中考数学二轮复习拓展训练：中考热点规律探究填空选择专项训练（原卷版+解析）

专题32中考热点规律探究填空选择专项训练（原卷版）

专题诠释：规律探究是最近中考热点，多以填空选择形式呈现。此类题的最大特点：问题的结论或条件不

直接给出，二常常给出一列数、一列等式或一列图形的一部分。其解题思维过程是：从特殊情况入手玲探索

发现规律）综合归纳好猜想得出结论好验证结论，确定需要求的结论.这里精选最新最经典的规律探究题，

欢迎下载使用。

选择题（共10小题）

1.（2021•广西模拟）计算：2-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,-1=31,…归纳各计算结果

中的个位数字规律，猜测22021-1的个位数字是（）

A.1B.3C.7D.5

2.（2021春•沙坪坝区）使用黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵.前五次摆放的情况如图所示，如果

按照此规律继续构建三角形阵，摆放到第（）个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子第一次比白棋子

多.

A.6B.7C.8D.9

鱼瑰

（1）（2）（3）（4）（5）

3.（2022秋•大埔县期中）某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形.如图，其方法是：过

C点作。i_LA8于。1,再过》作于。2,再过作。2D3_LAB于。3…，若△ABC的边长为

a,则CDi=堂a,0102=旦，。2。3=?，依此规律，则DsDf,的长为（）

Z4o

V3V3V3V3

A.—aB.—aC.—（D.-----a

128

4.（2022春•裕华区校级期中）如图，动点P从坐标原点（0,0）出发，以每秒一个单位长度的速度

按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1,0）,第2秒运动到点（1,1）,第3秒运动到点（0,

1）,第4秒运动到点（0,2）,……则第2022秒点尸所在位置的坐标是（）

A.(44,2)B.(44,3)C.(45,3)D.(45,2)

5.(2022秋•桥西区)计算：2-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,……归纳各计算结

果中的个位数字规律，则22022的个位数字是()

A.1B.3C.4D.5

6.（2021秋•西城区校级期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），

其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示）,请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来

所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（）种涂法.

B.2C.3D.4

7.尤的值为（）

8.如图，小正方形是按一定规律摆放的,则适合填补图中空白处的是（）

9.(2022秋•罗山县期中)如图，在△048中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),将△048与

正方形A8CO组成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第2020次旋转结束时，点。的坐标为

10.（2022秋•莲池区期末）已知点E（xo,yo）,点F（X2,"）,点以）是线段EF的中点，则久】=包罗，

%=吗及.在平面直角坐标系中有三个点&（1,-1）,B（-1,-1）,C（0,1）,点尸（0,2）

关于点A的对称点Pi（即P,A,Pi三点共线，且E4=PA）,Pi关于点B的对称点尸2,尸2关于点C

的对称点P3,…按此规律继续以A,B,C三点为对称点重复前面的操作.依次得到点尸4,尸5,尸6…，

则点P2022的坐标是（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（2,-4）D.（-4,2）

—.填空题（共16小题）

11.（2020秋•江阴市月考）用形状和大小相同的黑色棋子按如图所示的方式排列，按照这样的规律，第

101个图形需要棋子304枚.

o%o%%o0ooo°o

ooo（j（y（j…

第1个图形第2个图形第3个图形

12.（2021•广东模拟）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=1,以AC为较长的直角边，

按逆时针方向作Rt^ACCi,且/ACCi=90°,ZBAC=ZCACi；再以ACi为较长的直角边，按逆时针方

向作Rtz\ACiC2,且NACIC2=90°,ZCACi=ZC1AC2；…按此规

律一直下去，则AGi-i的长为.

13.（2022秋•任城区校级期末）如图，在抛物线＞=/的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个

顶点落在抛物线上.按此规律类推，第2023个正方形的边长是

14.（2021秋•管城区校级期中）初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全一样的正方体按

照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不

忘初心”.其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6

个正方体，……，按照此规律，从第（70）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字

正方体的概率是.

15.（2021秋•官渡区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=/的图象如图所示，已知点A的坐标为（1,

1），过点A作轴交抛物线于点4,过点4作A1A2〃OA交抛物线于点A2,过点人2作4M3〃》

轴交抛物线于点出,过点A3作A3A4//OA交抛物线于点&4…，依次进行下去，则点A2022的坐标为.

16.（2022春•汕尾期末）在平面直角坐标系中，直线/：y=x+l与y轴交于点Ai,如图所示，依次作正方

形O4181C1,正方形CiA282c2,正方形C2A3B3C3,正方形C3A484c4,点Al,A2,A3,4,…在直线/

上，点Ci,C2,C3,C4,…在x轴正半轴上，则4的坐标是；4的坐标是.

17.（2022•金坛区模拟）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，/a,如图所示，则

tan(a+p)

aa

18.（2022•丛台区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、2分别在x

轴、y轴上，点Pi在反比例函数y=［（工＞0）的图象上，过PA的中点81作矩形81A41P2,使顶点P2落

在反比例函数的图象上,再过尸241的中点82作矩形B2A1A2P3,使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，

依此规律可得：

（1）点P2的坐标为;

（2）作出矩形218Al748Pl9时，落在反比例函数图象上的顶点尸19的坐标为.

19.（2022•滕州市三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ALBIGA2与正方形A222c2A3是以。为位似

1

中心的位似图形，且位似比为一，点4,A2,A3在x轴上，延长A3c2交射线081与点83,以由仍为边

2

作正方形A323c34；延长A4c3,交射线081与点由，以434为边作正方形A424c4人5；…按照这样的

规律继续作下去，若04=1,则正方形A202182021C2021A2022的面积为.

22022

20.（2022春•诸暨市期中）为了求1+2+2?+…+2?021的值，可令5=1+2+22+…+22°2、贝!|25=2+2+-+2,

因此2S-S=22022-1,所以1+2+22+-+22021=22022-1.按照以上推理计算出1+3一4？"+…+3、此的

值是

21.(2021•零陵区一模)如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点坐标分别为：A(-2,0),8(1,2),

C(1,-2).已知N(-1,0),作点N关于点A的对称点M,点N1关于点B的对称点N2,点N1

关于点C的对称点N3,点M关于点A的对称点N4,点N4关于点B的对称点N5,…以此类推，则点

N2021的坐标为.

22.(2022春•白碱滩区期末)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点。出发，按

“向上一向右一向下一向右一向下一向右一向上一向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，

其移动路线如图所示，第一次移动到点4,第二次移动到点A2,…，第〃次移动到点4”则点A2022的

坐标是.

23.(2022秋•依安县期末)如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形042c绕点。逆时

针旋转45°后，得到正方形OALBICI；第2次将正方形0481。绕点0逆时针旋转45°后，得到正方

形0A2B2c2…按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020,则点B2021的坐标为.

24.（2021•宣州区校级自主招生）如图，射线。加在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°,过点。（6,

0）作于点A,作线段。。的垂直平分线BE交x轴于点E,交于点8,作射线08,以

为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1,延长A1C交射线OB于点81,以A1B1为边在△4081的外侧作

正方形A1B1C1A2,延长42cl交射线OB于点Bi,以左瓦为边在△4。。？的外侧作正方形A222cM3…按

此规律进行下去，则正方形A202082020C2020A2021的周长为.

25.（2020春•文登区期末）如图，在△ABC中，点Ai,Bi,Ci分别是AC,BC,A8的中点，连接AiCi,

A1B1,四边形A1B1BC1的面积记作Si；点A2,B2,C2分别是AC,BiC,A1B1的中点，连接A2c2,A2B2,

四边形A2B231C2的面积记作S2…，按此规律进行下去，若SAABC=CI,则S2020=.

26.如图，直线/：尸手+1分别交无轴、y轴于点A和点4,过点Ai作48山，交x轴于点81,过点

31作81A2，X轴，交直线/于点A2;过点42作A222L,交无轴于点及，过点历作52A3，X轴，交直线

/于点A3,依此规律…，若图中阴影△4021的面积为Si,阴影△4281历的面积为S2,阴影△加汝囱的

面积为S3—,则Sn=.

专题32中考热点规律探究填空选择专项训练（解析版）

专题诠释：规律探究是最近中考热点，多以填空选择形式呈现。此类题的最大特点：问题的

结论或条件不直接给出，二常常给出一列数、一列等式或一列图形的一部分。其解题思维过

程是：从特殊情况入手一探索发现规律一综合归纳一猜想得出结论一验证结论，确定需要求

的结论.这里精选最新最经典的规律探究题，欢迎下载使用。

一.选择题（共10小题）

1.（2021•广西模拟）计算：21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,…

归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22°21-1的个位数字是（）

A.1B.3C.7D.5

思路引领：根据题目中给出的式子的结果，可以发现结果的个位数字的变化特点，从而

可以求得22021-1的个位数字.

解：=21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,…，

...计算结果中的个位数字依次以1,3,7,5循环出现，

1

：2021+4=505-,

4

...22021_1的个位数字是1,

故选：A.

总结提升：本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现结果

的个位数字的变化特点，写出所求式子的个位数字.

2.（2021春•沙坪坝区校级月考）使用黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵.前五次摆

放的情况如图所示，如果按照此规律继续构建三角形阵，摆放到第（）个三角形阵

时，该三角形阵中的黑棋子第一次比白棋子多.

思路引领：分别求出黑白棋子的变化规律，建立方程求解即可.

解：设一共有w个图形，

由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，

则第〃个白棋子的个数为3n+3,

黑棋子的变化为：

n=l时，0个；

9/31

n=2时，0+1=1个；

〃=3时，0+1+2=3个；

〃=4时，0+1+2+3=6个；

故第〃个图案中黑棋子个数为0+1+2+3+...+(n-1)=£.(n-1)=/

n2-n

-------=3九+3,

2

解得〃=左守，〃=上号(不符题意，舍去)，

n2-n

------->3n+3,

2

.7+773

•.%取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，

・"=8.

故选：C.

总结提升：本题主要考查图形变换类的题目，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规

律.

3.(2022秋•大埔县期中)某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形.如图，

其方法是：过C点作C£)i_LAB于。1,再过Di作DI£)2_LC4于。2,再过£>2作。2。3_L

AB于。3…，若△ABC的边长为a,则CDi=3，/，。2。3=旦，依此规律，

Z4o

思路引领：把D1D2、。2。3的分母写成2〃的形式，从中找出规律，根据规律解答.

解：CDi=^-a=^-a,

221

DnlDn2=V3V3

q2乙

八八乃乃

U2U3=-Q-a=F”，

V3V3

则。5。6的长为:

10/31

故选：c.

总结提升：本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对

应边成比例是解题的关键.

4.(2022春•裕华区校级期中)如图，动点P从坐标原点(0,0)出发，以每秒一个单位

长度的速度

按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点(1,0),第2秒运动到点(1,1),第3

秒运动到点(0,1),第4秒运动到点(0,2),……则第2022秒点尸所在位置的坐标

思路引领：分析点尸在坐标系中的运动路线，寻找点尸运动至x轴或y轴时的点坐标的

规律.

解：根据题意列出尸的坐标寻找规律.

Pi(1,0)；

P8(2,0)；

P9(3,0)；

P24(4,0);

P48(6,0);

即尸2“<2”+2>坐标为⑵,0).

P2024(44,0).

P2022坐标为尸2024(44,0)退回两个单位一(44,1)-(44,2).

故选：A.

总结提升：考查平面直角坐标系中点的坐标变化，分析点P运动路线规律，找到点尸在

x轴上的交点坐标规律为解题关键，难点在于拆分2024=44X46.

5.(2022秋•桥西区校级期中)计算：21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1

=31,……归纳各计算结果中的个位数字规律，则22022的个

位数字是()

11/31

A.1B.3C.4D.5

思路引领：通过观察发现每四次运算结果的尾数循环出现一次，再由2022+4=505……

2,即可求解22。22-1的个位数字是3.

解：V21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,........,

每四次运算结果的尾数循环出现一次，

V2022^-4=505.......2,

...22022-1的个位数字是3,

...22022的个位数字是明

故选：C.

总结提升：本题考查数字的变化规律，解题的关键是通过观察，探索出循环规律.

6.（2021秋•西城区校级期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的

等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一

个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（）

种涂法.

-----,

A.1B.2C.3D.4

思路引领：根据轴对称图形的定义，画出图形即可.

解：如图，满足条件的三角形有三个.

故选：C.

总结提升：本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义，

属于中考常考题型.

7.（2022•苏州模拟）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值

为（）

12/31

142638n

29320435EJ

A.135B.153C.170D.189

思路引领：首先通过分析找到〃与匕的关系，然后找到匕与18的关系，进而找到x与匕

和18的关系，即可以得到结果.

解：根据题目可以知道:

4=2X2,

6=3X2,

8=4X2,

2=1+1,

3=2+1,

4=3+1,

，18=2b,a=b-1；

:・b=9,〃=8；

又・.・9=(4-1)X(2+1),

20=(6-1)X(3+1),

35=(8-1)X(4+1)，

：.x=（18-1）X（。+1）=17X10=170.

故选：C.

总结提升：本题考查数的规律，解题的关键是通过一列数，找到斜对角的关系是本题的

突破口，然后再通过乘法的分解即可求出

8.（2022•杭州模拟）如图，小正方形是按一定规律摆放的，则适合填补图中空白处的是（）

13/31

思路引领：根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10,据此可得.

解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10,

符合此要求的只有

故选：D.

总结提升：本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点

数之和为10.

9.(2022秋•罗山县期中)如图，在△048中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),

将与正方形A8CD组成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第2020次

旋转结束时，点。的坐标为()

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

思路引领：先求出48=6,再利用正方形的性质确定。(-3,10),由于70=4X505,

所以第2020次旋转结束时，相当于△048与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋

转0次，每次旋转90°,此时旋转前后的点。关于原点对称，于是利用关于原点对称的

点的坐标特征可得到旋转后的点D的坐标.

解：VA(-3,4),B(3,4),

：.AB=3+3=6,

•••四边形ABCD为正方形，

：.AD=AB=6,

：.D(-3,10),

72020=4X505,

.•.每4次一个循环，第2020次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形

绕点。顺时针旋转0次，每次旋转90°,

.•.点。的坐标为(-3,10).

故选：B.

总结提升：本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和

图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30。，45。,60°,

14/31

90°，180°.

10.(2022秋•莲池区期末)已知点EGo,yo),点/(及，"),点M(xi,yi)是线段

所的中点，则的=①井，yi=ZQ±Z2.在平面直角坐标系中有三个点A(I,-1),

8(-1,-1),C(0,1),点P(0,2)关于点A的对称点Pi(即P,A,Pi三点共

线，且出=为4),Pi关于点8的对称点尸2,P2关于点C的对称点P3,…按此规律继

续以A,B,C三点为对称点重复前面的操作.依次得到点尸4,P5,尸6…，则点P2022的

坐标是()

A.(0,2)B.(2,0)C.(2,-4)D.(-4,2)

思路引领：先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解.

解：由题意，Pl(2,-4),尸2(-4,2),尸3(4,0),P4(-2,-2),尸5(0,0),

P6(0,2),Pi(2,-4),...

可得每6次为一个循环，

：2022+6=337,

...点P2022的坐标是(0,2),

故选：A.

总结提升：本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律.

二.填空题(共16小题)

11.(2020秋•江阴市月考)用形状和大小相同的黑色棋子按如图所示的方式排列，按照这

样的规律，第101个图形需要棋子304枚.

名。＜°4。琥。…

第1个图形第2个图形第3个图形

思路引领：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，

后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变

化规律，从而推出一般性的结论.

解：第一个图需棋子3+1=4；

第二个图需棋子3X2+1=7；

第三个图需棋子3X3+1=10；

第"个图需棋子(3〃+1)枚，

故第101个图形需要棋子数为：3X101+1=304.

故答案为：304.

总结提升：此题考查了规律型中的图形变化问题，主要培养学生的观察能力和空间想象

能力.

15/31

12.（2021•广东模拟）如图，在RtaABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=1,以AC为较

长的直角边，按逆时针方向作RtZXACCi,且/ACCi=90°,ZBAC=ZCACi；再以ACi

为较长的直角边，按逆时针方向作RtAACiC2,且/ACC2=90°,ZCACI=ZCIAC2；…

按此规

律一直下去,则的长为

C1C

思路引领：证明△A8CSA4CC1SAC1C2的面积，根据相似三角形的性质得,=2

根据勾股定理得AC=逐=6^-,贝!J卓根据勾股定理得AQ=擀=

ACAB222

驾可得探究规律，可得结论.

解：由题意，ZBAC=ZCACi-ZC1AC2,ABC=ZACC1=ZAC1C2=9O°,

AABC^△ACCiACiC2,

・QQ_££1BC1

•・4cl~AC~AB~2

・.・A3=2,BC=1,

.'.ACi==

故答案为：——r.

总结提升：本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会探究规律，

利用规律解决问题.

13.（2022秋•任城区校级期末）如图，在抛物线y=/的内部依次画正方形，使对角线在

y轴上，另两个顶点落在抛物线上.按此规律类推，第2023个正方形的边长是.

16/31

思路引领：由题意可知，直线04是第一象限的角平分线，故解析式为y=x,联立方程

求得A1的坐标，进而求得第一个正方形边长和Bi的坐标，即可得直线B1A2的解析式为

y=x+2,联立方程求得A2的坐标，进而求得第二个正方形的边长和B2的坐标，即可得

到直线8M3的解析式为y=x+6,联立方程求得A3的坐标，即可求得第三个正方形的边

长……，以此类推得出规律，即可得到第2023个正方形的边长是2023b.

解：根据题意，/21。4=45°,即直线是第一象限的角平分线，则解析式为y=x,

联立h-,

解噬鼠或仁:，

故4(1,1),

22

OAr=Vl+I=V2,OBi=2,即第1个正方形边长为加，

VZB2B1A2=45°=ZB\OAI,

直线B1A2的解析式中的无系数与直线OAi的解析式中x系数相等，且经过81(0,2),

直线B1A2的解析式为y=x+2,

联立十2,

解瞰二1咪晨，

故42(2,4),

.,.&81=J22+(4-2尸=2vL032=6,即第2个正方形边长为2vL

N3352A3=45°=NB2B1A2,

・・・直线52A3的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中X系数相等，且经过52(0,6),

二・直线B2A3的解析式为y=x+6,

联立仁二

解得ID：:

故A3(3,9),

17/31

：.A3B2=J32+(9_6)2=3V2,083=12,即第3个正方形边长为3VL

按此规律类推，第"个正方形的边长为九四，

.•.第2023个正方形的边长是2023V3,

故答案为：2023g.

总结提升：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用方程组求

得交点坐标，求得抛物线上点的坐标是解题的关键.

14.（2021秋•管城区校级期中）初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全

一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的

正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”.其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）

个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，……，按照此规律，从第（70）

个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是—.

思路引领：先根据已知图形得出第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+69+70=2485

个，再用带“心”字的正方体个数除以总个数即可得.

解：•..第1个图形中正方体的个数为1,

第2个图形中正方体的个数3=1+2,

第3个图形中正方体的个数6=1+2+3,

.,.第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+70=罗8=2485（个），其中写有

“心”字的正方体有70个，

702

・・・抽到带“心”字正方体的概率是痂=—.

故答案为：一.

71

总结提升：本题主要考查概率公式及图形的变化规律，解题的关键是得出第n个图形中

正方体个数和概率公式.

15.（2021秋•官渡区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=/的图象如图所示，已知点

A的坐标为（1,1）,过点A作A4i〃无轴交抛物线于点4,过点4作4丛2〃。4交抛

物线于点&2,过点A?作A2A3〃X轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4〃。4交抛物线于

点A4…，依次进行下去，则点&2022的坐标为.

18/31

思路引领：根据二次函数性质可得出点Ai的坐标，求得直线AM2为y=x+2,联立方程

求得A2的坐标，即可求得加的坐标，同理求得4的坐标，即可求得45的坐标，根据坐

标的变化找出变化规律，即可找出点A2022的坐标.

解：点坐标为(1,1),

直线。4的解析式为丫=为Ai(-1,1),

'：AIA2//0A,

直线4A2的解析式为y=x+2,

解仁丁得仁「或

AA2(2,4),

；.A3(-2,4),

".'A3A4//OA,

直线A3A4的解析式为y=x+6,

AA4(3,9),

/.As(-3,9)

.\A2022(1012,10122),

故答案为：(1012,10122).

总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，

根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键.

16.(2022春•汕尾期末)在平面直角坐标系中，直线/：y=x+l与y轴交于点4,如图所

示，依次作正方形OA1B1C1,正方形C1A2B2C2,正方形C2A323c3,正方形C3A424c4,

点Ai,Ai,A3,A4,…在直线/上，点Ci,Ci,C3,C4,…在x轴正半轴上，则4的

坐标是;4的坐标是.

19/31

思路引领：由题意可得4,42,A3,4的坐标，可得点A坐标规律，即可求解.

解：由题意可得正方形OAiBiCi边长为1,正方形A222c2cl的边长为2,正方形4383c3c2

的边长为4,…正方形4BiCnC〃-i的边长为2"I

n01

：.Ai(0,1)，A2(1,2),A3(3,4),A4(7,8)-A„C2'-1,2-),

故答案为：(7,8),(2"-1-1,2"-i).

总结提升：本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关

键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

17.（2022•金坛区模拟）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，Za,Z

0如图所示，贝!Itan（a邛）=.

思路引领：连接。E,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出/a=30°,同

理可得出：ZCDE=ZCED=30°=Za,由NAEC=60°ZAED=ZAEC+ZCED

可得出NAE£）=90°,设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=Wa,由三角函数定

义即可得出答案.

解：连接。E,如图所示：

在△ABC中，ZABC=120°,BA=BC,

Za=30°,

同理得：NCDE=NCED=30°=Na.

XVZAEC=60°,

ZAED=ZAEC+ZCED=90°.

设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=BD-sinZDBE=2a•sin60°=V3a,

_AE_2a_2V3

tan(a+p)=诙=南='-

故答案为：

20/31

总结提升：本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律等知识；

构造出含一个锐角等于/a+/0的直角三角形是解题的关键.

18.(2022•丛台区校级模拟)如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点

A、8分别在x轴、y轴上，点Pi在反比例函数y=氢光〉0)的图象上，过P1A的中点B1

作矩形BiAA\Pi,使顶点Pi落在反比例函数的图象上，再过P1A\的中点Bi作矩形

B2A1A2P3,使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：

(2)作出矩形B18A1748P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为.

思路引领：(1)利用正方形的性质得到Pl(1,1),则可确定反比例函数的解析式为

y=:，再利用点81的纵坐标为,根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点尸2的纵坐

1

标为3，则点尸2横坐标为2；

(2)同样方法得到点P3的纵坐标为三,点P3的横坐标为22,利用2的指数与尸点的序

号数的关系可得到点P19的坐标.

解：(1)：正方形OAPLB的边长为1,

：.P1(1,1),

把尸1(1,1)代入y=1(%>0)的得到z=1X1=1,

...反比例函数的解析式为y=!，

:点Bi为尸1A的中点,

一1

・••点B\的纵坐标为一，

2

•・•四边形31A41尸2为矩形，

21/31

一1

点尸2的纵坐标为一，

2

:点P2在y=1的图象上，

1

・・・点尸2横坐标为(2,-);

2

1

(2)・・,点尸2横坐标为(2,二)，点比为尸24的中点，

2

111

点B2的纵坐标为二X-=—,

2222

•・,四边形524A2P3为矩形，

一1

**•点尸3的纵坐标为7,

:点P3在的图象上，

...点尸3的横坐标为22,

•••

**•点P19的纵坐标为不

218

・・・点尸19的横坐标为2叫

1

即尸19(218,—).

1

故答案为：(2%—).

218

总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解决此类题目的

关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,

逐步操作.也考查了规律性问题的解决方法和反比例函数图象上点的坐标特征.

19.(2022•滕州市三模)如图，在平面直角坐标系中，正方形481C1A2与正方形A282c2A3

1

是以。为位似中心的位似图形，且位似比为5，点Al,A2,A3在X轴上，延长A3c2交射

线。21与点B3,以A3B3为边作正方形A323c34；延长A4c3,交射线。21与点B4,以

4应为边作正方形A424c4&5；…按照这样的规律继续作下去，若04=1,则正方形

A2021B2021C2021A2022的面积为.

22/31

思路引领：根据位似图形的概念求出。42,根据正方形的面积公式计算，总结规律，根

据规律解答即可.

解：•・•正方形451QA2与正方形A232c2A3是以原点。为位似中心的位似图形，且相似

1

为

匕-

2

^A2B2~2

\'AiBi.LxA252_Lx轴,

0431s△04252,

.吆=生生=工

°幺2人2口22

V0Ai=l,

・・・QA2=2,

.•.AIA2=1,

工正方形451C1A2的面积=1=4°,

0A\=AIA2=AIBI=1,

：.ZBiOAi=45°,

.\OA2=A2B2—2f

.I正方形A2B2C2A3的面积=2X2=4］，

•.•A383_L九轴,

/.OA3=A3B3=4,

，正方形A333c3A4的面积=4X4=16=42,

则正方形A202132021C2021A2022的面积为42021-1=42020=24040,

故答案为：24040.

23/31

总结提升：本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质、相

似多边形的性质是解题的关键.

20.(2022春•诸暨市期中)为了求1+2+2?+…+2?021的值，可令§=1+2+22+…+2?021,则

2s=2+22+…+22°22,因此2s-s=22022-1,所以1+2+22+...+22021=22022一].按照以上

推理计算出1+3-1+3-2+…+3-2021的值是.

思路引领：仿照所给的求解方式进行解答即可.

解：令5=1+3-1+3-2+…+3-2021,

则工5=3"A…+3一2021+3-2022,

3

因止ds-5=3-2022-1,

则_|s=3-2022_1,

-2021&

得：5=2，

Q—2021Q

所以1+3-1+3-2+…+3-2021=

3-2021-3

故答案为：--------.

2

总结提升：本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚

题目所给的求解方式并灵活运用.

21.(2021•零陵区一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A(-2,

0),B(1,2),C(1,-2).己知N(-l,0),作点N关于点A的对称点M,点

M关于点2的对称点N2,点N2关于点C的对称点N3,点N3关于点A的对称点N4,点

N4关于点2的对称点N5,…以此类推，则点N2021的坐标为.

24/31

思路引领：先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解.

解：由题意得，作出如下图形：

N点关于A点对称的M点的坐标为（-3,0）,

M点关于2点对称的N2点的坐标为（5,4）,

N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3,-8）,

N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1,8）,

N4点关于8点对称的N5点的坐标为（3,-4）,

Ns点关于C点对称的N6点的坐标为（-1,0）,此时刚好回到最开始的点N处,

其每6个点循环一次,

...2021+6=336....5,

即循环了336次后余下5,

故N2021的坐标与N5点的坐标相同，其坐标为（3,-4）.

故答案为：（3,-4）.

总结提升：本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一

部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解.

22.（2022春•白碱滩区期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原

点。出发，按“向上f向右一向下一向右一向下一向右一向上一向右”的方向依次不断

移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点4,第二次移动

到点&2,…，第W次移动到点4”则点A2022的坐标是

25/31

斗

LJ*1/7——当。

__________V《4力._______V112415_

oA3八4g4“八x

思路引领：由题意可知，智能机器人的运动路径规律为每八次一个循环，再结合点的坐

标即可求解.

解：由题意可知，智能机器人的运动路径规律为每八次一个循环，

即智能机器人从原点。出发，每运动8次到达点的横坐标增加4个单位长度，

720224-8=252........6,

智能机器人共运动了252个循环加6次，

则252X4+3=1011,

此时A2022(1011,-1)