与底面圆的交点，求在几何体表面

上，从尸点到。点的最短路径长.

题型八：直观图

一、单选题

1.（2021.上海.华东师大附属枫泾中学高二期中）水平放置的△ABC,有一边在水平线上，它的斜二测直

观图是正三角形AB'C',则4ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

二、填空题

2.（2021.上海.复旦附中高二期中）已知水平放置的，ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中

B'O'=CO'=1,A'O'=—,则原▲ABC中ZABC的大小是.

2

3.（2021•上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图：矩形A9C7J的长为4cm,宽为2cm,。，是Ab

的中点，它是水平放置的一个平面图形ABC。的直观图，则四边形ABC。的周长为：cm；

4.（2021•上海市徐汇中学高二期中）一个腰长为5,底边长为8的等腰三角形的直观图的面积为

三、解答题

5.（2021•上海浦东新•高二期中）在水平放置的平面上有一个边长为6cm的等边ABC,请在平面a上画出

其直观图，并写出简要作法.

6.（2021・上海•高二专题练习）设一正方形纸片ABCO边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等

腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接

损耗不计），图中AHLPQ,。为正四棱锥底面中心

（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；

（2）设等腰三角形人尸。的底角为x,试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数，并求S范围.

但巩固提升

一、单选题

1.（2021.上海市延安中学高二期中）在斜棱柱的侧面中，矩形最多有（）

A.2个B.3个C.4个D.6个

2.（2021・上海.华师大二附中高二期中）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球

的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（）

,3八4八33

A.—B.-C.—D.--

4555

3.（2021•上海市南洋模范中学高二期中）如图、用斜二测画法作4ABC的直观图得△AAC，其中

4A是用G边上的中线，由图形可知，在△ABC（。是8C的中点）中，下列结论中正确的

是（）

O'

/8|DiC|x*

A.AB^BC^ACB.AD±BC

C.AC>AD>AB>BCD.AC>AD>AB=BC

二、填空题

4.（2021・上海•格致中学高二期中）棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心（正

四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，

则%的最大值为.

5.（2021•上海市松江二中高二期中）已知正四棱柱中AG、的交点为。-AC,2。的交点为。2，连

接。02，点。为的中点.过点0且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大

值分别为1和M，则正四棱柱ABC。-A与G2的体积为.

6.（2021・上海・华东师范大学第三附属中学高二期中）一平面截一球得到面积为12万的圆面，球心到这个圆

面的距离是球半径的一半，则该球的体积是.

7.（2021•上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）在三棱锥P-ABC中，已知

PA=BC=25PB=AC=A/13,PC=AB=5,则该三棱锥的体积为.

8.（2021・上海・华东师大附属枫泾中学高二期中）若平面a截球。所得圆的半径为2cm,球的半径为辰m,

则球心。到平面a的距离为cm.

9.（2021•上海市宝山中学高二期中）一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是

10.（2021.上海市宝山中学高二期中）如图，圆锥的母线长为4,点M为母线AB的中点，从点M处拉一

条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到8点，这条绳子的长度最短值为2百，则此圆锥的表面积为

A

H.（2021.上海市西南位育中学高二期中）在北纬60。圈上有AB两地，AB之间的球面距离为不-（R为

地球半径），则A3两地在此纬度圈上的弧长等于.

12.（2021.上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为4,则其侧面积为

13.（2021.上海市建平中学高二期中）从四棱锥尸的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够

构成不同三