与特殊四边形有关问题的压轴题之四大题型（原卷版+解析）

专题02与特殊四边形有关问题的压轴题之四大题型

目录

【题型一与矩形有关问题的压轴题】.........................................................1

【题型二与菱形有关问题的压轴题】.........................................................3

【题型三与正方形形有关问题的压轴题】.....................................................4

【题型四与特殊平行四边形中新定义探究问题压轴题1.............................................................7

【题型一与矩形有关问题的压轴题】

例题：(2023•浙江衢州・统考一模)如图，已知菱形ABC。，E为对角线AC上一点.

［建立模型］

(1)如图1,连结BE,DE.求证：NEBC=NEDC.

［模型应用］

(2)如图2,P是。E延长线上一点，ZEBF=ZABC,EF交AB于点G.

①判断△EBG的形状，并说明理由.

②若G为AB的中点，且AB=4,ZABC=60°,求AF的长.

［模型迁移］

4AR

(3)尸是。E延长线上一点，ZEBF=ZABC,E尸交射线A3于点G,J.sinZBAC=-,BF//AC.求行

5D(J

【变式训练】

1.（2023•浙江•一模）如图1,菱形ABCD中，Z5=60°,AB=2,E是边BC上一动点（不与点8、C重合）

连结DE,点、C关于直线DE的对称点为C,连结AC并延长交直线DE于点P、尸是AC的中点,连结DC'、

DF.

⑵如图2,将题中条件"/8=60。"改成"？390?”,其余条件均不变，连结3尸，猜想AP、BP、DP这三条

线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明.

⑶在（2）的条件下，连结AC.

①若动点E运动到边BC的中点处时，求△ACC'的面积；

②在动点E的整个运动过程中，求△ACC'面积的最大值.

2.（2023•浙江金华•模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，其中NABC=60。，点E在对角线AC上，点产

在射线CB上运动，连接所，作NFEG=60。，交直线0c于点G.

⑴在线段上取一点T,使CE=CT,求证：FT=CG；

（2）图中AB=7,AE=1.

①点尸在线段3C上，求AEFG周长的最大值和最小值；

②记点F关于直线AB的轴对称点为点N.若点N不能落在/EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围.

【题型二与菱形有关问题的压轴题】

例题：(2023,浙江金华•统考三模)如图，在矩形A3CD中，点E是AD上的一个动点，连接3E,将AABE沿

AD

---=n.

AE

⑴求证：NCBE=NFEB.

AD

⑵当4F,C三点共线时，用含〃的代数式表示花的值.

⑶若AB=5AE,△BCF能否是等腰三角形？若能，求"的值；若不能，试说明理由.

【变式训练】

1.(2023•浙江金华•校联考三模)如图，在矩形A8CD中，AB=4,AD=2,动点尸从点A开始以每秒2

个单位长度沿A3向终点8运动，同时，动点。从点C开始沿A以每秒3个单位长度向终点A运动,

它们同时到达终点.连接P2交AC于点E.过点E作跖，尸Q,交直线CD于点?

⑴当点。在线段。上时，求证：三CF=[3.

AE2

(2)当。。=1时，求VAPE的面积.

(3)在P,。的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E,F,。为顶点的三角形与AABC相似？若存在,

求3P的长；若不存在，请说明理由.

2.(2023・浙江绍兴•校联考三模)已知，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,点E在边CO上，且CE=4,

过点E作的垂线，并在垂线上矩形外侧截取点£使即=3,连接AF,BE,将ACEF绕点C按顺时针方

向旋转，记旋转角为a.AF=n,BE=m.

备用图

⑴如图(1),当a=0。,求己的值.

m

⑵如图2,^0°<a<90°,求相关于"的数量关系.

(3)若4CEF旋转至A,E,尸三点共线，求相的值.

【题型三与正方形形有关问题的压轴题】

例题：(2023,浙江杭州•校联考二模)在正方形ABC。中，E为对角线上的一点.

⑴如图1,过点E作EGLCD,EFJ.BC,连接AE,FG,请猜想AE与FG的关系，并证明.

(2)如图2,连结EC,过点£作EC的垂线交AB于点尸，在BC上找到一点Q,使得=

①求证：AEQC为等腰三角形;

②连结PC,若鬻=：，且。E=近，求PC的长（用上表示）.

【变式训练】

1.（2023•浙江杭州•校联考二模）在正方形ABCD中，E、尸分别是边BC、8上一点，且BE=CF,连

图①图②

⑴判断线段AE、所的位置关系并说明理由.

⑵连接AC交卸于点H,连接EH,如图②；

①若点E是BC的中点，当即=5时，求线段AE的长；

②设正方形ABCD的面积为航，四边形CEHF的面积为邑，当黑=1时，求S/S?的值.

CE4

2.（2023•浙江嘉兴•统考二模）如图1,正方形ABCD中，点E,F为边AD,CD上的点，若DE=DF,点、G

为BE中点,连结AG.

⑴探索并证明AG与郎有怎样的位置和数量关系;

⑵转动ADEF至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

⑶若DE=；Ar>=2,ADEF绕着点。旋转过程中，请直接写出CG的取值范围.

3.（2023•浙江衢州•统考二模）如图1,在正方形A3CD中，点E在线段上，连接AE,将AABE沿着AE

折叠得到A4FE,延长E尸交8于点G.

图1图3

⑴求证：DG=FG.

⑵如图2,当点E是BC中点时，求tan/CGE的值.

（3）如图3,当B黑F=12时，连接5并延长交A3于点H,求C法F的值.

DGJCH

【题型四与特殊平行四边形中新定义探究问题压轴题】

例题：(2023•浙江•校联考三模)【特殊发现工

⑴如图1,正方形3EFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、3G分别在3C、A4边上，则有:

①需；②直线。尸与直线AG所夹的锐角等于.度;

【类比探究工

(2)将图1中的正方形麻尸G绕点B逆时针旋转，连接DRAG,如图2,贝U(1)中的结论是否成立，请说

明理由;

图2图3

【解决问题】:

(3)如图3,点P是正方形ABCD的AB边上一动点(不与A、8重合)，连接尸C,沿PC将翻折到/EC

—r)P

位置，连接以并延长，与CP的延长线交于点孔连接AF,若AB=邛PB,求育的值.

【变式训练】

1.(2023•浙江宁波•统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻

等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.

图3

⑴如图1,在四边形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,对角线3。平分.求证：四边形ABCD为邻等

四边形.

(2)如图2,在6x5的方格纸中，4,B,C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符

合条件的格点。.

(3)如图3,四边形ABCD是邻等四边形，ZDAB=ZABC=90°,/BCD为邻等角，连接AC,过8作3E〃AC

交DA的延长线于点E.若AC=8,£>E=10,求四边形班CD的周长.

2.(2023•浙江宁波•统考一模)新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分

线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段.

问题探究：

⑴如图1,等边AABC边长为3,垂直于BC边的等积垂分线段长度为；

⑵如图2,在"RC中，AB=8,5C=6A/3,ZB=30°,求垂直于8C边的等积垂分线段长度；

(3)如图3,在四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,AB=BC=6,AD=3,求出它的等积垂分线段长.

专题02与特殊四边形有关问题的压轴题之四大题型

目录

【题型一与矩形有关问题的压轴题】............................................................1

【题型二与菱形有关问题的压轴题】............................................................3

【题型二与正方形形有关问题的压轴题】.......................................................4

【题型四与特殊平行四边形中新定义探究问题压轴题】..........................................7

【题型一与矩形有关问题的压轴题】

例题：(2023,浙江衢州•统考一模)如图，已知菱形ABCD,E为对角线AC上一点.

［建立模型］

(1)如图1,连结3EDE.求证：NEBC=NEDC.

［模型应用］

(2)如图2,尸是延长线上一点，NEBF=ZABC,所交于点G.

①判断AEBG的形状，并说明理由.

②若G为A3的中点，且AB=4,ZABC=60。，求AF的长.

［模型迁移］

4AR

(3)尸是OE延长线上一点，ZEBF=ZABC,E厂交射线A3于点G,>sinZBAC=-,BF//AC.求才;

5BG

【分析】(1)证明ABCE/ADCE&AS),进而结论得证；

(2)①由N£B产=NABC,可得NFBG=NEBC,则NF3G=NEDC,由A3〃CD,可得NBGF=NEDC,

即NEBG=N3GV,进而可判断△EBG的形状；②如图2,过尸作我欣，至于M,过。作ZWL54的延

长线于N,>W=AD-cos60°=2,ON=A。sin60°=2石，GN^AG+AN=4,tmZDGN=—=—,

GN2

由NFGM=ZDGN,可得tan/FGM=也=且，求WVf的值，在中，由勾股定理得

GM2

AF=y/AM2+FM2<求解即可；

(3)解：如图3,连接8。交AC于。，过E作于由题意，设AB=3C=5x,则O8=4x,

3

在RtZ\AOB中，由勾股定理得AO=3x,则cosNB4C=g,由菱形的性质得，CO=AO=3xfAC=6x,

由NFBA=NEBC,AF〃AC,可得NEBC=N5C4,即5£=C£,设AE=〃，则5E=CE=6x—a,在

1111

中，由勾股定理得502=跖2—0石2,即(4x)92=(6x—4―9(3x—a)92,解得则AE=^x,由

o6

孚=cosNBAC,求解得AM的值，由AG=2AM求AG的值，根据8G=AB-AG求BG的值，进而可得黑

AEBG

的值.

【详解】(1)证明：由菱形的性质可知，ZECB=/ECD,BC=CD,

在△3CE和△OCE中，

BC=CD

B<ZECB=ZECD9

CE=CE

I?]^BCE=^DCE(SAS^,

国NEBC=NEDC；

(2)①⑦/EBF=NFBG+NGBE,ZABC=NEBC+NGBE,NEBF=ZABC,

国/FBG=NEBC,

国NEBC=NEDC,

⑦NFBG=NEDC,

^\AB//CD,

⑦NBGF=/EDC,

aNFBG=NBGF,

团△尸BG是等腰三角形.

②如图2,过/作于过。作DN_LB4的延长线于N,

图2

由题意知，ZDAN=60°,AD=AB=4,

BANAD-cos600=2,ON=A。•sin60°=2A,GN=AG+AN=4,

DN出

回tan4>GN=——=—,

GN2

回△EBG是等腰三角形，

SBM=GM=-BG=-AB=l,

24

1aAM=3,

0/FGM=NDGN,

0tanZFGM=—=—,WWFM=—,

GM22

在RtAAFM中，由勾股定理得AF=^AM'+FM2=—,

2

EIAF的长为迤；

2

(3)解：如图3,连接5D交AC于。，过E作于

由题意，设AB=3C=5x,则O3=4x,

在Rt^AOB中，由勾股定理得AO=3x,

3

团cosABAC=—,

5

由菱形的性质得，CO=AO-3x,AC=6x,

国NFBA=NEBC,BF//AC,

⑦NFBA=NBAC=NBCA,

国NEBC=NBCA,

⑦BE=CE,

设=贝|5E=CE=6%一Q,

9°91111

在RtOOE中，由勾股定理得802=8炉_/2,即（4x）一=（6x-“）-（3x-a）,解得a=%■无，即AE=不尤,

AM=3

0—=cosZBAC,即II-―《，解得AM=Ux,

AER10

o

⑦/GAE=/GBF=/FGB=NEGA,

团AE=GE,

^\AM=GM,

1114

^\AG=2AM=—xfBG=AB-AG=—x,

AB_5x25

团茄一记―—五，

——x

5

「AB钻/士在25

回热的值为IT

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正切，余弦，全等三角形的判定

与性质等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

【变式训练】

1.（2023•浙江•一模）如图1,菱形ABCD中，Z5=60°,AB=2,E是边BC上一动点（不与点8、C重合）

连结DE,点、C关于直线DE的对称点为C,连结AC并延长交直线DE于点P、歹是AC'的中点,连结DC、

DF.

⑵如图2,将题中条件"48=60。"改成"？B90?",其余条件均不变，连结8尸，猜想AP、BP、DP这三条

线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明.

⑶在(2)的条件下，连结AC.

①若动点E运动到边BC的中点处时，求△ACC'的面积；

②在动点E的整个运动过程中，求△ACC'面积的最大值.

【答案】⑴2,30°

⑵猜想：BP+DP=>/2AP,证明见详解

⑶①|■②20一2

【分析】(1)由C'是C关于。E的对称点，可得8沿DE翻折后可得到C'。，可求。Z)=CD=2,

NCDP=ZC'DP=|zcr>c,,进而可求解；

(2)过A作G4LPA,交PD的延长线于G,在RtAAGP中，可求PG=VL1P，再证ABAP9AD4G,即

可得证；

(3)连接交AC于O,连接PC,可证3、P、C、。四点共圆，。为圆心，A在。。上，再证ABPESADCE,

可求5P=36,PE=—,从而可求AP=勺匝，在RtzXAFD中，AF=^AD--DF1=—,即可求解;

5555

②过C'作CM，AC,交AC于M,C'的运动轨迹是以。为圆心，CZ>=2为半径的AC，AC与交于。，

可得Lcc，=；x2卮当c'M取最大时，S-cu最大，所以当C'与。重合时，BPC'M=QO,

C'M最大，即可求解.

【详解】(1)解：・•・四边形ABCD是菱形，

ZADC=ZB=60°,AD^CD=AB=2,

•・•C是C关于DE的对称点,

：.CD沿DE翻折后可得到CD,

:.C'D=CD=2,ZCDP=ZC'DP=-ZCDC,

2

:.AD=C'D,

•.・尸是AC'的中点,

:.ZC'DF=-ZADC,

2

:.ZFDP=ZC'DF+ZC'DP,

=-ZADC'+-ZCDC

22

=-ZADC=30°.

2

故答案：2,30°.

(2)结论：BP+DP=42AP,

证明：如图，过A作交尸。的延长线于G,

:.ZGAP=90°,

•••四边形ABCD是菱形，?B90?,

..•四边形ABCD是正方形，

ZADC=ZBAD=90°,

AB=AD,

由(1)得：ZFDP=^ZADC=45°,

AD=C'D,AF=C'F,

DF±AC,

ZDPF=ZFDP=45°,

/.ZG=ZDPF=45°,

/.AG=AP,

在RtZVlGP中，PG=6AP，

:.DP+DG=®AP;

vZZMG+ZZMP=90°,

ZBAP+ZZMP=90°,

.\ZBAP=ZDAGf

在△BAP和ADAG中

AB=AD

<ZBAP=ZDAG,

AG=AP

•.^BAP^DAG(SAS),

:.BP=DG,

BP+DP=^2AP.

(3)解：①如图，连接3。交AC于。，连接PC,

二--C

P

由(2)得：ZAPB=ZG=45°,

ZBPD=ZBPA+ZDPF=90°

:.NBPD=NBCD=哪，

•・B、P、C、Z)四点共圆，。为圆心,

四边形ABCD是正方形，

:.OA=OC,

.•.A在。。上,

:.ZAPC=90°,

・・・£是BC的中点，

:.CE=BE=-CD=X,

2

:.DE=^CE^+Clf=Vl12+22

•・•/BEP=/DEC,NBPE=NDCE=90°,

:公BPEs^DCE,

BEBPPE

,~DE~DC~^E"

1BPPE

一君一万一丁‘

:.BP=^~,PE=—,

55

DG=BP=^~,

5

...4+国孚=何产，

晅

5

由（2）得：ZFPD=ZFDP=45°,

PD=亚DF=^2FP，

■：PD=PE+DE=^~

5

■,DF=FP=^-

5

在RtAAF。中,AF=yjAD2-DF2=--

.C'T

2>/10

C'P=FP-C'F

5

由（1）折叠得:

CP"普

:.S△ACC,=2-ACCP

12V102A/10

=-X------------X-------------

255

_4

-5,

②如图，itC'^C'M±AC,交AC于M,C的运动轨迹是以。为圆心，CZ>=2为半径的AC，AC与BD

交于Q,

S△rAiCc-Cc-r=2—AC,CM,

•：AC=0AB=2拒,

SAACC.=gx26cM=yf2C'M,

，当C'M取最大时，％4cc，最大,

如图，当C'与。重合时，即CM=QO,c'M最大,

P

■：BD=AC=2V2，

:.DM,BD=3,

2

:CM=C'D-DM=2-6，

S«ACC'=（2-=2>/2—2,

故△ACC面积的最大值为2vl-2.

【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定及性质，对称和折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，

勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.

2.（2023•浙江金华•模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，其中NABC=60。，点E在对角线AC上，点尸

在射线CB上运动，连接所，作NFEG=60。，交直线。C于点G.

AD

⑴在线段BC上取一点T,使CE=CT,求证：FT=CG；

⑵图中AB=7,AE^l.

①点尸在线段BC上，求AEFG周长的最大值和最小值；

②记点尸关于直线AB的轴对称点为点N.若点N不能落在ZEDC的内部（不含边界），求CF的取值范围.

【答案】⑴见解析

⑵①最小值为96，最大值为3西；②0<CF<2或CF>14

【分析】（1）根据ASA证AEFT=AEGC即可得证结论；

（2）①先证明点/在线段3c上时，AFEG是等边三角形，确定A£FG周长最大时和最小时点尸的位置,

从而可求出庄的长，进而求出周长即可；

②找出点N落在。C上的位置，求出C尸的长，当N落在。E上时，求出CF的长，从而确定CF的取值范

围即可.

【详解】（1）证明：•••四边形ABC。是菱形，

AB\\CD,AB=BC,

ZABC=60°,

.\ZBCG=ZABC=60°,

AzABC是等边三角形，

:.ZABC=ZACB=6Q°,

•;CE=CT,

ACET是等边三角形，

/ETC=NTEC=60。,

:.ZFTE=180°-ZETC=180。-60。=120°,Z.GCE=ZGCT+ZTCE=600+60°=120°,

.\ZFTE=ZGCE,

・・・NFEG=60。，Z7EC=60°,

:.ZFET+ZTEG=Z.GEC+ZTEG,

:.ZFET=NGEC,

在AFET和AG石。中，

ZFET=ZGEC

<ET=CE,

/FTE=NGCE

:.\EFT^NEGC（ASA）,

..FT=CG；

(2)解：①如下图，当点尸与点5重合时,

•・・NFEG=60。,

AFEG是等边三角形，

同理可得，当点尸在3c边上时，AFEG均是等边三角形,

当FELBC时，E尸最短，如下图，

:.CE=AC-AE=7-l=6f

又丁ZACF=60°,

/.ZCEF=30°,

:.CF=-CE=-x6=3,

22

EF=ylCE2-CF2=V62-32=3百，

二等边三角形FEG的周长最小值为：3FE=9A/3,

当点P与点8重合时，如下图，

则C〃=3,EH=34,

:.BH=BC-CH=7-3=4,

在MABHE中,BE=4BH。+EH。=6+(3舟=房>6，

,此时AFEG的周长最大，最大值为：3BE=3值,

・•.AFEG的周长最小值为9石，最大值为3匹；

②当点双在8上时，如下图，

作加于点/关于AB的对称点N在。C上,

G7G

,\OF=ON=CM,CM=BCZABC=—BC=—,

22

述，

2

在b中，ZOBF=ZABC=60°,

述

，BF=-^—=-^-=7,

sin60°73

~T

.•.C尸=14；

当点N在。石上时，如下图，

连接BN,

•・•点N与点/关于A3对称，

.\ZABN=ZABC=6O°,

•.，Z^4c=60。,

:.ZABN=ZBAC,

^\BN//AC,

,AE_AP

••丽一而‘

^\AD//BC,

^ADE^CME,MPD^ABPM,

,AD_AE_1APAD

,MC-ET-6?诟一标’

•7-1

,MC"6，

.\MC=42f

.•.MB=MC—BC=42—7=35,

•71

,^P~35~5f

.11

,,=一,

BN5

:.BN=5,

：.BF=BN=5,

:.CF=BC-BF=2,

.-.0<CF<2^CF>14.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，轴对称性质等知识,

解决问题的关键是证明三角形相似.

【题型二与菱形有关问题的压轴题】

例题：(2023•浙江金华・统考三模)如图，在矩形ABCD中，点E是")上的一个动点，连接3E,将AABE沿

AD

---=n.

AE

⑴求证：ZCBE=ZFEB.

4n

⑵当A,F,C三点共线时，用含〃的代数式表示花的值.

(3)若=△3CP能否是等腰三角形？若能，求”的值；若不能，试说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵著〃

(3)能，百或5或E

【分析】(1)根据折叠的性质及矩形的性质即可证明；

AffAp

(2)根据题意作出图形，由对称得班J_AC,再由相似三角形的判定和性质得出可=后，设=

将其代入求解即可；

(3)设EM=龙，AE=a,则钻=3P=5a,过点厂作月VL8C于N,反向延长印交于利用相

似三角形的判定和性质得出黑=M，再由勾股定理求解得出尸N==等，然后分三种情况分析:

NFBF1313

FB=FC,FB=BC,FC=BC,分别作出图形求解即可.

【详解】(1)证明：EIAABE沿跳浙叠得到AFBE,

国NAEB=NFEB,

团四边形ABC。是矩形,

^\AD//BC,

也NAEB=NCBE,

©NCBE=NFEB.

图1

由对称得班_LAC,

0ZABE+ZBAC=90°,

0ZZMC+ZBAC=9O°,

^\ZABE=ZDAC.

又回/BAE=/D=90。,

^AABE^ADAC,

ABAE

团---=---.

DADC

设AE=a,

团AB—DC,

团AB2=AD-AE=na-a=no1.

团AB〉0,

团AB=y/na.

ADnar-

0-==.

ABsjna

(3)^EM=x,AE=a,贝!jAB=M=5a,

AD

团---=n,

AE

团AD=BC=na,

过点尸作RV_LBC于N,反向延长RV交AD于M.

则ZFEM+ZEFM=90°,

国/BFE=90°,

©ZBFN+/EFM=9伊,

©ZBFN=NFEM,

国NEMF=/BEN=90。,

团/\BNF^/\FME.

EMEF

团---=---.

NFBF

团NF=5x,

^\BN=a+x,

团（a+x）2+（5x）2_（5〃）2,

左力/口12a

（舍去）.

解得:玉-丁］,x2=-a

“60a…25a

团FN=----,BN=-----

1313

若FB=FC（如图2）,则BN=CN,

25a25a

团---=na-------

1313

50

回〃=——；

13

若FB=BC（如图3）,贝！J5a=mz,

回〃=5,

若FC=BC（如图4）,由NC2+PN2=FC2得:

目+8-哥W

解得〃=

2

回”的值为*或5或

图4

【点睛】题目主要考查矩形及折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意,

进行分类讨论，作出相应图形是解题关键.

【变式训练】

1.（2023•浙江金华•校联考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,动点P从点A开始以每秒2

个单位长度沿A3向终点8运动，同时，动点。从点C开始沿C-D-A以每秒3个单位长度向终点A运动,

它们同时到达终点.连接PQ交AC于点E.过点E作E/TPQ,交直线。于点兄

(1)当点。在线段CD上时，求证：与CF=：3

AE2

(2)当。。=1时，求VAPE的面积.

(3)在P,。的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E,F,。为顶点的三角形与AABC相似？若存在,

求3P的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析

⑵士4或£25

524

(3)8尸的长为1或2或26-^/i^

【分析】(1)证明ACQESAAPE即可得到答案；

(2)①当点。在8上时，如图1,CQ=C£)-OQ=3.过点E作的垂线交于点交8于点N.②

当点。在AO上时，如图2,作EMLAB于点设EM=h,再利用相似三角形的性质求解三角形的高,

再利用面积公式计算即可；

(3)分三种情况讨论：①当点。在8上时，设CQ=3f,则”=2f,若点P在。的右侧，如图3,当

△FEQsAABC,则Z1=N2,作PHLCD于点H,而=90°,

PHA5

回AABCSA/WQ,则==2,从而可得答案；若点尸在。的左侧，如图4,AFEQs乙ABC,点、F

EFBA

与点C重合，从而可得答案；②当点。在上时，如图5,乙FEQsAABC,—=-=2,

七QnC

NFEG=NB=90°,作ENLCD于点N,次7，仞于点6.,则NN£Q=90。，再结合相似三角形的性质建

立方程可得答案.

【详解】(1)当点。在线段CD上时，由题意可得：AB//CD,CQ=3t,AP=2t,

0ACQES^APE,

旦3

AEAP2

(2)①当点。在CO上时，如图1,CQ=CD-DQ=3.过点E作AB的垂线交AB于点M,交CD于点、N.

图1

CQV^3

==得AP=2.

”一！「2

FNCE_3

由△CQEs\APE,得前

2~AE~2

24

^\EM=-MN=-

55f

团^AAPE=-AP-EM=-x2x-=~.

2255

②当点。在AD上时，如图2,作EMJLAB于点M,设EM=h.

同理：△AMEs^ABC,

EMBC1

团----=----

AMAB

^\AM=2EM=2h.

EMAQ_1_3

同理：△PMESXPAQ,PM-PA-To-10,

T

^PM=—EM=­h.

33

^\AP=PM+AM=—h+2h=—,解得〃=9,

338

c15…110525

AAP£223824

425

团VAPE的面积为二或T.

524

(3)①当点。在CO上时，设CQ=3八则"=2"

图3

若点尸在。的右侧，如图3,当AFEQs^ABC,则/1=N2.

作PHLCD于点H,ZB=ZPHQ=90°,

PH

团AABCS"HQ,则——=——=2,

\JrinC

团HD=AP=2tj

^\CD=CQ+QH+HD=3t+l+2t=4,

3

解得，=1.

团BP=4—2,=4—=—.

55

若点方在。的左侧，如图4,△EEQs/iABC,点尸与点。重合.

图4

团AC=VAF+BC7=A/42+22=2A/5,

立CE3

又回一=

AE2

0AE=-AC=^

55

团由△F£QS2\ABC结合对顶角可得：ZAEP=ZB=90°,l^ZPAE^ZBAC,

逑

AEAP

回一=即M=则AP=2,

ABAC

4~2A/5

^\BP=AB-AP=2.

EF5A

②当点。在A。上时，如图5,LFEQSAABC,—=—=2,NFEG=NB=90°,

乜QnC

作ENLCD于点、N,EGLAD于点G.,则NNEQ=90。,

图5

由NF£Q=NNEG=90°,得NFEN=NQEG,

0RtAFENsRt^QEG,

ENEF°

团---=---=2

EGEQ

AGBC_1

同理可得:

EG-AB-2

设AG=左，贝！J£G=2AG=2左，EN=2EG=4k.

©DG=EN=4k,AD=AG+DG=5k,

2

由AT>=2,得5k=2,k=~,

回AG=—,EG=—.

55

由题意，f瞑o26-3r3

4—2/2

设AQ=3x,贝!尸=2x,AP=4—2%,QG=AQ-AG=3x-|,

4

由△QGES/XQAP,得黑=襄,即3x--

W____5.

AlQA

4-2x3x

化简，得15f—26x+4=0,

解=13+9（舍去），13一9

115215

回BP=2X=26-2阿.

15

综上所述，2尸的长为［或2或型二M叵.

515

【点睛】本题考查的是动态几何问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，清

晰的分类讨论，细心的计算是解本题的关键.

2.(2023•浙江绍兴•校联考三模)已知，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在边CO上，且CE=4,

过点后作。的垂线，并在垂线上矩形外侧截取点凡使所=3,连接AF,BE,将ACEF绕点C按顺时针方

向旋转，记旋转角为a.AF=n,BE=m.

备用图

ri

⑴如图(1),当a=0。，求一的值.

m

⑵如图2,若0。＜二＜90。，求M关于〃的数量关系.

⑶若△CEF旋转至A,E,b三点共线，求机的值.

【答案】⑴:

c4

(2)m=—n

,.8721+12-^8^-12

55

【分析】(1)如图1,过尸作/G1.AD,交AD的延长线于G,先证明四边形DEFG是矩形，然后根据矩

形的性质和勾股定理分别求出他、〃的值，即可求解；

(2)如图2,连接AC,先后利用两边对应成比例且夹角相等证明AABCSA/双入AACF^ABCE,利用相

似三角形的性质即可得出结论；

(3)分两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质结合勾股定理求解即可.

【详解】(1)当。=0。时，如图1,过尸作尸G_LAD,交AD的延长线于G,

四边形ABCD是矩形,

:.ZADC=ZBCE=90°,AD=3C=8,AB=CD=6,

・・・ZG=ZEDG=ZDEF=90°,

••・四边形OEFG是矩形，

.-.DG=EF=3,

.•.AG=8+3=11,

・・・CE=4,CD=6,

：.FG=DE=6—4=2,

在RtAAGN中，由勾股定理得：AF=>jAG2+FG2=Vll2+22=5^，

在RtABEC中，由勾股定理得：BE=7fiC2+CE2=A/82+42=4^，

n_AF_5y[5_5

故答案为：Y；

4

(2)如图2,连接AC,

在RtAABC中，由勾股定理得：AC=V62+82=10,

在RtACEF中，CE=4,EF=3,

/.CF=5,

.EF_3AB_6_3

'~CE~49BC-8-4?

.EF_AB

・・・NFEC=ZABC,

.-.AABC^AFEC,

:.ZACB=ZECFf

:.ZBCE=ZACFf

••AC_10_5_CF

•BC-T-4-CE?

:2CFs耶CE,

,_A___F___—__A____C__—__5__—__n___

BEBC4m

(3)当ACEF旋转至A,E,b三点共线时，存在两种情况:

①如图3,连接AC,

在RtAABC中，由勾股定理得：4。=后+82=0

在RtACE产中，CE=4,EF=3,

/.CF=5,

.EF_3AB_6_3

.•/Y，BC-8-4?

.EFAB

,~CE~~BC"

・・・/FEC=ZABC,

:.AABC^AFECf

ZACB=ZECFf

:"BCE=ZACF,

..ACiQ_5_CF

*BC-T-4-CE?

.•.AACFSABCE,

AF5

•.•_—―f

BE4

在RtMEC中，AE=y/AC2-CE2=V102-42-2721-

:.AF=AE+EF=2y/21+3,

BE=-AF=-(2^1+3)=8丐+12；

555

②如图4,连接AC,

AD

F

图4,

同理得：AAFCSABEC,

.AC_AF_5

综上，阳叱+12或即叱-12.

【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握

相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题关键.

【题型三与正方形形有关问题的压轴题】

例题：（2023•浙江杭州•校联考二模）在正方形A8CD中，E为对角线上的一点.

A______________DA_______________D

⑴如图1,过点E作EGLCD,EFJ.BC,连接AE,FG,请猜想AE与尸G的关系，并证明.

（2）如图2,连结EC,过点E作EC的垂线交AB于点尸，在3c上找到一点Q,使得8尸=8。；

①求证：AEQC为等腰三角形；

②连结PC,若等=，，且DE=啦,求PC的长（用上表示）.

【答案】⑴结论：AE=FG,AE±FG.详见解析

⑵①详见解析；②也淳+4左+4

【分析】（1）结论：AE=FG,AELFG.连接EC,延长AE交FG与点J,交CD于点K.分别证明E4=EC,

FG=EC,可得结论；

(2)①过点£作石于点M,ENJLBC千点、N,分别证明EP=£C,EQ=EP,可得结论;

②延长ME交8与点K.则四边形EKQV是矩形，证明CQ=2,BQ=k,利用勾股定理求解.

【详解】(1)解：结论：AE