云南省普洱市2023-2024学年高二年级下册7月期末统测数学试题（解析版）

云南省普洱市2023-2024学年高二下学期

7月期末统测数学试题

注意事项：

1.考查范围：必修一、二；选择性必修一、二、三.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={尤丫—420},3={HX<1},AD做3)=()

A.或B.„«-2,或九21}

C.1x|l<x<2jD.1%|-2<x<l!

【答案】B

【解析】解不等式420,可得％之2或xW—2,

所以A={乂％<—2,或x»2},

又为5={%|%之1},

则Au他3)={小<—2,或行1}.

故选：B.

2.已知向量a=(2,1),。=(-1,4),若(d+6)_La,则4=()

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

【解析】依题意，a+b=(1,1+2),由(a+Z?)_La,得(。+6>。=2+1+2=0,

所以;1=—3.故选：B

3.已知数列{。,}的前"项和S,满足=,则%+为=()

A.11B.13C.24D.25

【答案】C

【解析】因为Sg=49,$6=25,所以%+为=\一$6=24.

故选:c.

4.若直线y=2x-1与双曲线C：Y-〃"=i的一条渐近线平行，则实数机的值为()

11

A.-B.4C.JD.2

42

【答案】A

「./_y=[1

【解析】由题设一丁一且加＞0,故。=1/=方=,

71n

m

所以，双曲线的渐近线方程为丁=土与X,

7m

1-1

其中一条与y=2x—1平行，所以一尸=2,则机=：.

yjm4

故选：A.

5.2024年春晚魔术师刘谦再次重返舞台，利用简单的模具扑克牌向观众再次展示了魔术的

魅力与神奇.某魔术师在表演时将8张不同色号的扑克牌分给3名观众，每个观众被分到的

扑克牌数目不少于2张，且3名观众中没有人被分到3张扑克牌，则不同的分配方法有

()

A.2520种B.1260种C.420种D.210种

【答案】B

【解析】因为将8张不同色号的扑克牌分给3名观众，每个观众被分到的扑克牌数目不少于

2张，

且3名观众中没有人被分到3张扑克牌，故只能是按一人2张，一人2张，一人4张分配扑

克牌，

「40202

将8张不同色号的扑克牌按2,2,4分成三个组为,再交3个组的扑克牌分给3

A；

个观众有A；,

故由分步计数原理共有xA；=210x6=1260种不同的分配方法.故选：B.

/、C兀兀

6.函数/(x)=2cos2x+3sinx在—上的值域为()

A.[3,4]B.「彳

：3日J「30,25

C.3,^^+1D.+1,——

228

【答案】B

【解析】依题意/(x)=-2sin2x+3sinx+2,

令sinx=t,

故y=-2?++2JG——,1.

2

325

故当t=±时，》有最大值=，当，=1时，》有最小值3,

故所求值域为3,k.

O

故选：B.

7.已知函数了⑴是奇函数，当x>0时，f(x)^x3+ax2+b,若/⑴图象在x=—1处的

切线方程为3x+y=0,则a—b=()

B.-4D.-2

【答案】D

【解析】的图象在x=—1处的切线方程为3x+y=Q,

则/■(-1)=3,/(—1)=—3,

当x>0时，/(%)=%3+ax2+b,/(%)=3x2+2ax,

因为了⑴是奇函数，图象关于原点对称，

“X)的图象在％=—1处及X=1处的切线也关于原点对称，

所以/⑴=-3,/'⑴=一3,

1+a+Z?=—3

即〈，所以a=—3,Z?=-l,a—b=—2.

3+2a=—3

故选：D.

8.已知3。=11,4:18,5。=27,则a,4c的大小关系是()

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.a>b>c

【答案】D

【解析】a=log311,log418,c=log527,

则a_6=log3ll-log4l8=logs(9x”j一logq卜6义IIj=log3!-log4g,

\97<lo；98

n9,911I9,11,9,88c

因为log-<log3，c所ri以lllog--log->log--log-=log—>0,

4o3o，3壬4，5壬3壬13

所以〃一/?>0；

b-c=log18-log27=logfl6x927

454T%25X||=log--log-,

4o5ZD

2727Q2792725

因为log5—<10g4K，所以log4--log5—>10g4--10g4—=log4—>0,

ZJZJOZJOZJ

所以〃—c>0,

所以a>b>c.

故选:D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.在复平面内，点Z（2,l）对应的复数为z,则（）

A.|z|=5B.z+z=4

__121.

C.zz=5D.­=----1

z33

【答案】BC

【解析】因为点Z（2,l）对应的复数为z,所以z=2+i，

所以忖=亚1?=非,故选项A错误；

因为z=2+i，所以"=2—i，则z+彳=2+i+2—i=4,故选项B正确；

因为至=（2+i）（2—i）=4—i2=5,故选项C正确；

112-i2-i21.

因为一=故选项D错误.

z2+i(2+i)(2—i)

故选：BC.

10.一名射击运动员射击一次击中目标概率为工，各次射击互不影响.若他连续射击两次,

3

则下列说法正确的是（）

A.事件“至多击中一次”与“恰击中一次”互斥

B.事件“两次均未击中”与“至少击中一次”相互对立

C.事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立

24

D.记X为击中目标的次数，则E（X）=§,D（X）=-

【答案】BD

【解析】对于A：事件“至多击中一次”包含“恰击中一次”和“两次均未击中“，故A错误;

对于B：事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”，故B正确；

对于C：事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中"，故C错误；

对于D：依题意X-gQ，i214

,所以石(X)=2x§="D(X)=2xlx1-1

339

故D正确;

故选：BD

H.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化

硫（化学式S耳）、金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体

（如图1）,已知正八面体£-A6CD—/的（如图2）棱长为2,则（

g7r

B.正八面体£-A5CD-尸的外接球体积为］

若点尸为棱石B上的动点，则AP+CP的最小值为2逐

若点。为棱AF上的动点，则三棱锥E-Q5C的体积为定值逑

D.

3

【答案】ACD

【解析】对于A项，设该正八面体内切球的半径为人由内切球的性质可知正八面体的体积

V=8x—x—x2x2xsin60-r=2x—x2x2x汇一四,

323

解得r=故它的内切球表面积为47rx—,故A项正确;

33

对于B项，设该正八面体外接球的半径为R,

由图知，ABCD是正方形，OA=OB^OC=OD=—x2=y/2,

2

在中，OE=yjBE2-OB2

利用对称性知。尸=J5,

故点。为正八面体外接球的球心，

则R=0，

所以正八面体外接球的体积为殳叵，故B项错误;

3

图2

对于C项，如图，因,A的与一5CE是边长为2的全等的正三角形，可将_5CE翻折到

3CE',使其与，A3E共面，从而得到一个菱形ABCE.

连接AC与破相交于点P,此时=C'P=3x2=6，

2

则AP+CP取得最小值为26，故C项正确；

对于D项，易知A///EC,因为AFa平面EBCECu平面EBC,所以.//平面EBC,

、11I-2夜

所以匕棱锥E-°BC=咚棱锥2-EBC=匕棱锥A-EBC=匕棱锥E-ABC=JX^X2X2xv2=——，

故D项正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个

体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数

字，则选出来的第5个个体的编号为.

78166572080263140214431997140198

32049234493682003623486969387181

【答案】01

【解析】从随机数表的第一行的第5列和第6列数字开始由左到右选取的编号依次为

08,02,14,19,01,

所以选出来的第5个个体的编号为01.

故答案为：01.

13.在AABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知。=4,5=45°,若

(a-Z2)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,贝!|A=,b=.

【答案】小华

【解析】由(a-0)(sinA+sinB)=(c->)sinC以及正弦定理得，(a-b)(a+b)=(c-b)c,

层

所以"+c-c，所以2=匕124_24i

JT

因为OvAv%,所以A=§.

4_/?「

得走=变，解得b=生色.

由正弦定理得——=——

sinAsinBT3

故答案为:上警

14.已知抛物线。：丁=2庶(°>°)的焦点为P，直线/经过点口交C于M,N两点，

M,N两点在C的准线上的射影分别为A,3,且AAMF的面积是..NBF的面积的4

倍，若》轴被以为直径的圆截得的弦长为J7,则。的值为.

【答案】V2

【解析】如图，当点M在第一象限时，由抛物线的定义，可得同，|八冏=|八阳，

<-\MA\\MF\sinZAMF应前2

所以='-------------------~卜=4,所以|"F|=2|NE|,

3.NBF3闸而sinZBNEM

所以|M4|=2|A®].如图，过点N作NN】LAM于点M，则双H=|%6|,

,,1,,1,,\N,M\1

所以|乂必=-\AM\=-\MN\,所以COSNN]M2V=,

所以sinNMMN=述，所以直线/的斜率k=tan/N幽N=一个唯=2上,

13cos/N[MN

则直线/：y=,直线/与y?=2px联立，得4%2-5p%+p?=0,

设M与N的横坐标分别为句,xN,贝I]X”+/=学,

所以|MN|=xM+xN+p=^p,

所以以MN为直径的圆的半径厂=网"=2。

28

圆心到y轴的距离d=Xm+Xn=-P，

28

所以弦长为2—Q2==J7,解得p=0；

当点又在第三象限时，由对称性可得p=夜.

故答案为：0.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.党的二十大报告提出：“全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线，确保

中国人的饭碗牢牢端在自己手中.”粮食事关国运民生，粮食安全是“国之大者”，与社会和

谐、政治稳定、经济持续发展等息息相关，粮稳则天下安.现有某品种杂交水稻，从中随机

抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期（单位：天），按从小到大排序结

果如下：

939798101103104107108109110112116121124126

已知这组样本数据的10%分位数、80%分位数分别为a,b.

（1）求。力;

（2）在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间（。力）的稻株记为“高产稻株”，其

余记为“低产稻株”.现从该品种水稻中随机抽取3株，设其中高产稻株有X株，求X的分

布列与数学期望（以样本中高产稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概

率）.

解：（1）依题意，样本数据的个数〃=15,

因为“X10%=1.5,故10%分位数为第2项数据,

即a=97,

因为〃*80%=12,故80%分位数为第12项与第13项数据的平均数,

,116+121

即on/?=--------=118.5.

2

（2）因为区间（a,b）=（97,118.5）,样本数据中共有10个数据位于该区间,

故由题意，该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率为P=-=-

153

则随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且乂~313,^

…o)=q",…心'口=|

P(X=2)=4"=”X=3)=C[|J=:

故X的分布列为

X0123

1248

p

279927

2

所以X的数学期望石(x)=3x§=2.

n

16.已知数列｛。“｝,也｝满足+2=2〃+1,anbn=T,数列｛%｝满足%=—+—.

an2

(1)判断数列｛%｝的单调性；

(2)求数列｛%｝的前〃项和S,.

解：(1)由题可得%='+[=4乎=(2"+1>2",

anbna„bn

又因为g+i—g=(2〃+3)•2.—(2〃+1).2"=2".(2〃+5)>0,

所以数列｛%｝单调递增.

(2)由题意可得"=q+。2+。3"I----Fc“=3x2,+5x2~+7x2,H----P(2〃+l)­2®,①

2S"=3><22+5><23+…+(2〃—l)•2R+(2〃+l)•2"+l②

—②得—S“=6+2x(2?+23+…+2")—(2〃+1b2"+1=—(2〃—l)-2'+i—2,

故S,=2+(2/—1>2角.

17.如图，在正三棱柱ABC-A15cl中，尸为BG的中点.

小尸二----------7G

A'C

B

(1)证明：BCLP\.

(2)若44=2,AB=25求直线AB]与平面PAG所成角的正弦值.

解：(1)取的中点。，连接A£),PD,

且尸为BG的中点，则PD〃CC「

因AA//CQ,则「。〃9，所以P,O,A,A四点过面，

因为A4，平面ABC,BCu平面ABC,则

又因为A3=AC,且。为BC的中点，则AD13C,

且A4]CAD=A,相，A。u平面A41P。，可得5C1平面A41P。，

且R&U平面AA/。，所以BCLPA.

(2)由(1)可得平面ABC,ADu平面ABC,BDu平面ABC,

所以PD_LAD，PD±BD，

以。为原点，。昆AD,DP的方向分别为苍％z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则A(O,—3,0),4(。，一3,2),P(O,O,I),4(G,o,2),q(-Ao,2),

可得M=(63,2),4G=(-A/3,3,0),A户=(O,3，T),

设平面PAC的法向量为质=(羽y,z),贝以—•

m-\P=3y-z=0

令x=#)，则y=l，z=3,可得根=(若』,3),

设直线ABX与平面PAG所成的角为0,

n,.„I.D||力叫123^/13

111同网4x71313

所以直线入用与平面PAG所成角的正弦值为士叵.

18.己知P(羽y)在曲线C：次+y2-2%+1+Jx2+y2+2x+l=4上,直线y=Ax

交曲线C于A,8两点.

(1)当尸不在直线AB上时，试问七T怎B(即A，即8分别为Q4，PB斜率)是否为定

值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

(2)若。为坐标原点，OPLA5,求钻面积的最小值.

3

解：(1)kpA,kpB是定值，kpA，kpB=——>

曲线C：小x2+/-2x+1+Jx1+;/+2尤+1=4，

即J(X-1)2+y2+J(x+1)2+y2-4>2,

所以曲线C是以(±1,0)为焦点的椭圆且2a=4,所以［_］，则6=力2_02=®

22

所以曲线C的方程为土+匕=1,

43

设4(石,％),根据对称性可得5(—%,—%),因为P(x,y),

,22?2（2A

所以G=匕1"=与二4,因为辽+互=1,所以y；=31-^-

%一再x+玉x一再4314J

(Q

同理可得丁=31——,

、4,

(2>(2、

31--31』

所以左也一1)14人3.

以PBx2-xf4

⑵若左=0时4(2,0)、5(—2,0)(或5(2,0)、A（-2,0））,

因为OPLA5,

所以网0,石)(或尸倒，一⑹)，

所以SpAB=gx4xg=26，

解得玉志

2

所以|A同=y/1+k|%1-%2|=241+取.=46^^

因为0P1AB,设OP交椭圆的另一个交点为Q,所以直线尸。的方程为y=-4x,

k

则阿、间|=2可||；'

所以5.=；义|。。34却=：、26旧］><4石居

12（1+左2）

J（3+4>2）（4+312），

因为J（3+4/）（4+3/）/3+的；（4+3左2）=?,

当且仅当3+4/=4+3左2,即左2=1,左=±1时等号成立，

120+左2）120+42）24

所以S刈=#+4；2）（4+3/「及干=亍'

因为2<2代，所以，B钻面积的最小值为之.

77

19.已知函数g（x）=l-21nxg（a>0）,且g（x）的极值点为%.

X

⑴求餐;

/、2

（2）证明：2g（x0）+