中考数学复习提纲知识点

初三数学应知应会的知识点

元二次方程

1.一元二次方程的一般形式：aWO时，20叫一元二次方程的一般形式，研究一元

二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的

a、b、c；其中a、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子

的代数式.

2.一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平

方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发

生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用

较少.

3.一元二次方程根的判别式：当20(aW0)时，A2-4叫一元二次方程根的判别式.

请注意以下等价命题:

A>0<=>有两个不等的实根;A=0<=>有两个相等的实根;

A<0<=>无实根;A^O<=>有两个实根(等或不等).

4.一元二次方程的根系关系:当20(a#0)时，如人》0,有下列公式:

2

-b±Vb-4ac_bc

⑴Xl,2;(2)Xi+xX1X2=-

2a2=aa

X5.当2。(a#0)时，有以下等价命题:

b_c

△

(以下等价关系要求会用公式X1+X=——，X]X2=一;2—4分析，不要求背记)

2aa

(1)两根互为相反数」二0且AN0b=0且A20；

a

(2)两根互为倒数£二1且ANOa=c且ANO；

a

(3)只有一个零根c0且」W0c=0且bWO；

aa

(4)有两个零根c0且一匕=0c=0且0；

aa

(5)至少有一个零根0；

a

(6)两根异号a、c异号;

a

(7)两根异号，正根绝对值大于负根绝对值-<0>0a、c异号且a、b

aa

异号；

(8)两根异号，负根绝对值大于正根绝对值£<0且-^<0a、c异号且a、b

aa

同号；

(9)有两个正根£>0,一匕>0且ANOa、c同号，a、b异号且AN

aa

0；

(10)有两个负根->0,--<0且△NOa、c同号，a、b同号且A

aa

NO.

6.求根法因式分解二次三项式公式：注意：当0时，二次三项式在实数范围

内不能分解.

、

-b+Vb2-4ac—b—Jb2—4ac

2G)G)或2ax----------------x------------------------------

2a2a

7\7

7.求一元二次方程的公式:

2

X-(X12)X+X1X2=0.注意：所求出方程的系数应化为整数.

8.平均增长率问题应用题的类型题之一(设增长率为x)：

(1)第一年为a,第二年为a(l),第三年为ad)?.

(2)常利用以下相等关系列方程：第三年;第三年或第一年+第二年+

第三年二总和.

9.分式方程的解法:

(1)去分母法两号即警简验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母)，值NO.

公分母

(2)换元法凑勺产兀'验增根代入原方程每个分母,值/0.

换兀.

10.二元二次方程组的解法:

(1)代入消元法---方程组中含有一个二元一次方程；

(2)分解降次法---方程组中含有能分解为()()=0的方程;

)(2)=°应分组为F)=°产)=。|(1)=0|(2)=0

(3)注意:

)(4)=0[(3)=0[(4)=0[(4)=0[(3)=0

※U.几个常见转化:

(1)X：+X2=(X]+X2)—2xjX2；(X]—X2)=(X]+X2—4xjX2；XH----=(XH--)—2;

2

一.一一一“一XX

2

+X)

或X2+^-=(x--)2+2；-X22-4xjX2(X]2X2)

X1—X2.

X2X2

-X2+X2)—4x/2(Xi<x2)

..[1.分类为Xi-X2=2和Xi-X2=-2

(2)X1—X2=2n4c

11”.两边平方为(X]-X2)2=4

(1)分类为、=&和^=--

xi4)—X：16、

⑶(或于=$)=><x23x23

X23x2y

(2)两边平方一般不用因为增加次数

(4)如X1=sinA,x2=sinB且NA+ZB=90。时，由公式sin?A+cos2A=1,cosA=sinB

可推出x：+x；=l.注意隐含条件：X]>O,x2>0.

(5)X「X2若为几何图形中线段长时，可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形面积

等式,公式)推导出含有Xi，X2的关系式注意隐含条件：X]>0,x2>0.

(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件，可把它们转化为某

些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.

(7)方程个数等于未知数个数吐一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，-

般求不出未知数的值，但总可求出任何两个未知数的关系

解三角形

1.三角函数的定义：在△中，如N90°,那么

对_a.对_b

斜c'斜c

对a邻b

丽=针对二£

2.余角三角函数关系“正余互化公式”如NN90°,那么:

3.同角三角函数关系:

22A=1；•=1.sinAcosA

cosAsinA

4.函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大,函数值增大;

余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.

5.特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k,它可以推

出特殊角的直角三角函数

值，要熟练记忆它们.

NA490

0°30450°o

OO

0]_V31

2~22

17342j_0

~222

0V31V3不存

V

在

V3

不4310

存

在

X6.函数值的取值范围：在0°90°时.

正弦函数值范围小1；一宗弦函数值范围：10；

正切函数值和郦0无穷大「余切函数值范围：无穷大

0.

7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二

中至少应该有一个是边.

X8.关于直角三角形的两个公式：△中：若N90°,

a+b-c

r:内切圆半径，R:外接圆半径，mc:斜边上中线.

9.坡度:坡角：a.

方位角:北偏西30\北

南偏东7c

11.仰角及俯角：铅垂线

12.解斜三角形：已知“"条件的任意三角形都可以经过“斜化

直”求出其余的边和角.

派13.解符合“”条件的三角形：若三角形存在且符合“”条件，则可分三种情

况：(1)NAN90°,图形唯一可解；(2)ZA<90°,NA的对边大于或等

于它的已知邻边，图形唯一可解；(3)ZA<90°,NA的对边小于它的已知邻

边，图形分两类可解.

14.解三角形的基本思路：

(1)“斜化直，一般化特殊”加辅助线的依据；

(2)合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法转化

思想;

(3)三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利

用其列方程(或方程组)是解决数学问题的常用方法方程思想.

函数及其图象

一函数基本概念

1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y,如对x的每一个值，y都

有唯一的值及它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.

X2.相同函数三个条件：(1)自变量范围相同；(2)函数值范围相同；(3)相同

的自变量值所对应的函数值也相同.

X3.函数的确定：对于之(kWO),如x是自变量，这个函数是二次函数；如X?是

自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.一+『++

o-

4.平面直角坐标系：一一+-

(1)平面上点的坐标是一对有序实数，表示为：MO,x叫横坐标，y叫纵坐标;

(2)一点，两轴，(四半轴)，四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：

(3)x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;即“x轴上的点纵为0,y轴

上的点横为0”；反之也

成立；

(4)象限角平分线上点M()的坐标特征：

<=>M在一三象限角平分线上；<=>M在二四象限角平分线上.

(5)对称两点M(xu),N(X22)的坐标特征：

关于y轴对称的两点<二>横相反，纵相同；y

P

关于X轴对称的两点<=>纵相反，横相同L-

tQ

关于原点对称的两点<=>横、纵都相反.

5.坐标系中常用的距离几个公式“点求距”

(1)如图，轴上两点M、N之间的距离：12大小,12大小・

(2)如图，象限上的点MO:y

X

到y轴距离：；至Ux轴距离：；

M(x,y)

到原点的距离：r=Vx2+y2.

(3)如图，轴上的点M(0)、N(x,0)到原点的盛阖一

X(4)如图，平面上任意两点M(X22)、N(X22))电的距离：

22

d=J(X1-X2)+(yi-y2).CIN(x,y)

X6.几个直线方程：

y轴<=>直线0；x轴<=>直线0；x=ay

oby=b

及y轴平行，距离为Ia|的直线O直编F---------x

及x轴平行，距离为|b|的直线<=>直线.

7.函数的图象：

(1)把自变量x的一个值作为点的横坐标,把及它对应的函数值y作为点的纵坐标,

组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组

成的图形叫函数的图象；

(2)图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可

得“图象上的点就能代入”重要代入！

(3)坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量

值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函

数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；

（4）函数的图象由左至右如果是上坡，那么y随x增大而增大（叫递增函数）；函

数的图象由左至右如果是下坡，那么y随x增大而减小（叫递减函数）.

8.自变量取值范围及函数取值范围：

解析式X取值范围Y取值范围

整式类例y=2x-l取一切实数取一切实数

例y二」一xw2

分式类x—2yWO

二次根式类例y=Jx-2xN2非负数

综合类例丫=总x>2正数

应用问题类例s=vt（t是自变量）t20非负数

一次函数

X0-b/k,

即取点

yb0

1.一次函数的一般形式：.（k#0）又寸角0

(x,y)(0,b)(-b/k,0)

2.关于一次函数的几个概念：（kWO）的图象是

一条直线，所以也叫直线，图象必过y轴上的点（0）和x轴上的点（，0）；注意:

如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点.b叫直线（kWO）在y轴上的

截距，b的本质是直线及y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b的值.

3（kWO）中，k,b符号及图象位置的关系：

k>0,b>0

4.两直线平行：两直线平行<=>ki2X两直线垂直〈二〉kkl.

5.直线的平移：若m>0>0,那么一次函数图象向上平移m个单位长度得；向下平

移n个单位长度得（直线平移时，k值不变）.

6.函数习题的四个基本功：

（1）式求点：已知某直线的具体解析式，设0,可求出直线及x轴的交点坐标（x。，0）；

设0,可求出直线及y轴的交点坐标（0。）；已知两条直线的具体解析式，可通过

列二元一次方程组求出两直线的交点坐标（Xoo）;交点坐标的本质是一个方程组

的公共解；

（2）点求式：已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为，然后代入这两个

点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b,从而求出解析

式待定系数法；

（3）距求点：已知点M（x。。）到x轴轴的距离和所在象限，可求出点M的坐标；已知

坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴，可求出点P的坐标；

（4）点求距：函数题经常和几何相结合，利用点的坐标及它所在的象限或半轴特征

可求有关线段的长，从而使得函数问题几何化.

正比例函数

1.正比例函数的一般形式：(k#0)；属于一次函数的特殊情况；(即0的一次函

数)它的图象是一条过原点的直线；也叫直线.1°I

yoK

2.画正比例函数的图象：正比例函数(kWO)的图以跳过灼

(0,0)点和(1,k)点，注意：如图，这两个点也是画正比例

函数图象时应取的两个点，即列表如右：

3(kWO)中，k的符号及图象位置的关系:

k>0

k<0

〃%"%

y

图象过一三图象过二四

-象限，图象0-XV。象限，图象

上坡.、下坡

4.求正比例函数解析式：已知正比例函数图象上的一点，可设这个正比例函数为,

把已知点的坐标代入后，可求k,从而求出具体的函数解析式待定系数法.

二次函数

1.二次函数的一般形式：2.(aWO)

2.关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线2；抛物

线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中C叫

二次函数在y轴上的截距，即二次函数图象必过(0,c)点.

3.2(aWO)的特性：当2(aWO)中的0且0时二次函数为2(aWO);这个二次函数

是一个特殊的二次函数，有下列特性：

(1)图象关于y轴对称；(2)顶点(0,0)；(3)2(aWO)可以经过补0看做二次

函数的一般式，顶点式和双根式，即：2+oo,(oT+o,(o)(0).

4.二次函数2(aWO)的图象及几个重要点的公式:

5.

a>0<=>抛物线开口向上；a<0<=>抛物线开口向下;

c>0<=>抛物线从原点上方通过；0<=>抛物线从原点通过;

c<0<:>抛物线从原点下方通过;

a,b异号<=>对称轴在y轴的右侧；a,b同号<=>对称轴在y轴的左

侧;

0<=>对称轴是y轴;

A>0<=>抛物线及x轴有两个交点;

A=0<=>抛物线及x轴有一个交点（即相切）;

A<0<=>抛物线及x轴无交点.

6.求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式2,并把这

三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从

而求出解析式待定系数法.

8.二次函数的顶点式：（尸（aWO）；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标

（h,k）,对称轴方程和函数的最值y最值二k.

9.求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（Xoo）和图象上的另一点的坐

标，可设解析式为（X0）2+y。，再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.（注

意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）

10.二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象

的平行移动；（尸的图象平行移动时，改变的是h,k的值，a值不变，具体规律

如下：

k值增大<=>图象向上平移；k值减小<=>图象向下平移;

（）值增大〈二〉图象向左平移；（）值减小<二>图象向右平移.

11.二次函数的双根式：（即交点式）（JG）（aWO）；由双根式直接可得二次函

数图象及x轴的交点（xi,0）,（X2,0）.

12.求二次函数的解析式：已知二次函数图象及x轴的交点坐标（xi,0）,（x2,0）

和图象上的另一点的坐标，可设解析式为a（）（J,再代入另一点的坐标求a,

从而求出解析式.（注意：习题最后结果要求化为一般式）

13.二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点及对称轴，可利用图象的对

称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.

反比例函数

1.反比例函数的一般形式：y=K或y=kxT（kwO）;图象叫双曲线.

X

派2.关于反比例函数图象的性质：反比例函数।中自变量X不能取0,故函数图

象及y轴无交点；函数值y也不会是0,故图象及x轴也不相交.

3.反比例函数中K的符号及图象所在象限的关系:

k<0

二

图象过一三图象过二四

象限，图象象限，图象

下坡.上坡.

4.求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式：代入

这一点可求k值，从而求出解析式.

函数综合题

1.数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：

分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求

式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问

题及几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当

图象及图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分

类.

2.数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、

挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配

方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学

方法是十分必要的.

3.函数及方程的关系：正比例函数（kWO）、一次函数（kWO）都可以看作二元一

次方程，而二次函数2（aWO）可以看作二元二次方程，反比例函数y=Js（kxO）可

X

以看作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共

解.

4.二次函数及一元二次方程的关系：

（1）如二次函数之（aWO）中的△>（）时，图象及x轴相交，函数值0,此时，二

次函数转化为一元二次方程2。（aWO）,这个方程的两个根X1、X2是二次函数2

及X轴相交两点的横坐标，交点坐标为(X1,0)(x2,0)；

(2)当研究二次函数的图象及x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它

所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，△值，根系关系等

都可用于这个二次函数.

(3)如二次函数之(aWO)中的A>0时，图象及x轴相交于两点A(x1，0)(x2,0)

有重要关系式：J,21,若需要去掉绝对值符号，则必须据题意做进一步判断；同

样，图象及y轴交点C(0),也有关系式：.

5.二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程

组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的△值将决定原方程组解

的情况，即：

A>0<=>方程组有两个解；A=0<=>方程组有一个解；A<0<=>方程组无实

解.

初三数学应知应会的知识点(圆)

几何A级概念：(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)

1.垂径定理及推论：几何表达式举例：

如图：后五个兀素，“知一可推二”；需记过圆心

忆其中四个定理，V±

AE=BE

即“垂径定理”“也径定理”“弧径定理”

AC=BC

平分优弧

“中垂定理”./AAD=BD

(°))—过圆心

\E/-垂直于弦

平分弦

D173

几何表达式举例：

2.平行线夹弧定理：A/___\B

圆的两条平行弦所夹的弧相*.*AB//CD

・

..AC=BD

3.“角\弦'弧'距"定理：(同圆或等圆中)几何表达式举例：

“等角对等弦”；“等弦对等角“；云~、(1)VZZ

”等角对等弧”；“等弧对等角‘’0。)

•*•一_

“等弧对等弦”；“等弦对等(优，(2):=

“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.AZZ

4.圆周角定理及推论：几何表达式举例：

(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一(1)vzlz

2

*

半；••

(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角

的一半；(如图)(2)是直径

(3)“等弧对等角”“等角对等弧”；Z9O0

(4)“直径对直角”“直角对直径”；(如图)(3),?Z9O0

(5)如三角形边上的中线等于这边的一半，是直径

广珠这个法代直角三角形.(如图)(4)

AOB

A是A

CB

(1)(2)(3)(4)

5.圆内接四边形性质定理：几何表达式举例：

圆内接四边形的对角互补，并且任何一个•••是圆内接四边形

外z=z

角都等于它的内对角.ZZA=180°

6.切线的判定及性质定理：厂、几何表达式举例：

如图：有三个元素，“知一丸"幺个靠径

(1)二•是半径

需记忆其中四个定理.是切线V±

(1)经过半径的外端并且垂直于这条是切线

半径的直线是圆的切线；(2)二•是半径

(2)圆的切线垂直于经过切点的半径；\•是切线

X(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切

八占、、-，(3)

X(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆

心.

7.切线长定理：一几何表达式举例：

从圆外一点引圆的两条切•二、是切线

*

它们的切线长相等；圆心和这一••

点的连线平分两条切线的夹角.,过圆心

.,.Z=z

8.弦切角定理及其推论：几何表达式举例：

(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；(1);是切线，是

(2)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两弦

个弦切角也相等；(如图)AZ=Z

(3)弦切角的度数等于它所声的弧的度数的一cC

半.(如图)/•/EF=AB

(2)

•・•，是切线

Z=Z

BD

(1)(2)

9.相交弦定理及其推论：几何表达式举例：

(1)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线(1)•一

*

段长的乘积相等；••

(2)如果弦及直径垂直相交，那么弦的一半是(2)二•是直径

它分直径所成的两条线段长的比例中项.V±

D.----•••2.

(1)

(2)

10.切割线定理及其推论：几何表达式举例：

(1)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是(1)•.•是切线，

这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中是割线

项；•••2・

(2)从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每(2);、是割线

条割线及圆的交点的两条线段长的积相等.

(1)

(2)

11.关于两圆的性质定理：几何表达式举例：

(1)相父两圆的连心线垂直平分两圆的公共(1)•.•01,。2是圆

弦；心

(2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上..•.0102垂直

C3©

(2),.,©!>©2

相切

(1)***0i>A、O2

(2)三点一线

12.正多边形的有关计算：。公式举例：

(1)中心角明,半径，边心kA"

(1)为二”；

n

边长，内角国，边数n；八备(2)—幽

2n

(2)有关计算在△中进行.

几何B级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)

一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓

形、弓形高

三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、

圆周角、弦

切角、圆的切线、