2026版高三一轮总复习（数学） 第二章 第7课时 对数与对数函数 课件

第二章函数的概念与性质第7课时对数与对数函数[考试要求]

1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．3．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．链接教材·夯基固本1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中___叫做对数的底数，___叫做真数．以____为底的对数叫做常用对数，log10N记为_______．以___为底的对数叫做自然对数，logeN记为_______．x＝logaNaN10lgNelnN

01logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM

N3．对数函数(1)一般地，函数__________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是_____________．y＝logax(0，＋∞)(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域_____________值域R性质过定点__________，即x＝1时，y＝0当x>1时，______；当0<x<1时，______当x>1时，______；当0<x<1时，______在(0，＋∞)上是____函数在(0，＋∞)上是____函数(0，＋∞)(1，0)y>0y<0y<0y>0增减4．反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．y＝x[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(3)logab·logbc·logcd＝logad．(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0；m≠0)2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

××√√

＞＝3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)×log32＝________．

典例精研·核心考点√－log62e

名师点评

解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

√642

(3)原式＝2lg5＋lg2(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2＋lg2×lg5＋(lg2)2＝1＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋lg5＋lg2＝1＋lg10＝2.]

√√

[拓展变式]将本例(2)中“4x＜logax”变为“关于x的方程4x＝logax有解”，则a的取值范围是________．

名师点评

对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

√(3，＋∞)

则当a>1时，函数图象过第一、三、四象限；

【教用·备选题】(多选)若函数f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f

(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(

)A

BC

D√√AD

[易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝ax-2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝ax-2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD.]

√

√

√

考向3

对数函数性质的综合应用[典例5]

(1)(多选)(2025·广东深圳中学模拟)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(

)A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)一定有最小值C．当a＝0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}√√

√√√2(1)AC

(2)ACD

(3)2

[(1)对于A，∵a＝0，∴f(x)＝lg(x2－1)，即x2－1＞0，∴x＜－1或x＞1，∴A正确；对于B，令u(x)＝x2＋ax－a－1，则复合函数y＝f(x)是由y＝lgu，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，∵y＝lgu在定义域内是单调递增的，而u＝x2＋ax－a－1(u>0)无最小值，∴f(x)没有最小值，∴B错误；对于C，当a＝0时，f(x)＝lg(x2－1)中的u＝x2－1中的u能够取到所有的正数，∴f(x)的值域为R，∴C正确；

【教用·备选题】1．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(

)A．[1，2) B．[1，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)√

2．若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(

)A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b

√名师点评

求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．

√45

则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5.]

√√√

√√

题号135246879101112

13课后作业（十三）对数与对数函数√

2．若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是(

)题号13524687910111213√A

BC

D题号13524687910111213C

[根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0<a<1，0<b<1，根据指数函数y＝a－x(0<a<1)的图象与性质，结合图象变换向下平移b个单位长度，可得函数g(x)＝a－x－b的图象大致为C选项．]

题号135246879101112√13

题号13524687910111213

题号135246879101112√13

题号135246879101112

13√题号135246879101112

13题号135246879101112

13√题号135246879101112

13题号135246879101112

13√√√题号13524687910111213

题号13524687910111213

题号135246879101112

13√√√题号135246879101112

13题号135246879101112

13题号135246879101112

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题号135246879101112

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13题号135246879101112

13题号13524687910111213．已知函数f(x)＝2lg(10x＋a)－x，a∈R.(1)