双星和多星模型-2024高考物理一轮复习

2024年高考一轮复习100考点100讲

第6章万有引力与航天

第6.3讲双星与多星系统

【知识点精讲】

1.双星模型

双星运动模型是指在天体运行中，两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的

某点做周期相同的匀速圆周运动的行星。双星模型是天体运动的一种，在宇宙中普遍存在。

双星模型特点：

（1）两颗星做匀速圆周运动的向心力：由它们之间的万有引力提供，等大反向，属一对作用力和反

作用力。

（2）两颗星做匀速圆周运动的周期、角速度相等，线速度与绕行半径成正比。

（3）两颗星做匀速圆周运动的半径与该星的质量成反比。

2.多星模型

（1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期

相同.

⑵三星模型：

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为尺的圆形轨道上运行（如图

10甲所示）.

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）.

（3）四星模型;

①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运

动（如图丙所示）.

②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心。，外围三颗星绕。做

匀速圆周运动（如图丁所示）.

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【方法归纳】

.对如图所示的双星系统

双星各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

GmxmiGmxmi

———=m\corr9\,———=m2co加92

两颗星的周期及角速度都相同，即，T\=Ti,coi=a>2

两颗星的半径与它们之间的距离关系为：片+/2=£

联立解得两颗星到圆心的距离片、尸2与星体质量成反比,即也一

m2ri

口

双星的运动周期T=2K

\jG（冽1+加2）

4兀£23

双星的总质量mi+m2

7G

【最新高考题精练】

1.（2018•全国卷I20）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的

过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两

颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这

一时刻两颗中子星（）

A,质量之积B.质量之和

C.速率之和D.各自的自转角速度

【参考答案】BC

【名师解析】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

每秒转动12圈，角速度已知

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

Gm\m2

mico2ri®

P

?=22②

l=n+r2®

第2页共16页

由①②③式得逊兽2=y/,所以〃?1+加2=4,

rG

质量之和可以估算.

由线速度与角速度的关系v=a)r得

v\—a>r\®

V2~COr2@

由③④⑤式得Vi+v2=a)(ri+r2)=a>l,速率之和可以估算.

质量之积和各自自转的角速度无法求解.

2.(2015•安徽)由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星

体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心。在三角形所在

的平面内做相同角速度的圆周运动(图6示为/、B.C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若/星体质

量为2加，B、。两星体的质量均为加，三角形的边长为a,求：

(1)A星体所受合力大小FA;

(2)2星体所受合力大小油；

(3)C星体的轨道半径Rc;

(4)三星体做圆周运动的周期7。

【名师解析】(1)由万有引力定律，/星体所受8、C星体的引力大小为:

EG巴譬=6咚=/以。方向如图4J。

ra

则合力的大小为：FA=2F^COS30°=2V3G，。

a

(2)同上，8星体所受/、C星体的引力大小分别为:

第3页共16页

mm2m2mmm2、,,

FAB=G^A^R=G——,FCB=rR=6十。万向如

rTara

m2

F=FABCOS60°+FC5=2G——。

BXa

F^=FABsin600=百GW。

a

则合力的大小为：EB=JF;x+璋丫=V7G——»

V7

(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，Rc=a

~To

(4)三星体运动周期相同，对C星体,由Fc=FB=近G——=mRc

a"

a3

解得：T=?t

Gm

【最新模拟题精练】

1.(2023福建厦门四模)我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团中发现一个由白矮星P、脉冲星Q

组成的双星系统.如图所示，P、Q绕两者连线上的。点做匀速圆周运动，忽略其他天体对P、Q的影响.已

知P的轨道半径大于Q的轨道半径，P、Q的总质量为距离为3运动周期均为7,则().

P\。Q/

A.P的质量小于Q的质量B.P的线速度小于Q的线速度

C.P受到的引力小于Q受到的引力D.若总质量M恒定，则Z越大，7越大

【参考答案】AD

【名师解析】

.P受到的引力与Q受到的引力为相互作用力，大小相等；设P的质量为加p,Q的质量为加Q,由万有引

力提供向心力可得

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GmpmQG/加Q

Z2Z2

可得

mprp=加Q\

由于P的轨道半径大于Q的轨道半径,可知P的质量小于Q的质量，故A正确，C错误;

2nr

根据v=

由于P的轨道半径大于Q的轨道半径,可知P的线速度大于Q的线速度，故B错误;

根据由万有引力提供向心力可得

2

Gmpm04%2GmpmQ4^-

g=叫亍4，—?二叫3产今

可得G（mp+mQ）=GM=亍-炉

若总质量〃恒定，则上越大，T越大，故D正确。

2、（2023北京鲁迅中学质检）“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的

距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图

所示，某一双星系统中A星球的质量为〃小B星球的质量为优2,它们球心之间的距离为乙引力常量为G,

则下列说法正确的是（）

A.B星球的轨道半径为掰2L

加1+m2

B.A星球运行的周期为二-------

\G（啊+m2）

C.A星球和B星球的线速度大小之比为仅1：m2

D.若在。点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零

【参考答案】、B

【名师解析】

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由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为根据牛顿第二定律，对A

星球有：G%二加⑷（

对B生球有G—-——m2coG

L

得。：弓二加2：加1

m丁m,

又…”,得9’2=VT故A错误;

mm

*日用Ci24万2_

根据G1,2=m.，r\~-L

1

1}mx+加2

解得周期7=2加L，B正确;

vcor、m.

A星球和B星球的线速度大小之比上A=、=二，C错误;

vBa）r2mx

F_Gm2m_GGmm22mm

。点处的质点受到B星球的万有引力B丫；（my

2xL

、加1+加2?

lGFm,m--------G-m-,-m---------------

受到A星球的万有引力'K（加27丫，故质点受到两星球的引力之和不为零，故D错误。

L

、加］+加2）

3.（2023福建漳州三模）厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱,

发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2:1,同时绕它们连线上某点。做

匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然・天文》期刊上。则此中子星绕。点运动的

()

A.角速度大于红矮星的角速度

B.轨道半径小于红矮星的轨道半径

C.向心力大小约为红矮星的2倍

D.线速度小于红矮星的线速度

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【参考答案】BD

【名师解析】

双星系统中，由于两星在相同时间内转过的角度相等，则双星系统的角速度相等，即中子星绕。点运动的

角速度等于红矮星的角速度，A错误；

八

m,m.,22

根据G---二iriyO）0,G---=丫2

LL

解得」=2

m2r\

即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意中子星质量大，可知，中子星绕。点运动的轨道半径小于红矮

星的轨道半径，B正确；

双星系统中，有星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕。点运动的向心力大小等于红矮星的向

心力大小，C错误；

根据丫=。〃，根据上述，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕。点运动的线速

度小于红矮星的线速度，D正确。

4.（2023河南洛阳等4市三模）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，质量为M的地球和质量为小的

月球运动情况如图所示。地球和月球在相互引力的作用下都绕某一定点。做匀速圆周运动，且两者的中心

和。三点始终共线，两者始终分别在。点的两侧，测得月球做圆周运动的周期为九。但我们在平常近似

处理问题时，常常认为月球是绕地球中心做匀速圆周运动的；这种情况下得到月球绕地球中心做圆周运动

的周期为不。则下列关系正确的是（）

【参考答案】D

【名师解析】

设月球到。点的距离为地球到。点的距离为马；月球绕。点做匀速圆周运动时，有

GMm4/

（八+“

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地球绕。点做匀速圆周运动时，有

GMm,,47之

---------5=M——r,

（八+2）邛

联立可得

G{M+m）4万2

（4+々）

（八+“不

若认为月球是绕地球中心做匀速圆周运动，则有

GMm4/

---------=m可（八+4）

（。+弓）~

可得

GM4/

联立可得,故选D。

5.（2023河北九师联盟质检）“双星”是宇宙中普遍存在的一种天体系统，这种系统之所以稳定的原因

之一是系统的总动量守恒且总动量为0,如图所示，/、3两颗恒星构成双星系统，绕共同的圆心O互相

环绕做匀速圆周运动，距离不变，角速度相等,已知/的动量大小为0,/、8的总质量为/、8轨道

半径之比为左，则8的动能为（）

1

32B」+"kp

C（1犷

2。+后）河,2kM'2kM

【参考答案】B

【名师解析】

设/、2的质量分别为九乙、〃B，轨道半径分别为。、匕，相互间的万有引力充当向心力，则有

2

M&rz=MB<yrB

根据题意

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9：4=左

AD

综合解得MB=半

1+左

4、5组成的系统总动量守恒且总动量为0,则5的动量大小与4的动量大小相等，即4的动量大小为p,

2

P。+后）22

则5的动能为“故选Bo

2%2kM

6.（2023重庆信息联考卷3）如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体

/、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心。做匀速圆周运动。已知N、B、C的质量分

别为2加、3m、3m,引力常量为G,则下列说法正确的是（）

A.三个星体组成的系统动量守恒

B.N的周期小于8、C的周期

C.N所受万有引力的大小为拽”

d2

D.若8的角速度为①，则/与圆心。的距离为3勺以

针疗

【参考答案】AD

【名师解析】

该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同。动量大小不变，运动过程中总动量不变，A

正确，B错误；

A所受万有引力的大小为F=乖1G=6百G病,©错误；

屋屋

若3的角速度为①，则也/的角速度为④，则根据66Gm?=2/02r

d2

第9页共16页

则/与圆心。的距离为66Gm-

=2m①2r

d2

则/与圆心。的距离为厂=油包，D正确。

d2a>2

7.(2023云南部分重点高中期中)宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统"，如图所示，三颗质量均

为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星的距离均为£,三颗星绕其中心。做匀速圆周运

动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G,三颗恒星均可视为质点。求：

(1)每一颗恒星所受的万有引力的大小；

(2)每一颗恒星转动的角速度大小。

Q

A

/、

/\

O--------------------O

【参考答案】(1)尸=GG£;(2)0)=1^^-

VL

【名师解析】

(1)任意两颗恒星之间的万有引力大小

F_M2

…r下

则任意一颗恒星所受合力大小

F=2F0cos30°

解得

F=6G4

(2)每颗恒星运动的轨道半径

J?=-£cos30°

3

根据万有引力提供向心力有

F=MCO2R

第10页共16页

解得

8.宇宙空间有一种由三颗星体/、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形/2C的三个顶点

上，绕一个固定且共同的圆心。做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径以十广七忽略其他星

体对它们的作用，可知这三颗星体)

A.线速度大小关系是VA>VB>VC

B.加速度大小关系是

C.质量大小关系是加户加B>MC

D.所受万有引力合力的大小关系是兄=FB=FC

【参考答案】C

【名师解析】：三星体系中三颗星的角速度。相同，轨道半径以由o=ro可知〃由。

=厂02可知z<g<牝，故A、B错误；设等边三角形4BC的边长为0,由题意可知三颗星受到万有引力的

合力指向圆心。，有詈〉詈，mA>ms,同理可知加B>加c,所以，〃4加6机c,故C正确；根据两个分

力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知，FA>FB>FC,D错误.

9[2021•河南南阳市联考]（多选）为探测引力波，由中山大学领衔的“天琴计划”，将向太空发射三颗

完全相同的卫星（SCI、SC2、SC3）,这三颗卫星构成一个等边三角形阵列，地球恰好处于该三角形的正中

心，卫星将在以地球为中心、高度约为10万公里的轨道上运行，针对确定的引力波源进行引力波探测.如

图所示，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴，故命名为“天琴计划”.已知地球同步卫星距离地

面的高度约为36万公里.以下说法正确的是（）

SCI

/地球\

»----------------•

SC3SC2

A.三颗卫星具有相同大小的加速度

B.从每颗卫星上可以观察到地球上大于士的表面

C.三颗卫星绕地球运动的周期一定小于地球的自转周期

D.若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T,则可估算出地球的密度

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【参考答案】：ABC

【名师解析】根据畔=%。，可解得加速度。=黑，由于三颗卫星到地球的距离相等，故绕地球运动

的轨道半径「相等，则它们的加速度大小相等，选项A正确；由题图可知三颗卫星所组成的三角形的内角

均为60。，则每颗卫星关于地球的张角小于60。，所覆盖地球的圆心角大于120。，故从每颗卫星上可以观

察到地球上大于？的表面，选项B正确；卫星运行时由万有引力提供向心力有弗=加普r,解得周期7=

271偿，由于三颗卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，故三颗卫星绕地球运动的周期小于地球

7GM

同步卫星绕地球运动的周期，即小于地球的自转周期，选项C正确；若知道引力常量G及三颗卫星绕地球

的运动周期7,根据隼=心苍厂，解得席，由于地球的半径未知，不能计算地球的质量，也不能计

算出地球的体积，故不能估算出地球的密度，选项D错误.

10如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为/的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆

做周期为7的匀速圆周运动.已知引力常量为G,不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列

说法正确的是（）

A.三颗星的质量可能不相等

B.某颗星的质量为胃

C.它们的线速度大小均为入加

T

D.它们两两之间的万有引力大小为吗'

9GP

【参考答案】BD

【名师解析】轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，根据题意可知其中任意两颗星对

cos30°3

第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相

同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为加，则2理cos30。解得机

PT13

久三，它们两两之间的万有引力尸=蝇=6A错误，B、D正确；线速度大小为。=型

3GFP-9G74T

2兀兀/

C错误.

T3~3T

第12页共16页

11.如图为某双星系统4、8绕其连线上的。点做匀速圆周运动的示意图，若4星的轨道半径大于3星的

轨道半径，双星的总质量双星间的距离为乙其运动周期为九贝!!()

A.4的质量一定大于3的质量B.N的线速度一定大于8的线速度

C.L一定,M越大，7越大D.〃■一定，工越大，7越大

【参考答案】BD

【名师解析】设双星质量分别为丸4、mB,轨道半径分别为R/、RB,角速度相等，均为。，根据万有引

rrL2

力定律可知：龈等=mAa)2RA,G^=mBcoRB,距离关系为：RA+RB=L,联立解得：也=&,因为RA>RB,

所以/的质量一定小于3的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：VA=CORA>VB=O)RB9因为

21T

角速度相等，半径用>心，所以4的线速度大于5的线速度，故B正确；又因为丁=3，联立可得周期为：

co

T=2K\―,所以总质量M一定，两星间距离£越大，周期7越大，故C错误，D正确.

vGM

12.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的

引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为〃?，半径均为尺四颗星稳定分布在边长为工的正方形的四

个顶点上，其中乙远大于A已知万有引力常量为G,忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的

是()

A.四颗星做圆周运动的轨道半径为乙

2

B.四颗星做圆周运动的线速度均为；巩2+—

C.四颗星做圆周运动的周期均为27rA/,2f

(4+72)Gm

D.四颗星表面的重力加速度均为黑

R2

【参考答案】CD

【名师解析】如图所示，

四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径取任一顶点上的星体为研究对象,

2

它受到其他三个星体的万有引力的合力为尸金=也G”+G-p^.由尸各=尸向=加方=〃/?，解得

G(y2L)2rF

第13页共16页

(4+1)G，故A、B项错误，C项正确；对于在星体表面质量为加o的物体,

4J,T=2K

受到的重力等于万有引力，则有moguG’等,故且=渭,D项正确.

R2R2

13.(2023北京育才中学三模)引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的

来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引

力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为7,P、Q两颗星的距离为/,P、Q两颗星的轨道半径之差

为(P星的轨道半径大于Q星的轨道半径)，引力常量为G,求:

(1)Q、P两颗星的线速度之差△"；

(2)Q、P两颗星的质量之差△加。

【参考答案】⑴”*

【名师解析】

(1)尸星的线速度大小

。星的线速度大小

2项

v广〒

则P、。两颗星的线速度大小之差为

必一