中考数学难点突破与经典模型专练：轴对称综合题中的线段问题（学生版+解析）

专题29轴对称综合题中的线段问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在MAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到八旬'（7,使点C

落在48边上，连结88'，则cos/5'BC'的值为（）

2.如图，圆。与.QAB的边AB相切，切点为B.将"绕点3按顺时针方向旋转得到△OW8,使点。落

在圆。上，边A3交线段AO于点C.若4=15。，半径长为2,则CB的长度为（）.

3.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=6,将.ABC绕点C逆时针方向旋转得到△A'3'C,

若点A恰好在2C边上，则点2,与点B之间的距离为（）

4.如图，平行四边形ABC。中，AB=8,AD=6.ZA=60°,E是边上且AE=2OE,尸是边AB上的

一个动点，将线段石尸绕点E逆时针旋转60。，得到EG,连接BG、CG,则BG+CG的最小值是（）

A.2721B.25/14C.2sD.10

5.如图，四边形ABC。是菱形，AB=2yf3,且ZABC=ZAfiE=60。，G为对角线8。（不含B点）上任意

当AG+3G+CG取最小值时麻的长（）

D.2

6.如图，在ZABC中，AB=2,BC=3.6,/B=60。，将/ABC绕点A顺时针旋转度得到4AOE,当点8的对

应点。恰好落在BC边上时，则CD的长为（）

C.2D.2.6

7.如图，在ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4y/6,。为4ABe内一点，ZBAD=15°,AD=6,连接

BD,将△ABO绕点A按逆时针方向旋转，使A8与AC重合，点。的对应点为点E,连接。E,DE交AC

于点F,则CF的长为（）

A.2或B.26C.2A/3D.272

8.如图，在，ABC中，ZC<90°,ZB=30°,AB=10,AC=7,。为AC的中点，M为BC边上一动点,

将，ABC绕点A逆时针旋转角成。°<£4360。）得到“夕C，点〃的对应点为AT,连接OAT,在旋转过

程中，线段的长度的最小值是（）

B

C

A.1B.1.5C.2D.3

9.如图,等边△ABC的边长为6,点。在边AB上，BD=2,线段绕。顺时针旋转60。得到线段DE,连

接。E交AC于点R连接AE,下列结论：①四边形ADCE面积为96；②△AOE外接圆的半径为券;

③AF：FC=2：7；其中正确的是（）

10.如图，RtAlBC中，丫48=90。且。1=62,。为ZX/IBC外一点，连接AO,过。作DELD4交BC于

点E,尸为OE上一点且。尸=/M,连接BF,CD.将线段8绕点C逆时针旋转90。到线段CG,连接DG分

别交所、54于点A/、N,连接BG、CF.下列结论（）

①BM=FM：

②CG=贬DM：

③/BCG>NAND；

@CF+AD>—DG：

2

⑤若BG=2,BC=y/13,CF=布,则四边形ADPC面积为2+加.

其中正确的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题

11.如图，在ASC中，ZACS=90°,AC=1,BC=2.将..ABC绕BC的中点。旋转得二EFG,连接CE,

则CE的最大值为.

12.如图，在AASC中，NACB=90。，AC=1,CB=2,将AACB绕点C按逆时针方向旋转得到ADCE.连

接D4、BE,直线ZM、BE交于点、F,连接CT.

(1)D4与的等量关系是：—；

(2)在旋转过程中，线段C厂的最大值是—.

13.如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,E为BC上一点，且BE=1,尸为A3边上的一个动点，连接

EF,将所绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，连接FG和CG,则CG的最小值为

14.如图，在正方形ABCD中，AB=4,G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2,连接DE,

将线段OE绕点。逆时针旋转90。得到线段。尸，连接CP,则线段CP长的最小值为

三、解答题

15.在AABC与AEDC中，ZACB=ZECD=60°,ZABC=ZEDC,△EDC可以绕点C旋转，连接AE,

BD

⑴如图1

①若BC=3DC,直接写出线段BD与线段AE的数量关系；

②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；

(2)如图2,BC=AC=3,当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长

16.(1)如图1,在四边形ABC。中，/3=NC=90。，点E是边上一点，AB=EC,BE=CD,连接AE、

⑵如图2,在平面直角坐标系中，已知点人(。，1),点C是无轴上的动点，线段C4绕着点C按顺时针方向

旋转90。至线段CB,连接3。、BA,

①求B点的运动轨迹解析式

②30+区4的最小值是

17.如图1,在等腰三角形ABC中,ZA=«°,AB=AC,AD=AE,连接8E,点M、N、尸分别为

BE、BC的中点.

⑴当c=120时，

①观察猜想：图1中，点。、E分别在边A3、AC上，线段M0、NP的数量关系是,ZMNP

的大小为;

②探究证明：把AM见绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE,判断MNP的

形状，并说明理由；

(2)拓展延伸：当。=90时，AB=AC=10,AD=AE=6时，把△AOE绕点A在平面内自由旋转，如图3,

请求出MNP面积的最大值.

18.如图，正方形ABC。中，/MAN=45。，/M4N绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、OC(或它

们的延长线)于点M、N.

(D如图1,求证：MN=BM+DN；

(2)当AB=6,MV=5时，求△CW的面积;

(3)当/MAN绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、LW和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并

证明.

19.如图1,己知ASC是等边三角形，点E在线段A2上，点。在直线BC上，且ED=EC,将aBCE绕

点C顺时针旋转60。至△ACT,连接EF.

图1图2

（1）证明：AB=DB+AF.

（2）如图2,如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB,DB,AP之间又有怎样的数量关系？

请说明理由.

20.（1）特殊情景：如图（1）,在四边形ABCD中，AB=AD,以点A为顶点作一个角，角的两边分别交8C,

。于点E,F,且/EA尸=g/BAD,连接EF,若/54。=/=/。=90。，探究：线段DF,之间

的数量关系，并说明理由.

（2）类比猜想：类比特殊情景,在上述（1）条件下，把“44。=/3=/。=90。”改成一般情况“N3+/D=180。”,

如图（2）,小明猜想：线段BE,DF,跖之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你证明结论；若不成

立，请你写出成立时a的取值范围.

（3）解决问题：如图（3）,在ZX/IBC中，，54C=90。，AB=AC=4,点。，E均在边BC上，且/ZM£=45。，

若=计算OE的长度.

图⑴图（2）图⑶

21.在AABE和△CDE中，ZABE=ZDCE=^0°,AB=BE,CD=CE.

(1)连接AD、BC,点、M、N分别为A"3c的中点，连接MN,

①如图1,当AE、C三点在一条直线上时，MN与BC数量关系与位置关系是.

②如图2,当等腰RJCDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果

不成立，请说明理由.

(2)如图3,当等腰心CDE绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD,点、P、。分别为8£＞、AC的中点，连接PQ,

若A£=13,CD=5,则PQ的最大值是.

22.在R3A5C中，AC^BC,NACB=90。，点D在BC上方，连接CD将C£＞绕点。顺时针旋转90。到

图1图2

⑴如图1,点。在AC左侧且在点A上方，连接AE,CE,若/ACO=15。，AB=2五,CE=l+36,求

AE的长.

(2)如图2,点。在AC左侧且在点A上方，连接BE交C。于点M,F为BE上一点、,连接。R过点尸作

FG〃AC交延长线于点G,连接GM,EG,AD.若NEDF+/EBG=NDEB,GM=BM.求证：AD=EF.

⑶如图3,已知8C=3,CD=6,连接BE交。于点M,连接CE,将△CEM沿直线EM翻折至△ABC所

在平面内，得△CEM,当AM+CM最小时，求。到BC的距离.

23.如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C,其中/EQC=120。，AB=CE=2底,连接BE,

P为BE的中点，连接尸。、AD

Ag

B

图1图3

(1)为了研究线段AD与尸。的数量关系，将图1中的AEOC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合,

如图2,请直接写出AO与的数量关系;

(2)如图1,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

(3)如图3,若NAC£>=45。,求△的面积.

24.【问题提出】如图①，在一ABC中，若A8=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.

A

图③

【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E,使DE=AD,再连结跳(或将ACD绕着点

。逆时针旋转180。得到△EBJD),把42、AC,2AD集中在■中，利用三角形三边的关系即可判断.由

此得出中线AD的取值范围是

【应用】如图②，在ABC中，。为边BC的中点、己知AB=5,AC=3,AD=2.求BC的长.

【拓展】如图③，在，ABC中，ZA=90°,点。是边BC的中点，点E在边AB上，过点。作交边

AC于点E连结E尸.已知3E=10,CF=12,则斯的长为.

25.(1)如图1,在△O4B和△OC£)中，0A=0B,OC=OD,ZA0B=ZCOD=39°,连接AC,BD交于

点跖填空：箓的值为

,NAMB的度数为

(2)如图2,在△。48和△OCZ)中，ZAOB^ZCOD^90°,ZOBA^Z0DC^6Q°,连接AC交的延

长线于点标请判断W的值，并说明理由;

(3)在(2)的条件下，将40C。绕点。在平面内旋转，AC,8。所在直线交于点若OD=1,OB=网；

点。为8的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为

c

oc

图1图2备用图

26.已知/A8C=90。，BA=BC,在同一平面内将等腰直角△ABC绕顶点A逆时针旋转(旋转角小于180。)

得小ADE.

图⑴图⑵图(3)备用图

(1)若AE//B。如图(1),求旋转角乙BAD度数；

(2)当旋转角为60。时，延长即与BC交于点R如图(2).求证：AC平分NZM尸

⑶点尸是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15。到AG,如图(3)示例，设A8=BC=a,求CG长度

最小值(用含。式子表示)

专题29轴对称综合题中的线段问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在R/AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到

AAB'C,使点C落在AB边上，连结班"贝hos/BBC的值为（）

AC

-IB-?fD.手

【答案】C

【分析】在放AA8C中，由勾股定理可得48=5.根据旋转性质可得AC=AC=3,C'B'=CB

=4,C'B=2.利用勾股定理可求出班'，从而求出COS/&BC'.

【详解】解：在放△ABC中,

AB=JAC2+BC=5,

由旋转旋转性质可得AC'=AC=3,CB'=CB=4,

：.C'B=AB-AC'=2,

BB'=y]c'B'2+C'B2=2非

cosZB'BC'=—=-=J==—.

BB,2卡5

故答案为：C.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键.

2.如图，圆。与，OAB的边AB相切，切点为8.将.。LB绕点8按顺时针方向旋转得到

△OA8,使点。落在圆。上，边43交线段4?于点C.若NA'=15。，半径长为2,则CB

的长度为（）•

3

A.6B.2C.-D

2-相

【答案】B

【分析】根据旋转可得△300'为等边三角形，进而可求出再利用/A'=15。，可证

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明ABC。是等腰三角形.

【详解】解：如图，连接0。

由题意得：B0=00'=B0',

：./\B00'为等边三角形，

，Z0B0'=60o,

与。。相切于点3,

220=90。.

ZA'BO'=90°,

ZA'B0=ZA'B0'-Z0B0'=30°,

VZA1=15°,

ZA=15°

ZA<9B=90°-ZA=75°,

ZBCC^180o-ZA0B-ZA'B0=75°,

:.BC=BO=2.

故选：B.

【点睛】本题考查圆中切线的性质与旋转，熟练掌握圆与切线的性质与旋转的性质是解题关

键.

3.如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=6,将ABC绕点C逆时针方向旋

转得到△A'3'C,若点A恰好在BC边上，则点8,与点B之间的距离为（）

A.6GB.6A/6C.6A/2D.12

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理得NABC=30。，即可得AB=2AC=12,根据勾股定理可得

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BC=6y/3,根据旋转的性质得NACB=NA'CB'=90。，CB=CB',根据勾股定理即可得.

【详解】解：在Rt^ABC中，/ACB=90。，ZA=60°,AC=6,

则ZABC=180°-ZACB-ZA=180°-90°-60°=30°,

：.AB=2AC=12,

BC=A/AB2—AC2=\/122—62=6A，

•.二ABC绕点C逆时针方向旋转得到△AB'C,

ZACB=ZACB'=90°,CB=CB',

**-BB'=ylCB2+CB'2=7（6>/3）2+（6^）2=676,

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定

理和旋转的性质.

4.如图，平行四边形ABC。中，A5=8,AD=6.ZA=60°,E是边AD上且=2DE,

厂是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60。，得到EG,连接BG、CG,则

3G+CG的最小值是（）

A.2-721B.2714C.2币D.10

【答案】A

【分析】如图，取的中点N,连接EN,EC,GN,作EHLCO交CO的延长线于H.利

用全等三角形的性质证明/GNB=60。，点G的运动轨迹是射线NG,由“SAS”可证

△EGN=^BGN,可得GB=GE,推出GB+GC=GE+GCNEC,求出EC即可解决问题.

【详解】解：如图，取AB的中点N,连接EMEC,GN,作EHLCD交CO的延长线于〃，

•.•四边形A8CO是菱形,

：.AD=BD,

"：AE=2DE,

：.AE=4,DE=2,

:点N是AB的中点，

：.AN=NB=4,

：.AE=AN,

'：ZA=60°,

13/57

•••△AEN是等边三角形，

，NAEN=NFEG=6。。,

：./AEF=/NEG,

•；EA=EN,EF=EG,

：.AAEF=△NEG(SAS),

・•・/ENG=/A=60。,

：.ZANE=60°f

：.ZGNB=180o-60°-60o=60°,

・•・点G的运动轨迹是射线NG,

•；BN=EN,/BNG=/ENG=60。,NG=NG,

：./\EGN=^BGN(SAS),

:・GB=GE,

：.GB+GC=GE+GTEC,

在放△DEH中,

VZH=90°fDE=2,/EDH=60。,

：.DH=^DE=],£H=5

在R也ECH中，EC=YJEH2+CH2=43+81=2后，

：.GB+GC>2y/2i,

GB+GC的最小值为2向

故选：A.

【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想

思考问题，属于中考常考题型.

5.如图，四边形ABCD是菱形，AB=26,且/ABC=NABE=60。，G为对角线8。(不

含B点)上任意一点，将ABG绕点8逆时针旋转60。得到△£»尸，当AG+8G+CG取最

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【分析】根据“两点之间线段最短”，当瓦EG,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC

的长.

【详解】解：如图：

,/将AABG绕点B逆时针旋转60。得到AEBF,

：.BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

.•.489G是等边三角形，

：.BF=BG=FG,

：.AG+BG+CG=EF+FG+CG,根据“两点之间线段最短”，

...当E,EG,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，

过E点作交的延长线于H,如上图所示：

NEBH=60。,

"：BE=AB=2A/3,

:•BH=也,EH=3,

：.EC=2EH=6,

；NCBE=120°,

ZBEF=30°,

'：NEBF=NABG=3Q°,

：.EF=-CE=2,

3

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题,

正确的作出辅助线是解题的关键.

6.如图，在4ABC中，42=2,80=3.6,NB=60。，将△ABC绕点A顺时针旋转度得到』ADE,

当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则的长为（）

15/57

E

A.1.6B.1.8C.2D.2.6

【答案】A

【分析】由已知可以得到8。的长度，然后可得CD的长度.

【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB,

,.,ZB=60°,

是等边三角形，

：.BD=AB=2,

：.CD=BC-BD=36-2=16,

故选：A.

【点睛】本题考查旋转与等边三角形的综合应用，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定

和性质是解题关键.

7.如图，在ABC中，ZB4C=90°,AB=AC=446,。为，ABC内一点，NBAD=15。,

AD=6,连接B。，将△A&D绕点A按逆时针方向旋转，使A2与AC重合，点。的对应点

为点E,连接。E,交AC于点孔则CP的长为（）

A.2瓜B.2A/5C.273D.20

【答案】A

【分析】过点A作AGLQE于G,根据旋转的性质得/CAE=/BAD=15。，AE=AD=6,

ZDAE=ZBAC=9Q°,从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得NAM=45。，DE=6垃,

从而得出乙4尸3=/。4£+/4££）=15。+45。=60。，再因为AGLOE,根据等腰直角三角形的性

质得到/GAF=30。，AG=GE=；DE=3应,然后在RdAG尸中，由勾股定理，得

AF2=AG2+FG2=AG2+QAF^,从而求得AF=46，即可由CF=AC-AF求角电

【详解】解：如图，过点A作AGLDE于G,

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由旋转可得：ZCAE=ZBAD=15°,AE=AD=6,ZDAE=ZBAC=90°,

.•.△ADE是等腰直角三角形，

•••NA»45。，DE=,/AD2+AE2=762+62=672，

・•・ZAFG=ZCAE+ZAED=15°+45°=60°,

•；AGLDE,

:・DG=GE,ZGAF=30°,

/.AG=GE=—DE=3\/2,FG=—AF,

22

在RdAGP中，由勾股定理，得

AF2=AG2+FG2=AG2+Q，即人尸？=（3拒『+［：4尸），

解得：AF=2册,

/.CF=AC-AF=4^/6-2&=2n,

故选：A.

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定

理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形

的性质、勾股定理是解题的关键.

8.如图，在，ASC中，ZC<90°,ZB=30°,AB=10,AC=7,。为AC的中点，M为

BC边上一动点，将ABC绕点A逆时针旋转角。（。°<£4360。）得到△AB'C',点M的对应

点为连接OAT,在旋转过程中，线段Q0'的长度的最小值是（）

A.1B.1.5C.2D.3

【答案】B

【分析】如图：由题意知当旋转到AT点在AC的延长线上且AC与5〃C”垂直时，的

长度最小；旋转的性质可得*C"=30=10,再根据直角三角形的性质可求得AM",由中

点的定义可求得OA,最后OM"=AAT-AO计算即可.

【详解】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与5"C"垂直时，。〃"的长

度最小；

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..•将ABC绕点A逆时针旋转角4。°<04360。）

?.B"C"=BC=10

VAC±B"C",ZB=30°

/.AM"=-BC"=5

2

为AC的中点

,,.AO=—AC=3.5

2

OM'=AAr—AO=5—3.5=15.

故选B.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握30。所对的直角边是斜边的

一半.

9.如图，等边△ABC的边长为6,点。在边42上，BD=2,线段CD绕。顺时针旋转60。

得到线段。E,连接。E交AC于点死连接AE,下列结论：①四边形AOCE面积为9招；

②△ADE外接圆的半径为串；③AF：FC=2：7；其中正确的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

【答案】A

【分析】如图1,在8C上取一点使得BM=2,连接DM,分别过。、A作。"_LBGAMA.BC,

垂足为H、M,由AABC的边长为6的等边三角形，得/B=60。，AB=BC=AC=6,进而

证明ABCM的边长为2的等边三角形，△CDE的边长为2s■的等边三角形，再证明

AADE^ABCM,得至ljAE//BC,于是有S因边形ADCE=S梯形ABCE-S^BDC

=|X（2+6）X3A/3-|X6XA/3=95/3,由NZME=120。，DE=2币,得△的＞£外接圆的半径

为等,证明△ZMCS^CDP,判断③正确，从而得出结论.

【详解】解：如图1,在8C上取一点使得BM=2,连接分别过。、A作

DH1BC,AMLBC,垂足为反、M,

18/57

△ABC的边长为6的等边三角形，

^fi=60°,AB=BC=AC=6f

BD=2,BM=2,

・•.△BZW的边长为2的等边三角形，4)=6-2=4,

•.ZB=ZBDM=ZBMD=6。。,DM=BD=BM=2,

AG=ABsin60°=6x—=3^,DH=BDsinG。。=2义@=邪，=BDcos60°=2x^=1,

222

ZCMD=180°-60°=120°,CM=BC-BM=Q-2=A=AD,

・•.CH=BC-BH=6-L=5,

・•.CD=VCH2+DH2=)2+52=2币,

线段。绕。顺时针旋转60。得到线段DE,

「.△CD石的边长为2s■的等边三角形，

•.CD=DE=CE=2&,NCD石=60°，

ZADC=ZADE+ZCDE=ZADE+60°=NB+/BCM=60°+ZBCM,

ZADE=ZBCMf

AADE^ABCM,

A

ZDAE=ZCMD=120°fAE=DM=2,

ZZME+ZB=180°,

・•.AE//BC,

,*S四边形ADCE=S梯形ABCE-S^BDC

=1X(2+6)X3A/3-|X6XV3

=9后＞

因此①正确；

ZDAE=nO°,DE=2币,

・•.△ADE外接圆的直径为必乙=

sin6003

.•.△AAE外接圆的半径为岑，

因此②正确；

ZZMC=NCDF=60。，NDCF=ZAFD,

ADACsACDF,

19/57

,DCCFBn2"_CF

••---=---即---------f=

ACCD62g

CF=—,

.■.AF：FC=2:7,

因此③正确；

故应选A.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形

的性质及判定、图形的旋转以及圆等知识，构造辅助线证明三角形全等和三角形相似是解题

的关键.

10.如图，RtAlBC中，刈48=90。且。4=。3,。为△ABC外一点，连接AD,过。作

DELUA交BC于点、E,尸为DE上一点且连接8尸，CD.将线段8绕点C逆时

针旋转90。到线段CG,连接。G分别交8尸、出于点M、N,连接BG、CV.下列结论()

①BM=FM：

@CG=y/2DM：

③NBCG>NAND■

@CF+AD>—DG：

2

⑤若BG=2,BC=413,CF=45,则四边形皿P面积为2+痴.

【分析】先证明ABCG四△ACD(SAS),再证明-GMB(AAS),得到对应边相等,

对应角相等，依次得出①正确和③错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出②正

确，由三角形的三边关系，可以得出④正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可

20/57

判定⑤正确.

【详解】如图，连接他,

VZACB=90°,根据旋转有：ZGCD=90°,CG=CD,

：.N7=ZGCD-/BCD=ZACB-/BCD=Z5,

又；CA=CB,CD=CG,

：.△BCGg^ACD(SAS),

BG=AD,/2=/C4D,

BG=AD=DF,

'：DE±DA,

：.ZADE=90°,

.•.在四边形ACED中,ACAD+ZC£D=360°-NACB-4ADE=180°,

ZCAD=Z1,

/.Nl=/2,

Z3=Zl+Z4=Z2+Z4=ZGBAf,

又,：NDMF=/GMB,BG=DF,

：..DMF^GMB(AAS),

：.GM^DM=-DG,BM=FM,故①正确；

2

在RtADCG中，CD2+CG2=DG2,CG=CD,

：.2CG2=(2Z)M)2,CD=^-DG,

**-CG=yf2DM，故②正确；

'/AD=DF,

•*.CF+AD=CF+DF>CD,即CF+A£>>立DG,故④正确；

2

在等腰RtAABC和等腰RtAC£)G中，/CAN=/CDN&5。,Z8=ZNDC+Z6,

Z8^ZNAC+Z5,

：./5=N6,

AZ7=Z6,故③错误；

21/57

若BG=2,BC=713,CF=非,

：.BG=AD=DF=2,

AF2=AD2+DF-=8,BPAF=2A/2，

AF2+CF-=13=BC2=AC2,

，.AFC是直角三角形，AF1CF,

+

,•S四边形SAAFC=-x2x2+-xA/5x25/2=2+\/10,故⑤正确；

即正确的有4个，

故选：C.

【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形

等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化,

能构造直角三角形进行求解等.

二、填空题

11.如图，在ABC中，ZACB=90°,AC=1,3c=2.将，ABC绕2C的中点。旋转得.EFG,

连接CE,则CE的最大值为.

【答案】V2+l##l+V2

【分析】如图所示，在旋转的过程中，点A的对应点E始终在以点。为圆心，D4为半径的

圆上；延长交。。于点类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大

值，为此求出CM的长即可.

【详解】解：如图所示，连接D4,以点。为圆心，D4为半径画圆，

在旋转的过程中，点A的对应点E始终在。。上，延长交。。于点类比于“直径是

圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值.

•.,。是的中点，

CD=-CB=-x2=l,

22

在RfACD中，

22/57

DA2=AC2+CD2,

DA=YIAC2+CD2=7I2+I2=V2,

:.DM=DA=应,

CM=CD+DM=l+yf2,

•'-CE的最大值是V2+1.

故答案为：V2+1.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、圆的性质、勾股定理、求线段的最值等知识点，熟练

掌握旋转和圆的有关性质是解题的关键.

12.如图，在AASC中，NACB=90。，AC=1,CB=2,将AACB绕点C按逆时针方向旋

转得到ADCE.连接ZM、BE,直线ZM、BE交于点F,连接CP.

（1）加与座的等量关系是：—；

（2）在旋转过程中，线段C/的最大值是—.

【答案】EB=2DAx/5

DAACI

【分析】(l)由旋转可知：ADCEsAACB,可证ADCASAECB,即得一=——=-，EB=2DA；

EBCB2

(2)取A5的中点H,连接C”，FH,设石C,。方交于点G,由(1)知ADCASAECB,

得NCDG=NGEF,可得NGCD=NGFE=90。=ZAFB=ZACB,由H是A5的中点，有

FH=^AB=|VAC2+BC2=IV5=CH,故当C,H,/共线时，CF最大为FH+CH=布.

【详解】解：(1)EB=2DA,理由如下：

由旋转可知：ADCE=AACB,

:.ZDCE=ZACB,DC=AC,CE=CB,

DCAC

:.ZDCA=ZBCE,——=——,

CECB

:.\DCA^\ECB,

•_A。_i

一商一百一5'

.,.EB=2,DA；

故答案为：EB=2DA；

(2)取42的中点连接CH,FH,设EC,。尸交于点G,如图：

由(1)知ADCASAECB,

.-.ZCDG=ZGEF,

ZCGD=ZEGF,

23/57

:.ZGCD=ZGFE=90°=ZAFB=ZACB,

7/是AB的中点，

FH=-AB=--JAC2+BC2=-Vl2+22=-y[s=CH,

2222

CH+FH..CF,

，当C,H,尸共线时，CF最大为FH+CH=布,

故答案为：Vs.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是

掌握旋转的性质.

13.如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,E为上一点，且BE=1,尸为A2边上的

一个动点，连接石尸，将E尸绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，连接FG和CG,贝iJCG的

最小值为.

AD

【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接OE交CG于J.首先

证明NE7G=90。，推出点G的在射线7U上运动，推出当CGLTG时，CG的值最小.

【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45。得到线段£7,连接DE交CG于J.

•••四边形A3CD是矩形，

/.AB=CD=3,NB=/BCD=9Q°,

,/ZBET=ZFEG=45°,

：.ZBEF=ZTEG,

VEB=ET,EF=EG,

二EBF丝ATEG(SAS),

二NB=NETG=90°,

.•.点G的在射线7U上运动，

当CGJ_TG时，CG的值最小，

24/57

VBC=A,BE=1,CD=3,

:・CE=CD=3,DE=372，

・•・ZCED=ZBET=45°f

：.ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

・•・四边形是矩形，

DE//GT,GJ=TE=BE=1,

：.CJVDE,

:・JE=JD,

・•・CG=C7+GJ=1+^—,

2

，CG的最小值为：1+述.

2

【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

14.如图，在正方形ABCD中，AB=4,G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2,

连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得到线段。尸，连接C/,则线段C/长的最小

值为_.

【答案】2>/5-2##-2+2^/5

【分析】连接。G,将。G绕点。逆时针旋转90。得DM,连接MG,CM,MF,作MHLCD

于H,利用&4s证明AEDG=ADFM,得MF=EG=2,再说明ADGC=ADM/(A4S),得

CG=DH=2,MH=CD=4,求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案.

【详解】解：连接QG,将OG绕点。逆时针旋转90。得ZMf,连接MG,CM,MF,

作MH_LC£>于H,

25/57

ZEDF=ZGDM,

.-.ZEDG=ZFDM,

DE=DF,DG=DM,

:.AEDGHAFDM(SAS),

:.MF=EG=2,

Z.GDC=ZDMH,ZDCG=ZDHM,DG=DM,

\DGC=ADAfff(A4S),

:.CG=DH=2,MH=CD=4,

.-.CM=A/42+22=2>/5>

CF..CM-MF,

：.CF的最小值为2方-2,

故答案为：2百-2.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理,

三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

三、解答题

15.在AABC与AEOC中，ZACB=ZECD=60°,ZABC=ZEDC,△££)(7可以绕点C旋

转，连接AE,BD

图1图2

⑴如图1

①若BC=3DC,直接写出线段BD与线段AE的数量关系;

②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；

26/57

(2)如图2,BC=AC=3,当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长

【答案】(1)①②直线与AE所夹锐角为60。

(2)DE=^3

［分析］(1)①通过△ABC^AEDC证明△AECsABDC即可，②延长AE与8。交于点F,

通过(1)中的相似即可得出结果.

(2)连接AO,AE,通过(1)中的相似可以证明四边形A0CE为菱形，进而得出结论.

(1)

解：①5Z)=3AE

•・•在△ABC和△EOC中

ZACB=NECD

ZABC=NEDC

△ABC^AEDC

BCAC

工ZDCE=ZBCA

f~DC~~EC

：.ZDCE-ZBCE=ZACB-ZBCE

BCDC

ZBCD=ZACE.

~\C~~EC

在^AEC和^BDC中

/BCD=/AC

<BCDC

、AC-EC

AAECsABDC

BC_BD

AE

：.BD=3AE

②夹角为60。

如图，延长AE与交于点尸

ZACB=60°

.'.ZCBA+ZG4B=120°

由(1)中△AECs/seoc

27/57

可得NEAC=/DBC

：.ZDBC+ZCBA+ZBAE=120°

.•.在△AFB中乙M%=60。

/.直线BD与AE所夹锐角为60°

(2)

解：如图，连接AO,AE,'：ZACB=6Q°,BC=AC,

：.^ABC是等边三角形

由(1)可得△ABCS/XEDC

.,.△DEC为等边三角形,

：.DC=EC

,/四边形ADCE是平行四边形

平行四边形ADCE是菱形

VAC为菱形ADCE对角线

；•DE=—AC

3

：.DE=6

【点睛】本题主要考查旋转的性质，涉及三角形相似的证明，菱形的证明，能够熟练证明相

似是解题关键.

16.(1)如图1,在四边形ABCD中，/B=/C=90。，点E是边上一点，AB=EC,BE=CD,

(2)如图2,在平面直角坐标系中，已知点人(。，1),点C是x轴上的动点，线段C4绕着点

C按顺时针方向旋转90。至线段CB,连接3。、BA,

28/57

①求8点的运动轨迹解析式

②30+痴的最小值是.

【答案】（1）见详解

（2）①y=x-l；②赤

【分析】（1）根据已知条件证得ECD,即可证得△AED为等腰直角三角形；

（2）①根据（1）可知.AOCMCD3,设2点坐标为（x，y）,C点坐标为（仅0）,可得了=加+1,

y=m,即点2的运动轨迹解析式为：y=x-l；

②作点。关于直线y=xT的对称点。I，连接A。，交直线y=x-l与点与，此时A、。1、B,

三点共线时，30+BA值最小，求得。I坐标为（1,-1）,根据勾股定理即可求得最小值.

【详解】（1）△血）为等腰直角三角形，理由如下，

在AWE与“ECO中，

AB=EC

•：（ZB=ZC,

BE=CD

ABE=..ECD（SAS）,

：.AE=DE,NBAE=NCED,

•/XBAE+ZBEA=9Q°,

NBEA+NCED痂。,

NAED=90。,

为等腰直角三角形；

（2）①作3£）J_x轴于点。，如图所示，

由（1）得，AOC三CDB,

：.AO=CD=1,CO=BD,

设8点坐标为（x,y）,C点坐标为（机,0）,

：.x=m+\,y=m,

y=x-l,

・••点B的运动轨迹解析式为：y=x-l；

②如图所示，作点。关于直线产x-1的对称点。l，连接AO］，交直线＞