重难点突破：导数中的同构问题（六大题型）原卷版

重难点突破11导数中的同构问题

目录

题型一：不等式同构

题型二：同构变形

题型三：零点同构

导数中的同构问题

题型四：利用同构解决不等式恒成立

问题

题型五：利用同构求最值

题型六：利用同构证明不等式

方法技巧总结

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2、同构式的应用:

(1)在方程中的应用：如果方程/S)=0和/仅)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程/(X)=0的

两个根

(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进

而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.〈同构小套路＞

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：f(x)=x-ex,/(x)=e，土x；寻找“亲戚函数”是关键;

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③信手拈来凑同构，凑常数、X、参数；④复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围.

(3)在解析几何中的应用：如果%),8(x2,%)满足的方程为同构式，则48为方程所表示曲

线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线48的方程

(4)在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(％,〃)与1)的同构

式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：ex>x+l(x=O);ex>ex(x=-L)

1X

4、常见的对数放缩：1——<Inx<x-l(x=1);Inx<—(x=e)

xe

5、常见三角函数的放缩：x€^0,ysinx<x<tanx

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：

(1)当Q>0且QWl,X>0时，有

(2)当。〉0且awl时，有logaQ*=x

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论(其中x〉0)

(3)xex=ex+bl%;x+lnx=ln(xexj

XX

(4)—=exb,]C:x-lnx=ln—

xx

(5)x2ex=ex+21nx;x+21nx=In(x2ex)

XX

ex-2\nxex—21nx

(6)—4二Je，—r

Y

再结合常用的切线不等式而lnx«—,e'2x+l,e"2ex等，可以得到更多的结论，这里仅以

e

第(3)条为例进行引申：

(7)xex=ex+]nx>x+lnx+1.x+lnx=]n(xex]<xex-1

(8)xe'=e*2e(x+lnx)；x+inx=in(Mk?3

7、同构式问题中通常构造亲戚函数xe*与xlnx,常见模型有:

Inx—

xhlalnxe

①>logax=>>-----xlna-e>xlnx=Inx-e=>xln«>lnx=>6z>e；

■Inq

AxXxAxlnx

②e>zz>Xe>InxnAx-e>xInx=>Zx->Inx-e=>Ax>Inx=>2>—；

Ze

③e"+ax>In(x+1)+x+1=*"+0+In(x+1)=>ax>\n(x+1

8、乘法同构、加法同构

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(1)乘法同构，即乘x同构，如lna-e""">lnxoxlna-e'1n"Alnx-e111*；

(2)加法同构，即加尤同构，如a*>log”x<=>a*+x>log。x+x=0'呜”+log。x,

(3)两种构法的区别：

①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数xe，与xlnx易实现，但构造的函数xe，与xlnx均不是单调函

②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范

必考题型归纳

题型一：不等式同构

例1,(2023,四川达州二校考阶段练习)已知Q,b,ce(―,+oo],且---=—51n。,---=—31nb,-----=—2Inc,

Jabc

贝U()

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

例2,（2023,湖北黄石二校考期中）已知£（l,+8）.且21na—1=----,b2—2lnb—1=—,

2e

7—.<In7Tp-,./、

c-21nc-l=——,则（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.a>b>cD.c>a>b

例3,（2023•陕西榆林•高二校考期末）已知a,b,cG（0,1）,且〃一5=lno-ln5,Z?-4=lnZ?-ln4,

c-3=lnc-ln3,贝!Jq,b,c的大小关系是（）

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

Q

变式1.(2023・河南•高二校联考期中)已知a=0.51n2,Z>=0.4(ln5-ln2),c=-(ln3-ln2),则。，b,c

的大小顺序是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

变式2.(2023•全国•高三专题练习)已知0<x<y<n,且eysinx=e'siny,其中e为自然对数的底数，则

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下列选项中一定成立的是()

A.cosx+cosj；<0B.COSX+COS.V>0

C.cosx>sinD.sinx>siny

变式3.(2023•江西赣州•高二江西省信丰中学校考阶段练习)己知函数/(刈的导数/'(X)满足

〃乃+(》+1)/'(》)>0对》《尺恒成立，且实数x,y满足(x+l)/(x)-(y+l)〃y)>0,则下列关系式恒成

立的是()

11XV.

A.二~7<F—;B.ex<eyC.—<—D.x-y>sinx-smy

x+1y+1exey

题型二：同构变形

例4.(2023・全国•高三专题练习)对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.

(l)log2尤一h2"20；

(2)ew--lnV^>0；

A

m

⑶-1nx_加尸>0；

(4)a(产+1)22+口3nx；

(5)tzln(x-1)+2(x-l)>tzx+2e%；

(6)x+«lnx+e-x>(x>1)；

⑺葭-2x-lnx=0;

(8)x2ex+lux=0.

题型三：零点同构

(x-1)5+2x+sin(x-l)=3

例5.(2023,全国偏二专题练习)设满足I5，则x+y=()

(y-l)+2j+sin(j/-l)=1

A.0B.2C.4D.6

例6.(2023•全国•高二专题练习)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构

式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于。的方程四“-2=。4和关于6的方程

6(ln6-2)=e3/T(a,6eR*)可化为同构方程，则彷的值为()

A.e8B.eC.In6D.1

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例7.(2023•安徽池州•高三池州市第一中学校考阶段练习)已知函数/'口)=昔和8(尤)=皆有相同的最大

值6.

⑴求。,6；

(2)证明：存在直线＞="?,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个

交点的横坐标成等比数列.

变式4.(2023・安徽安庆・高三校联考阶段练习)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个

式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于。的方程ae"=e6和关

于6的方程6(lnb-2)=e32-1(a,beR)可化为同构方程.

(1)求的值；

(2)已知函数〃x)=x(lnx+9).若斜率为左的直线与曲线y=/(x)相交于8(%,%)(匹＜3)两

点，求证：.王

变式5.(2023・上海浦东新•高一上海南汇中学校考期末)设函数/(x)的定义域为。，若函数1(X)满足条

件：存在使/(x)在［a,可上的值域为［加见加可(其中加e(0,1］),则称/(x)为区间［a,用上的“加倍

缩函数

⑴证明：函数/(x)=d为区间-g：上的倍缩函数”；

(2)若存在［。泊仁R,使函数“X)=log2(2'+。为［a,6］上的《倍缩函数”，求实数，的取值范围；

(3)给定常数上＞0,以及关于x的函数〃x)=1-：，是否存在实数a/(a＜6),使/'(x)为区间用上的“1

倍缩函数”.若存在，请求出6的值；若不存在，请说明理由.

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变式6.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=ln(尤+l)-x+l.

⑴求函数〃x)的单调区间；

⑵设函数g(无)=ae"x+lna,若函数尸(尤)=/(x)-g⑺有两个零点，求实数a的取值范围.

变式7.(2023•全国・统考高考真题)已知函数/(x)=e*-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线尸和尸g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

变式8.(2023・全国•高三专题练习)己知函数/(无)=«x(l-lnx)和g(x)="有相同的最大值，并且仍=e.

(1)求。/；

⑵证明：存在直线y=3其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，且从左到右的三个交

点的横坐标成等比数列.

变式9.(2023•江苏常州•高三统考阶段练习)已知函数/'卜)=三和g(x)=Hi竺)有相同的最大值.

ex

(1)求实数机的值；

(2)证明：存在直线”"，其与两曲线了=/(力和V=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点

的横坐标成等比数列.

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题

例8.(2023・全国•高三专题练习)完成下列各问

(1)已知函数〃x)=xe-a(x+lnx),若f(x)N0恒成立，则实数a的取值范围是

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(2)已知函数”x)=*-a(x+lnx+l),若/(x"0恒成立，则正数°的取值范围是；

(3)已知函数/(同=.*+6-。(》+&+1),若恒成立，则正数a的取值范围是；

(4)已知不等式xe*-a(x+l"hu对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是；

(5)已知函数/(x)=fe*-Hnx-x-l(x>l),其中6>0,若/'(x"O恒成立，则实数a与6的大小关系

是;

(6)已知函数/(x)=ae=lnx-l,若/⑴之。恒成立，则实数a的取值范围是；

(7)已知函数/(x)=ae2-ln2x-l,若恒成立，则实数a的取值范围是；

(8)已知不等式e*-12foc+lnx,对Vxe(0,+oo)恒成立，则左的最大值为_______；

(9)若不等式公+我5-11«:-：120对》>0恒成立，则实数a的取值范围是；

例9.(2023•全国•高三专题练习)已知/(x)=x2°23.设实数〃7>o,若对任意的正实数x,不等式

/卜蛆)2恒成立，则冽的最小值为.

例10.(2023・四川泸州・泸州老窖天府中学校考模拟预测)己知不等式x+加lnx+5次对xe(l,+叫恒成

立，则实数机的最小值为.

变式10.设实数2>0,若对任意的xe(0,+oo),不等式i工-也…0恒成立，则2的最小值为()

A

变式11,设实数。>0,若对任意的+oo),不等式一/历X”0恒成立，则a的最大值为()

12e

A.-B.-C.-D.e

eel

变式12.(2023•全国・高三专题练习)已知函数/(x^xInN+ae*,g(x)^-x2+x,当xe(0,+oo)时,

/(x"g(x)恒成立，则实数。的取值范围是()

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11

A.—,+°0B.-,+ooC.[1,+<»)D.[e,+co)

e

变式13.(2023•云南.校联考模拟预测)已知函数/'(x)=ln(x+2)-x+2,g(x)=aex-x+lna.

⑴求函数/(x)的极值；

(2)请在下列①②中选择一个作答(注意：若选两个分别作答则按选①给分).

①若/(x)Vg(x)恒成立，求实数。的取值范围；

②若关于x的方程〃x)=g(x)有两个实根，求实数。的取值范围.

题型五：利用同构求最值

例11.(2023・全国•高二专题练习)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成x=ine',x=e"(x>0)

的变形技巧.已知函数/(x)=x-e，，g(x)=--,若/(xJ=g(X2)=f>0,则27的最大值为()

X

A.fB.-C.1D.e

ee

例12.(2023•全国•高二期末)已知函数7'0)=》+111(》-1)苕。:)=511》，若/(xj=l+21n/,g(x2)=/，则

(匹/-%)111「的最小值为()

1112

A.—B.---C.=D.-

e2ee2e

例13.(2023•江西•临川一中校联考模拟预测)已知函数〃x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若〃xjul+21nf,

g(X2)=「，则”科2-工2,Inf的最小值为()

1112

A.—rB.—C.---D.一

e2e2ee

变式14.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/'(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx，若/(xj=1+21nl,g(尤?)=/，

则———的最大值为()

xxx2—x2

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变式15.(2023・全国•高三专题练习)已知大于1的正数“，6满足印<(与‘，则正整数〃的最大值为()

ea

A.7B.8C.5D.11

变式16.(2023•安徽淮南・统考一模)已知两个实数M、N满足Wx/-lnx-尤-1,N4仁+lnx-尤在