重难点突破：原函数与导函数混合还原问题（十三大题型）原卷版

重难点突破03原函数与导函数混合还原问题

目录

方法技巧总结

1、对于矿(x)+/(%)〉0(<0),构造g(x)=x・/(x),

2、对于切，(x)+0(x)>0(<0),构造g(x)=/./(%)

3、对于x-/'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=®,

4、对于x-7'(x)-好'(x)>0(<0),构造g(x)=Zg

5、对于/(尤)+/(x)>0(<0),构造g(x)=e「/(x),

6、对于_f(x)+"(x)〉0(<0),构造g(x)=*-/(x)

7、对于/'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=卒，

ex

8、对于广(%)-切(x)>0(<0),构造g(%)=£g

e

9^对于sinx•/'(%)+cosx•/(X)〉0(<0),构造g(x)=/(x)・sinx,

10、对于sinx,7'(x)-cosx・/(x)>0(<0),构造g(x)=>")

sinx

11、对于cos%•/'(%)-sin%•/(%)>0(<0),构造g(x)=/(%)•cosx,

12>对于cos%•/'(%)+sin%•/(x)>0(<0),构造g(x)=

cosx

13、对于/'(%)—/(x)〉左(<0),构造g(x)=/[/(%)—均

14>对于/'a)ln)+>0(<0),构造g(x)=lnx・/(x)

15、f\x)+c=[f(x)+cx\；/'(%)+g'(%)=[/(%)+g(%)]';f\x)-gf(x)=[/(x)-g(x)]r；

16、/'(x)g(x)+〃x)g'(x)="(x)g(x)]';/'(x)g(x)：((x)g'(x)=[*]，,

g(x)g(x)

■必考题型归纳

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题型一：利用x"/（x）构造型

例1.（安徽省马鞍山第二中学20222023学年高三上学期10月段考数学试题）已知/（X）的定义域为（0,+¥）,

/（X）为/⑴的导函数，且满足/（*）＜-0'（*）,则不等式“x+l）＞（x-l）/（x2一1）的解集是（）

A.（0,1）B.（2,+¥）C.（1,2）D.（1,+¥）

例2.（河南省温县第一高级中学20222023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数/（》）的定义域

为（0,+s）,且满足〃力+切'3＞0（/小）是“X）的导函数），则不等式+的解集

为（）

A.（一叫2）B.（1,+⑹C.（1,2）D.卜1⑵

例3.（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知函数/（x）的定

义域为（0,+。），/⑴为函数/（x）的导函数，若x2/（x）+犷（x）=l,/（1）=0,则不等式/（2:3）＞0的解

集为（）

A.（0,2）B.（log,3,2）C.（log23,+（»）D.（2,+co）

变式1.（2023届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在R上的偶函数＞=/（》）的导函数

为V=7'（x）,当x＞0时，矿（x）+/（x）＞o,且/⑵=1,则不等式「（2X一1）＜」7的解集为（）

x2x—1

B-产

变式2.（四川省绵阳市盐亭中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在（0,+⑹上的函数/'（x）

33

满足2犷（无）+//（尤）＜0,则关于x的不等式/（x）＞=的解集为（）

4x

A.（0,4）B.（2,+oo）C.（4,+oo）D.（0,2）

变式3.（河南省豫北重点高中20222023学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函数/（x）的

定义域为（0,+0，其导函数是7'（X）,且2/（x）+矿若/⑵=1,则不等式3〃尤的解

集是（）

A.（0,2）B.（2,+s）

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D.

变式4.(广西15所名校大联考2023届高三高考精准备考原创模拟卷(一)数学试题)已知/(')是定义在

R上的偶函数，其导函数为/(%),/(-1)=4,且3/(x)+M，(x)〉3,则不等式的解集为()

x

A.(-OO,-1)U(1,+GO)B.(-l,0)U(0,l)c.(0,1)D.(l,+oo)

【解题方法总结】

1、对于4'(1)+/(x)(<0),构造g(x)=,

2、对于41<%)+句(%)>0(<0),构造g(x)=F•/(%)

题型二：利用与构造型

例4.(河南省信阳市息县第一高级中学20222023学年高三上学期9月月考数学试题)已知定义在(0,+¥)

的函数〃x)满足：Vxe(O,+<»)J(x)-V'(x)<O,其中#(x)为〃x)的导函数，则不等式

(2x-3)/(x+l)>(x+l)/(2x—3)的解集为()

A.［川B.(4,+叫

C.(-1,4)D.(-8,4)

例5.已知定义域为｛小和｝的偶函数外)，其导函数为了(X),对任意正实数x满足〃(x)>"(x),若g(x)="^,

则不等式g(x)vg(l)的解集是()

A.(—co,1)B.(—1,1)

C.(-00,0)U(0,l)D.(-l,0)U(0,l)

例6.(江苏省苏州市2023届高三下学期3月模拟数学试题)已知函数/(X)是定义在五上的奇函数，

42)=0,当x>0时,有。'(力一/(尤)>。成立,则不等式/(x)>0的解集是()

A.(―℃,—2)u(2,+co)B.(―2,0)u(2,+co)

C.(-co,-2)u(0,2)D.(2,+8)

变式5.(西藏昌都市第四高级中学2023届高三一模数学试题)已知函数/(x)是定义在(-卜，0)(0，+)

的奇函数，当尤e(O,+s)时，xf\x)<f｛x),则不等式T(2-尤)+卜-2)〃5)<0的解集为()

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A.—3)u(3,+s)B.(-3,0)u(0,3)

C.(-3,O)u(O,7)D.(-℃>,_3)o(2,7)

【解题方法总结】

1、对于x•k(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=1^,

2、对于x._T(x)-4f(x)>0(<0),构造g(x)=1

题型三：利用e"'/(x)构造型

例7.(河南省20222023学年高三上学期第五次联考文科数学试题)已知定义在R上的函数/(X)满足

/(x)+r(x)>0,且有〃3)=3,则〃x)>3e3f的解集为()

A.(3,+oo)B.。,+8)C.(-8,3)D.(-oo,l)

例8.(河南省20222023学年高三上学期第五次联考数学试题)已知定义在R上的函数/(力满足

111-X

-/(x)+r(x)>0,且有〃1)=相贝上〃尤)>e三的解集为()

A.(-<»,2)B.(1,+℃)

C.(-0>,1)D.(2,+oo)

例9.(广东省佛山市顺德区北洛镇莘村中学2023届高三模拟仿真数学试题)已知了'(X)是函数

y=/(x)(xeR)的导函数，对于任意的xeR都有/'(x)+〃尤)>1,且"0)=2023,则不等式

e、/(x)>e、+2022的解集是()

A.(2022,+co)B.(-oo,0)u(2023,+aoj

C.(-oo,0)U(0,+oo)D.(0,+司

变式6.(宁夏吴忠市2023届高三一轮联考数学试题)函数/("的定义域是R,/(0)=2,对任意xeR,

/(x)+r(x)>l,则不等式：eJ/(x)>/+l的解集为()

A.[x\x>0}B.{x|x<0}

C.{x|x<T或x>l}D.{x|x<-l或0<x<l}

【解题方法总结】

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1、对于尸(x)+y(x)>0(<0),构造g(x)=e，/(x),

2、对于r(x)+码；x)>0(<0),构造g(x)=*./(x)

题型四：用*构造型

enx

例10.(安徽省六安市第一中学20222023学年高二下学期期末数学试题)定义在(-2,2)上的函数/(刈的导

函数为r(x),满足：/(x)+e4V(-x)=0,/⑴=©2,且当x>0时，八x)>2/(x),则不等式e2xf(2-x)<e4

的解集为()

A.(1,4)B.(-2,1)C.(1,+®)D.(0,1)

例11.(广东省汕头市2023届高三三模数学试题)已知定义在R上的函数/⑴的导函数为尸(x),且满足

r(x)-/(x)>0,/(2021)=e2°2L则不等式/，Inx]<正的解集为()

202，20212021e

A.(e,+oo)B.(0,e)C.(/匕+句D.(0,e)

例12.(陕西省安康市2023届高三下学期4月三模数学试题)已知函数[(X)的定义域为R,且对任意xeR,

尤)<0恒成立，则e"(x+l)>en(2x-3)的解集是()

A.(4,+00)B.(-1,4)

C.(-°0,3)D.(-oo,4)

变式7.(新疆克拉玛依市2023届高三三模数学试题)定义在R上的函数〃x)的导函数为/(%),/(-1)=-1,

对于任意的实数x均有ln3./(x)<，(x)成立，且y=/(x-；)+l的图像关于点(；，1)对称，则不等式

2.乙

/(x)-3i>0的解集为()

A.(1,+oo)B.(11,+co)C.(-oo,—1)D.(-oo,1)

变式8.(新昌中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题)若定义在R上的函数的导函数为/(x),

且满足/'(x)>/(x),〃2022)=e2°22,则不等式/gnxj〈融的解集为()

A.(0,e6066)B.(O,e2022)

20226066

C.(e,+Cc)D.(e,+Oc)

变式9.(吉林省长春市吉大附中实验学校20222023学年高三上学期第四次摸底考试数学试题)设/'(x)是

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函数的导函数，且/'(x)>3/(x)(xeR),=e(e为自然对数的底数)，则不等式/(inx)<d的

解集为()

A.fo,|jB.C.(0,孤)D.(浜,+s)

变式10.(四川省绵阳市南山中学20222023学年高三二诊热身考试数学试题)已知定义在R上的可导函数

/(x)的导函数为了'(X),满足/'(x)</(x),且/(-x)=/(2+x),/(2)=1,则不等式〃x)<e，的解集为

()

A.(-oo92)B.(2,+00)C.(1,+8)D.(0,+。)

变式11.(山东省烟台市2023届高三二模数学试题)已知函数“X)的定义域为R,其导函数为广(%),且

满足/+/(0)=0,则不等式(e2'l)/(x)<eT的解集为().

C.(-1,1)D.(-l,e)

变式12.(江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题)设函数/(刈的定义域为R,其导函数为/'(x),

且满足/(x)>/'(x)+l,7(0)=2023,则不等式e-"(x)3+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是

()

A.(2022,+oo)B.(-oo,2023)C.(0,2022)D.(-*0)

【解题方法总结】

1、对于f(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=」@,

ex

2、对于八X)一上劝>°«0)'构造8。)=华

题型五：利用sinx、tanx与“X)构造型

例13.(江西省2023届高三教学质量监测数学试题)定义在区间上的可导函数/(x)关于y轴对

称，当xe[0,万时，/，(x)cosx>/(x)sin(-x)恒成立，则不等式八的解集为()

tanx

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兀71

例14.（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数/（x）是定义在上的

奇函数.当xe0,；时，/(x)+/'(x)tanx>0,则不等式%+])+sinx・〃-》）＞0的解集为（）

717171兀

A.2~6B.C.D.

24

例15.函数了=/（x）对任意的满足x+2/(x)+/(x)sin2x=e，T(其中/(尤)是函数/⑴的导函

数），则下列不等式成立的是（

A./

4

C.

变式13.己知可导函数“X）是定义在/(x)+/'(x)tanx>0,则不

等式cosx,/Ix+^-l+sinx•/（-x）＞0的解集为（）

兀71兀71

A.B.C.D.

26~2~4

【解题方法总结】

1、对于sinx•/(%)+cosx・/(x)〉0(<0),构造g(x)=/(%)•sinx,

2、对于sinX./，(x)-cosx*/(x)>0(<0),构造g(x)=

sinx

3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型

题型六：利用cosx与/（%）构造型

7171

例16.（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）已知偶函数/'（无）的定义域为,其导函数为

252

71

尸（X）,当0Vx＜5时，有/'（x）cosx+1（x）sinx＞0成立，则关于x的不等式/卜）＞2/■COSX的解集

为（）

兀717171

A.B.

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c.uD.

例17.已知偶函数/⑶的定义域为卜泉名，其导函数为/(X)，当0。苫时，有八x)cosx+/(x)sinx<0

成立，则关于x的不等式/(尤)<•COSX的解集为()

例18.设函数“X)在R上存在导数/'(X),对任意的xeR,有/(x)+/(-x)=2cosx,且在[0,+⑹上有

/,(x)>-sinx,则不等式/(x)--[5-x>cosx-sinx的解集是()

【解题方法总结】

1、对于cos^/'a)-sinx-/(x)>0(<0),构造g(x)=/(x),cosx,

2^对于cosx•尸(x)+sinx-/(x)>0(<0),构造g(x)=

cosx

3、对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

题型七：复杂型：e"与4(x)+6g(x)等构造型

例19.(广西柳州市2023届高三11月第一次模拟考试数学试题)已知可导函数"X)的导函数为/(X)，若

对任意的xeR,都有〃x)-八幻>1.且〃无)-2022为奇函数，则不等式/(x)-2021e、>1的解集为()

A.(-0>,0)B.(0,+oo)C.(-00,e)D.(e,+co)

例20.(河南省多校联盟2023届高考终极押题(C卷)数学试题)已知函数f(x)的导函数为了'(X),若对

任意的xeR,都有/(x)>/'(x)+2,且〃1)=2022,则不等式/(x)-2020ei<2的解集为()

A.(O,+<»)B.J-oo,-1C.(1,+℃)D.(-oo,l)

例21.(2023届高三冲刺卷(一)全国卷文科数学试题)已知函数“X)与g(x)定义域都为R,满足

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〃x)=(x+[g(x),且有g，(x)+xg，(x)_xg(x)<0,g⑴=2e,则不等式/(x)<4的解集为()

A.(1,4)B.(0,2)C.(f,2)D.(1,+s)

变式14.(陕西省渭南市华州区咸林中学20222023学年高三上学期开学摸底考试数学试题)已知定义在

(-3,3)上的函数/(x)满足〃x)+e4l/(-x)=0,/(1)=e2,/(尤)为小)的导函数，当xe[0,3)时，/⑴>2/(尤)，

则不等式e2v(2-x)<e"的解集为()

A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+℃)D.(0,1)

变式15.(黑龙江省哈尔滨市第三中学20222023学年高三上学期期中考试数学试题)设函数/(》)在R上的

导函数为1(X),若/'(x)>/(尤)+1,/(x)+/(6-x)=2,/(6)=5,则不等式〃尤)+2/+1<0的解集为

()

A.(-<»,0)B.(0,+co)C.(0,3)D.(3,6)

变式16.(新疆新源县第二中学20222023学年高二下学期期末考试数学试题)定义在R上的函数满足:

/(x)+/(x)>l,/⑼=4,则不等式e"(x)>/+3的解集为()

A.(0,+¥)B.(―co,0)u(3,+oo)

C.(―<»,0)u(0,+co)D.(3,+oo)

变式17.(陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十二次适应性考试数学试题)定义在

R上的函数“尤)满足了'(X)-2〃x)-8>0,且/(0)=-2,则不等式/(力>2*-4的解集为()

A.(0,2)B.(0,+oo)C.(0,4)D.(4,+8)

【解题方法总结】

对于/'(x)-/(x)>斤(<0),构造g(x)=e[/(x)-幻

题型八：复杂型：(h+6)与/0)型

例22.(专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用一备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破)

己知定义在R上的函数/(尤)满足〃2+X)=/(2-X),且当x>2时，有矿(x)+/(x)>2/(x),荀(1)=1,

则不等式/(》)<」的解集是()

x—2

A.(2,3)B.(-叫1)

C.(l,2)u(2,3)D.(F,1)33，+8)

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例23.(辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷)已知函数/(x)是定义在R上的可导函数,

其导函数为了'(X),若对任意xeR有//(l+x)+/(l-x)=0,且/(0)=-2,则不等式

f的解集为()

A.(4,+co)B.(3,+co)

C.(2,+oo)D.(0,+e)

例24.(山东省泰安肥城市2023届高三下学期5月高考适应性训练数学试题(三))定义在(1，+¥)上的函

数/⑴的导函数为/,(%),且(x-l)/'(x)-/(x)>x2-2x对任意xe(L+s)恒成立.若"2)=3,则不等式

/(X)〉/一X+1的解集为()

A.(1,2)B.(2,+s)

C.(1,3)D.(3,+8)

【解题方法总结】

写出y=丘+6与y=/(x)的加、减、乘、除各种形式

题型九：复杂型：与ln(fcv+6)结合型

例25.(2023届高三数学临考冲刺原创卷(四))已知函数/(》)的定义域为(0,+"),导函数为了'(X),且

满足/(x)+犷'(x)lnx>0,则不等式〃工-2020)111(》-2020)40的解集为()

A.(-00,2020)U(2021,+00)B.(0,2021)

C.(2020,2021]D.(2021,2022]

例26.(华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评文科数学试题)已知函数/(x)的定义域为R,图

象关于原点对称，其导函数为了'(X),若当x>0时/(x)+xlnx-7'(x)<0,则不等式4叫/@)>4/门)的

解集为()

A.(-oo,-l)u(0,+oo)B.(-l,0)u(0,+co)

C.(-℃,-l)u(O,l)D.(-l,0)u(l,+co)

例27.(2023届高三数学新高考信息检测原创卷(四))已知/(x)是定义在&上的奇函数，是/(x)

的导函数，/Q^O,且/，卜)皿21)+?<0,贝U不等式(/一尸2)〃力>0的解集是()

A.(-oo,-l)uf0,—u(2,+oo)B.(-l,0)uf^-,2^

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C.(-1,0)U(2,+CO)D.(-«),-1)0(0,2)

变式18.(广东省梅州市2023届高三二模数学试题)已知“可是定义在R上的奇函数，/'(x)是/("的

导函数，当x>0时，/0加偿司+/卢〉。，且/g卜°，则不等式(x-2)/(x)<0的解集是()

A.(-oo,0)u(0,2)B.(0,2)C.(2,+00)D.(-co,0)u(2,+oo)

变式19.定义在(0,+s)上的函数/(、)满足矿(x)+l>0,/(2)=ln；,则不等式〃吟+%>0的解集为

()

A.(0,21n2)B.(0,ln2)C.(In2,1)D.(In2,+oo)

【解题方法总结】

1、对于/〈x)Inx+'(X)>0(<0),构造g(x)=lnx-/(x)

x

2、写出y=ln(foc+6)与y=/(x)的加、减、乘、除各种结果

题型十：复杂型：基础型添加因式型

例28.(辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学(三))已知函数/G)为定义在R上的偶函数，当

xe(O,+8)时，f'(x)>2x,/(2)=4,则不等式犷(x-l)+2尤？>/+x的解集为()

A.(-1,0)。(3,+oo)B.(―1,1)U(3,+oo)

C.(F,-1)U(O,3)D.(-1,3)

例29.定义在R上的函数/G)满足/(x)-尸(x)+e*<0(e为自然对数的底数)，其中/'(%)为/⑶的导函

数，若〃3)=3e3,则〃x)>无e，的解集为()

A.(-8,2)B.(2,+00)

C.(-0>,3)D.(3,+co)

例30.定义在R上的函数“X)满足/'(x)-2/(x)_6<0,M/(l)=e2-3,则满足不等式〃x)>e?，-3的

尤的取值有()

A.-1B.0C.1D.2

变式20.已知在定义在R上的函数/(尤)满足/(x)-/(-x)-6x+2sin尤=0,且尤20时，/,(x)>3-cosx*®

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成立，则不等式/卜g+6x+后cos卜4]的解集为()

71

B.D.—,+00

6

【解题方法总结】

在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度

题型十一：复杂型：二次构造

例31.(福建省福州第一中学20222023学年高二下学期期中考试数学试题)函数/(')满足:

ge"(x)+e*/*)=6,/Qpjl，则当x>0时，/(x)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值

例32.(江西省百所名校20222023学年高三第四次联考数学试题)已知函数无)的定义域为心+⑹，其导

函数为/'(x)，(x+2)[2/(x)+才对xe(l,+⑹恒成立，且〃5)=||,则不等式

(x+3)21(x+3)>2x+10的解集为()

A.(1,2)B.(-双2)C.(-2,3)D.(-2,2)

例33.(河南省濮阳市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题)已知函数/卜+1)为定义域在R上的

偶函数，且当尤21时，函数八可满足矿(x)+2/(x)=整，/(八)=5，则4炉(x)<l的解集是()

A.卜8,2-五)0(八,+oo)

C.(-oo,2-e)u(e,+oo)D.(2-e,e)

变式21.(宁夏平罗中学2023届高三上学期第一次月考数学试题)已知定义在R上的连续偶函数>=/(%)

的导函数为尸/(X),当x>。时，"七号<。，且")7,则不等式〃21)〈。的解集为()

变式22.(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知/")是定义在(0,+8)上的可导函数，/(x)

第12页共15页

是/(X)的导函数，若切(x)+<f(x)=e"〃l)=e,则/(x)在(0,+8)上()

A.单调递增B.单调递减C.有极大值D.有极小值

变式23.(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校20222023学年高二下学期期中理科数学试题)

定义在(0,+⑹上的函数“X)满足犷'(x)+〃x)=x21nx,且,士］=-］，则/'(x)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

变式24.(福建省泉州市20222023学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学(理)试题)设函数/(x)满

足：矿(x)+2〃x)=xe:/(1)=|,则x>0时，/(x)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值

变式25.(辽宁省大连市中山区第二十四中学20222023学年高三上学期11月月考数学试题)函数/(x)满

足：2e"(x)+e"'(x)=G,/(—)='贝九工>。时，/(x)

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值

■JT

变式26.设函数/(x)的导数为了'(X),且/⑴+疣工二4十)，/⑴=一万，/(2)=--,则当x>0时，/(%)

A.有极大值，无极小值B.无极大值，有极小值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值

【解题方法总结】

二次构造：f(x)x+r(x)±g(x),其中r(x)=x",e"”,sinx,cosx等

题型十二：综合构造

例34.(福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校20222023学年高二下学期期中联考数学

试题)已知函数〃x)在R上可导，其导函数为/(X),若/'㈤满足八幻一<⑴>0,>=△?关于直线x=l

x-1e

对称，则不等式〃0)的解集是()

A.(-1,2)B.(1,2)

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c.(-l,0)U(l,2)D.(-co,0)u(l,+oo)

例35.（贵州省铜仁市2023届高三适应性考试数学试题（一））已知定义在火上的函数/（X）,尸（x）为其

导函数，满足①/（x）=/（—x）—2x,②当x20时，/''（x）+2x+120.若不等式/（2X+1）+3X2+3X>/（X+1）

有实数解，则其解集为（）

B.(-8,0)41