中考数学二轮复习拓展训练：几何模型问题之主从联动瓜豆原理（原卷版+解析）

专题38几何模型问题之主从联动瓜豆原理（原卷版）

典例剖析+针对训练

类型一点在直线上运动

典例1（2022•利州区模拟）如图，正方形的边长为4,E为BC上一点、,且BE=1,尸为AB边上的

一个动点，连接ER以所为边向右侧作等边连接CG,则CG的最小值为（）

A.0.5B.2.5C.V2D.1

针对训练

1.（2021秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，AB^AC,BC=6,tanZACB=2V3,点P在边AC上运动（可

与点A,C重合），将线段8尸绕点P逆时针旋转120°,得到线段。P,连接8。，CD,则CO长的最小

值为—.

2.（2021秋•忠县期末）如图，在△4BC中，ZACB=90°，点。在8c边上，BC=5,CD=2,点E是边

AC所在直线上的一动点，连接OE,将绕点。顺时针方向旋转60°得到。凡连接8E则3尸的最

小值为.

3.（2021秋•东台市期中）如图，在矩形A8CZ）中，对角线AC,8。相交于点0,AB=6,ND4c=60°,

点F在线段AO上从点A至点O运动，连接。凡以。尸为边作等边三角形。尸E,点E和点A分别位于

。尸两侧，则点E运动的路程长是—.

类型二点在圆上运动

典例2（2022•桐梓县模拟）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点。为坐标原点，O。的半径为1,点A（2,0）.动点&在O。上，连接A8,作等边△ABC

（A,B,C为顺时针顺序），求OC的最大值

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接。3,以08为边在

的左侧作等边三角形BOE,连接AE.

（1）请你找出图中与0C相等的线段，并说明理由；

（2）线段OC的最大值为.

【灵活运用】

（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,点8的坐标为（5,0）,点P为线段48外

一动点，且B4=2,PM=PB,90°,求线段AM长的最大值及此时点尸的坐标.

【迁移拓展】

（4）如图③，BC=4/,点。是以BC为直径的半圆上不同于8、C的一个动点，以8。为边作等边△

ABD,请直接写出AC的最值.

针对训练

1.（2022秋•天宁区校级期中）已知。。的半径长7CMJ,尸为线段OA的中点，若点P在O。上，则。1的

长是cm.

2.（2021秋•嘉兴期末）如图，的直径A8=2,C为。。上动点，连结C8,将C8绕点C逆时针旋转

90°得到CD,连结OD,则OD的最大值为.

3.（2021秋•秦淮区校级期中）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=16,8C=12,点P在以AB为

直径的半圆上运动，由点B运动到点A,连接CP,点M是C尸的中点，则点M经过的路径长为.

4.（2018•江汉区模拟）如图，线段A8为。O的直径，点C在的延长线上，A8=4,BC=2,点P是

上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtZ\PC。，且使NZ）CP=60°,连接。£>,则。。长

5.（2021秋•岳麓区校级月考）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A、C

两点，抛物线y=/+/zx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为艮

（1）求抛物线解析式；

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△A2M的面积等于△ABC面积的

3

求此时点M的坐标；

(3)如图2,以8为圆心，2为半径的与x轴交于E、尸两点(尸在E右侧)，若P点是上一动

点，连接B4,以孙为腰作等腰RtARW,使NP4O=90°(P、A、。三点为逆时针顺序)，连接FD求

如长度的取值范围.

图1图2

第二部分专题提优训练

1.（2022•安徽一模）如图，正方形4BC。的边长为5,E为BC上一点,,且8E=2,尸为AB边上的一个动

点，连接EF,以为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

2.（2021•泰安）如图，在矩形ABC。中，AB=5,8C=5百，点P在线段8c上运动（含3、C两点），连

接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到A。，连接。°,则线段。。的最小值为（）

D

BP

5厂5<3

A.-B.5V2C.-----D.3

23

3.(2022秋•惠山区校级月考)如图，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),点P是△ABC边上一动点,

连接OP,以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OP。，当点尸在△ABC边且运动一周时，点。的

轨迹形成的封闭图形面积为（）

4.（2021秋•沐阳县校级期末）如图，线段AB=2,点C为平面上一动点，且NACB=90°,将线段AC的

中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段A。，连接8Q,则线段8Q的最大值为.

5.（2022•邢江区校级一模）如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AN，无轴于点M,交直线尸-争

于点M点尸是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,点尸在线段ON上运动时，A点不变，

B点随之运动，当点P从点O运动到点N时，点8运动的路径长是.

6.（2020春•江阴市期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点尸是以。为圆心，2个单位长

为半径的圆上的一个动点，连接AP,以AP为边向A尸右侧作等边三角形4PB.当点尸在。。上运动一

周时，点8运动的路径长是.

7.（2019秋•鼓楼区期中）如图，O。的半径为2,。到定点A的距离为5,点2在上，点尸是线段

的中点，若2在O。上运动一周.

（1）点P的运动路径是一个圆；

（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围.

（1）思路引导

要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到

定点M的距离等于定长r,由图中的定点、定长

可以发现r.

8.若AC=4,以点C为圆心，2为半径作圆，点尸为该圆上的动点，连接AP.

(1)如图1,取点8,使△ABC为等腰直角三角形，N8AC=90°,将点尸绕点A顺时针旋转90°得到

AP'.

①点P'的轨迹是(填“线段”或者“圆”

②CP的最小值是；

(2)如图2,以AP为边作等边△APQ(点A、P、。按照顺时针方向排列)，在点尸运动过程中，求C。

的最大值.

(3)如图3,将点A绕点P逆时针旋转90°,得到点连接则CM的最小值为.

9.已知：如图，是。。的直径，C是。。上一点，OOLAC于点。，过点C作。。的切线，交。。的延

长线于点E,连接AE.

(1)求证：AE与OO相切；

(2)连接BZ),若ED：。。=3：1,04=9,求AE的长；

(3)若AB=10,AC=8,点尸是O。任意一点，点M是弦AF的中点，当点P在O。上运动一周，则

点/运动的路径长为

10.(2021•遵义)点A是半径为2百的。。上一动点，点8是(DO外一定点，08=6.连接。A,AB.

(1)【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC,求OC的最大值；

将下列解答过程补充完整.

解：将线段绕点8顺时针旋转60°到。B,连接。O',CO'.

由旋转的性质知：ZOBO'=60°,BO'=BO=6,即△02。'是等边三角形.

AOO'=30=6

又「△ABC是等边三角形

/.ZABC=60°,AB=BC

：.ZOBO'=NABC=60°

：.ZOBA^ZO'BC

在△OBA和△O'BC中，

OB=O'B

^OBA=乙O'BC

.AB=CB

AOBA2△()'BC(SAS)

：.OA=O'C

在△OO'C中，OC<OO'+O'c

当0,O',C三点共线，且点C在。O'的延长线上时，OC=OO'+O'c

即oc^oo'+o'c

...当。，O',C三点共线，且点C在。。'的延长线上时，OC取最大值，最大值是_6+2旧_.

(2)【类比探究】如图②，当四边形ABC。是正方形时，连接OC,求OC的最小值；

(3)【理解运用】如图③，当△ABC是以A8为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC,求OC的

最小值，并直接写出此时AABC的周长.

专题38几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）

典例剖析+针对训练

类型一点在直线上运动

典例1（2022•利州区模拟）如图，正方形A8CD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,

P为4B边上的一个动点，连接EF,以为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG

的最小值为（）

A.0.5B.2.5C.V2D.1

思路引领：由题意分析可知，点厂为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造

全等关系，得到点G的运动轨迹,之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

解：由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点厂在线段上运动，点G也一定在线

段轨迹上运动

将绕点E旋转60°,使EF与EG重合，得到△£/〃?，连接得到△£■尸8之4

EHG

从而可知为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，

延长交CO于点N.

则AEFB经△EHG,

：.HE=BE=1,/BEH=60°,ZGHE=ZFBE=90°,

AEBH为等边三角形.

•••四边形ABC。是矩形，

AZFBE=90°,

：.ZGHE=ZFBE=90°,

.,.点G在垂直于HE的直线HN上，

作CM_L8N,由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，

作EP_LCAf,连接BH,EH,

则四边形为矩形，

：.MP=HE=1,ZH£P=90°,

：.ZPEC=30°.

,:EC=BC-BE=3,

13

JCP=尹c=I，

35

CM=MP+CP=1+1=I，

即CG的最小值为|.

8/41

方法二：以CE为边作等边三角形CE8,连接切,

则Z\CEG注△EFH,

：.CG=FH,

当FHLW时，m最小=1+1=|.

故选：B.

总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构

造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形

计算，是极值问题中比较典型的类型.

针对训练

1.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△A8C中，AB^AC,2C=6,tan/ACB=2旧，点

尸在边AC上运动（可与点A,C重合），将线段B尸绕点P逆时针旋转120。，得到线段

DP,连接8。，CD,则CD长的最小值为.

BC

思路引领：以BC为边构建出和△2PD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求

值.

解：如图所示，以8c为底边向上作等腰△BQC,使/BQC=120°,连接尸。.

9/41

D

BC

由题意可得△BQC和△BP。均为顶角为120°的等腰三角形,

BP1

可得一=—=7，ZQBC=ZPBD=30°，

BCBDV3

ZQBC-ZQBD=ZPBD-ZQBD,

:./PBQ=NDBC,

:APBQS/XDBC,

,PQBQ1

""DC-BC-VT

...当PQJ_AC时，有尸。最小，即此时C£>最小,

如图所示，设OP±AC,延长4。与BC交K,此时QP为QP的最小值,

可得AKLBC,

•.•△BQC中，ZBQC=nO°,BC=6,

：.BK=3,NQBK=30°,

叵

­•-QCNK=瓦BK=V3,

"：tanZACB=2百=差，KC=3,

：.AK=243KC=6V3,

J.AQ^AK-QK=5V3,AC=>JAK2+KC2=3V13,

VZAP'Q=ZAKC=90°,ZQAP'=ZCAK,

：.△AQPs.CK,

.AQQPr

••一，

ACKC

5V3QP1

-3^13—3

.Qp;警,

10/41

CD=y[3QP'=

总结提升：本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，

属于难题.

2.（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，ZACB=90°，点。在8c边上，BC=5,CD

=2,点E是边AC所在直线上的一动点，连接。E,将。E绕点。顺时针方向旋转60°

得到DF,连接BF,则BF的最小值为_.

思路引领：由“SAS”可证ADHE丝ADBF,可得EH=BF,则当EH有最小值时，BF

有最小值，由垂线段最短可得：当EHLAC时，即有最小值，即可求解.

解：如图，以8。为边作等边三角形。8"，连接EH,过点〃作于N,

CDNB

'：BC=5,CD=2,

，8。=3,

:ADHB是等边三角形,HN1BD,

：.DN=BN=DB=DH,/HDB=60°,

7

CN=%

•・,将。石绕点。顺时针方向旋转60°得到。R

：.DE=DF,ZEDF=60°,

:./EDF=/HDB,

，/EDH=/FDB,

在和△08月中，

11/41

DE=DF

乙EDH=乙FDB,

.DH=DB

：./\DHE^/\DBF(SAS),

：.EH=BF,

...当EH有最小值时，2尸有最小值，

由垂线段最短可得：当E//LAC时，E8有最小值，

此时，'：EH±AC,/AC2=90°,HNLDB,

四边形CAWE是矩形，

7

:.HE=CN=g

7

故答案为：--

2

总结提升：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知

识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

3.(2021秋•东台市期中)如图，在矩形A8CD中，对角线AC,8。相交于点O,AB=6,

NZMC=60°,点尸在线段A。上从点A至点。运动，连接。F,以。尸为边作等边三角

形E,点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是.

-------------

思路引领：连接OE,利用SAS证明△ADP四ZkOOE(SAS),得OE=ARZDOE=Z

DAO,则点E在射线OE上运动，且OE=AF,当点/在线段AO上从点A至点。运动

时，故点£的运动路程是AO,利用勾股定理求出A。的长即可.

解：连接OE,

--------

•.•四边形A8CO是矩形,

：.AO=DO,ZDAB=90a,

VZ£>AC=60°,

...△D4O是等边三角形,

：.DA=DO,ZADO=60°,

是等边三角形,

12/41

：.DE=DF,ZEDF=60°,

NADF=NODE,

又AD=DO,DF=DE,

：.AADF^AODE（SAS）,

AOE=AF,ZDOE=ZDAO,

...点E在射线OE上运动，且OE=AE

当点厂在线段AO上从点A至点。运动时，

点E的运动路程是AO,

在RtZXADB中，设A£）=x,则B£）=2x,

⑵）2-X2=62,

解得尤=2K（负值舍去），

：.AD=AO=2>/3,

即点E的运动路程为2次，

故答案为：2日.

总结提升：本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质，勾股定理等知识，确定点E的运动路径是解题的关键.

类型二点在圆上运动

典例2（2022•桐梓县模拟）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点。为坐标原点，。。的半径为1,点A（2,0）.动点8在上，连接A8,

作等边△ABC（A,B,C为顺时针顺序），求OC的最大值

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接。2,以

OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE,连接AE.

（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

（2）线段OC的最大值为.

【灵活运用】

（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,点8的坐标为（5,0）,点

尸为线段A8外一动点，且B4=2,PM=PB,ZBPM=90°,求线段AM长的最大值及

此时点P的坐标.

【迁移拓展】

（4）如图③，8C=4加，点。是以8C为直径的半圆上不同于8、C的一个动点，以BD

为边作等边请直接写出AC的最值.

13/41

(2)利用三角形的三边关系即可解决问题;

(3)连接3M,将绕着点尸顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN

是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=R1=2,BN=AM,根据当N在线

段BA的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为2a+3；过P作PE_Lx轴

于E,根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；

(4)如图4中，以BC为边作等边三角形△8CM,由推出AC=MZ),

推出欲求AC的最大值,只要求出DM的最大值即可，由BC=4V2=定值，/BDC=90°,

推出点。在以8C为直径的上运动，由图象可知，当点。在8C上方，时，

DM的值最大；

解：(1)如图①中，结论：OC=AE,

理由：「△ABC,△BOE都是等边三角形，

；.BC=BA,BO=BE,NOBE=60°,

：.ZCBO=ZABE,

：./\CBO^/\ABE,

：.OC=AE.

(2)在△AOE中，AE^OE+OA,

...当E、0、A共线，

的最大值为3,

；.OC的最大值为3.

故答案为3.

(3)如图1,连接

14/41

•.,将绕着点尸顺时针旋转90°得到△P8N,连接AN,则△4PN是等腰直角三角

形，

:.PN=PA=2,BN=AM,

的坐标为（2,0）,点8的坐标为（5,0）,

：.OA=2,OB=5,

：.AB=3,

线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

.•.当N在线段的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）

最大值=A8+AN,

■:AN=岳尸=2位，

...最大值为2a+3；

如图2,过尸作轴于E,

,/AAPN是等腰直角三角形，

；.PE=AE=V2,

：.OE=BO-AB-AE=5-3-&=2-五,

：.P（2-V2,V2）.

（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM,

B\>0

\।

X1✓

\।/图4

\1✓

VZABD=ZCBM=6Q°,

ZABC=ZDBM,'：AB=DB,BC=BM,

：.△AB84DBM,

：.AC=MD,

...欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可,

•.g=4或=定值，NBDC=9Q°,

15/41

...点。在以BC为直径的半圆O。上运动，

由图象可知，当点。在BC上方，时，OW的值最大，最大值=2企+2后,

：.AC的最大值为2a+2V6.

综上所述，

当点A在线段BD的右侧时，

以BC为边作等边△2CM,

VZABD=ZCBM=60°,

AZMBD^ZCBA,且AB=DB,BC=BM,

:.△ABgADBM(SAS),

：.AC^MD,

...欲求AC的最小值，只要求出OM的最小值即可，

•.加=6&=定值，NBDC=9Q°,

...点Q在以BC为直径的。。上运动，

由图象可知，当点。在BC的上方，8c时，的值最小，

__________1

DM的最小值=加。-OD='JBM2-BO2-^BC=2V6-2&,

：.AC的最小值为2遍-2V2.

综上所述，AC的最大值为2历+2迎，AC的最小值为2伤-2e.

总结提升：本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角

形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用

转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题.

针对训练

1.(2022秋•天宁区校级期中)已知。。的半径长7cm,P为线段OA的中点，若点P在。。

上，则OA的长是cm.

思路引领：根据点与圆的位置关系和中点定义进行解答即可.

解：根据点和圆的位置关系，得OP=7cm,

再根据线段的中点的概念，得04=2。尸=14c〃z.

故答案为：14.

总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，中点定义，熟知点和圆的位置关系与数量之

16/41

间的等价关系是解决问题的关键.

2.（2021秋•嘉兴期末）如图，的直径AB=2,C为上动点，连结CB,将绕点

C逆时针旋转90°得到CD,连结OD,则OD的最大值为.

D

思路引领：通过证明可得当CE有最大值时，。。有最大

值，即可求解.

解：如图，以。2为边在的下方作等腰直角三角形OBE,连接CE,BD,

:将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD,

:.BC=CD,Nr>CB=90°,

AZ£)BC=45°,BD=&BC,

AOBE是等腰直角三角形,

：.OE=BE,ZOBE=45°,OB=V2B£=1,

:.BE=OE=*,

"：ZDBC^ZOBE,

：.ZOBD=ZCBE,

DBOB

又：一=一=，r2,

CBBE

:.△DBOs^cBE,

ODDB

：.—=—=72r,

CECB

：.OD=近CE,

...当CE有最大值时，有最大值，

当点C,点。，点E三点共线时，CE有最大值为1+孝,

.••。。的最大值为夜+1,

17/41

总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质

等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.

3.（2021秋•秦淮区校级期中）如图，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=16,BC=12,

点P在以AB为直径的半圆上运动，由点8运动到点A,连接CP,点M是CP的中点,

则点M经过的路径长为.

思路引领：由是直径，得/APB=90°,取BC,AC的中点E和R连接ME,MF,

EF,由三角形中位线知ME,MR即NEMP=90°,则点M在以防为直径的半圆上,

即可得出答案.

解：VZACB=90°,AC=16,BC=12,

：.AB=>JAC2+BC2=V162+122=20,

连接AP,BP,

：AB是直径，

AZAPB=9Q°,

即AP±BP,

取BC,AC的中点E和R连接ME,MF,EF,

在中，

'：M,E为PC、BC的中点，

1

：.ME//BP,ME=^BP,

在△APC中，

•・,点M、F为PC、AC的中点，

1

J.MF//AP,MF^^AP,

：.ME±MF,

即NEA/F=90°,

...点M在以EF为直径的半圆上,

:.EF=1AB=10,

18/41

1

...点M的运动路径长为-x2兀x5=5TT,

2

故答案为：5n.

总结提升：本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，利用定角对定弦确定点M

的运动路径是解题的关键.

4.（2018•江汉区模拟）如图，线段AB为。O的直径，点C在的延长线上，AB=4,BC

=2,点P是OO上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtAPCD,且使/

0cp=60°,连接。D,则OD长的最大值为.

思路引领：如图，作△COE,使得NCEO=90°,ZECO=60°,贝UCO=2CE,OE=

2V3,ZOCP^ZECD,由△COPSACED,推出一=一=2,即£Z>=2。尸=1（定长），

EDCD2

由点E是定点，OE是定长，推出点。在半径为1的OE上，由此即可解决问题.

解：如图，作△（%）£,使得NCEO=90°,ZECO=60°,贝ijC0=2CE,OE=2®Z

OCP=ZECD,

VZCDP=90°,ZDCP=60°,

：.CP=2CD,

COCP

•••___—__—_乙r\,

CECD

:ACOPsACED,

OPCP

•・•—_—―乙o,

EDCD

即即=^9P=1（定长），

:点E是定点，DE是定长,

...点。在半径为1的OE上,

,?ODWOE+DE=2^3+1,

19/41

.•.0。的最大值为26+1,

故答案为2百+1.

总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

5.(2021秋•岳麓区校级月考)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y

轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+Zzr+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为8

(1)求抛物线解析式；

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积等

3

于△ABC面积的9求此时点M的坐标；

(3)如图2,以8为圆心，2为半径的08与x轴交于E、尸两点(尸在E右侧)，若尸

点是08上一动点，连接力，以B4为腰作等腰心△如£),使/E4O=90°(P、A、D

三点为逆时针顺序)，连接FD.求FD长度的取值范围.

图1图2

思路引领：(1)将点A(1,0),C(0,5)代入y=/+6尤+c,即可求解；

(2)设M(“3加2-6〃?+5),先求AB=4,则SMBC=10,再由题意可得S^AMB=6=；X4

X(m2-6m+5),即可求M(2,-3)或M(4,-3)；

(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到连接Ab,PB,B'D,可证明△AO8噌△APB

(SAS),则可得D在以9为圆心，2为半径的圆上运动，又由9(1,-4),F(7,0),

则B,F=2V13,所以。尸的最大值为何+2,DF的最小值为例-2,即可求2辰-2

WDFW2m+2.

解：(1)令x=0,贝Uy=5,

：.C(0,5),

令y=0,则x=l,

20/41

AA(1,0),

将点A(1,0),C(0,5)代入y=/+bx+c,

得仁《+c=0,

.•."J,

=5

**.y=x-6x+5；

(2)设M(m,m2-6m+5),

令y=0,贝！Jx2-6x+5=0,

解得x=5或x=l,

：.B(5,0),

：.AB=4f

/.5AABC=1x4X5=10,

3

•；AABM的面积等于△ABC面积的g,

17

S^AMB=6=2X4X(m-6m+5),

解得m—2或m=4,

：.M(2,-3)或M(4,-3)；

(3)将点3绕A点顺时针旋转90°到8,连接AB,PB,BD

VZB'AD+ZBAD=90°,ZPAB+ZBAD=90°,

：.ZB'AD=ZPAB,

'：AB=AB\PA=AD,

：.AADB'^AAPB'(SAS),

:.BP=B'D,

•：PB=2,

・・・8O=2,

・・・。在以B为圆心，2为半径的圆上运动，

VB(5,0),A(1,0),

：.B'(1,-4),

■:BF=2,

：.F(7,0),

：.B'F=2y/13,

・・・。尸的最大值为2属+2,。尸的最小值为2W豆一2,

A2V13-2WDFW2月+2.

21/41

总结提升：本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用

瓜豆原理是解题的关键.

第二部分专题提优训练

1.（2022•安徽一模）如图，正方形ABC。的边长为5,E为BC上一点,且8E=2,F为

边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△£人：；,连接CG,则CG的最

小值为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

思路引领：由题意分析可知，点厂为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造

全等关系，得到点G的运动轨迹,之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

解：由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点/在线段上运动，点G也一定在直

线轨迹上运动，

将△£1/由绕点E旋转60°,使EF与EG重合，得到△EFB也ZkEHG,

：.BE=EH,ZBEH=6Q°,ZGHE=9Q°,

...△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线MV上，

作CM1HN,则CM即为CG的最小值，

作EPl.CM,可知四边形HEPM为矩形,

/.ZP£C=180°-ZPEH-ZBEH=180°-90°-60°=30°,

22/41

1

；.PC=2CE,

1Q

则CM=MP+CP=HE+^EC=2+1=

故选：D.

总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构

造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形

计算，是极值问题中比较典型的类型.

2.（2021•泰安）如图，在矩形ABC。中，AB=5,BC=5g,点尸在线段上运动（含2、

C两点），连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°至IJAQ,连接。。，则线

段DQ的最小值为（）

思路引领：如图，以AB为边向右作等边△A8R作射线FQ交AD于点E,过点D作

DHLQE于H.利用全等三角形的性质证明/AFQ=90°,推出/AEF=60°,推出点。

在射线FE上运动，求出DH,可得结论.

解：如图，以为边向右作等边△A3F,作射线尸。交AO于点E,过点D作。

于H.

:四边形ABC。是矩形，

AZABP=ZBAD=90°,

VAABF,△AP。都是等边三角形，

：.ZBAF=ZPAQ=6Q°,BA=FA,PA=QA,

：.ZBAP=ZFAQ,

在△BAP和△弦。中，

BA=FA

Z.BAP=/.FAQ,

,PA=QA

：./\BAP^/\FAQ(SAS),

AZABP=-ZAFQ=9O°,

"：ZFAE=9Q°-60°=30°,

AZA£F=90°-30°=60°,

23/41

"：AB=AF=5,A£=AF4-cos30°=

...点。在射线EE上运动，

,:AD=BC=5W,

qF5

：.DE=AD-AE=^-f

'：DH±EF,ZDEH=ZAEF=60°,

：.DH=DE-sin60°=苧乂苧=?,

根据垂线段最短可知，当点。与H重合时，。。的值最小，最小值为|,

故选：A.

总结提升：本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和

性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决

问题，本题的突破点是证明点。的在射线库上运动，属于中考选择题中的压轴题.

3.(2022秋•惠山区校级月考)如图，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),点P是4

ABC边上一动点，连接OP,以OP为斜边在。尸的右上方作等腰直角△OPQ,当点P在

△ABC边且运动一周时，点。的轨迹形成的封闭图形面积为()

思路引领：根据△OPQ是等腰直角三角形，可知点。的运动轨迹与点P的运动轨迹形状

相同，且OP：02=V2：1,得出面积比为2,求出AABC的面积即可解决问题.

解：是等腰直角三角形，

...点。的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，

VOP-.OQ=V2：1,

.,.点P的轨迹图形与点。的轨迹图形相似比为或：1,

VA(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),

：.AB=3,BC=4,

11

**•S/^ABC=2,BC-AB=2x3x4=6,

24/41

.♦.点Q的轨迹形成的封闭图形面积为］x6=3,

故选：B.

总结提升：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确寻

找点Q的运动轨迹是解题的关键.

4.（2021秋•沐阳县校级期末）如图，线段AB=2,点C为平面上一动点，且/ACB=90°,

将线段AC的中点尸绕点A顺时针旋转90°得到线段连接8。，则线段2。的最大

值为—.

思路引领：证明△ADCs△AE。，求出QE=］在RtZXABE中求出BE=孚，进而求出

答案.

11

解：如图，取A3的中点。，连接CD,过点A作AEUB,®AE=^AD=连接

BE.

VZACB=90°,。为AB的中点，

1

ACD=^AB=1,

'：ZQAC=90°,ZEAB=90°,

：.ZQAE=ZCAD,

ttAQ1AE1

'AC~2AD~2

：.AA£)C^AAE2，

.QEAQ1

CD~AC~2

：.QE=CD=4,

'：ZEAB=90°,

：.EB=y/AE2+AB2=零，

1717-i।~\/l7

当点。、E、2三点共线时，2。最大为鼻+二一=二一.

1+V17

故答案为:

2

25/41

总结提升：本题考查旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.（2022•祁江区校级一模）如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AN，无轴于

点交直线y=-字x于点N,点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA±PA,

点P在线段ON上运动时，A点不变，8点随之运动，当点尸从点。运动到点N时，点

8运动的路径长是.

思路引领：利用相似三角形求出线段Bo为的长度，证明线段班就

是点B运动的路径即可.

解：由题意得：0M=2,点N在直线y=—争上，ANLx轴于点M,

则△0MN为顶角30°的直角三角形，ON=专x2=竽，

设动点P在O点（起点）时，点B的位置为Bo,动点P在N点（终点）时，点B的位

置为3”连接如图1所示：

'：AO±ABo,ANLABn,

：.ZOAN=ZBoABn

又•.•ABo=A3tan3O°,4B〃=AN・tan30°,

：.ABo：AO^ABn：AN=tan30°,

:.LABoBnS4AON,且相似比为tan30°,

.•.8oB"=ON・tan30°=^x^=1.

现在来证明线段BoBn就是点B运动的路径，

当点尸运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi,连接AP,ABi,BoBi,如图2

所示：

26/41

'：AOLABo,APLABi,

：.ZOAP=ZBoABh

又・・・A8o=AO・tan30°,A3=AP・tan30°,

AABo：AO=ABi：AP,

：.LABoBisAAOP,

：.ZABoBi=ZAOP.

又△A5o&s/\40N,

・・・NABoBn=ZAOP,

NABoBi=NABuBn,

.•.点3在线段BoBnl.,即线段瓦瓦就是点B运动的路径,

4

综上所述，点8运动的路径是线段为为，长度为w，

C

图1

总结提升：本题考查了一次函数图象、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、

轨迹等知识；确定点B的运动路径是解题的关键.

6.（2020春•江阴市期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点尸是以。为圆

心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接