中考数学二轮复习拓展训练：锐角三角函数与圆综合（原卷版+解析）

专题35锐角三角函数与圆综合（原卷版）

第一部分要用如析+针对别练

类型一利用垂径定理构造直角三角形

典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt^ABC中，ZBAC=90°,BC=6,AC=4y[2,以A为圆心，AB

为半径画圆，与边8C交于另一点。.

（1）求8。的长；

（2）连接4。，求NZMC的余弦值.

针对训练

秋•湖州期末）如图，在中,ZACB=90°,AC=4,tanA=[.以点C为圆心，C8长为

1.（2021RtzMBC4

半径的圆交A3于点。，则A0的长是（

3

C.D.2

2

2.（2022秋•郸州区期末）如图，。。是△ABC的外接圆，点。在8C延长线上，且满足NCA0=NB.

（1）求证：AO是。0的切线；

（2）若AC是NBA。的平分线，sinB=*5C=4,求。。的半径.

B

CD

类型二利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形

典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以为直径

针对训练

1.（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地。。，城市管理部门规划在这块

空地边缘顺次选择四点：A,B,C,D,建成一个从4-2-。-。-4的四边形循环健身步道（步道宽度

忽略不计）.若NA=90°,N2=53.2°,AB=200米.

（1）求步道AD的长；

（2）求步道围成的四边形的面积.（参考数据：sin53.2°仁0.80,cos53.2°20.60）

类型三利用圆周角定理把角转化到直角三角形中

典例3(2021春•中原区校级月考)如图，。是△42C的3c边上一点，连接A。，作的外接圆，将

△AZJC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆。上.

(1)求证：AE=ABi

(2)填空：

①当/CAO=。时，四边形。是菱形.

②当/CAB=90°,cosNADB=芯,BE=2时,BC=.

c

针对训练

1.(2019•临河区一模)如图，已知45是。。的直径，点C,。在。。上，且AB=6,8c=3,贝I]tan/ADC

的值为—.

C

2.(2019春•西陵区期中)如图，已知AD是。。的直径，弦20=弦BC,经过点2作。。的切线交的

延长线于点E.

(1)求证：ZEBD=ZCAB；

(2)若8C=g,AC=5,求sin/CBA.

类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形

典例4(2022•通辽)如图，在RtZXAOB中，ZAOB=90°,以。为圆心，的长为半径的圆交边于

点Z),点C在边。4上且CZ)=AC,延长CO交02的延长线于点E

(1)求证：C。是圆的切线；

(2)已知sinNOCQ=V，AB=4A/5,求AC长度及阴影部分面积.

针对训练

1.(2019•东河区二模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AC边为直径作。。交5C于点。，过点。作。0

的切线，交A3于点E,交AC的延长线于点尸；若半径为3,且sinNCH)=|,则线段AE的长是()

2422

B.5D.

5

第二部分专题程忧别综

1.(2022•东城区二模)如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,。在格点上，以A8为直径的圆过C,

D两点，则sinZBCD的值为.

2.(2022•青白江区模拟)如图，在平面直角坐标系尤Oy中，已知RtZsABC可运动(平移或旋转)，且/C

=90°,BC=V5+4,tanA=1,若以点M(3,6)为圆心，2为半径的OM始终在△ABC的内部，则4

ABC的顶点C到原点0的距离的最小值为.

3.(2020秋•上虞区期末)如图，A8是。。的直径，A8=4,P是延长线上一点，且8P=1,过点P作

一直线，分别交O。于C,。两点，已知/尸=30°.

(1)求CD与PC的长；

(2)连接BC,AD,求圆内接四边形A8CD的面积.

4.(2022秋•思明区校级期中)如图，A8与。。相切于点B,AO交于点C,A0的延长线交。0于点D,

E是前5上不与B,。重合的点，NA=30°.

(1)求即的大小；

(2)若点尸在A3的延长线上，且求证：。尸与。。相切.

5.(2020秋•平邑县期末)如图，已知A8是。。的直径，点P在54的延长线上，尸。切。。于点。，过点

B作BELPD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长，交BE于点E.

(1)求证：AB=BE；

(2)如果户口=2百，ZABC=60°,求的长.

6.(2022•松阳县二模)如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为。，弦AC平分N8AD,点。在半圆上,

过点C作CELAD,垂足为点E,交42的延长线于点?

(1)求证：EF与半圆。相切于点C.

(2)若AO=3,BF=2,求tan/ACE的值.

7.(2022•石家庄模拟)古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称.其

中切弦^chordofcontact')亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的

弦称为切弦.此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦.

(1)为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补

充完整，并写出“证明”过程.

己知：如图1,尸是OO外一点，.

求证：.

(2)如图2,在(1)的条件下，。是。。的直径，连接A。，BC,若/4Z)C=50°,/BCD=70°,

0c=2,求。尸的长.

专题35锐角三角函数与圆综合(解析版)

第一部分翼用加析+针对别综

类型一利用垂径定理构造直角三角形

典例1(2022•三水区一模)如图，已知RtAABC中，ZBAC=9Q°,BC=6,AC=4y/2,

以A为圆心，AB为半径画圆，与边2C交于另一点。.

(1)求8。的长；

(2)连接AD,求NZMC的余弦值.

思路引领：(1)过点A作小于X,利用面积法求出AH,再利用勾股定理求出由/,

由垂径定理即可解决问题；

(2)过点。作。A/_LAC于M,利用面积法求出。M,再由勾股定理求出AM即可解决

问题.

解：(1)过点A作于H,如图1所示：

VRtAABC,ZBAC=90°,BC=6,AC=A心

：.AB=<BC2-AC2=Ie2-(4V2)2=2,

11

"：-AB'AC=^BC'AH,

22

.AB-AC2X4/4万

,•AH=-^=~^=q72,

：.BH=7AB2-AH?=J22-(1V2)2=I，

:AHLBD,

2

:.BH=HD=勺,

4

：.BD=I；

(2)过点。作0M_LAC于M,如图2所示：

由(1)得:AH=1V2,BD=q,AB=2,

414

：.AD=AB=2,CD=BC-BD=6-^=

7/29

11

*：-AH*CD=汕1・AC,

22

.八”AH,CDg夜x竽14

•皿=^^=,=可,

在RtZ\AOM中，由勾股定理得：AM=AD2-DM2=J22-(^)2=|V2,

4M^A/2^4/-

/.cosZDAC=—々-=gV2.

/—qcB------D

图i图2

总结提升：本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会

利用面积法解决问题，属于中考常考题型.

针对训练

■3

1.（2021秋•湖州期末）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,tanA=7.以点C

为圆心，C8长为半径的圆交AB于点。，则的长是（）

思路引领：根据已知易求3C,AB的长，进而可以求出直角三角形斜边上的高，所以想

到过点C作CELA8,垂足为E,利用等面积法求出CE,然后放在Rt^BCE中，利用勾

股定理求出8E,再利用垂径定理求出8。，最后求出即可.

解：过点C作CELAB,垂足为E,

在RtZXABC中，ZACB=90a,AC=4,tanA=

BC3

AC~4’

：.BC=3,,

.,.AB=y/AC2+BC2=V32+42=5,

8/29

AABC的面积=|AB-CE=|AC-BC,

A5CE=12,

12

：

.CE=号'

在RtABCE中，BE=y/BC2-CE2=J32-(^)2=1,

•：CE_LBD,

:・BD=2BE=拳

do7

：.AD=AB-BD=5-等=$

故选：B.

总结提升：本题考查了解直角三角形，垂径定理，根据题目的已知条件添加辅助线是解

题的关键.

2.（2022秋嘟州区期末）如图，。。是△ABC的外接圆，点。在BC延长线上，且满足/

CAD=/B.

（1）求证：AD是。。的切线；

（2）若AC是NA4。的平分线，sinB=S，BC=4,求。。的半径.

思路引领：（1）连接。4,0C与AB相交于点E,如图，由0A=0C,可得/OAC=/

1

OCA,根据圆周角定理可得NB=2乙4。（?，由已知/CAD=/B,可得/AOC=2/CA。，

根据三角形内角和定理可得NOC4+NC4O+NAOC=180°,等量代换可得NC40+N

CAD=90°,即可得出答案；

（2）根据角平分线的定义可得NBAC=NZMC,由已知可得NA4C=NB,根据垂径定

理可得，0C_L4B,BE=AE,在RtZXBEC中，根据正弦定理可得sinB=盖=竿=|,

即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE=VBC2-CC2的长度,设o。的半径为

则CE=0C-CEf-号,在RtzXAOE中，0A2=OE^+AE1,代入计算即可得出答案.

证明：（1）连接OA,0c与AB相交于点E,如图，

；0A=0C,

：.ZOAC=ZOCA,

9/29

'：AC=AC,

1

**•Z-B=2/-AOC,

'：ZCAD=ZB,

：.ZA0C^2ZCAD,

VZOCA+ZCAO+ZAOC=1SO°,

：.2ZCAO+2ZCAD=1SO°,

：.ZCAO+ZCAD=90°,

：.ZOAD=90°,

TOA是。。的半径，

・・・AO是。。的切线；

解：（2）;AC是NA4O的平分线,

・•・ZBAC=ZDAC,

'：ZCAD=ZB.

：.NBAC=NB,

：.OC±ABfBE=AE,

在Rtz^BEC中，

VBC=4,

CE_CE_3

/.sinB=BC=T=5,

12

：.CE=

：.BE=VBC2-CE2=吩-（第2=学，

17

设。。的半径为r,则CE=OC-CE=r-^,

在RtAAOE中,

OA2=（9E2+AE2,

尸=”32+（却,

解得：仁?

总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切

10/29

线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键.

类型二利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形

典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上,

以A8为直径的圆经过点C,D,贝！Jcos/AOC的值为（）

思路引领：由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案.

解：为直径，

...NACB=90°,

又•..点A,B,C都在格点上，

ZADC=ZABC,

在RtzXABC中，

八0BC33闻

cosZABC=i=]3=cosNzADC,

^32+22

故选：B.

总结提升：本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三

角形的边角关系是正确解答的前提.

针对训练

1.（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地O。，城市管理

部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A,B,C,D,建成一个从4-3-。-。-4的

四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）.若/A=90°,ZB=53.2°,A8=200米.

（1）求步道的长；

（2）求步道围成的四边形A8CD的面积.（参考数据：sin53.2°^0.80,cos53.2°-0.60）

思路引领：（1）根据90。的圆周角所对的弦是直径可得是。。的直径，根据勾股定

理即可求解；

（2）过点A作AELBC于点E,过点D作DF±AE于点F,解直角三角形求出AE、BE、

AF,。尸的长，证出四边形是矩形，即可求得四边形ABC。的面积.

解：（1）连接8。，

11/29

VZA=90°,

是（DO的直径，

.*.80=125X2=250（米）,

：A3=200米，

：.AD=7BD2-AB2=V2502-2002=150（米），

答：步道AO的长是150米；

（2）过点A作AELBC于点过点。作于点R

在RtZVIBE中，ZB=53.2°,AB=200米，

sin53.2°-200X0.80=160（米），

BE=AB'cos53.2°-200X0.60=120（米），

•.*NBAE+NABE=ZBAE+ZDAF^90°,

：.ZDAF=ZABE=53.2°,

在RtZ\A。尸中，。尸=AO-sin53.2°^150X0.80=120（米），

：.AF=90（米），

：.EF=AE-AF=10（米），

'：AE.LBC,DF±AE,ZBCD=9Q°,

四边形CDFE是矩形，

1i

四边形ABC£>的面积为：一X120X160+120X70+^x120X90=23400（平方米）.

22

答：步道围成的四边形ABC。的面积是23400平方米.

总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，以及圆周角定理，勾股定理的应用，

关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

类型三利用圆周角定理把角转化到直角三角形中

典例3（2021春•中原区校级月考）如图，。是△ABC的BC边上一点，连接A。，作△A3。

的外接圆，将△ADC沿直线AO折叠，点C的对应点E落在圆。上.

12/29

(1)求证：AE=AB；

(2)填空：

①当NCAO=0时，四边形O8EQ是菱形.

1

②当/C48=90°,cosZADB=BE=2时，BC=

思路引领：(1)利用折叠的性质得出AC^AE,NC=/AED,再判断出NC=/A8C,

得出AB=AC,即可得出结论；

(2)①先判断出△AO。是等边三角形，得出/A00=60°,进而求出/AOE=120°,

再求出NC=NABC=ND4C=30°；

②先求出EP=1,再判断出利用锐角三角函数求出AE,进而求出A8,

即可得出结论.

(1)证明：由折叠知，AC^AE,NC=NAED,

:ZABC=ZAED,

：.ZC=ZABC,

：.AB=AC,

：.AE=AB；

(2)解：①如图,

:四边形AOED是菱形,

J.DE^OA^AD,

连接0D

：.OA=OD,

.'.AD=OA=OD,

...△AO。是等边三角形,

13/29

AZADO=60°,

同理：ZOZ）E=60°,

JZADE=ZADO+ZODE=120°,

由折叠知，CD=DE,ZADC=ZADE,

：.ZADC=nO°,

*：AD=DE,

:・CD=AD,

：.ZCAD=ZC=^（180°-NA。。）=30°,

故答案为：30°.

②如图，过点人作人凡L5石于R

C

1

：.EF=^BE=\,

1

,?ZADB=/AEB,cosZADB=芯,

1

cosXAEB=可,

在RtZXAFE中，cosZAEB==

，AE=3E/=3,

由（1）知，AE=AB,

'.AB—3,

由（1）知，AB=AC,

•・・NG45=90°,

：.BC=V2AB=3V2,

故答案为：3A/2.

总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，圆周角定理，锐角三角函数，

菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求出NADC是解本题的关键.

针对训练

1.（2019•临河区一模）如图，已知A3是。O的直径，点C,。在。。上，且A8=6,BC

14/29

=3,则tan/AOC的值为.

C

思路引领：先利用圆周角定理得到/ACB=90°,再利用勾股定理计算出AC=3W，利

用正且的定义得至然后根据圆周角定理得到/AOC=/ABC,从而得到

tanZADC的值.

解：TAB是。。的直径，

ZACB=90°,

在RtAACB中，AC=7AB2-BC2=V62-32=3后

••tanz_AnC==V3,

ZADC=ZABC,

tanZADC=V3.

故答案为百.

总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°

的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.

2.(2019春•西陵区期中)如图，己知AD是。。的直径，弦3D=弦BC,经过点8作。。

的切线交的延长线于点E.

(1)求证：/EBD=/CAB；

(2)若BC=W,AC=5,求sin/CBA.

思路引领：(1)连接根据切线的性质得出/。2。+/郎。=90°,由圆周角定理得

出NCAB=NBA。，NABO+/OBD=90°,即可证得/即。=NABO,根据等腰三角形

的性质即可证得/。48=/。84,从而证得结论；

(2)连接C。，交。8于根据垂径定理得出08,CO,CM=DM,然后根据三角形

中位线定理求得。河=会然后G根据勾股定理得出人(|)2=(V3)2-(r-1)2,

解得r=3,解直角三角形求得sin/AOC=^=*根据圆周角定理NC3A=/Ar>C,即

可求得sinZCBA=j.

o

(1)证明：连接03,

是O。的切线，

15/29

：.OBLBE,

：.ZOBD-^ZEBD=90°,

・・,AO是。。的直径，

，/ABD=90°,

AZABO+ZOBD=90°,

：.ZEBD=ZABO,

•：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZOAB=ZEBD,

•・,弦30=弦3C,

：.BC=BD,

：.ZCAB=ZBAD,

：.ZEBD=ZCAB；

(2)解：连接CD,交OB于M,

*：BC=BD,

：・0BLCD,CM=DM,

U

：OA=OD9

・・・OM=%C=|,

设圆的半径为r,

・・・3M=r-1，

■;BD=BC=V3,

OD2-OM2=BD2-BM1,

・・・J-(-)2=(V3)2-(r-1)2,

22

解得r=3或r=—*(舍去)，

：.AD=2r=6,

••.A。是O。的直径，

ZACD=90°,

ACq

・・・sinNAZ)C=卷=*

'：ZCBA=ZADC,

AsinZCBA-f.

o

总结提升：本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题

16/29

的关键.

类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形

典例4(2022•通辽)如图，在RtZkAOB中，90°,以。为圆心，OB的长为半径

的圆交边于点。，点C在边04上且CZ)=AC,延长C£)交08的延长线于点E.

(1)求证：CD是圆的切线；

(2)已知sin/OCQ=±AB=4逐，求AC长度及阴影部分面积.

E

思路引领：(1)根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出/

ODB+ZBDE=90°,BP0DLEC,进而得出EC是切线；

(2)根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC.0C,再根据相似三角形的性质

可求出EC,根据S阴影部分=$△(%也-S扇形进行计算即可.

(1)证明：如图，连接0D,

VAC=C£>,

・•・NA=ZADC=NBDE,

VZAOB=90°,

・・・NA+NA3O=90°,

又，：0B=0D,

:・N0BD=N0DB,

：.ZODB+ZBDE=90°,

即ODLEC,

•・・。。是半径，

・・・EC是。。的切线；

(2)解：在RtZ\C。。中，由于sinNOCE)=。

设0£>=4x,则0C=5x,

CD=VOC2-0D2=3x=AC,

在RtAAOB中，08=0。=4方0A=0C+AC=8x,AB=4有，由勾股定理得，

17/29

121

OB+OA=ABf

222

即：(4x)+(8%)(4V5)

解得x=l或工=-1(舍去)，

：.AC=3x=3,OC=5x=5,OB=OD=4x=4,

,：ZODC=ZEOC=90°,NOCD=NECO,

・•・△CO£>s△CEO,

.OCCD

•.—,

ECOC

1・S阴影部分=3/\。。£；一S扇形

125/90TTX42

=2XTX4-^6^

50)

=~3—如

50-12TT

=-3-'

答：AC=3,阴影部分的面积为‘°二I?：

总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切

线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的

前提.

针对训练

1.（2019•东河区二模）如图，在△ABC中，AB=AC,以AC边为直径作。。交BC于点。，

过点。作O。的切线，交A3于点E,交AC的延长线于点R若半径为3,且sin/C尸。=

I，则线段AE的长是（）

18/29

思路引领：连接0。，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到。O〃A5,再根

据切线的性质得到OOLOR则AELEF,接着在RtAODF中利用正弦的定义求出OF

=5,然后在Rt^AE尸中利用正弦定义可求出AE的长.

解：连接O。，如图，

*：AB=AC,

：.ZB=ZACBf

U：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

；・/B=NODC,

J.OD//AB,

■D尸为切线,

JODLDF,

：.AE±EF,

在RtZXOD/中，VsinZCFD=^=|,OD=3,

：.。尸=5,

ApQ

在RtAA£F中，VsinZF=寿=*

324

：.AE=|(3+5)=g.

故选：A.

总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，

必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了解直角三角形.

笫二部分专翅理优别练

1.(2022•东城区二模)如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,。在格点上，以A8

为直径的圆过C,D两点，则sin/BC。的值为.

思路引领：连接AD.8。，根据圆周角定理得到/AO8=90°,根据

勾股定理求出AB,根据正弦的定义解答即可.

解：连接A。、BD,

为圆的直径，

ZADB=90°,

：.AB=VXD2+BD2=7毕+32=5,

19/29

sinXBAD==

由圆周角定理得：NBCD=NBAD,

3

.".sinZBC£>=|,

,,…一，3

故答案为：—.

总结提升：本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定

理是解题的关键.

2.（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系宜为中，已知RtZVIBC可运动（平移或

旋转），且/C=90°,BC=V5+4,tanA=1,若以点M（3,6）为圆心，2为半径的OM

始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点。的距离的最小值为.

思路引领：如图，设OM与AC相切于点J,与A8相切于点T,连接。C,MJ,MT,延

长交于足解直角三角形求出CM,OM,根据0C20M-CM即可解决问题.

解：如图，设OM与AC相切于点J,与相切于点T,连接OC,MJ,MT,延长加

交AB于H

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VAC,A5是。0的切线，

：.MJLAC,MTLAB,

AZAJM=ZATM=90°,

：.ZA+ZJMT=180°,

VZJMT+ZFMT=\SO°,

I./A=/FMT,

1

tanA=tanZFMT=,，

*：MT=2,

：.TF=1,FM=sjMT2+FT2=V22+I2=V5,

：.JF=MJ+MF=2+V5,

：.AJ=2FJ=4+2V5,

VAC=2BC=8+2V5,

；.CJ=4,

VZCJM=90°,

2

CM=JC/2+M『=V42+2=2V5,

VM(3,6),

OM=V32+62=3V5,

"：OC^OM-CM,

：.003近-2V5,

OC>V5,

;.oc的最小值为遥.

故答案为近.

总结提升：本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化-旋转等知识，解题

的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题

中的压轴题.

3.(2020秋•上虞区期末)如图，A8是。。的直径，AB=4,P是AB延长线上一点，且8P

=1,过点P作一直线，分别交。。于C,。两点，已知/尸=30°.

(1)求。与PC的长；

(2)连接BC,AD,求圆内接四边形ABC。的面积.

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D

思路引领：（1）过点。作于点“，连接0C,解直角三角形求得。H,PH,然

后根据勾股定理求得CH,进而即可求得CD和PC；

（2）求得和△PBC的面积，进而即可求得四边形A8CD的面积.

解：（1）过点。作于点”，连接OC,

在Rt^OPH中，NP=30°,O尸=。8+8尸=2+1=3,

.,.0W=10P=1x3=|,尸8=0尸・cos30。=3*孚=苧,

在Rtz\OHC中，CH=>JOC2-OH2=122_(|)2=

\"CD=2CH,

：.CD=2=V7.

:.PC=PH-HC=空-5=3。".

(2)由(1)知：PD=CD+PC=木+后丁=3呛°,PA=5,ZP=30°,

：.S«pBc=*PB•PC.si?i30°=*x1x与6.[=3*",=^PD.PA.

.„13T3+V715(373+V7)

sm30°no=5x————x5rx5-----

ZZ5L5o

.c_c„5(3V3+/7)3V3-77_673+377

'•'四边形ABCD—%P4D—、4PBC-g8-4

D

总结提升：本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通

过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键.

4.（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与。。相切于点3,4?交。。于点C,49的延

长线交。。于点。，E是颜上不与8,。重合的点，ZA=30°.

（1）求N8E。的大小；

（2）若点尸在的延长线上，且求证：£）尸与O。相切.

22/29

思路引领：(1)根据切线的性质，得出/48。=90°,进而求出NAOB=60°,ZBOD

=120°,再根据圆周角定理得出答案；

(2)根据等腰三角形的判定和性质可得AB=DB,进而得出。根据"三角

形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出尸即可.

(1)解：连接OB,

与OO相切于点2,

：.OB.LAB,即/AB。=90°,

VZA=30°,

...NAOB=90°-30°=60°,

：.ZBOD=1SO°-60°=120°,

:./BED=RBOD=60。,

(2)证明：连接

'：OB=OD,ZBOD=nO0,

i

：.ZODB=^(180°-60°)=30°=ZA,

：.AB=DB,

又,：AB=BF,

:.DB=AB=BF,

/是直角三角形，

即/A£)b=90°,

,：OD±DF,0。是半径，

...D尸是O。的切线.

总结提升：本题考查切线的性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，

掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解

答的前提.

5.(2020秋•平邑县期末)如图，已知A8是。。的直径，点P在的延长线上，尸。切。。

于点D,过点8作交尸。的延长线于点C,连接4。并延长，交BE于点E.

(1)求证：AB=BE；

(2)如果产。=2次，ZABC=60°,求BC的长.

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E

C

思路引领：(1)连接。。，如图，根据切线的性质得到OOLPC,则可判断。。〃8£,所

以加上N0D4=N0A。，所以/O4D=NE,然后根据等腰三角形的判定

定理得到结论；

(2)利用。。〃届得到NOOP=/A2C=60°,根据含30度的直角三角形三边的关系

得到OD=2,PO=4,则PB=6,然后在RtAPBC中利用ZP=30度得到BC的长.

(1)证明：连接。》如图，

切。。于点。，

：.OD±PC,

'：PCLBE,

：.OD//BE,

：.ZODA=ZE,

\'OA^OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.ZOAD^ZE,

：.AB=BE；

(2)解：'：OD//BE,

：.ZDOP=ZABC=60°,

在RtZ\P。。中，VZP=90°-ZPOC=30",

・•・OD=李尸。二孚x2V3=2,

・・・PO=2OD=4,

：.PB=PO+OB=6,

在RtAPBC中，BC=加=3.

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E

C

D,

总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了含30度

的直角三角形三边的关系.

6.(2022•松阳县二模)如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为。，弦AC平分/BA。，点

。在半圆卜.，过点C作垂足为点E,交A2的延长线于点?

(1)求证：EF与半圆。相切于点C.

(2)若AO=3,BF=2,求tan/ACE的值.

思路引领：(1)根据垂直定义可得NE=90°,再利用角平分线和等腰三角形的性质可证

AE//OC,然后利用平行线的性质可求出NOCr=90°,即可解答；

(2)根据已知可求出。尸=5,AF=8,再在RtZ\OCF中，利用勾股定理求出CF=4,

然后证明A字模型相似三角形△尸COs△FEA,从而利用相似三角形的性质求出EF

的长，最后在Rt^ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

(1)证明：VCELAD,

：.ZE=90°,

平分/BAD,

：.ZEAC^ZCAO,

'：OA=OC,

J.ZCAO